2014年北京市高三二模分类汇编04函数与导数(理科)
北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷(带解析)
北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷（带解析）1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,2]-∞- （B ）[2,)-+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）[2,)+∞ 【答案】Ｄ 【解析】试题分析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，A B A =，则A B ⊆，2a ≥．考点：集合的运算．2．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】Ｂ 【解析】试题分析：2=(12i)34z i +=-+，在复平面内对应的点位于第二象限． 考点：复数的运算，复数的几何意义．3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B （C （D 【答案】Ａ 【解析】试题分析：由题意可得2b a =，即22222241b c a e a a-===-，所以25e =，即e = 考点：双曲性的几何意义．4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．，且B ．，且C ．，且D ．，且【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为2，高为4的正四棱锥，因此它的底考点：三视图．5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件． 考点：充要条件的判断．6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）π2（D ）π【答案】Ｂ 【解析】图形的面积，2222cos sin 2S xdx xππππ--===⎰，故选B ．考点：定积分求面积。
北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷(带解析)
北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷（带解析）1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是( )（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b < 【答案】C 【解析】试题分析：33log log ,a b a b <⇔<11()(),44a b a b >⇔<110b a a b ab -<⇔<，又0a b >>所以0b aab -<成立，22||||a b a b <⇔<，而0a b >>，所以||||a b <不成立． 考点：不等式恒等变形3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是( )（A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6【答案】C 【解析】试题分析：因为输出的结果为2，所以2313,2(23)313a a +≤++>，即75,4a <≤又a 为正整数，所以a 的可能取值的集合是{}2,3,4,5考点：循环结构流程图4．已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=( )（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2,, 2.24312T T A T ππππω=-====，又sin(2)112πϕ⨯+=，π2ϕ<，所以π3ϕ=.考点：三角函数图像与性质 5．已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是( )（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧ 【答案】D 【解析】试题分析：因为1i 1i z i +==-，所以复数1ii z +=在复平面内所对应的点位于第四象限，命题p 为真命题，因为y x =与cos y x =在(0,)2π上有交点，所以0x ∃>，cos x x =，命题q 为真命题，p q ∧为真命题.考点：复合命题真假6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C）(1 （D）)+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线为y bx =，由题意得：圆心到渐近线的2222211,3,4,1 2.1c b b e e a +≥≤==≤<≤考点：双曲线渐近线若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是( )（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元 【答案】C 【解析】试题分析：设生产甲x 吨、乙y 吨.则312060,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，利润2z x y =+.可行域为一个四边形OABC 及其内部，其中(60,0),(30,30),(0,40)A B C ,当2z x y =+过点B 时取最大值，为90.考点：线性规划8．如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是( ) （A ）83π （B ）163π （C ）4π （D ）5πBA【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：当△PMN 沿正方形一边滚动时，点P 的轨迹为两个圆弧，其对应圆半径皆为1，圆心角为23π，因此点P 的轨迹长度是21624.33ππ⨯⨯=考点：动点轨迹9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．【答案】【解析】试题分析：因为2221244122+=++⋅⨯⨯=a b a b a b =4+4+42，所以2+=a b考点：向量数量积10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示） 【答案】80- 【解析】试题分析：由15(2)r r r T C x +=-得：3x 项的系数为335(2)80.C -=-．考点：二项展开式定理求特定项11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．【答案】3 【解析】试题分析：由切割线定理得：2AC BC CM ⋅=,连OM ，则在直角三角形ODM 中，因为OM=2OD,所以60DOM ∠=，因此CM = 3.AC BC ⋅=考点：切割线定理12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．【解析】2的正方形．因此体积为212233⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ； 数列2{log }n a 的前n 项和为 ． 【答案】12n +,(3)2n n + 【解析】试题分析：因为24,n n S a =-所以1124(2)n n S a n --=-≥，两式相减得1122,2n n n n n a a a a a --=-=.因此{}n a 为等比数列，又11124,4S a a =-=，所以11422.n n n a -+=⋅=因此2log 1,n a n =+前n 项和为(21)(3)22n n n n +++=.考点：已知n S 求.n a14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ． 【答案】②③【解析】试题分析：因为(1,)x ∈+∞时，1()(0,)1f x x =∈+∞-，所以函数①不是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，21|()|122x x f x x x =≤=+，所以函数②是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，2l n 1l n (),()x x f x f x x x-'==，()f x 在(1,)e 单调增，在(,)e +∞上单调减，所以函数10()()f x f e e<≤=，因此③是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，取2()2x k k z ππ=+∈，则()sin f x x x x ==→+∞，所以函数④不是有界函数．