2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题05 圆锥曲线的光学性质问题(通用版解析版)
2021版新高考数学：圆锥曲线含答案
设M(x、y)、由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|、|AO|＝2.
由于 ⊥ 、【关键点5：圆的几何性质向量化】
故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2、化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1、0)为焦点、以直线x＝－1为准线的抛物线、所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1、所以存在满足条件的定点P.
由题设知 ＝1、 ＝m、于是k＝－ .①
由于点M(1、m)(m>0)在椭圆 ＋ ＝1内、
∴ ＋ <1、解得0<m< 、故k<－ .
(2)由题意得F(1、0).设P(x3、y3)、
则(x3－1、y3)＋(x1－1、y1)＋(x2－1、y2)＝(0、0).
由(1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2)＝1、y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.【关键点2、设出点P、借助向量的建立变量间的关系、达到设而不求的目的】
【点评】从本题可以看出、圆的几何性质与数量关系的转化涵盖在整个解题过程中、向量在整个其解过程中起了“穿针引线”的作用、用活圆的几何性质可以达到事半功倍的效果．
途径四 设而不求、化繁为简
高考示例
方法与思维
(20xx·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C： ＋ ＝1交于A、B两点、线段AB的中点为M(1、m)(m>0).
所以l的方程为y＝－x＋ 、代入C的方程、并整理得7x2－14x＋ ＝0.
故x1＋x2＝2、x1x2＝ 、
代入②解得|d|＝ .【关键点3：借用根与系数的关系、达到设而不求的目的】
所以该数列的公差为 或－ .
【点评】本题(1)涉及弦的中点坐标、可以采用“点差法”求解、设出点A、B的坐标、代入椭圆方程并作差、再将弦AB的中点坐标代入所得的差、可得直线AB的斜率；对于(2)圆锥曲线中的证明问题、常采用直接法证明、证明时常借助等价转化思想、化几何关系为数量关系、然后借助方程思想给予解答．
高中数学圆锥曲线系统讲解第32讲《圆锥曲线的光学性质》练习及答案
第32讲 圆锥曲线的光学性质知识与方法1．抛物线的光学性质：如图1所示，从抛物线的焦点F 发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线；如图2所示，设抛物线在P 处的切线l 交对称轴于点Q ，PM ⊥上切线l 交对称轴于点M ，则焦点F 是QM 的中点.2．椭圆的光学性质：如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P 处的切线为l ，直线PQ l ⊥交直线12F F 于点Q ，则PQ 平分12F PF ∠，由角平分线性质定理，1122PF QF PF QF =.3.双曲线的光学性质：如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图6所示，双曲线在点P 处的切线l 与直线12F F 相交于点Q ，则PQ 平分12F PF ∠，由角平分线性质定理，1122PF QF PF QF =典型例题【例1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C 的长轴为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点以垂直于长轴的方向发出，第一次回到左焦点所经过的路程为，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，根据题干信息，1112214F P PQ QF F P PF QF QF a ++=+++=，所以4a =，故2e =.【答案】2【例2】如右图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线22:44C x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与椭圆C 相切于点P ，且11PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆的长轴交于点M ，则12:F M F M =（ ）B.C.1:3D.【解析】如图，由椭圆的定义，124PF PF +=，又11PF =，所以23PF =， 根据椭圆的光学性质，PM 是12F PF ∠的平分线， 所以112213F M PF F MPF ==.【答案】C【例3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点2F 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点1F .，则当入射光线2F P 和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），12F F P ∠的大小为（ ）A.12πB.6πC.3πD.512π 【解析】如图，，所以不妨设其方程为221x y −=，则)2F ，由题意，12PF PF ⊥，所以点P 在圆222x y +=上，不妨设P 在第一象限，联立222212x y x y ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩解得：x =，y =，所以P ⎝⎭，设12F F P α∠=， 则直线2PF 的斜率()tan tan 2k παα=−=−===，所以tan 2α+，故512πα=.【答案】D【例4】双曲线有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线22:13y C x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，从2F 发出的光线2F P 被双曲线反射后，反射光线为PE ，若双曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点I ，且152IF =，则12PF F 的周长为______. 【解析】如图，由双曲线的光学性质可得PI 是12F PF ∠的平分线，所以1122PF IF PF IF =，由题意，124F F =，152IF =，所以232IF =，从而112253PF IF PF IF ==， 又由双曲线定义，122PF PF −=，所以23PF =，15PF =，从而12PF F 的周长为53412++=.【答案】12变式 已知点F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的左焦点，过F双曲线的右支交于点P ，双曲线C 在点P 处的切线与x 轴交于点M ，若FM PM =，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，设双曲线的右焦点为1F ，根据双曲线的光学性质，PM 应为12F PF ∠的平分线， 由题意，直线PF的斜率为3，所以30PFM ∠=︒， 又FM PM =，所以30FPM ∠=︒，故130F PM ∠=︒， 从而160FPF ∠=︒，190PF F ∠=︒，所以双曲线的离心率111sin sin 60sin sin sin 30sin 90FPF e PFF PF F ∠︒===∠−∠︒−︒【例5】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线．若一条平行于x 轴的光线从()3,1M 射出，经抛物线24y x =上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 反射出，则直线AB 的斜率为_______.【解析】如图，由题干信息，A 、F 、B 三点共线，2111,1444y x A y x=⎧⎛⎫⇒=⇒⎨ ⎪=⎝⎭⎩ 又()1,0F ，所以直线AB 的斜率1041314AB AF k k −===−−.【答案】43−变式 抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线.现有抛物线()220y px p =>，如右图所示，一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于x 轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为8，则p =_____.【解析】如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120y y ≠，12y y ≠， 则入射光线和反射光线所在的直线分别为1y y =，2y y =，由抛物线的光学性质，A 、F 、B 三点共线，所以2212122222y y p p p p y y −−=，化简得：212y y p =−，两平行光线之间的距离12122d y y y y p =−=+≥=，当且仅当12y y =−时取等号，所以d 的最小值为2p ，由题意，28p =，故4p =.【答案】4强化训练1.（★★★）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C 的长轴为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点发出，第一次回到左焦点所经过的路程为5c ，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】如图1，若光线从1F 射向左顶点，则第一次回到1F 所经过的路程为a c −， 所以5a c c −=，故16e =； 如图2，若光线从1F 射向右顶点，则第一次回到1F 所经过的路程为()2a c +，所以()25a c c +=，故23e =， 如图3，若光线从1F 射向其它方向，则第一次回到1F 所经过的路程为4a ，所以45a c =，故45e =.【答案】16或23或452.（★★★）已知光线从椭圆的一个焦点发出，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过双曲线的另一个焦点.如下图所示，一个光学装置由有公共焦点1F 和2F 的椭圆C 和双曲线E 组成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经E 和C 反射，又回到了点1F ，历时1t 秒，若将装置中的E 去掉，此光线从1F 发出，经C 两次反射后回到1F ，历时2t 秒，若214t t =，则椭圆C与双曲线E 的离心率之比为（ ）A.B.1:2C.2:3D.3:4【解析】如图，由题意，214t t =，所以1F MN 的周长2L 是1F PQ 的周长1L 的4倍，即214L L =，设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，半焦距为c ，则24L a =，所以1L a = 由Q 在椭圆上，P 在双曲线上可得122122QF QF a PF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩两式作差得：22111122QF PF QF PF PQ QF PF a m −++=++=−， 即122L a m =−，所以22a m a −=，从而2a m =， 故椭圆C 与双曲线E 的离心率之比为121::2c c m e e a m a ===.【答案】B3.（★★★）抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()2,1P 射出，经抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 反射出，则ABP 的周长为______.【解析】如图，由题意，直线PA 的方程是1y =，代入24y x =解得：14x =，所以1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭设200,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则由题意，A 、F 、B 三点共线，所以02001011144y y −−=−−，解得：04y =−或1(舍去)， 所以()4,4B −，从而1254244AB =++=，PB ==显然17244AP =−=，所以ABP的周长为257844+=+.【答案】8+4．（★★★）抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列与抛物线对称轴平行（或重合）的光线．现有抛物线()220y px p =>，如右图所示，一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于x 轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则p =________.【解析】如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120y y ≠，12y y ≠， 则入射光线和反射光线所在的直线分别为1y y =，2y y =， 由抛物线的光学性质，A 、F 、B 三点共线，所以2212122222y y p p p p y y −−=，化简得：212y y p =−，两平行光线之间的距离12122d y y y y p =−=+≥=， 当且仅当12y y =−时取等号，所以d 的最小值为2p ，由题意，24p=，故2p =.【答案】25.（★★★）双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线22:1169x y C −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，从2F 发出的光线射向C 上的点()08,P y 后被反射，则入射光线与反射光线的夹角余弦值是________.【解析】如图，()15,0F −，()25,0F ，将()08,P y 代入221169x y −=可得0y =±，不妨设(P ，则114PF =，由双曲线定义，128PF PF −=，所以2186PF PF =−=显然1210F F =，所以2221212121211cos 214PF PF F F F PF PF PF +−∠==⋅， 由题意，反射光线所在的直线即为直线1PF ， 所以入射光线与反射光线的夹角余弦值是1114.【答案】1114。
2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题01 圆锥曲线与重心问题(通用版解析版)
专题1、圆锥曲线与重心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．三角形的重心：三角形三条中线的交点。
知识储备:（1）G 是ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=；重心坐标(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++；（2）G 为ABC ∆的重心，P 为平面上任意点，则1(+)3PG PA PB PC =+；（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比； 经典例题例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A ．993,,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．[]3,5【答案】A【解析】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A. 【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．例2．（2020·浙江高三月考）已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ） A ．12S S > B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系.【详解】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I M F F y F F r y S ⋅⋅===， 又因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =，所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选：B . 【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 的椭圆上一点（左右顶点除外），G 为12PF F △为重心.若1223F GF π∠≤恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，再根据G 为12PF F △为重心，由111tan 336GO PO b F O π==≥=求解. 【详解】因为P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，如图所示：因为G 为12PF F △为重心，所以1133GO PO b ==，而1tan6GO FO π≥，即1GO O ≥，所以13b ≥，所以223b c ≥，所以2223a c c -≥，即214e ≤，解得102e <≤.故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.例4．（2020·全国高二单元测试）已知A 、B 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，当122k k +取得最小值时，PAB △的重心坐标为（ ） A ．(1,1) B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．44,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】由双曲线的性质可得点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>，则122k k =，再由基本不等式可得1222k k ==，进而可得点(3,4)P ，即可求得重心坐标.【详解】由题意点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>， 则10k >，20k >，2212222(1)21111y y y x k k x x x x -=⋅===+---，所以1224k k +≥=，当且仅当1222k k ==时取等号，所以221112yx y x ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，所以点(3,4)P ， 则PAB △重心坐标为113004,33-++++⎛⎫⎪⎝⎭即41,3⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.例5．已知椭圆22:14x y C m+=的右焦点为()1,0F ，上顶点为B ，则B 的坐标为_____________，直线MN与椭圆C 交于M ，N 两点，且BMN △的重心恰为点F ，则直线MN 斜率为_____________.【答案】【分析】空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a ， c ，再根据椭圆中a ，b ，c 之间的关系求出m 的值，最后求出上顶点B 的坐标；空2：设出直线MN 的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN 的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.【详解】空1：因为22:14x y C m+=右焦点为()1,0F ，所以有40m >>且2,1a b c ===，而222a b c =+，所以413m m =+⇒=，因此椭圆上顶点的坐标为：； 空2：设直线MN 的方程为：y kx m =+，由（1）可知：椭圆的标准方程为：22143x y+=，直线方程与椭圆方程联立：22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得： 222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为D ，于是有：122834km x x k -+=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+，所以D 点坐标为：2243()3434km mk k -++， 因为BMN △的重心恰为点F ，所以有2BF FD =，即2243(1,2(1,)3434km mk k -=-++，因此有：22224432(1)1(1)343423623434km km k k m m k k --⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪++⇒⎨⎨⎪⎪⋅==⎪⎪++⎩⎩，(1)(2)÷得：k =MN斜率为4.故答案为：；4【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.例6．（2020·上海高三专题练习）已知直线L 交椭圆 2212016x y +=于M N 、两点，椭圆与y 轴的正半轴交于点B ，若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点F 上，则直线L 的方程是__________． 【答案】65280x y --=【分析】结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设()()1122,,,M x y N x y ，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程【详解】由题可知，()0,4B ，()2,0F ，设()()1122,,,M x y N x y ，由重心坐标得1212042,033x x y y ++++==， 所以弦MN 的中点坐标为12123,222x x y y ++==-，即()3,2-， 又()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，故221122221201612016x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差得()()()()12121212450x x x x y y y y +-++-= 将中点坐标代入得212165y y k x x -==-，所以直线L 的方程为：()6325y x =--，即65280x y --= 故答案为：65280x y --=【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题例7、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 为抛物线C 上的三个动点，其中123x x x <<且20y <，若F 为123PP P △的重心，记123PP P △三边12P P ，13P P ，23P P 的中点到抛物线C 的准线的距离分别为1d ，2d ，3d ，且满足1322d d d +=，则13P P 所在直线的斜率为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意知12313321222;;2222x x x x x x d d d +++=+++=；带入1322d d d +=中，得到：()123132;2x x x x x +++=即2132x x x =+； 又F 为123PP P △的重心，则有1231232;033x x x y y y ++++==，即2226x x =-，得到222,4x y ==-，因此有134y y +=，故13P P 的中点坐标为（2，2）. 所以直线的斜率为：13131382y y k x x y y -===-+；故答案为2.例8、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在点A ，使得点A与双曲线的左、右焦点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，若12AF F ∆的重心G 满足12//PG F F ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】C【解析】如图，由PG 平行于x 轴得G P y y a ==，则33A G y y a ==， 所以12AF F △的面积1232S c a =⋅⋅121(||||2)2AF AF c a =⋅++⋅，又12||||2AF AF a -=， 1||2AF c a =+则，2||2AF c a =-，由焦半径公式1||A AF a ex =+，2A x a =得，因此(23)A a a ，，代入椭圆方程得2222491a a a b-=，b =可得，2c a ==， 2.ce a==即故选C ．例9、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知P 为双曲线C ：221412x y -=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。