考点：函数值域15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为4． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos 2B 的值． 【答案】（Ⅰ）7a =，（Ⅱ）71.98【解析】试题分析：（Ⅰ）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos 493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B =，即3sin B=，所以sin 14B =，根据二倍角公式有271cos 212sin 98B B =-=． 解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． 7分（Ⅱ）由sin sin a b A B =得，3sin B=，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． 13分 考点：正余弦定理，二倍角公式16．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计 从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．【答案】（Ⅰ）2.（Ⅱ）6.E ξ=【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．概率估计为6020802.2002005P +===（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．由（Ⅰ）可知，概率为2.5因为 ξ~2(3)B ，，所以26355E ξ=⨯=．随机变量ξ的分布列为解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的 概率估计为6020802.2002005P +=== 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=． 13分 考点：频率分布直方图17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为A P ，BD 中点，2PA PD AD ===． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BC P ；（Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱C P 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．FABCDP E【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）5（Ⅲ）不存在. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为A P ，BD 中点，在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ．（Ⅱ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面PAD ⊥底面ABCD ，可得底面ABCD 的垂线，再作DF 的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取AD 中点O ．由侧面PAD ⊥底面ABCD 易得PO ⊥面ABCD ．以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（Ⅲ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解.E P DCBAF证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ． 4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD 面=ABCD AD ， 所以PO ⊥面ABCD ． 因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC 中点， 所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 因为2PA PD AD ===，所以OP =则(0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(,0,22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A ． 10分 （Ⅲ）假设在棱C P 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111G(,,)x y z ，则111FG =(,1,)x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF ⊥面EDF ，所以FG =λn ．于是，111,1,x y z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=． 又因为点G 在棱C P 上，所以GC 与PC 共线．因为PC (1,2,=-，111CG (+1,2,)x y z =-， 所以111212x y +--=．所以1112λλ+---= 故在棱C P 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． 14分 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角 18．已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）e a =，（Ⅱ）当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞，()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． （Ⅲ）22(,e ]-∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线斜率为在点(0,(0))f 处的导数值. 由已知得21()2e x f x a +'=-．所以(0)e f '=．(0)2e e f a '=-=，e a =（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域(),-∞+∞，再导数值的符号确定单调区间. 当0a ≤时，()0f x '>,所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．当0a >时,令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x +≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．” 易得函数()g x 在12x =处取得最小值，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞．（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． 3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．” 设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =． 所以22e a ≤． 又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． 13分 （Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+． 所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，（Ⅱ）2(,[21,)7-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由12c e a ==及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=,由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．代入化简得，2271212m k =+．由222(8)4(34)(412)0k mk m ∆=-+->化简得2234k m +>．解得，234m >． 由227121212m k =+≥，2127m ≥，所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． 4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=， 222224128(1)03434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． 14分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ；（Ⅱ）求证：543T mT tT =--； （Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．【答案】（Ⅰ）1,T m =-22.T m t =-（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得：12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T x x -==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）555432234551211212121220,r rr T xx x x x x x x x x x x -===+++++∑而4322343212343121121212212112122()()()mT tT x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=+++++-+++5432234432234543223411212121212121212212121212()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++-+++5432234511212121225x x x x x x x x x x T =+++++=，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数，由（Ⅱ）问知11k k k T mT tT +-=--．即1n k =+时，结论也成立． 解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T xx-==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． 3分（Ⅱ）由12kk r rk r T xx -==∑，得5454555121122142r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+． 所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--． 8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由12kk r rk r T xx -==∑，得1111121122k kk r rk r r k k r r T xx x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120nn r r r xx-=∑的值都是整数． 13分考点：数学归纳法证明。
2014北京顺义高考二模数学理
2014北京顺义高考二模数学理正视图俯视图左视图北京市顺义区2014届高三4月第二次统练 数学（理科）试卷 2014．4第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．复数等于（ ）． A ． B ．C ．D ．2．已知，，，则（ ）．A ．B ．C ．D ．3．已知向量，，若与垂直，则实数（ ）．A ．B ．C ．D ．4．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）． A ． B ．C ．D ．5．“”是“函数为奇函数”的（ ）．(1)i i -1i +1i-+1i --1i -2log 3a =12log 3b =123c -=c b a >>c a b>>a b c >>a c b >>(1,1)a =(1,1)b =-ka b -a k =1-012228π4π2ππ0ϕ=sin()y x ϕ=+9．在极坐标系中，点到极轴的距离是10．已知等比数列的各项均为正数，若，，则此数列的其前项和11．如图，是圆的直径，，为圆上一点，过作圆的切线交 的延长线于点．若，则12．对甲、乙、丙、丁人分配项不同的工作 A 、B 、C 、D ，每人一项，其中甲不能承担A 项工作，那么不同的工作分配方案有种．（用数字作答）13．在中，角所对的边分别为． 若，则14．已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在的平面区域面积是(2,)6π______.{}na 11a=34a=2________;a =n__________.n S =AB O 2AB =D O DO AB C DA DC =________;BDC ∠=__________.BC =44_________ABC,,A B C ,,a b c 6a c ==3sin 2B =cos _______;B =________.b =(,)M a b 0,0,2,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩(,)N a b a b -+________.CABO D三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （本小题满分13分）已知函数的图象过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期及最大值．()sin cos cos 2f x a x x x=-(,0)8πa ()f x16．（本小题共13分）甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下： 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅲ）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于分的次数为，求的分布列和数学期望．80X X EX17． （本小题共14分）如图：在四棱锥中，底面是正方形，，在上，且．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段上存在点，使∥平面，并求的长．P ABCD -ABCD2PA AB ==22PB PD ==E PD 13PE PD=PA ⊥ABCD E AC D --BC F PF EAC BF EPADBC18． （本小题共13分）已知函数，其中为常数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．2()xx ax a f x e ++=a 2a ≤1a =()y f x =(0,(0))f a ()f x 2a19．（本小题共14分）已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线（）与椭圆交于、两点，线段 的垂直平分线交轴于点，当变化时,求面积的最大值．E (1,0)-(1,0)22e =E :l y x m =+0m ≠E A B AB x T m TAB20．（本小题共13分）已知集合，具有性质：对任意的，至少有一个属于．（Ⅰ）分别判断集合与是否具有性质； （Ⅱ）求证：①；②；（Ⅲ）当或时集合中的数列是否一定成等差数列?说明理由．{}123,,,nA a a a a =⋅⋅⋅123(0,,3)n a aa a n N n +≤<<<⋅⋅⋅<∈≥P ,i j (1)i j n ≤≤≤,ji j ia a a a +-A {}0,2,4M ={}1,2,3N =P 1a=1232n n n a a a a a +++⋅⋅⋅+=3,4n =5A {}na北京市顺义区2014届高三4月第二次统练 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADBBADCB二、填空题（本大题共6个小题,每小题5分,共30分）其它答案参考给分 9．；10．；11．， ；12．；13．；14．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由已知函数————3分的图象过点，，————5分解得————7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得函数———9分最小正周期，———11分．————13分 16．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）茎叶图12,21n-0301181,2234()sin cos cos 2f x a x x x =-sin 2cos 22ax x =-()f x (,0)8π∴sin cos 0244a ππ-=2a =()sin 2cos 22)4f x x x x π=-=-∴22T ππ==26788228728乙甲————3分（Ⅱ）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好．