(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)
圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（,）．（1）求椭圆M 的方程;（2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程：（2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C:+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；(2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C 1:+y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ． （Ⅰ）证明：MA ⊥MB;（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得=．若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q(1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值;(3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．(Ⅰ）求椭圆E的标准方程;(Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问｜AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值;若不是,请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ)求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问｜BH｜是否为定值?若是,求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1(a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围． 12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （ I ）求椭圆C 的方程； （ II ）当直线l 的斜率为时，求△POQ 的面积；( III ）在椭圆C 上是否存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD|=1，O 为坐标原点． (1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点，A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问:|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣,0)，F 2（，0)，点E(，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围． 15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标;若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0）的离心率，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1)求椭圆C 的标准方程；（2)过点P （0，1）的动直线与椭圆C 交于A,B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点（1,)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．(1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）,线段MN 的中点为G ，已知点(x 1，x 2)在圆x 2+y 2=2上，求｜OG ｜•|MN ｜的最大值，并判断此时△OMN 的形状． 18．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)，其内接△ABC 中∠A=90°． （I)当点A 与原点重合时，求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II ）当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 19．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P （﹣2,3）是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆M ：(x ﹣m ）2+y 2=r 2（r ＞0）．①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ，若，且AB=2，求r 的值；②设m=﹣2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．(1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为，，求直线l 2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0),直线y=x 与C 交于O ，T 两点，｜OT ｜=4．（Ⅰ）求C 的方程; （Ⅱ)斜率为k （0）的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ，N 两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P(0,﹣1），且与椭圆交于A,B两点，若,求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题(共22小题）1．已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1(a＞b＞0)的右焦点,且两曲线有公共点（,）．（1)求椭圆M的方程；(2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0)的右焦点,∴=c，∵两曲线有公共点（,)，∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+)=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB｜=3，d=3，S△ABC=｜AB｜•d=．综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12:x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时,求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D(2，0)，过点E（﹣2,0)的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解:（1）由题意设M（x，y)，M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：(2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2,0)在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1,y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2｜•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；(2）直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：(1)∵△MOF的面积为,∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4，即ab=2．∴==,∴=，∴a=2,b=,∴C的方程为:=1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ．设直线l的方程为：x=my﹣1,P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=,∴|y1﹣y2|===，∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2｜=．设=t≥1,=．∵函数g(t)=在［1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D,E．（Ⅰ)证明：MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问:是否存在直线l，使得=．若存在,求出直线l的方程，若不存在,请说明理由．【解答】解:(Ⅰ)证明：由题得,直线l 的斜率存在，设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1，得x 2﹣kx ﹣1=0．设A(x 1，y 1），B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，又点M 的坐标为（0，﹣1）． 所以k MA •k MB =•====﹣1．故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME;(Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1． 联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为（k 1，k 12﹣1）． 又直线MB 的斜率为﹣，同理可得点B 的坐标为（﹣，﹣1）．于是S 1=|MA ｜•｜MB ｜=｜k 1|•••|﹣｜•=．由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1， 得（1+4k 12）x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为（,）．又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为（﹣，)．于是S2=｜MD｜•|ME｜=．故=（4k12++17)=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1)求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解:（1)由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有,2kx1x2+（k+m)（x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12）=(32k2）2﹣4×（3+4k2)（64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3）（16k2﹣3)=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P(0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1)求椭圆C的方程;（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时，总有∠PQA=∠PQB?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:，由题意知，椭圆过点，∴，解得b 2=4，a 2=8，所以椭圆C 的方程为：;（2）当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1， 由得(2k 2+1）x 2+4kx ﹣6=0，△=16k 2+24（2k 2+1）＞0,设,假设存在定点Q （0，t)符合题意，∵∠PQA=∠PQB ，∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q （0,4），当直线l 斜率不存在时,A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0,2）， 显然此时∠PQA=∠PQB ，综上，存在定点Q （0，4）满足题意． 7．已知椭圆，点在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C 的方程;（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【解答】解:（1）由点在椭圆C 上可得：，整理为：9a 2+4b 2=4a 2b 2， 由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a ＞b ＞0可解得：，故椭圆C 的方程为：．（2）设点P 、Q 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2），点A 的坐标为（﹣2，0）， 故，可得y 1y 2=2（x 1+2)（x 2+2），设直线PQ 的方程为y=kx+m （直线PQ 的斜率存在）， 可得（kx 1+m)(kx 2+m ）=2（x 1+2）（x 2+2）， 整理为：，联立，消去y 得:(4k 2+3）x 2+8kmx+(4m 2﹣12）=0，由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3）（4m 2﹣12）=48（4k 2﹣m 2+3)＞0,有4k 2+3＞m 2， 有，，故有:，整理得：44k 2﹣32km+5m 2=0，解得：m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2)，过定点（﹣2，0)不合题意， 当时直线PQ 的方程为，即,过定点．8．已知椭圆Γ：=1(0＜b ＜2）的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q （1，0），点P 是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；(3）设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点，且直线BM 、BN 的斜率之和为1，证明：直线l 过定点． 【解答】解:（1)椭圆Γ:=1（0＜b ＜2）的a=2，向量与的夹角为,可得｜BF 1｜=|BF 2｜=a==2b=2，即b=1,则椭圆方程为+y 2=1；(2）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即n 2=1﹣，•=（1﹣m ，﹣n ）•(﹣m ，﹣n ）=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=（m ﹣）2+，由﹣2≤m ≤2可得m=时，上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6， 则•的范围是［，6]；（3）证明:当直线l 的斜率不存在时，设M （x 1，y 1），N(x 2，y 2）， 由k BM +k BN =+==1，x 1=x 2,y 1=﹣y 2，得x 1=﹣2，此时M ，N 重合，不符合题意；设不经过点P 的直线l 方程为：y=kx+m ，M （x 1,y 1)，N （x 2，y 2）， 由得（1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒(2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1)（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1,∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程;（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A,C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分)令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分)直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜AQ｜2+|HQ｜2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x 轴的交点为H，试问｜BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是,请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分)由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C(x2，y2）则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜BH｜为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．(1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m,使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2(c,0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．(2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2)，B（x2•y2),则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（ I）求椭圆C的方程；( II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（ III)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解:（I) 根据题意,解得，故椭圆C的方程为．…(5分）（ II) 根据题意，直线l的方程为．设P（x1,y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二:，原点O到直线l的距离．所以…（10分)（ III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P(x1，y1）,Q（x2,y2），由得（3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ 的中点．要使四边形OPMQ 为平行四边形，则N 为OM 的中点，所以．要使点M 在椭圆C 上，则，即12k 2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C 上不存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形．…．（14分) 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD ｜=1,O 为坐标原点． （1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问：|OT ｜是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF 2⊥x 轴，｜OD|=1， ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点， ∵AD ⊥F 1B ，∴｜AF 1｜=|AB ｜=2｜AF 2｜=4｜OD ｜=4， ∴2a=|AF 1｜+｜AF 2｜=4+2=6， ∴a=3, ∴｜F 1F 2｜==2，∴c=,a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知,A1(0，），A2（0，﹣)．设点P（x0，y），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得xM=；直线PA2:y+=x，令y=0，得xN=;|OM｜•｜ON|=,∵+=1，∴6﹣y02=x2,∴｜OM｜•|ON｜=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣，0)，F 2（，0），点E （，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知,c=， ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4，∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6， ∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P 的坐标为（0，t)，当直线MN 的斜率不存在时，可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y=kx+t ，M(x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由=2可得x 1=﹣2x 2，①，由，消y 可得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣24=0，由△＞0,可得64k 2t 2﹣4（3+4k 2）(4t 2﹣24）＞0，整理可得t 2＜8k 2+6，由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=，②,由①②,消去x 1，x 2可得k 2=，由，解得＜t 2＜6, 综上得≤t 2＜6，又以F 1P 为直径的圆面积S=π•，∴S 的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且．