————6分（Ⅲ）记甲“高于80分”为事件A ，，————8分的可能取值为．分布列为： 0123————11分————13分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）证明：，，，同理————2分 又，平面．———4分∴2()5P A =∴XB 2(3,)53322()()(1)55k k kP x k C -==-X0,1,2,3X P 271255412536125812565EX =2PA AB ==22PB =∴222PA AB PB +=∴PA AB ⊥PA AD ⊥ABAD A=∴PA ⊥ABCD EPADBC（Ⅱ）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则———6分平面的法向量为，设平面的法向量为 ———7分，由，，取，———8分设二面角的平面角为，二面角的余弦值为．———10分（Ⅲ）假设存在点，使∥平面， 令， ———12分由∥平面，，解得存在点为的中点，即． ———14分18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ），，，———1分，———3分则曲线在处的切线方程为．———5分 （Ⅱ）A ,,AB AD AP ,,x y z 24(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,,)33A B C D P E ACD (0,0,2)AP =EAC (,,)n x y z =24(2,2,0),(0,,)33AC AE ==00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴020x y y z +=⎧⎨+=⎩221x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(2,2,1)n =-E AC D --θ1cos 3||||n AP n AP θ⋅==⋅∴E AC D--13F BC ∈PF EAC (2,,0)F a (02)a ≤≤∴(2,,2)PF a =-PF EAC ∴0PF n ⋅=1a =∴(2,1,0)F BC 1BF =1a =21()xx x f x e ++=∴(0)1f =22'2(21)(1)(1)()x x x xxx e e x x x x x x f x e e e +-++-+--===∴'(0)0f =(0,(0))f 1y =2'2(2)()[(2)]()x x xxx a e e x ax a x x a f x e e +-++---==的根为，———6分，当时，，在递减，无极值；——8分当时，，在递减，在递增；为的极大值，———10分令，，在上递增，，不存在实数，使的极大值为．———13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在轴上，，，，，———2分椭圆的方程为———4分（Ⅱ），消去得直线与椭圆有两个交点，，可得（*）———6分设，，，弦长———8分'()0f x =0,2a-2a ≤∴20a -≥2a =2'()0x x f x e-=≤∴()f x (,)-∞+∞2a <20a ->()f x (,0),(2,)a -∞-+∞(0,2)a -∴2(2)(4)a f a a e --=-()f x 2()(4)a u a a e -=-(2)a <'2()(3)0a u a a e -=->∴()u a (,2)a ∈-∞∴()(2)2u a u <=∴a ()f x 2x1c =22c a =∴2a =1b =∴E 2212x y +=2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 2234220xmx m ++-=l ∴0>23m<11(,)A x y 22(,)B x y ∴1243mx x +=-212223m x x -=222||623AB m =-中点， 设，，，，———11分 ，时，，——14分（或：．当且仅当时成立，．（用其它解法相应给分）20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）集合具有性质，，，集合不具有性质．———3分（Ⅱ）由已知，，则，仍由知；———5分，，———6分将上述各式两边相加得，即；———8分（Ⅲ）当时，集合中的数列一定是等差数列．AB2(,)33m m M -(,0)T x ∴1ABMT kk ⋅=-∴31123m m x ⋅=---∴3m x =-∴(,0)3m T -2||||3m TM =∴222212239||||(62)2()29922S AB MT m m m ==-=--+23m <∴232m =max 2S =2222122(62)2||||(62)2992m m S AB MT m m -⋅==-=222622()222292932m m -+≤==""=232m =max 23S =202,422,404,000,220,440,-=-=-=-=-=-=∴M P 336A+=∉330A -=∉∴N P 120na a a ≤<<⋅⋅⋅<∴2nn n a a a A+=∉0nn aa A-=∈120na aa ≤<<⋅⋅⋅<1a=∴1210n n n n n n n a a a a a a a a --=-<-<-<⋅⋅⋅<-,n n i n a a a -+>(1,2,32)i n =⋅⋅⋅-∴nn i aa A--∈∴1211,,n n n n n n a a a a a a a a a -=-=-⋅⋅⋅=-12312()n n n a aa a na a a a +++⋅⋅⋅=-++⋅⋅⋅+∴1232()n na a a a na +++⋅⋅⋅=1232n n n a a a a a +++⋅⋅⋅=3n =A 123,,a a a由（Ⅱ）知，且，故，而这里，反之若不然这与集合中元素互异矛盾，只能，即成等差数列． ———9分当时，集合中的元素不一定是等差数列．如，中元素成等差数列，又如，中元素不成等差数列；———11分 当5时，集合中的元素一定成等差数列证明：令①②②①有，且由① ， ， 又，成等差数列． ———13分1a =1230a aa =<<∴323aa a A+>∉32aa A-∈323aa a -≠210aa ==A∴322a a a -=2333120a a a a a ==+=+∴123,,a a a 4n =A 1234,,,a a a a {}0,1,2,3A =A {}0,2,3,5A =A A 12345,,,,a a a a a 155545352510a a a a a a a a a a a ==-<-<-<-<-12540,aa a a ==-353aa a =--4332aa a a -=-245aa a +=43425a a a a a +>+=∴43aa A+∉∴43aa A-∈∴1433230a a a a a a =<-=-<∴4332221aa a a a a a -=-==-254a a a =-∴5443322210aa a a a a a a a -=-=-=-=-∴12345,,,,a a a a a。
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)数学理试题(WORD版)
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （理科） 2014.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符1.2.3.4. 5.6.一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，AM =2BP =m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t =A.ππ30sin()30122t -+ B.ππ30sin()3062t -+ C.ππ30sin()3262t -+ D.ππ30sin()62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是A.(2,4) B. (,2)-∞ C. (2,)+∞ D.(4,)+∞8.点9. 10.11.12.14.已知集合{1,2,3,,100}M = ，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作()S A . ①满足()8S A =的集合A 的个数为_____；②()S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，a A =且b =.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若3a c =，求c 的值.16.（本小题满分14分）且17.((18.19.（本小题满分14分）已知椭圆G ，其短轴两端点为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.120.（本小题满分13分）对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =. （Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值；（Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n = 时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值； （Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.数学（理科）参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014年高三二模数学(理)北京市西城区试卷Word版带解析
北京市西城区2014年高三二模试卷数 学（理科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥，所以答案选择D.知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。
知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B （C（D解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈（C ） 2A ∈，且A （DAA解析：的正方形，高为4的正四棱锥，所以每个D 。
知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。
2014北京东城高考二模数学理(含答案)
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （理科)第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-（2）在复平面内，复数32i 1i--对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）．A ．2或2-B ．1-或2-C ．1或2-D ．2或1-（4）如果实数x ，y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）．A ．3-B ．1-C ．0D ．1（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（ ）． A ．5 B ．6C ．7D ．8（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（ ）．A ．12B ．18C ．24D ．36（7）若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为（ ）．A ．1 或5B ．1- 或5C ．1 或5-D ．1- 或5-（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -⎧=⎨-<⎩…设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．(2,1)-B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知tan =2α，那么cos 2=α ．（10）已知平面向量a ，b ，若3=a ，13-=a b ，6⋅=a b ，则=b ；向量a ，b 夹角的大小为 ．（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +…”的概率为_________．（12）如图所示，PA 与圆O 相切于A ，直线PO 交圆O 于B ，C 两点，AD BC ⊥，垂足为D ，且D 是OC 的中点，若6PA =，则PC = ．（13）若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ，N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．A BCPD O·（14）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++．（Ⅰ）求()12f π的值； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．0.020 0.02510 20 30 40 50 60 0.015 0.005频率 组距（17）（本小题共14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====．（I ）求证：BD ⊥平面ADE ；（II ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（III ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．DCBEA（18）（本小题共13分）已知0a >，函数2()21axf x a x =++，()ln g x a x x a =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >．（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x ya b+=的一个焦点为(2,0)F，且离心率为63．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于,A B两点，P为直线3x=上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．（20）（本小题共14分）设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）．（Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ≥，求证：12a a >；（Ⅲ）当11000a <时，求证：存在*m ∈N ，使得32m m a a =．东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）35- （10）4 60（11）14（12）23 （13）223（14）6 (3,5) 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++2sin 3sin cos x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+． 所以1()122f π=． …………………7分 （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤． 所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0； 当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）110(0.0200.0250.0150.005)0.35-⨯+++=，1000.35⨯=，即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35．………………………4分 （Ⅱ）1000.1515⨯=，1000.055⨯=，所以85220⨯=， 即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为0，1，2．36385(0)14C P X C ===；12263815(1)28C C P X C ===； 2126383(2)28C C P X C ===．所以X 的分布列为X 0 1 2P514 1528 328X 的数学期望为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=．………………………13分 （17）（共14分）解：（I ）由BC CD ⊥，2BC CD==．,可得22BD =．由EA ED ⊥，且2EA ED ==， 可得22AD =． 又4AB =． 所以BD AD ⊥．又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE ． ……………５分 （II ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(2,2,0)C -，(2,0,2)E ，(2,22,2)BE =-，(2,0,2)DE =，(2,2,0)DC =-．