（I)求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在,请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．∴，a=,∴c=2，b 2=a 2=﹣c 2=2． ∴椭圆C 的方程为（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣2）， 代入椭圆C 的方程,得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4）,则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值,=(x3﹣t,y3）•（x4﹣t,y4）=(x3﹣t）•(x4﹣t)+y3y4，=（x3﹣t)•（x4﹣t)+k2（x3﹣2）•（x4﹣2）,=（k2+1)x3x4﹣（2k2+t)(x3+x4）+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（,0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：(a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点．（1)求椭圆C的标准方程；（2)过点P（0，1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立?请说明理由．【解答】解：（1)由抛物线E：的焦点（0,)，椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=,椭圆的离心率e===,则a=2，∴椭圆的标准方程:；（2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2)．联立,整理得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0．其判别式△＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣．∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ［x 1x 2+（y 1﹣1）(y 2﹣1）］，=（1+λ)（1+k 2)x 1x 2+k （x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1，）在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．（1）求动点P 的轨迹方程；（2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1,y 1）、N （x 2，y 2），线段MN 的中点为G,已知点(x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2上，求|OG ｜•｜MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状． 【解答】解：（1）设F 1，F 2分别为（﹣c ，0)，（c ，0） 可得，b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点（1,)在双曲线C 上，∴，解得，c=1．连接PQ ，∵OF 1=OF 2,OP=OQ ，∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形． ∴四边形PF 1+PF 2=2＞2，∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程（y ≠0）;（2）∵x 12+x 22=2，,∴y 12+y 22=1．∴｜OG ｜•｜MN｜=•=•=．∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值， 此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形．18．已知抛物线C:y 2=2px （p ＞0），其内接△ABC 中∠A=90°． （I ）当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II)当点A 的纵坐标为常数t 0（t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 【解答】解：（I ）设B （，y 1)，C （，y 2）,∵AB ⊥AC ，∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2．∴设BC 的中点M （x ，y ），则=x ，y 1+y 2=2y ，∵y 12+y 22=(y 1+y 2）2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2，∴M 的轨迹方程为：y 2=（x ﹣8p ）． （II ）A （，t 0)，设直线BC 的方程为y=kx+b,B （，y 1），C （,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t（y1+y2）+t2+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=,y1+y2=，∴+t0+t2+4p2=0．解得b=﹣t﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t，∴直线BC过定点(2p+，﹣t）．19．如图,已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2)设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B,若,且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点（异于点P)．试问:是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在,求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1）因点P（﹣2，3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由,得，所以,……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……(4分)（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q），由（1）知,……（6分）因圆M与线段PF2交于两点A，B，所以，所以,解得，……（8分）所以，故．……(10分）②由G，H两点恰好关于原点对称,设G(x0，y），则H（﹣x，﹣y）,不妨设x＜0，因P（﹣2,3），m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即kGP =﹣kHP,所以，化简得x0y=﹣6，即，代入,化简得，解得x=﹣2(舍），，所以，……(14分）所以，,所以，所以．故存在满足条件的,且．……(16分）20．己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1)求椭圆C的标准方程;．（2）过点A(﹣2，0）作两条相交直线l1，l2,l1与椭圆交于P，Q两点（点P在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………(2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）(2）由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得:85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分)∵，∴，即．…………………………………………（8分)设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0)．将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N(x2，y2），则．……………………………………(10分)又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py(p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，｜OT|=4．（Ⅰ)求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0)的直线l过线段OT的中点，与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点，求｜MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0,x2=2p，所以O（0，0）,T(2p,2p），则｜OT｜=2p，又｜OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．(Ⅱ)由（Ⅰ）O（0，0),T(4，4）,则线段OT的中点坐标(2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2)．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A(x1,x12），B（x2，x22）,则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2，解得x=,所以M（，），同理得N(,）,所以|MN|=•|﹣｜=|｜=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN｜≤4．当k=时，｜MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P（0,﹣1），且与椭圆交于A，B两点,若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解:(1）依题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，由2c=4，c=2，e==，则a=2,b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．(2）由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1，A（x1，y1）,B（x2,y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0,且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣,由,即（﹣x1，﹣1﹣y1)=2（x2,y2+1），x1=﹣2x2,，消去x2并解关于k的方程得:k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。
2021新高考——圆锥曲线大题(最值范围问题)解析版
圆锥曲线综合问题第一讲 最值、范围问题1．圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；①求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种常见解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；①代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．【例1】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4．(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求△OAD 与△OAC 的面积之差的绝对值的最大值．(O 为坐标原点)解析：(1)由题意得2a ＝4，即a ＝2,2c ＝a ，即c ＝1，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝3．故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1． (2)设△OAD 的面积为S 1，△OAC 的面积为S 2，直线l 的方程为x ＝ky －1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1，整理得(3k 2＋4)y 2－6ky －9＝0， 由根与系数的关系可知y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，∴|S 1－S 2|＝12×2×||y 1|－|y 2||＝|y 1＋y 2|＝6|k |3k 2＋4． 当k ＝0时，|S 1－S 2|＝0，当k ≠0时，|S 1－S 2|＝63|k |＋4|k |≤62 3|k |·4|k |＝32，当且仅当3|k |＝4|k |，即k ＝±233时等号成立．∴|S 1－S 2|的最大值为32．【变式训练】 1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值．解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，①12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，① 联立①①①解得a 2－c 2＝3．又c a ＝12，①c 2＝1，a 2＝4， b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1． (2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)>0，所以m 2>4．y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 则①MNF 1的面积S ①MNF 1＝|S ①NTF 1－S ①MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝32431444324222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m m ＝18m 2－44＋3m 2 ＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334． 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号． 故①MNF 1面积的最大值为334．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C 的左、右顶点)，过右焦点F 2作①F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ |＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为43．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：x ＝my ＋4(m ①R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于点D ，求当①ADB 的面积最大时，直线l 的方程．解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×12ab ＝43，得ab ＝23． 延长F 2Q 交直线F 1P 于点R ，因为F 2Q 为①F 1PF 2的外角平分线的垂线，所以|PF 2|＝|PR |，Q 为F 2R 的中点，所以|OQ |＝|F 1R |2＝|F 1P |＋|PR |2＝|F 1P |＋|PF 2|2＝a ， 所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋4，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 所以Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)＝144(m 2－4)>0，即m 2>4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 直线A ′B 的斜率k ＝y 2－(－y 1)x 2－x 1＝y 2＋y 1x 2－x 1， 所以直线A ′B 的方程为y ＋y 1＝y 1＋y 2x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，得x D ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝(my 1＋4)y 2＋y 1(my 2＋4)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4， 故x D ＝1，所以点D 到直线l 的距离d ＝31＋m 2， 所以S ①ADB ＝12|AB |·d ＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝18·m 2－43m 2＋4． 令t ＝m 2－4(t >0)，则S ①ADB ＝18·t 3t 2＋16＝183t ＋16t≤1823×16＝334， 当且仅当3t ＝16t ，即t 2＝163＝m 2－4，即m 2＝283>4，m ＝±2213时，①ADB 的面积最大， 所以直线l 的方程为3x ＋221y －12＝0或3x －221y －12＝0．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积的最大值． 解 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2． 又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)， 所以4a 2＋1b 2＝1．所以a 2＝8，b 2＝2． 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1． (2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0． 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4．又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2．则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）． 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5． 所以S ①P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2． 当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，①P AB 的面积取得最大值为2．【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．解：(1)①双曲线的离心率为233， ①椭圆的离心率e ＝c a ＝32． 又①直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，①右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，①椭圆方程为x 24＋y 2＝1． (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2．又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0．由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12． 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，得0＜m 2＜2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ，则S ①OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－(m 2－1)2＋1． 故由m 的取值范围可得①OMN 面积的取值范围为(0,1)．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎪⎭⎫ ⎝⎛213，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．①求|OQ ||OP |的值； ②求△ABQ 面积的最大值．解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1．又a 2－b 2a ＝32， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1． ①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ(λ＞0)，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+20204y x ＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2 ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，(*)则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2．所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2． 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以①OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2 222241414k m k m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-． 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2．(**)由(*)和(**)可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故0＜S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23．由①知，①ABQ 的面积为3S ，所以①ABQ 面积的最大值为63．【例3】已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切．