D B ACEzxy设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ，0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n ．设直线BE 与平面CDE 所成的角为α， 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n ． 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23． ……………1０分 （III ）设CF CE =λ，[0,1]λ∈．(2,2,0)DC =-，(22,2,2)CE =-，(0,22,0)DB =．则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ 令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈． 所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE ．……………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ,()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111， 因为0a >，所以，当1x <-，或1x >时，'()0f x <；当11x -<<时，'()0f x >．所以，()f x 的单调递增区间为(,)-11,单调递减区间为(,)-∞-1,(,)+∞1．……6分（Ⅱ）因为()f x 在区间(,)01上单调递增，在区间(,e)1上单调递减，又()f a =02，e (e)e a f a a =+>+2221， 所以，当(,e)x ∈0时，()f x a >2．由()ln g x a x x a =-+，可得'()1a a x g x x x-=-=． 所以当e a ≥时，函数()g x 在区间(0,e)上是增函数，所以，当(,e)x ∈0时，()(e)g x g a e a <=-<22．所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 当0e a <<时，函数()g x 在区间(0,)a 上是增函数，在区间(,e)a 上是减函数， 所以，当(,e)x ∈0时，()()ln g x g a a a a ≤=<2．所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 综上，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >． ……………13分（19）（共13分）解（Ⅰ）依题意有2c =，63c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=． ………………………………………………５分 （Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． 则2221212121(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-2226(1)31k k +=+． 设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+，02231k y k =-+． 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =， 所以220222113(1)1(31)P k k MP x x k k k ++=+⋅-=⋅+． 当△ABP 为正三角形时，32MP AB =， 可得22222213(1)326(1)(31)231k k k k k k +++⋅=⋅++， 解得1k =±．即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=．………………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． ………………5分（Ⅱ）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+，其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >． ………………9分（Ⅲ）由11000a <，即1999a ≤，可知2222999243a ≤++=．同理999n a ≤，可知2221999243n a +≤++=．由数学归纳法知，对任意*n ∈N ，有999n a ≤．即对任意*n ∈N ，有{1,2,3,,999}n a ∈．因此，存在,*p q ∈N （p q <），有p q a a =．则11p q a a ++=，22p q a a ++=，…，11q q q p a a -+--=，可得对任意*n ∈N ，n p ≥，有n q p n a a +-=．设q p T -=，即对任意n p ≥，有n T n a a +=．若T p ≥，取m T =，2n m =，则有32m m a a =．若T p <，由n T n a a +=，可得n pT n a a +=，取m pT =，2n m =，则有32m m a a =． ………………14分。
2014年北京导数试题汇编
2014年导数试题汇编1. 已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值．2. 已知曲线．（Ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．3. 已知曲线．（Ⅰ）若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；（Ⅱ）对任意实数，曲线总在直线：的上方，求实数的取值范围．4. 已知函数其中．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围．5. 已知函数,.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，若对于任意的，都有成立，求的取值范围.6. 已知，函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有.7. 设函数.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.8. 已知函数，其中为常数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.9. 已知函数，其中. （Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）当时，试确定函数的单调区间.答案：1. 解：函数的定义域是，．（Ⅰ）（1）当时，，故函数在上单调递减．（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．（3）当时，令，又因为，解得．①当时，，所以函数在单调递减．②当时，，所以函数在单调递增．综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为． (7)分（Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．（2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．综上所述，．…………………………13分2. 解：（Ⅰ）因为，所以切点为（0，—1）．，，所以曲线在点（）处的切线方程为：y=（a—1）x—1．———————————————4分（Ⅱ）（1）当a》0时，令，则．因为在上为减函数，所以在内，在内，所以在内是增函数，在内是减函数，所以的最大值为因为存在使得，所以，所以．（2）当时，《0恒成立，函数在R上单调递减，而，即存在使得，所以．综上所述，的取值范围是（—∞，0）∪[e，+∞）—————————13分3. （Ⅰ），——————2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且．—————4分解得，——————5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x，，都有，即∀x，R，恒成立，———————6分令，——————7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是；——————8分②若，，由得，————————9分的情况如下：———————11分所以的最小值为，—————12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是．——————13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x，，都有，即∀x，R，恒成立，————————6分令，则等价于∀，恒成立，令，则，—————————7分由得，———————9分的情况如下：————————11分所以的最小值为，————————12分实数b的取值范围是．—————————13分4. （Ⅰ）解：由题意，得，其中，…… 2分所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为．……… 4分（Ⅱ）解：先考察函数，的图象，配方得，…… 5分所以函数在上单调递增，在单调递减，且．………… 6分因为对于任意，且，都有成立，所以．……………… 8分以下考察函数，的图象，则，令，解得．…………… 9分随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递减，在上单调递增，且．… 11分因为对于任意，且，都有成立，所以．……………… 12分因为（即），所以的取值范围为．………………… 13分5. 解：（Ⅰ）函数的定义域为. ………1分因为，………2分令，解得.………3分①当时，随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递减，在上单调递增. ……………5分②当时，随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递增，在上单调递减. ……………7分（Ⅱ）当时，对于任意的，都有成立，即.所以.设.因为, ……………8分令，解得. ……………9分因为，所以随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递增，在上单调递减. ……………10分所以. ……………11分所以.所以.……………12分所以的取值范围为. ………13分法二：当时，对于任意的，都有成立，即.所以.即. (8)分设.因为,令，解得. ……………9分所以随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递减，在上单调递增. ……………10分所以. ……………11分所以.所以.……………12分所以的取值范围为. ………13分6. 解：（Ⅰ）函数的定义域为,，因为，所以，当，或时，；当时，．所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,．……6分（Ⅱ）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，所以，当时，．由，可得．所以当时，函数在区间上是增函数，所以，当时，．所以，当时，对于任意的，都有，，所以．当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以，当时，．所以，当时，对于任意的，都有，，所以．综上，对于任意的，都有．……………13分7. 解: （Ⅰ）时, ，，……………1分，的减区间为,增区间. ……………3分（Ⅱ）在区间上是减函数，对任意恒成立，即对任意恒成立，……………5分对任意恒成立，令，，……………7分易知在单调递减，.. ……………8分（Ⅲ）设切点为，，切线的斜率，又切线过原点，，存在性：满足方程，所以，是方程的根. ……………11分再证唯一性：设，，在单调递增，且，所以方程有唯一解.综上，切点的横坐标为. ……………13分8. 解：（Ⅰ），，，———1分，———3分则曲线在处的切线方程为.———5分（Ⅱ）的根为，———6分，当时，，在递减，无极值；——8分当时，，在递减，在递增；为的极大值，———10分令，，在上递增，，不存在实数，使的极大值为.———13分9.（Ⅰ）解：函数的定义域为，且. (1)分. ………………3分令，得，当变化时，和的变化情况如下： (5)分故的单调减区间为，；单调增区间为．所以当时，函数有极小值. (6)分（Ⅱ）解：因为，所以，所以函数的定义域为， (7)分求导，得， (8)分令，得，，………………9分当时，，当变化时，和的变化情况如下：故函数的单调减区间为，单调增区间为，．………………11分当时，，因为，（当且仅当时，）所以函数在单调递增. (12)分当时，，当变化时，和的变化情况如下：故函数的单调减区间为，单调增区间为，．综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为，；当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．…………13分2014年解析几何试题汇编1. 已知椭圆经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．2. 如图，已知椭圆的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线：交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：点在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得三角形的面积是三角形的倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3. 已知是椭圆上两点，点M的坐标为．（Ⅰ）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；（Ⅱ）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形．4. 已知椭圆，直线l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线的方程为，求外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．5. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.6. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程.7. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值.8. 已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线（）与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时,求面积的最大值.9.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（Ⅰ）如果点是椭圆W的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（Ⅱ）设为轴上一点，且，直线与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.答案：1. 解：（Ⅰ）由题意得，解得，．所以椭圆的方程是． (4)分（Ⅱ）以线段为直径的圆过轴上的定点．由得．设，则有，．又因为点是椭圆的右顶点，所以点．由题意可知直线的方程为，故点．直线的方程为，故点．若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．又因为，，所以恒成立．又因为，，所以．解得．故以线段为直径的圆过轴上的定点． (14)分2. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是．所以，椭圆的标准方程为程．——————————————————————3分（Ⅱ）设，，，即．所以，，，，于是．因为，所以在直线上．—————————————————8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，若∆BDM的面积是∆ACM面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC中点，；设点C的坐标为，则．因为，解得．于是，解得，所以．————————————————14分3. （Ⅰ）设，，——————1分因为为等边三角形，所以．—————————2分又点在椭圆上，所以消去，———————3分得到，解得或，———————4分当时，；当时，．——————————5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线斜率存在．设直线：，，，中点为，联立消去得，——6分由得到①—————7分所以，，———————8分所以，又如果为等边三角形，则有，————9分所以，即，————10分化简，②————11分由②得，代入①得，化简得，不成立，—————13分{此步化简成或或都给分} 故不能为等边三角形．————————————14分法2：设，则，且，所以，——8分设，同理可得，且———9分因为在上单调所以，有，—————11分因为不关于轴对称，所以．