(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，①动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x ．(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，①|CB |＝42（1－m ），点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m 2， ①S ①ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )， 令1－m ＝t ，t ①(1，2)，则m ＝1－t 2，①S ①ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3，令f (t )＝8t －2t 3，①f ′(t )＝8－6t 2，令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去)． 易知y ＝f (t )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32,1上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,32上单调递减． ①y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239． ①①ABC 面积的最大值为3239．【变式训练】1．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛4923，，抛物线上的点P (x ，y )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2321x ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析 (1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－14x ＋12＝x －12． 因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程可得⎩⎨⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1)． 因为|P A |＝1＋k 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3．令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3＝－k 4－2k 3＋2k ＋1，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1上单调递增，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21上单调递减． 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716．2．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点12，0的动直线交抛物线于不同两点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求①APQ 的面积的最小值．解：(1)设直线PQ 方程为x ＝ty ＋12，代入y 2＝4x ，得y 2－4ty －2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－2，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋1＝4t 2＋1，所以M 2t 2＋12，2t ． 设M (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t 2＋12，y ＝2t消去t ，得中点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1． (2)设F A →＝λFM →(λ<0)，A (x 0，y 0)，又F (1,0)，M 2t 2＋12，2t ， 则(x 0－1，y 0)＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t 2,2122，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2λt 2－12λ＋1，y 0＝2λt .由点A 在抛物线y 2＝4x 上，得4λ2t 2＝8λt 2－2λ＋4，化简得(λ2－2λ)t 2＝－12λ＋1． 又λ<0，所以t 2＝－12λ． 因为点A 到直线PQ 的距离d ＝|4λt 2－λ＋2－4λt 2－1|21＋t 2＝|λ－1|21＋t 2， |PQ |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2(1＋t 2)(4t 2＋2)．所以①APQ 的面积S ＝12·|PQ |·d ＝222t 2＋1|λ－1|＝22 (λ－1)3λ．设f (λ)＝(λ－1)3λ，λ<0，则f ′(λ)＝(λ－1)2(2λ＋1)λ2， 由f ′(λ)>0，得λ>－12； 由f ′(λ)<0，得λ<－12， 所以f (λ)在－∞，－12上是减函数，在－12，0上是增函数，因此，当λ＝－12时，f (λ)取到最小值． 所以①APQ 的面积的最小值是364．2．解决圆锥曲线中范围问题的方法圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解．一般有五种思考方法：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；(5)利用函数的值域，确定参数的取值范围．【例3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，①b ＝1，a ＝2， ①椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1． (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2．若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2， ①(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，①(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1482k km ＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，① 由①①得0≤m 2<65，120<k 2≤54． ①原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，①d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2）， 又120<k 2≤54，①0≤d 2<87，①原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡71420，． 【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)由题意，得c ＝1， 所以a 2＝b 2＋1．因为点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上， 所以1a 2＋94b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3． 则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋2得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0． 因为Δ＝48(4k 2－1)>0，所以k 2>14， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3． 因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0．所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，所以(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0， 即－12k 2＋164k 2＋3>0， 所以k 2<43． 综上可知14<k 2<43， 解得－233<k <－12或12<k <233． 所以直线l 的斜率k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,2121,332 ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2332，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆的面积的取值范围．解：(1)由题意知，半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1． (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 的斜率不存在时，可得M ，N 分是是短轴的两端点，得到t ＝±63． 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2， ①联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1，整理得(3＋4k 4)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由Δ>0得64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8，由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，得23<t 2<6． 综上23≤t 2<6． 因为以F 1P 为直径的圆的面积S ＝π． ·2＋t 24，所以S 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ2,32．3．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一交点坐标是(2，－2)．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解析] (1)抛物线C 2的准线方程是y ＝－2，所以－p 2＝－2，即p ＝4，所以抛物线C 2的方程为x 2＝8y ． 椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别是(0，－2)，(0,2)，所以c ＝2． 2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，解得a ＝22，则b ＝2，所以椭圆C 1的方程为y 28＋x 24＝1． (2)设点P (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，抛物线方程可化为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x ， 所以AP 的方程为y －y 1＝14x 1(x －x 1)， 将P (t ，－2)代入，得－2－y 1＝14x 1t －2y 1，即y 1＝14tx 1＋2． 同理，BP 的方程为y 2＝14tx 2＋2，所以直线AB 的方程为y ＝14tx ＋2． 由⎩⎨⎧ y ＝14tx ＋2，y 28＋x 24＝1消去y ，整理得(t 2＋32)x 2＋16tx －64＝0，则Δ＝256t 2＋256(t 2＋32)＞0，且x 3＋x 4＝－16t t 2＋32，x 3x 4＝－64t 2＋32所以OE →·OF →＝x 3x 4＋y 3y 4＝(1＋t 216)x 3x 4＋t 2(x 3＋x 4)＋4＝－8t 2＋64t 2＋32＝320t 2＋32－8． 因为0＜320t 2＋32≤10，所以OE →·OF →的取值范围是(－8,2]．4．已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．[解](1)联立方程x 23＋y 22＝1和y ＝kx ＋m ， 得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0，所以m 2<2＋3k 2，所以2＋3k 2>3，即k 2>13，解得k >33或k <－33． 所以实数k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-33,∪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，33． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－62＋3k 2． 设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，所以k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2，即(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2(m ≠0)， 化简得2＋3k 2＝6k 2，即k 2＝23． 因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-223635m ， 点O 到直线l 的距离h ＝|m |1＋k 2＝35|m |， 所以S △OAB ＝12|AB |·h ＝66·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2223623m m ≤66×2622362322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ，当m ＝±2时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB 的面积的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛260，．【课后巩固】1．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设M (x ，y )，①QP →＝PM →，①P 为QM 的中点，又有PQ ①y 轴，①P ⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ,2， ①点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，①22⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ①R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ①|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48>0，①y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4．① ①|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①①代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ①S ①AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立， ①①AOB 面积的最大值为1．2．已知椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于－1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .(1)证明：直线BD 的斜率为定值；(2)求△ABD 面积的最大值．【解】 (1)证明：设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A (－x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1， 由⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2， 因为k AB ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，所以k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12，故直线BD 的斜率为定值12. (2)连接OB ，因为A ，D 关于原点对称，所以S △ABD ＝2S △OBD ，由(1)可知BD 的斜率k ＝12，设BD 的方程为y ＝12x ＋t ， 因为D 在第三象限，所以－2<t <1且t ≠0，O 到BD 的距离d ＝|t |1＋14＝2|t |5， 由⎩⎨⎧y ＝12x ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得3x 2＋4tx ＋4t 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4t 3，x 1x 2＝4(t 2－2)3， 所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2×12×|BD |×d ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·2|t |5＝|t|·(x1＋x2)2－4x1x2＝|t|·96－32t23＝423·t2(3－t2)≤2 2.所以当且仅当t＝－62时，S△ABD取得最大值2 2.3．如图，已知抛物线C 1：x 2＝4y 与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于点A ，B ，且抛物线C 1在点A 处的切线l 1与椭圆C 2在点A 处的切线l 2互相垂直．(1)求椭圆C 2的离心率；(2)设l 1与C 2交于点P ，l 2与C 1交于点Q ，求△APQ 面积的最小值．解：(1)设点A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则抛物线C 1在点A 处的切线方程为l 1：x 0x ＝2(y 0＋y )，椭圆C 2在点A 处的切线方程为l 2：x 0x a 2＋y 0y b2＝1． 由题意可知，l 1⊥l 2，则有x 02·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0202y a x b ＝－1， 且x 20＝4y 0，所以a 2＝2b 2，从而椭圆C 2的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22． (2)由椭圆C 2的离心率为22，可设椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1， 设A (2t ，t 2)，l 1：y ＝tx －t 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx －t 2，x 2＋2y 2＝2b 2，得(1＋2t 2)x 2－4t 3x ＋2t 4－2b 2＝0， 所以|AP |＝1＋t 2·|x P －x A |＝t 2＋1t tt 22122++， 设l 2：y ＝－1tx ＋t 2＋2，同理可得|AQ |＝1＋1t 2·|x Q －x A |＝1＋1t 2·t t t 242++， 所以S △APQ ＝12|AP ||AQ |＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·4t ＋4t 31＋2t 2＝8(t 2＋1)3(1＋2t 2)t． 令f (t )＝(t 2＋1)3(1＋2t 2)t ，t ＞0，则f ′(t )＝(t 2＋1)2(2t 2－1)(3t 2＋1)(1＋2t 2)2t 2．令f ′(t )＝0，得t ＝22，所以函数f (t )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220，上单调递减， 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，22上单调递增．所以f (t )≥f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22＝2782， 所以S ①APQ ≥2722． 故①APQ 面积的最小值为2722． 4．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8． (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．解析：(1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0． 设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x ．(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20．令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0． 又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立．设A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21y ，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,21y ，则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34． ∴|F A |·|FB |＝ y 23＋94· y 24＋94＝ (y 3y 4)2＋94(y 23＋y 24)＋8116＝ 1681433244943302020+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x ＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|．∵x 0≥0，∴|F A |·|FB |∈[3，＋∞)．5．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1)证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹方程为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围。
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用学案含解析
第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。
（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。
【优化指导】2021高考数学总温习 专题05 圆锥曲线的综合问题强化冲破 理（含解析）新人教版(1)
【优化指导】2021高考数学总温习 专题05 圆锥曲线的综合问题强化冲破 理（含解析）新人教版1．(2021·新课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，核心在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，那么C 的实轴长为( )B ．22C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，因此点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，因此C 的实轴长为4.应选C.2．(2021·沈阳质检)假设直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，那么过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有( ) A ．最多一个 B ．2个 C ．1个D ．0个 解析：选B ∵直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，应选B.3．(2021·浙江名校联考)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的一点，点M 知足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，那么当|PM →|取得最小值时，点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )C ．4D ．5解析：选B 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，依照勾股定理，求|PM →|的最小值能够转化为求|OP →|的最小值，当|OP →|取得最小值时，点P 的位置为双曲线的极点(±3,0)，而双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，因此所求的距离d ＝125，应选B.4．(2021·合肥模拟)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，那么|PQ|的最小值等于( ) B ．22解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，那么由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0y 2＝2x 消去x 整理得y 2＋2y ＋2m ＝0，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值即为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，因此所求最小值为d ＝|5－12|2＝924.应选A.5．(2021·铜川模拟)假设点O 和点F (－2,0)别离为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左核心，点P 为双曲线右支上的任意一点，那么OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)解析：选B 由题意知a 2＝(－2)2－12＝3，故双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设点P 的坐标为(x 1，y 1)(x 1≥3)，那么x 213－y 21＝1，∴OP →·FP →＝(x 1，y 1)·(x 1＋2，y 1)＝x 21＋2x 1＋y 21＝x 21＋2x 1＋x 213－1＝4x 213＋2x 1－1.又函数f (x 1)＝4x 213＋2x 1－1在x 1∈[3，＋∞)上单调递增，因此f (x 1)≥4×323＋2×3－1＝3＋23，即OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)，选B.6．已知椭圆x 24＋y 23＝1，假设此椭圆上存在不同的两点A ，B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，那么实数m 的取值范围是( )解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，又3x 21＋4y 21＝12①， 3x 22＋4y 22＝12②，①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x＋m 得x ＝－m ，y ＝－3m ，又点M (x ，y )在椭圆的内部，因此m 24＋9m 23＜1，解得－21313＜m ＜21313.应选B.－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，那么b 2＋13a的最小值为________．解析：233 因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，那么b 2＝3a 2，因此b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a≥213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时等号成立． 8．(2021·广东六校联考)已知双曲线C 的核心、实轴端点恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、核心，那么双曲线C 的渐近线方程是________．解析：4x ±3y ＝0 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点为(±5,0)、核心为(±3,0)，因此双曲线的核心为(±5,0)，实轴端点为(±3,0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，即c ＝5，a ＝3，b ＝4，因此渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.9．(2021·湖南十二校联考)设F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左核心，过点F 的直线l 与双曲线右支交于点P ，与圆O ：x 2＋y 2＝a 2恰好切于线段PF 的中点M ，那么双曲线的离心率为__________．解析：5 设右核心为F 2，连接PF 2，OM ，那么PF 2∥OM ，|PF 2|＝2|OM |＝2a ，∠FPF 2＝π2，又|PF |－|PF 2|＝2a ，∴|PF |＝4a ，在Rt △FPF 2中，|PF 2|2＋|PF |2＝|FF 2|2，得20a 2＝4c 2，∴e ＝ca＝ 5.10．已知抛物线y ＝x 2－1上有必然点B (－1,0)和两个动点P 、Q ，假设BP ⊥PQ ，那么点Q 的横坐标的取值范围是________．解析：(－∞，－3]∪[1，＋∞) 设P (x P ，x 2P －1)(x P ≠1)，Q (x Q ，x 2Q －1)，由k BP ·k PQ ＝－1，得x 2p －1x p ＋1·x 2Q －x 2px Q －x P ＝－1，因此x Q ＝－x P －1x P －1＝－(x P －1)－1x P －1－1.因为|x P －1|＋1|x P －1|≥2，因此x Q ≥1或x Q ≤－3.故所求范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞).11．(2021·杭州质检)已知直线y ＝2x －2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于M 1，M 2两点，且|M 1M 2|＝815.(1)求p 的值；(2)设A 是直线y ＝p2上一点，直线AM 2交抛物线于另一点M 3，直线M 1M 3交直线y＝p 2于点B ，求OA →·OB →的值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝2py消去y 整理得x 2－4px ＋4p ＝0，设M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2－16p ＞0，x 1＋x 2＝4p ，x 1·x 2＝4p ，∵|M 1M 2|＝815，∴[x 1＋x 22－4x1x 2]1＋22＝815，∴16p 2－16p ×5＝815.整理得p 2－p －12＝0，解得p ＝4或p ＝－3(舍去)， 且p ＝4知足Δ＞0，∴p ＝4.(2)由(1)知抛物线方程为x 2＝8y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16，x 1x 2＝16，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，M 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，设M 3⎝⎛⎭⎪⎫x 3，x 238，A (t,2)，B (a,2)，由A ，M 2，M 3三点共线得kM 2M 3＝kAM 2，∴x 2＋x 38＝x 228－2x 2－t，∴x 22＋x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝x 22－16，整理得x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝－16，①由B ，M 3，M 1三点共线，同理可得x 1x 3－a (x 1＋x 3)＝－16.② ②式两边同乘x 2得x 1x 2x 3－a (x 1x 2＋x 2x 3)＝－16x 2，即16x 3－a (16＋x 2x 3)＝－16x 2，③ 由①得x 2x 3＝t (x 2＋x 3)－16，代入③得16x 3－16a －at (x 2＋x 3)＋16a ＝－16x 2， 即16(x 2＋x 3)＝at (x 2＋x 3)，∴at ＝16. ∴OA →·OB →＝at ＋4＝20.12．(2021·太原四校联考)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为－14的直线l ，使得l 与G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，而且点P 在线段AB 上，又知足|PA ||PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴，若是S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部份．求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，那么由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5，解得k ＝±12，因此双曲线G 的渐近线方程为y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，把直线l 的方程y ＝－14(x ＋4)代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0，∴x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m3.(*)∵|PA ||PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2， 即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0.将(*)代入上式得m＝28，∴双曲线的方程为x228－y27＝1.(3)设椭圆S 的方程为x 228＋y 2a 2＝1(a ＞27)，设垂直于l 的平行弦的两头点别离为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，那么x 2128＋y 21a 2＝1，x 2228＋y 22a2＝1， 两式作差得x 1－x 2x 1＋x 228＋y 1－y 2y 1＋y 2a 2＝0.由于y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，∴x 028－4y 0a2＝0. ∴垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x28－4ya 2＝0在椭圆S 内的部份．又由已知，那个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部份， 因此a 2112＝12，得a 2＝56，故椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.13．(2021·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右核心F的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22.(1)求a ，b 的值；(2)C 上是不是存在点P ，使适当l 绕F 转到某一名置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？假设存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；假设不存在，说明理由．解：(1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0， ∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c2，由已知得c2＝22，∴c ＝1.由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2.(2)假设C 上存在点P ，使适当l 绕F 转到某一名置时，有OP →＝OA →＋OB →成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由(1)知C 的方程为x 23＋y 22＝1.由题意知l 的斜率必然不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋1x 23＋y 22＝1消去x 整理得(2t 2＋3)y 2＋4ty －4＝0.则y 1＋y 2＝－4t 2t 2＋3， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2＝－4t 22t 2＋3＋2＝62t 2＋3， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62t 2＋3，－4t 2t 2＋3. ∵点P 在C 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫62t 2＋323＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4t 2t 2＋322＝1，化简整理，得4t 4＋4t 2－3＝0，即(2t 2＋3)(2t 2－1)＝0，解得t 2＝12. 当t ＝22时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－22，l 的方程为2x －y －2＝0； 当t ＝－22时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，22，l 的方程为2x ＋y －2＝0.故C 上存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，±22，使OP →＝OA →＋OB →成立，现在l 的方程为2x ±y －2＝0.14．已知椭圆C 的中心在原点，一个核心为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是 2∶1.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 别离交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB 面积的最大值．(1)解：设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b 2＋c 2，a b ＝2，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.因此椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)证明：由题意知直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知P (1，2)，故直线PB 的方程为 y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k x －1y 24＋x22＝1消去y 整理得 (2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k2＋22k －22＋k 2，则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2. 因此k AB ＝yA －y Bx A －x B ＝2(定值)．(3)解：由(2)设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋my24＋x22＝1消去y 整理，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得m 2＜8. 设A 、B 两点的坐标为A (x A ，y B )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝－2m2，x A ·x B ＝m2－44.又点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3，|AB |＝x A －x B 2＋y A －y B 2＝ －32m 2＋12.∴S△PAB＝12d·|AB|＝12·|m|3·24－3m22＝12m28－m22≤24·⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋8－m22＝ 2.当且仅当m2＝8－m2，即m2＝4时等号成立．因此△PAB面积的最大值为 2.。
圆锥曲线压轴小题(含答案)
圆锥曲线压轴小题（含答案）1. 已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，过点 O 的两条直线 l 1 与 l 2 的夹角为 60∘，直线 l 1 与双曲线 C 相交于点 A 1，B 1，直线 l 2 与双曲线 C 相交于点 A 2，B 2，若使 ∣A 1B 1∣=∣A 2B 2∣ 成立的直线 l 1 与 l 2 有且只有一对，则双曲线 C 离心率的取值范围是 ( ) A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)2. 已知椭圆 E:x 25+y 24=1 的一个顶点为 C (0,−2)，直线 l 与椭圆 E 交于 A ，B 两点，若 E 的左焦点为 △ABC 的重心，则直线 l 的方程为 ( ) A. 6x −5y −14=0 B. 6x −5y +14=0 C. 6x +5y +14=0 D. 6x +5y −14=03. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0) 的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ,μ∈R ），λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为 ( )A.2√33B.3√55C.3√22D. 984. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 的左，右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作圆 x 2+y 2=a 2 的切线交双曲线的左，右支分别于点 B ，C ，且 ∣BC ∣=∣CF 2∣，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A. y =±3x B. y =±2√2x C. y =±(√3+1)xD. y =±(√3−1)x5. 已知“若点 P (x 0,y 0) 在双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 上，则 C 在点 P 处的切线方程为 C:xx 0a 2−yy 0b 2=1”，现已知双曲线 C:x 24−y 212=1 和点Q(1,t)(t≠±√3)，过点Q作双曲线C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点( )A. (0,2√3)B. (0,−2√3)C. (4,0)D. (−4,0)6. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，∣MF∣=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A. y2=4x或y2=8xB. y2=2x或y2=8xC. y2=4x或y2=16xD. y2=2x或y2=16x7. 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60∘的直线A1B1和A2B2，使∣A1B1∣=∣A2B2∣，其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)8. 如图，双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，点P是双曲线右支上一点，PF1交左支于点Q，交渐近线y= bax于点R．M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM⊥PF1，则双曲线的离心率是( )A. √2B. √3C. 2D. √59. 已知m,n,s,t∈R∗，m+n=3，ms +nt=1，其中m，n是常数且m<n，若s+t的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n)是椭圆x24+y216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为( )A. x−2y+3=0B. 4x−2y−3=0C. x+y−3=0D. 2x+y−4=010. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=( )A. 1+2√2B. 4−2√2C. 5−2√2D. 3+2√211. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √2+1C. 2D. 2+√212. 如图，斜线段AB与平面α所成的角为60∘，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30∘，则点P的轨迹是( )A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线的一支13. 已知定点M(1,54)，N(−4,−54)，给出下列曲线方程：① 4x+2y−1=0；② x2+y2=3；③ x22+y2=1；④ x22−y2=1．在曲线上存在点P满足∣MP∣=∣NP∣的所有曲线方程是( )A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④14. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足∣PF2∣=∣F1F2∣，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为( )A. 54B. √3 C. 2√33D. 5315. 过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是( )A. b−a=∣MO∣−∣MT∣B. b−a>∣MO∣−∣MT∣C. b−a<∣MO∣−∣MT∣D. b−a=∣MO∣+∣MT∣16. 在椭圆x216+y29=1内，通过点M(1,1)且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A. 9x−16y+7=0B. 16x+9y−25=0C. 9x+16y−25=0D. 16x−9y−7=017. 已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A. m>n且e1e2>1B. m>n且e1e2<1C. m<n且e1e2>1D. m<n且e1e2<118. 已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且∣F1F2∣=b2a，I为三角形PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则λ的值为( )A. 1+2√22B. 2√3−1C. √2+1D. √2−119. 已知F1，F2为双曲线C:x2−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60∘，则点P到x轴的距离为( )A. √32B. √62C. √3D. √620. 直线4kx−4y−k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若∣AB∣=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于( )A. 74B. 2 C. 94D. 421. 设A为双曲线x216−y29=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于点B，过点B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( )A. (4110,0) B. (185,0) C. (4,0) D. (225,0)22. 已知抛物线y2=2px(p>0)，△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为−1，则1y1+1y2+1y3的值为( )A. −12p B. −1pC. 1pD. 12p23. 设点P(x,y)是曲线a∣x∣+b∣y∣=1(a≥0,b≥0)上任意一点，其坐标(x,y)均满足√x2+y2+2x+1+√x2+y2−2x+1≤2√2，则√2a+b取值范围为( )A. (0,2]B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)24. 若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为( )A. 至多1个B. 2个C. 1个D. 0个25. 平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支26. 直线y=x+3与曲线y29−x∣x∣4=1( )A. 没有交点B. 只有一个交点C. 有两个交点D. 有三个交点27. 直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2∣x∣（k∈R，且k≠0）的公共点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 428. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √529. 已知椭圆x24+y2b2=1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若∣BF2∣+∣AF2∣的最大值为5，则b的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √330. 若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0的"自公切线"．下列方程：① x2−y2=1，② y=x2−∣x∣，③ y=3sinx+4cosx，④ ∣x∣+1=√4−y2，对应的曲线中存在"自公切线"的有( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④31. 设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆(x−5)2+y2=r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)32. 椭圆a2x2+y2=a2(0<a<1)上离顶点A(0,a)距离最大的点恰好是另一个顶点Aʹ(0,−a)，则a的取值范围是( )A. (√22,1) B. [√22,1) C. (0,√22) D. (0,√22]33. 已知集合M={(x,y)∣x2+y2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的(x,y)∈M，都有(λx,μy)∈M，则称(λ,μ)是集合M的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是( )A. {(λ,μ)∣λ+μ=4}B. {(λ,μ)∣λ2+μ2=4}C. {(λ,μ)∣λ2−4μ=4}D. {(λ,μ)∣λ2−μ2=4}34. 已知两点M(1,54)、N(−4,−54)，给出下列曲线方程：① 4x+2y−1=0；② x2+y2=3；③ x22+y2=1；④ x22−y2=1．曲线上存在点P满足∣MP∣=∣NP∣的所有曲线方程是( )A. ①②③B. ②④C. ①③D. ②③④35. 过点(√2,0)引直线l与曲线y=√1−x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )A. √33B. −√33C. ±√33D. −√336. 如图，一条直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为(2,1)，则抛物线方程为( )A. y 2=54xB. y 2=52xC. y 2=5xD. y 2=10x37. 已知 F 是抛物线 y 2=x 的焦点，点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（其中 O 为坐标原点），则 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值是 ( )A. 2B. 3C.17√28D. √1038. 已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动（含端点）．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R )，则 x 2+y 的取值范围是 ( )A. [−√22,√22] B. [12,√22] C. [−12,12]D. [−√22,12]39. 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P (x,y ) 为该抛物线上的动点，若点 A (−1,0)，则 |PF ||PA |的最小值为 ( )A. 12B. √22C. √32D.2√2340. P 是抛物线 y =x 2 上任意一点，则当 P 和直线 x +y +2=0 上的点距离最小时，P 与该抛物线的准线距离是 ( )A. 19B. 12C. 1D. 241. 已知直线 l:y =k (x −2)(k >0) 与抛物线 C:y 2=8x 交于 A ，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若 ∣AF ∣=2∣BF ∣，则 k 的值是 ( )A. 13B.2√23C. 2√2D. √2442. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A,B,C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ( )A. √25B. √35C.√105D. √5543. 如图，M ，N 是焦点为 F 的抛物线 y 2=4x 上的两个不同的点，且线段 MN 的中点 A 的横坐标为 3，直线 MN 与 x 轴交于 B 点，则点 B 的横坐标的取值范围是 ( )A. (−3,3]B. (−∞,3]C. (−6,−3)D. (−6,−3)∪(−3,3]44. 已知椭圆 M:x 24+y 2=1 的上、下顶点为 A ，B ，过点 P (0,2) 的直线 l与椭圆 M 相交于两个不同的点 C ，D （C 在线段 PD 之间），则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ( )A. (−1,16)B. [−1,16]C. (−1,134)D. [−1,134)45. 若抛物线y=4x2的焦点是F，准线是l，则过点F和点M(4,4)且与准线l相切的圆有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个46. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为−14，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √32D. 3447. 已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线与直线l的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 斜交48. 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 149. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1x2=−12，则m的值为( )A. 34B. 32C. 54D. 5250. 已知抛物线 M:y 2=4x ，圆 N:(x −1)2+y 2=r 2(r >0)，过点 (1,0)的直线 l 与圆 N 交于 C ，D 两点，交抛物线 M 于 A ，B 两点，则满足 ∣AC ∣=∣BD ∣ 的直线 l 只有三条的必要条件是 ( ) A. r ∈(0,1]B. r ∈(1,2]C. r ∈(32,4)D. r ∈[32,+∞)51. 已知 P 为抛物线 y =12x 2 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 Q ，点 A的坐标是 (6,172)，则 ∣PA∣+∣P P ∣ 的最小值是 ( )A. 8B. 192C. 10D. 21252. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点为 F 1，左、右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段 PF 1，A 1A 2 为直径的两个圆的位置关系为 ( ) A. 相切 B. 相交C. 相离D. 以上情况都有可能53. 已知 F 1，F 2 分别是椭圆x 24+y 23=1 的左，右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F 1A 的延长线，F 1F 2 的延长线以及线段 AF 2 相切，若 M (t,0) 为其中一个切点，则 ( ) A. t =2 B. t >2C. t <2D. t 与 2 的大小关系不确定54. 已知点 A ，B 是双曲线 x 2−y 22=1 上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 O 到直线 AB 的距离等于 ( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. 2√255. 已知椭圆x 24+y 2b 2=1(0<b <2)，左右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，若 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，则 b 的值是 ( )A. 1B. √2C. 32D. √356. 抛物线y2=2px(p>0)的准线交x轴于点C，焦点为F，A，B是抛物线的两点．已知A，B，C三点共线，且∣AF∣，∣AB∣，∣BF∣成等差数列，直线AB的斜率为k，则有( )A. k2=14B. k2=√34C. k2=12D. k2=√3257. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点．若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k= ( )A. 1B. √2C. √3D. 258. 设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′，若lʹ与椭圆x2+y24=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为12的点P的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 459. 已知抛物线y2=−x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形60. 已知点F为抛物线y2=−8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且∣AF∣=4，则∣PA∣+∣PO∣的最小值为( )A. 6B. 2+4√2C. 2√13D. 4+2√561. 椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则∣y2−y1∣的值是( )A. √53B. 103C. 203D. 5362. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且∣PA∣=∣AB∣，则称点P为“ A点”，那么下列结论中正确的是( )A. 直线l上的所有点都不是“ A点”B. 直线l上仅有有限个点是“ A点”C. 直线l上的所有点都是“ A点”D. 直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ A点”63. 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p +1q等于( )A. 2aB. 12a C. 4a D. 4a64. 已知椭圆C:x22+y2=1，点M1，M2，⋯，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，⋯，P10，则10条直线AP1，AP2，⋯，AP10的斜率乘积为( )A. 14B. 116C. −18D. −13265. 椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为( )A. 3x+2y−12=0B. 2x+3y−12=0C. 4x+9y−144=0D. 9x+4y−32=066. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈(0,π2)，以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C、D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则( )A. 当θ增大时，e1增大，e1e2为定值B. 当θ增大时，e1减小，e1e2为定值C. 当θ增大时，e1增大，e1e2增大D. 当θ增大时，e1减小，e1e2减小67. 已知a>0，过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p>0)于P，Q两点，若1∣MP∣2+1∣MQ∣2为定值，则a=( )A. √2pB. 2pC. p2D. p68. 在抛物线y=x2+ax−5（a≠0）上取横坐标为x1=−4，x2=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A. (−2,−9)B. (0,−5)C. (2,−9)D. (1,−6)69. 椭圆C的两个焦点分别为F1(−1,0)和F2(1,0)，若该椭圆C与直线x+y−3=0有公共点，则其离心率的最大值为( )A. √612B. √66C. √55D. √51070. 已知抛物线y=−x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则∣AB∣等于( )A. 3B. 4C. 3√2D. 4√271. 记椭圆x24+ny24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn(n=1,2,⋯)，当点(x,y)分别在Ω1，Ω2，⋯上时，x+y的最大值分别是M1，M2，⋯，则limn→∞M n=( )A. 0B. 14C. 2D. 2√272. 已知曲线f(x)=x3+x2+x+3在x=−1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的线段长为( )A. 18B. 14C. 8D. 473. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且∣AK∣=√2∣AF∣，则△AFK的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 3274. 已知直线x+2y−3=0与圆x2+y2+x−6y+m=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于( )A. 3B. −3C. 1D. −175. 中心在原点，焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆被直线3x−y−2=0截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为( )A. 2x225+2y275=1 B. 2x275+2y225=1 C. x225+y275=1 D. x275+y225=176. 若方程√x2+1=a(x−1)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是( )A. −1<a<−√22B. a<−√22或a>√22C. −1<a<−√22或√22<a<1 D. a<−1或−1<a<−√2277. 已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点．若∣FA∣=2∣FB∣，则k=( )A. 13B. √23C. 23D. 2√2378. 已知抛物线M：y2=4x，圆N：(x−1)2+y2=r2（其中r为常数，r>0），过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足∣AC∣=∣BD∣的直线l只有三条的必要条件是( )A. r ∈(0,1]B. r ∈(1,2]C. r ∈(32,4)D. r ∈[32,+∞)79. 已知 O 是平面上的一个定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)，λ∈(0,+∞)，则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的 ( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心80. 点 P 在直线 l:y =x −1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y =x 2 于 A ，B 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣，则称点 P 为" A 点"，那么下列结论中正确的是 ( )A. 直线 l 上的所有点都是" A 点"B. 直线 l 上仅有有限个点是" A 点"C. 直线 l 上的所有点都不是" A 点"D. 直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是" A 点"答案第一部分1. A2. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，椭圆x 25+x 24=1 的左焦点为(−1,0)，因为点 C (0,−2)，且椭圆左焦点 F 1 恰为 △ABC 的重心，所以x 1+x 2+03=−1，y 1+y 2−23=0，所以 x 1+x 2=−3，y 1+y 2=2, ⋯⋯① 因为x 125+y 124=1，x 225+y 224=1，所以两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)5+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，将 ① 代入得：y 1−y 2x 1−x 2=65，即直线 l 的斜率为 k =y 1−y 2x 1−x 2=65，因为直线 l 过AB 中点 (−32,1)，所以直线 l 的方程为 y −1=65(x +32)，故答案为 6x −5y +14=0．3. A 【解析】双曲线的渐近线为：y =±ba x ，设焦点 F (c,0)，则A (c,bc a )，B (c,−bca )，P (c,b 2a )， 因为 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 (c,b 2a )=((λ+μ)c,(λ−μ)bca )， 所以 λ+μ=1，λ−μ=bc ，解得：λ=c+b 2c ，P =c−b 2c， 又由 λμ=316，得：c 2−b 24c 2=316，解得：a 2c 2=34，所以，e =c a=2√33．4. C5. C【解析】设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则切点分别为 M ，N 的切线方程为x 1x 4−y 1y 12=1，x 2x 4−y 2y 12=1．因为点 Q (1,t ) 在两条切线上，所以x14−y1t12=1，x24−y2t12=1．所以M，N两点均在直线x4−ty12=1上，即直线MN的方程为x4−ty12=1，显然直线过点(4,0)．6. C7. A 【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30∘<ba ≤tan60∘，所以13<b2a2≤3．又e2=(ca)2=c2a2=1+b2a2,所以43<e2≤4，解得2√33<e≤2．焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．8. C 【解析】设PF1的方程为y=k（x+c），k＞0，与渐近线方程y=ba x联立，可得R(ackb−ka,bckb−ka)，把直线y=k(x+c)代入双曲线x2a2−y2b2=1，可得(b2−a2k2)x2−2ca2k2x−a2c2k2−a2b2=0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可得x1+x2=2ca2k2b2−a2k2，即有中点M(ca2k2b2−a2k2,cb2kb2−a2k2)，由A(a,0)，F2(c,0)，RF2⊥PF1，可得k RF2=bck2ack−bc=−1k，即有bk2+2ak−b=0，解得k=c−ab（负的舍去），由AM⊥PF1，可得k AM=cb2kca2k2−ab2+a3k2=−1k，即为(c3+a3)k2=a(c2−a2)，即有(c3+a3)(c−a)2=ab2(c2−a2)=a(c2−a2)2，化为 c =2a ，即 e =c a=2．9. D 【解析】因为 m ，n ，s ，t 为正数，m +n =3，m s+n t=1，s +t 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt ) 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt )=m +n +mt s+ns t≥m +n +2√mn ，满足mt s=ns t时取最小值，此时最小值为 m +P +2√mn =3+2√2，得：mn =2，又：m +n =3，所以，m =1，n =2． 设以 (1,2) 为中点的弦交椭圆x 24+y 216=1 于 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由中点坐标公式知 x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 分别代入 4x 2+y 2=16，得 {4x 12+y 12=16,4x 22+y 22=16,两式相减得 2(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=0，所以 k =y 2−y 1x 2−x 2=−2．所以此弦所在的直线方程为 y −2=−2(x −1)，即 2x +y −4=0． 10. C【解析】如图，设 ∣AF 1∣=m ，则 ∣BF 1∣=√2m ，∣AF 2∣=m −2a ，∣BF 2∣=√2m −2a ，所以 ∣AB ∣=∣AF 2∣+∣BF 2∣=m −2a +√2m −2a =m ，得 m =2√2a ，又由 ∣AF 1∣2+∣AF 2∣2=∣F 1F 2∣2，可得 m 2+(m −2a )2=4c 2，即得 (20−8√2)a 2=4c 2，所以 e 2=c 2a 2=5−2√2．11. B 【解析】根据题意 p2=c ，设抛物线与双曲线的一个交点为 A ，则有A (c,2c )，因为点 A 在双曲线上，所以有 c 2a2−4c 2b 2=1，整理得 e 2−2e −1=0，所以双曲线的离心率 e =1+√2． 12. C13. D 【解析】提示：对于①，可得 MN 的中点为O (−32,0) 不在直线 l:4x +2y −1=0 上，k MN =12，又直线 4x +2y −1=0 的斜率为 k l =−2，即 k l k MN =−1，所以线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 不与 4x +2y −1=0 相交，所以①不成立；对于②，因为 (−32)2+02<3，所以 MN 的中点为 O (−32,0) 在圆 x 2+y 2=3 的内部，所以线段 MN 的中垂线与圆相交，所以②正确；对于③和④，只需联立线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 与曲线方程，判断判别式即可，可得③和④都成立． 14. D【解析】设 PF 1 与圆相切于点 M ，因为 ∣PF 2∣=∣F 1F 2∣，所以 △PF 1F 2 为等腰三角形，设 N 为 PF 1 中点，则 F 2N ⊥PF 1，又 OM ⊥PF 1，O 为 F 1F 2 中点，所以 ∣F 1M ∣=12∣F 1N ∣=14∣PF 1∣，又因为在直角三角形 F 1MO 中，∣F 1M ∣2=∣F 1O ∣2−a 2=c 2−a 2=b 2，所以 ∣F 1M ∣=b =14∣PF 1∣ ⋯⋯①，又 ∣PF 1∣=∣PF 2∣+2a =2c +2a ⋯⋯②，c 2=a 2+b 2 ⋯⋯③，由①②③解得 e =c a=53．15. A【解析】连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，∣F1T∣=√∣OF1∣2−∣OT∣2= b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，所以∣OM∣=12∣PF2∣，所以∣MO∣−∣MT∣=12∣PF2∣−(12∣PF1∣−∣F1T∣)=12(∣PF2∣−∣PF1∣)+b=12×(−2a)+b=b−a．16. C 【解析】设以点M(1,1)为中点的弦两端点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则x1+x2=2,y1+y2=2．又x1216+y129=1, ⋯⋯①x22 16+y229=1, ⋯⋯②①−②整理得：y1−y2x1−x2=−916，所以以点M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率k=−916．所以中点弦所在直线方程为y−1=−916(x−1)，即9x+16y−25=0．17. A 【解析】由题意知m2−1=n2+1，即m2=n2+2，(e1e2)2=m2−1m2⋅n2+1n2=(1−1m2)(1+1n2)，代入m2=n2+2，得m>n，(e1e2)2>1．18. D 19. B 20. C【解析】直线4kx−4y−k=0，即y=k(x−14)，即直线4kx−4y−k=0过抛物线y2=x的焦点(14,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则∣AB∣=x1+x2+12=4，故x1+x2=72，则弦AB的中点的横坐标是74，弦AB的中点到直线x+12=0的距离是74+12=94.21. A 【解析】设 AB:x =my +5，与双曲线方程联立得 (9m 2−16)y 2+90my +81=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−90m 9m 2−16，y 1y 2=819m 2−16．右准线方程为 x =165，所以 C (165,y 2)，则 AC:y −y 2=y 2−y 1165−x 1(x −165)，令y =0，化简可得 x =4110．特殊法：设 A (5,94)，则 B (5,−94)，C (165,−94)．故 k AC =94−(−94)5−165=52，直线AC 为 y −94= 52(x −5)，即：10x −4y −41=0，与 x 轴交点为 (4110,0)，可得答案． 22. B 23. D【解析】因为 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1=√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2≤2√2，所以一动点 P (x,y ) 的轨迹是以点 (−1,0) 和点 (1,0) 为焦点椭圆及其内部，椭圆的方程为x 22+y 2=1，又曲线a ∣x ∣+b ∣y ∣=1 表示的区域为一平行四边形，因为曲线 a∣x∣+b ∣y ∣=1(a ≥0,b ≥0) 上任意一点，其坐标 (x,y ) 均满足 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1≤2√2，即平行四边形在椭圆的内部，所以有 {1b ≤1,1a≤√2解得 {b ≥1,√2a ≥1, 所以 √2a +b ≥2．24. B 【解析】由直线与圆没有交点可得 ∣−4∣√m 2−n 2>2，即 m 2+n 2<4，n 2<4−m 2， 所以n 29+m 29+4−m 24=1−5m 236<1，所以点 (m,n ) 在椭圆x 29+y 24=1 的内部，故经过点 (m,n ) 的直线与椭圆由 2 个交点． 25. A26. D 【解析】当x>0时，曲线为P29−x24=1，将直线y=x+3代入曲线方程得x=0（舍）或x=245，故此时有一个交点；当x≤0时，曲线为y29+x24=1，将直线y=x+3代入曲线方程得x=0或x=−2413，故此时有两个交点．因此共有3个交点．27. D 【解析】将y=2k代入9k2x2+y2=18k2∣x∣得：9k2x2+4k2=18k2∣x∣⇒9∣x∣2−18∣x∣+4=0，显然该关于∣x∣的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个．28. D 【解析】设点P坐标为(x P,y P)，由已知，直线PF2的方程为y=ba (x−c)，代入双曲线方程得x P=a2+c22c，y P=−b32ac，因为PF1⊥PF2，所以k PF1⋅k PF2=−1，即−b32aca2+c22c+c⋅ba=−1，化简得b4=a4+3a2c2，即(c2−a2)2=a4+3a2c2，即c2=5a2，所以e2=5，e=√5．29. D 【解析】由椭圆的方程可知a=2，由椭圆的定义可知，∣AF2∣+∣BF2∣+∣AB∣=4a=8，所以∣AB∣=8−(∣AF2∣+∣BF2∣)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a=3．所以b2=3，即b=√3．30. C【解析】①中x2−y2=1是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"；②如图所示，曲线在点(−12,−14)和点(12,−14)处的切线重合；③ y =3sinx +4cosx =5sin (x +φ)(tanφ=43)．如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"； ④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．31. D【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则 {y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以(y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)⋯∗．①当 x 1=x 2，即直线 l 斜率不存在时，此时一定存在 2 条满足题意的直线，如图：②当 x 1≠x 2 时，设直线 l 的斜率为 k ，∗ 式化为 2y 0⋅y 1−y 2x 1−x 2=4，即 ky 0=2．由直线与圆相切得y 0−0x 0−5⋅k =−1，即 ky 0=5−x 0=2，所以 x 0=3，即点M 在直线 x =3 上．而 x =3 与抛物线交点为 N(3,±2√3)，与 x 轴的交点为 P (3,0)，圆心到N、P的距离分别为4、2．当r=4时，点N在圆上，没有对应的直线满足要求；当r=2时，点M在x轴上，没有对应的直线满足要求；当2<r<4时，过点M作圆的切线即可满足要求，如图所示：这样的切线恰有两条，从而直线l恰有4条，则2<r<4．32. B 【解析】提示：由对称性，可设椭圆上任意一点P的坐标为(x0,y0)，所以x02=1−y02a2，∣AP∣2=1−y02a2+(y0−a)2=(a2−1a2)y02−2ay0+a2+1．因为0<a<1，所以a2−1a2<0，关于y0的二次函数图象开口向下，所以对称轴y0=a3a2−1≥−a．解得√22≤a<1．33. C 【解析】由实数λ，μ满足：对任意的(x,y)∈M，都有(λx,μy)∈M，即λ2x2+μ2y2≤1，所以∣λ∣≤1，∣μ∣≤1 .而{∣λ∣≤1,∣μ∣≤1.构成的区域如图：A、B、D选项的集合所表示的曲线均与(λ,μ)所表示的区域无交点，C选项所表示的抛物线与区域有交点，符合题意．34. D 【解析】由题意，知P点必在线段MN的垂直平分线上．∵MN的中点为(−32,0)，直线MN斜率为12，∴ MN 的垂直平分线方程是 y =−2x −3，它显然与①中的直线平行，∴ 排除A 、C ；注意到选项B 、D 的区别，联立垂直平分线方程与椭圆方程，解得③中曲线上存在符合题设条件下的 P 点． 35. B【解析】如图，设直线 AB 的方程为 x =my +√2 （显然 m <0 ），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P(√2,0)，联立 {x =my +√2,y =√1−x 2. 消去 x 得 (1+m 2)y 2+2√2my +1=0，由题意得 Δ=8m 2−4(1+m 2)>0，所以 m 2>1，由根与系数的关系得 y 1+y 2=−2√2m1+m 2，y 1⋅y 2=11+m 2，所以 S △AOB =S △POB −S △POA =12⋅∣OP ∣⋅∣y 2−y 1∣=√22⋅√8m 2(1+m2)2−41+m 2=√22⋅√4(m 2−1)(1+m 2)2令 t =1+m 2(t >2)， 所以 S △AOB =√2⋅√t−2t 2=√2⋅√−2(1t −14)2+18， 所以当 1t=14，即 t =4，m =−√3 时，△AOB 的面积取得最大值，此时，直线l 的斜率为 −√33．36. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，依题意，k OD =12，k AB =−2，所以直线 AB 方程为 y −1=−2(x −2)，即 y =−2x +5， 代入抛物线方程得 4x 2−(20+2p )x +25=0， 所以 {x 1+x 2=10+p 2,x 1x 2=254. ⋯⋯①又因为 OA ⊥OB ，所以 x 1x 2+y 1y 2=5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25=0, ⋯⋯②， 将 ① 代入 ② 得 5×254−10×10+p 2+25=0，解得 p =54，所以抛物线方程为 y 2=52x ．来自QQ 群33944496337. B 【解析】我们设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，直线 AB 方程为 x =my +t ．直线 AB 交 x 轴于点 M (t,0)． 联立直线和抛物线的方程消去 x 得y 2−my −t =0,因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以 x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=2,解得 y 1y 2=−2，即 t =2，所以 AB 过 x 轴上定点 M (2,0)．S △ABO =12∣OM ∣∣y 1−y 2∣=∣y 1−y 2∣,S △AFO =12∣OF ∣∣y 1∣=18∣y 1∣,所以S △ABO +S △AFO=∣y 1−y 2∣+18∣y 1∣=98∣y 1∣+2∣y 1∣≥3,当且仅当 98∣y 1∣=2∣y 1∣，即 ∣y 1∣=43时，等号成立．38. B 【解析】建立如图所示的坐标系，可设 A (1,0)，B (0,1)，设 ∠AOC =α(0≤α≤π2)，则 OC⃗⃗⃗⃗⃗ (cosα,sinα)， 所以 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,2y )=(cosα,sinα)， 所以 x2+y =12(cosα+sinα)=√22sin (α+π4)(0≤α≤π2)． 由 π4≤α+π4≤3π4，可得 sin (α+π4)∈[√22,1]，即 x2+y ∈[12,√22]．来自QQ 群33944496339. B 【解析】抛物线 y 2=4x 的准线方程为 l:x =−1． 过点 P 作 PFʹ⊥l ，垂足为 Fʹ，由抛物线的定义，得 |PF |=|PFʹ|， 故 |PF ||PA|=|PFʹ||PA |=cos∠PAF ，即求 cos∠PAF 的最小值，又 0≤∠PAF <π2，故需使 ∠PAF 最大． 当直线 PA 与抛物 y 2=4x 相切时，∠PAF 最大，|PF ||PA |取得最小值，这时，设直线 PA 的方程为 y =k (x +1)， 联立 {y =k (x +1),y 2=4x,消去 y 得，k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0， 则 Δ=(2k 2−4)2−4k 4=0， 所以 k 2=1， 解得 k =±1．故此时 tan∠PAF =1，∠PAF =π4，所以 cos∠PAF =√22． 40. B 41. C【解析】法一 据题意画图，作 AA 1⊥lʹ，BB 1⊥lʹ，BD ⊥AA 1 .设直线 l 的倾斜角为 θ，∣AF ∣=2∣BF ∣=2r ， 则 ∣AA 1∣=2∣BB 1∣=2∣AD ∣=2r ， 所以有 ∣AB ∣=3r ，∣AD ∣=r ，则 ∣BD ∣=2√2r ，k =tanθ=tan∠BAD =∣BD∣∣AD∣=2√2 .法二 直线 y =k (x −2) 恰好经过抛物线 y 2=8x 的焦点 F (2,0)，由 {y 2=8x,y =k (x −2).可得 ky 2−8y −16k =0，因为 ∣FA ∣=2∣FB ∣，所以 y A =−2y B .则 y A +y B =−2y B +y B =8k，所以 y B =−8k，y A ⋅y B =−16，所以−2y B 2=−16，即 y B =±2√2，又 k >0，故 k =2√2 .42. C【解析】如图，还原正方体，连接 A 1B 1,B 1D 1,A 1D 1 . ∠D 1B 1A 1 即为所求角．设正方形的边长为 2，则 A 1B 1=2√2,A 1D 1=B 1D 1=√5． 在 △D 1B 1A 1 中用余弦定理，得 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 √105． 43. A【解析】（i ）若直线 MN 的斜率不存在，则点 B 的坐标为 (3,0)．（ii ）若直线 MN 的斜率存在，设 A (3,t )（t ≠0），M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)．则由 {y 12=4x 1,y 22=4x 2,得 y 12−y 22=4(x 1−x 2)，所以y 1−y 2x 1−x 2(y 1+y 2)=4，即 k MN =2t ，所以直线 MN 的方程为 y −t =2t(x −3)， 所以点 B 的横坐标 x B =3−t 22．由 {y −t =2t (x −3),y 2=4x, 消去 x 得 y 2−2ty +2t 2−12=0．由 Δ>0 得 t 2<12，又 t ≠0， 所以 x B =3−t 22∈(−3,3)．综上，点 B 的横坐标的取值范围为 (−3,3]．44. D【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为 x =0，C (0,1)，D (0,−1)，此时 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1； 当直线斜率存在时，设斜率为 k ，C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则直线方程为 y =kx +2，与椭圆方程联立得 (1+4k 2)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k )2−48(1+4k 2)=64k 2−48>0，得 k 2>34，x 1+x 2=−16k 1+4k2，x 1x 2=121+4k 2，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=(1+k 2)⋅121+4k 2+2k ⋅−16k 1+4k2+4=−4k 2+161+4k 2=−1+171+4k2, 因为 k 2>34，所以 1+4k 2>4，0<171+4k2<174，所以 −1<OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <134． 综上，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 [−1,134)． 45. C【解析】由已知，过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆的圆心在抛物线 y =4x 2 上，又因为此圆过 F 和 M ，所以圆心在 MF 的垂直平分线上，抛物线 y =4x 2 与 MF 的垂直平分线的交点有两个，故过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆有 2 个． 46. C【解析】因为内外两个椭圆的离心率相同，不妨设 B 点坐标为(0,tb )，A 点坐标为 (ta,0)，设直线 BD 斜率为 k 1，AC 斜率为 k 2，则 BD 的方程为 y =k 1x +tb ，AC 的方程为 y =k 2x −k 2ta ．由 BD 、 AC 与椭圆相切易得k 12a 2+b 2=t 2b 2 ⋯⋯① k 22a 2+b 2=k 22t 2a 2 ⋯⋯② 由①得 k 12=(t 2−1)b 2a 2 ⋯⋯③ 由②得 k 22=b 2a 2(t 2−1) ⋯⋯④又因为 k 1k 2=−14，所以 a =2b ，从而椭圆的离心率为 √32． 47. A【解析】P 1(x 1,y 1) 是直线 l 上的一点，故有 f (x 1,y 1)=0，P 2(x 2,y 2) 是直线 l 外一点，故 f (x 2,y 2)≠0，是一个非零实数，从而 f (x,y )+f (x 1,y 1)+f (x 2,y 2)=0 表示的直线与直线 l 平行且不重合． 48. A【解析】根据题意，S △ABC =12×∣AB∣×ℎ=12×2√2×ℎ=2, 解得 ℎ=√2，即点 C 到直线 AB 的距离为 √2．问题转化为与直线 AB 距离为 √2 的直线与抛物线交点的个数． 由两平行线间的距离公式，得与直线 AB 距离为 √2 的直线方程为y =−x 或 y =−x +4,分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 2 个交点，因此，共有 4 个不同的 C 点满足条件．49. B 【解析】∵ 双曲线上的一点到双曲线左、右焦点的距离之差为 4，∴a =2．∵ A (x 1,2x 12)，B (x 2,2x 22) 关于直线 y =x +m 对称，∴{2x 12−2x 22x 1−x 2=−1,x 1+x 22+m =2x 12+2x 222,整理得 x 1+x 2=−12，m =32．50. D【解析】（i ） 当 l 与 x 轴垂直时，直线 l:x =1 与抛物线 M 交于点 (1,±2)，与圆 N 交于点 (1,±r )，显然满足 ∣AC ∣=∣BD ∣．（ii ） 当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 x =my +1． 由 {x =my +1,y 2=4x,消去 x ，得 y 2−4my −4=0．设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，且 y 1<y 2，则 y 1+y 2=4m,y 1y 2=−4， 所以 (y 1−y 2)2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16(m 2+1)． 由 {x =my +1,(x −1)2+y 2=r 2, 解得 y =±√r 2m 2+1． 设 C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)，且 y 3<y 4，则 (y 3−y 4)2=4r 2m 2+1．由 ∣AC ∣=∣BD ∣，得 ∣y 3−y 1∣=∣y 4−y 2∣，即 ∣y 1−y 2∣=∣y 3−y 4∣． 由此，16(m 2+1)=4r 2m 2+1，解得 r =2(m 2+1)，来自QQ 群339444963显然，当 r >2 时，m 有两解，对应的直线 l 有两条．又当 r =2 时，m =0，此时直线 l 斜率不存在，即为第一种情况 综合（i ）（ii ），当 r ≥2 时，对应的直线 l 有三条，故D 适合．51. B 【解析】抛物线的准线方程为 y =−12，设抛物线焦点为 F ，则点 F 坐标为 (0,12)．根据抛物线的定义可得 ∣PQ ∣=∣PF ∣−12，所以 ∣PA∣+∣PQ ∣=∣PF ∣+∣PQ ∣−12．所以 ∣PA∣+∣PQ ∣ 的最小值为 ∣FQ ∣−12=192．52. A【解析】提示：如图，设 PF 1 的中点为 M ，因为 OM 为 △PF 1F 2 的中位线，所以 ∣OM ∣=12∣PF 2∣，设以线段 PF 1 、A 1A 2 为直径的两圆的半径分别是 r 、 a ，则两圆的圆心距为 ∣OM ∣=12∣PF 2∣=12(2a−∣PF 1∣)=12(2a −2r )=a −r ，所以两圆的位置关系是内切．53. A 【解析】由已知得圆 C 是 △AF 1F 2 的旁切圆， 点 M 是圆 C 与 x 轴的切点，设圆 C 与直线 F 1A 的延长线，AF 2 分别相切于点 P ，Q ，则由切线的性质可知：∣AP ∣=∣AQ ∣，∣F 2Q ∣=∣F 2M ∣，∣F 1M ∣=∣F 1P ∣， 所以∣MF 2∣=∣QF 2∣=(∣F 1A ∣+∣AF 2∣)−(∣AF 1∣+∣AQ ∣)=2a−∣AF 1∣−∣AP ∣=2a−∣F 1P ∣=2a−∣F 1M ∣,所以 ∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ， 所以 t =a =2． 54. A【解析】由于双曲线为中心对称图形，为此可考察特殊情况，设A 为 y =x 与双曲线在第一象限的交点，则不妨设B 为直线 y =−x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线 AB 与 x 轴垂直，点 O 到 AB 的距离即为点 A 或点 B 的横坐标的值，联立直线与双曲线的方程，求出 x 的值即可． 55. D【解析】由椭圆的定义得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣=2a =4，∣BF 1∣+∣BF 2∣=2a =4，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣=4a −(∣BF 2∣+∣BF 1∣)，因为 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣ 的最小值为 3，当直线 l 与 x 轴垂直的时候，∣AF 1∣+∣BF 1∣ 最小，所以此时 A (−c,32)，代入椭圆方程解得 b =√3．56. D【解析】设直线 AB 的方程为 y =k (x +p2)，A (x 1,P 1)，B (x 2,y 2) ，联立直线与抛物线得 k 2x 2+(k 2p −2p )x +p 2k 24=0，所以 x 1+x 2=2p−k 2p k 2，x 1x 2=p 24，又 ∣AF ∣，∣AB ∣，∣BF ∣ 成等差数列，所以 2∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣，又 ∣AB ∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√1+k 2⋅2p√1−k 2k 2，∣AF ∣+∣BF ∣=x 1+x 2+p ，所以 4(1−k 4)=1，解得 k 2=√32． 57. B 【解析】设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由于 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 y 1=−3y 2.由 e =√32，可设 a =2t,c =√3t,b =t ，代入椭圆方程整理得x 2+4y 2−4t 2=0.而直线 AB 的方程为 x =sy +√3t （s =1k ），代入 x 2+4y 2−4t 2=0，消去 x 并整理得。
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专题5、圆锥曲线的光学性质从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
从八省联考的趋势看圆锥曲线的光学性质和新定义问题必将在高考占一席之地。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究圆锥曲线的光学性质和新定义的相关问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．1）椭圆的光学性质：1．（2020.河北衡水中学高三模拟）人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是[],a c a c -+;②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间;④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大.其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．①③④【答案】B【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么； ②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论； ③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．【解析】如图所示，对于①，卫星向径的最小值为11||A F a c =-，最大值为21||A F a c =+，∴①正确； 对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为22111a c c a a c a c c -=-=-+++，a c 越小，21a e+就越大，211a c -+就越小，椭圆轨道越扁，∴②错误；对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，∴③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，∴④错误； 综上，正确结论的序号是①③，共2个．故选B ．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题．2．（2021·全国高三模拟）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且11PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12:F M F M =（ ）A:B．1:C ．1:3 D．1:【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线'l 平分角12F PF ，因为12111122221sin 21sin 2PMF PMF F P PM F PM S F M PF SF M PF F P PM F PM ∠===∠ 由11PF =，124PF PF +=得到23PF =，故12:FM F M = 1:3.故答案为C. 3．（2020·成都七中高三模拟）椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C ，其长轴的长为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到左焦点所经过的路程为5c ，则椭圆C 的离心率为_____. 【答案】23或45或27【分析】由题意结合椭圆的定义分类讨论确定椭圆的离心率即可.【解析】依据椭圆的光学性质，光线从左焦点出发后，有如图1，图2，图3所示的三种路径．路径一，4a =5c ，则e =45；路径二，2（a -c ）=5c ，则e =27；路径三，2（a +c ）=5c ，则23e =.故椭圆C 的离心率为23或45或27.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2）双曲线的光学性质1．（2020·江苏省镇江中学高三月考）智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点2F 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点1F .已知双曲线的，则当入射光线2F P 和反射光线PE 互和垂直时(其中P 为入射点)，12F F P ∠的大小为（ ）A ．12πB ．6πC ．3π D ．512π【答案】D【分析】，得到a b =，不妨设双曲线的标准方程为221x y -=，设2PF m =，利用双曲线的定义得到1PF 的长，直角三角形12PF F 中利用勾股定理求出m ，求出12cos F F P ∠即可得出结果.【详解】因为e =c =，a b =，不妨设双曲线的标准方程为221x y -=，设2PF m =，则()120PF m m =+>.所以()(2222m m ++=，解得1m =(1m =-已舍去).所以12cos 4F F P ∠==，所以1257512F F P π∠=︒=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用双曲线的相关知识解决实际问题.属于较易题.2．（2020·福建高三期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经'Γ与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的'Γ去掉，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若214t t =，则Γ与'Γ的离心率之比为（ ）A ．B ．1:2C ．2:3D ．3:4【答案】B【分析】根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系.【解析】解：如图，由双曲线定义得：212BF BF m -= ①，由椭圆定义得：212AF AF a += ②，②-①得：1122BA AF BF a m ++=-； 所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为22a m - 对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为()()1112124AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=；由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以()4422a a m =-，所以2a m =. 所以12:::1:2c ce e m a a m===.故选B. 【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题. 3．（2020·安徽省高三期末）光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2222:1(0,0)x y C m n m n-=>>'有公共焦点（如图），现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过*2()k k N ∈次反射后回到左焦点所经过的路径长为 （ ）A ．()k a m +B ．2()k a m +C ．()k a m -D ．2()k a m -【答案】D分析：根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算光线经过2k （k ∈N *）次反射后回到左焦点所经过的路径长．【解析】因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点如图，AF 2=2m+AF 1，BF 1+BA+AF 1=2a -AF 2+AF 1=2a -（2m+AF 1）+AF 1=2a -2m所以光线经过2k （k ∈N *）次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k （a -m ）故选D ．4．（2020·广东省高三模拟）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数2y x=的图像是以直线y x =为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C ．(Ⅰ)求曲线C 的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C 的焦点F 处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ20y +--=.【分析】(Ⅰ)由题意联立直线方程与双曲线方程确定a ,b ,c 的值即可确定焦点坐标和离心率； (Ⅱ)由题意首先确定直线与反比例函数的交点坐标，然后结合点的坐标求解直线方程即可.【解析】(Ⅰ)联立直线方程y x =与反比例函数2y x=可得双曲线的顶点坐标为，(，结合题意可得：2a b ==，c ==2c e a ===且OF c ==(F，('F --. (Ⅱ)设入射光线与反比例函数的交点坐标为2,P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，由'1PF PF k k ⨯=-可得：221-+=-，整理可得：42840m m -+=，则)2241m =+=，很明显0m >，故1m =，则)1P，原问题等价于求解直线PF 的方程，20y +--=.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解，双曲线的光学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3）抛物线的光学性质1．（2020·绥阳县绥阳中学高考模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于x 轴的光线从()3,1M 射出，经过抛物线24y x =上过的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 反射出，则直线AB 的斜率为 A ．43-B ．43C ．43±D ．169-【答案】A【分析】求出A 点坐标，根据光学性质可知直线AB 经过焦点，从而得到结果. 【解析】代1y =入24y x =解，得14x =.即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由抛物线的光学性质知，直线AB 经过焦点()1,0， 所以直线AB 的斜率1041314k -==--.故选A. 【点睛】本题考查抛物线的光学性质，考查抛物线的标准方程，考查直线的斜率的求法，属于基础题.2．（2020·山东高三）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A．9+ B．9+C．7112D．8312【答案】B【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求.【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--， 又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-， 所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，BM ==所以ABM的周长为：2511944AB AM BM ++=++=+B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.3．（2020·湖南高三（文））抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．【答案】24y x =【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【解析】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2py k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=，所以21222k p p x x k ++=，2124p x x =，所以2122222k PQ x x p p p k +=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.故答案为24y x =【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.4．（2020·重庆高三月考）光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线2:2(0)C x py p =>，一平行于y 轴的光线从上方射向抛物线上的点P ，经抛物线2次反射后，又沿平行于y 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与抛物线C 交于A ，B 两点，以点A 为顶点作ABN ，使ABN 的外接圆圆心T 的坐标为493,8⎛⎫⎪⎝⎭，求弦AB 的长度.【答案】（1）28x y =；（2）【分析】（1）由题意设直线PQ 方程为：2py kx =+，k ∈R ，然后直线方程与抛物线方程联立成方程组，运用韦达定理得122x x pk +=，212x x p =-，而两平行光线距离122d x x p =-=≥，由此得28p =，进而得抛物线的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，A ，B 中点()00,M x y ，然后直线:l y x m =+与抛物线方程联立方程组消元后利用韦达定理得12042x x x +==，04y m =+，再由MT AB ⊥得斜率乘积等于1-，列方程可求出m 的值，再利用弦长公式可求得结果【详解】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，∵0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PQ 方程为：2py kx =+，k ∈R ， 由222x pyp y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2220x pkx p --=，∴122x x pk +=，212x x p =-，则两平行光线距离122d x x p =-=≥，∴28p =，故抛物线方程为28x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，A ，B 中点()00,M x y由28x y y x m⎧=⎨=+⎩，得2880x x m --=，>0>2m ∆⇒-，∴12042x x x +==，04y m =+， ∵MT AB ⊥， ∴1MT AB k k ⋅=-，即49481143m +-⋅=--，解得98m =， ∴218901x x x --=⇒=-，29x =，∴12AB x =-=.【点睛】此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题4）圆锥曲线的新定义问题1．（2020·内蒙古高三期末）的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题： ①椭圆2211612x y +=是黄金椭圆；②若椭圆22112x y m +=是黄金椭圆，则6m =；③在ABC ∆中，()()2,0,2,0B C -，且点A 在以,B C 为焦点的黄金椭圆上，则ABC ∆的周长为6+④过黄金椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点(),0F c 作垂直于长轴的垂线，交椭圆于,A B 两点，则)1AB a =；⑤设12,F F 是黄金椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，则椭圆C 上满足1290F PF ∠=︒的点P 不存在．其中所有正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】③④⑤【解析】对①，14,2,2a c e ===，①不正确；对②，若焦点在x=，解得6m =，若焦点在y=，解得6m =，②不正确；对③，2c =，c a =，226a c +=+，③正确；对④，())222221a c b AB a a a-===，④正确；对⑤，设12,PF m PF n ==，则222222{,224m n a mn a c c m n +==-=+，c a =，所以221222mn a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ )21a =，与2m n a +=联立无实数解．因此椭圆E 上满足1290F PF ∠=︒的点P 不存在，⑤正确，故答案为③④⑤.考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义和简单性质.【方法点睛】本题通过新定义“黄金椭圆”主要考查椭圆的标准方程和椭圆的定义及简单性质，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题五个命题都围绕“黄金椭圆”的离心率为12这一重要性质展开的，只要能正确运用这一条件，问题就能迎刃而解.2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，其焦距为2c ，若0.618)c a =≈，则称椭圆C 为“黄金椭圆”.黄金椭圆有如下性质：“黄金椭圆”的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，以(,0)A a -,(,0)B a ，(0,)D b -，(0,)E b 为顶点的菱形AEBD 的内切圆过焦点1F ，2F .（1）类比“黄金椭圆”的定义，试写出“黄金双曲线”的定义；（2）类比“黄金椭圆”的性质，试写出“黄金双曲线”的性质，并加以证明. 【答案】（1）见解析（2）见解析分析：（1）． （2）把椭圆结论中点12,F F 与,A B 交换位置得双曲线的性质．【解析】（1）黄金双曲线的定义：已知双曲线C ：22221x y a b -=，其焦距为2c ，若c a =（或写成1.618c a =≈），则称双曲线C 为“黄金双曲线”. （2）在黄金双曲线的性质：已知黄金双曲线C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别是()1,0F c -、()2,0F c ，以()1,0F c -、()2,0F c 、()0,D b -、()0,E b 为顶点的菱形12F DF E 的内切圆过顶点(),0A a -、(),0B a .证明：直线2EF 的方程为0ax cy bc +-=，原点到该直线的距离d =由c a =及222b a c =-，得22222b c a a ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭2ac ==，将2b ac =代入，得d ==，又将c =代入，化简得d a =， 故直线2EF 与圆222a x y =+相切，同理可证直线1EF 、2DF 均与圆222a x y =+相切，即以(),0A a -、(),0B a 的直径的圆222a x y =+为菱形12F DF E 的内切圆，命题得证.点睛：本题考查类比推理．类比推理不是把类比对象的结论一字不改直接拿来，而是要根据具体情况具体分析，适当修改．如双曲线的离心率大于1，因此类比时可得“黄金双曲线”的离心率为黄金比的倒数即12，又椭圆中c a <，双曲线中a c <，因此椭圆结论中焦点到顶点的位置在双曲线中要交换，才可能正确．当然解题方法可类似得出．3．（2020.北京市高三模拟）如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环。