所以，—————13分所以不可能为等边三角形．——————14分4. （Ⅰ）证明：因为直线的方程为，所以与x轴的交点，与轴的交点．…………… 1分则线段的中点，，………………… 3分即外接圆的圆心为，半径为，所以外接圆的方程为．………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得是线段的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线的方程为，，，则，，………………… 6分由方程组得，…………… 7分所以，（*）………… 8分由韦达定理，得，．……… 9分由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合．所以，………………10分解得．………… 11分由是线段的两个三等分点，得．所以，………………… 12分即，解得．………… 13分验证知（*）成立．所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…………… 14分5. 解：（Ⅰ）由条件可知，………2分故所求椭圆方程为. ……4分（Ⅱ）设过点的直线方程为：. ………5分由可得：……6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.设点，则. ………8分因为直线的方程为：，直线的方程为：，………9分令，可得，，所以点的坐标. ……10分直线的斜率为…………12分所以为定值. ………13分6. 解（Ⅰ）依题意有，．可得，．故椭圆方程为．……………………５分（Ⅱ）直线的方程为．联立方程组消去并整理得．设，．故，．则．设的中点为．可得，．直线的斜率为，又，所以．当△为正三角形时，，可得，解得．即直线的方程为，或．………………13分7. 解：（Ⅰ），椭圆方程为，………2分准圆方程为.…………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.因为直线与椭圆相切，所以，解得，…………6分所以方程为.……………7分，. ……………8分（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直. ………10分②当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由得.由化简整理得，因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直. …………12分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值. …………14分8. 解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在轴上，，，，，———2分椭圆的方程为———4分（Ⅱ），消去得直线与椭圆有两个交点，，可得（*）———6分设，，，弦长，———8分中点，设，，，，———11分，时，，——14分（或：.当且仅当时成立，.9. （Ⅰ）解：椭圆W的右焦点为，……………1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆W上，将代入椭圆W的方程，得点的坐标为. ……3分所以直线（即）的方程为或 (5)分（Ⅱ）证明：设点关于轴的对称点为（在椭圆W上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆W的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线.……………7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得，……………9分所以，，. ……………10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为，…………11分设直线，的斜率分别为，，则，…12分因为，………13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称.………14分2014年压轴题试题汇编1. 从中这个数中取（，）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为．（Ⅰ）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求证：．2. 从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列．（Ⅰ）写出数列的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．3. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列．（Ⅰ）求：的正交点列；（Ⅱ）判断：是否存在正交点列？并说明理由；（Ⅲ）N，是否都存在无正交点列的有序整点列？并证明你的结论．4. 在数列中，．从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列．例如数列为的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；（Ⅲ）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：．5. 已知数列的各项均为正数，记,,.（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.6. 设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求证：；（Ⅲ）当时，求证：存在，使得．7. 对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．（Ⅰ）写出的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列满足，求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．8. 已知集合，具有性质：对任意的，至少有一个属于. （Ⅰ）分别判断集合与是否具有性质；（Ⅱ）求证：①；②；（Ⅲ）当或时集合中的数列是否一定成等差数列?说明理由.9. 在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设，记使得成立的的最大值为.（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；（Ⅱ）若为等差数列，求出所有可能的数列；（Ⅲ）设，，求的值.（用表示）答案：1. 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．所以．………………………… 3分。
2014年北京市通州区高考数学二模试卷(理科)(附答案解析版)
2014年北京市通州区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1. 设集合A={0, 1}，集合B={−1, 0, a−1}，若A⊆B，则实数a的值是（）A.1B.2C.3D.42. 已知i是虚数单位，则复数z=i(2−i)2所对应的点落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设不等式组{x−y≥0x+y≥0x≤2表示的平面区域为E，在区域E内随机取一个点，则此点落在圆x2+y2=4内的概率是（）A.π2B.π3C.3π10D.π44. 执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为16，图中判断框内？处应填的数为（）A.2B.3C.4D.55. 函数y=a x+2−2(a>0且a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则1m+2n的最小值为（）A.4+√2B.4√2C.8D.6−4√26. 已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：①若m // n，n⊂α，则m // α；②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n // α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m、n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m // β，则n // α．其中正确的命题有( )A.①②B.②③C.③④D.②④7. k>32是直线y=k(x+2)与曲线y29−x|x|4=1有两个公共点的（）条件．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 直线x=t(t>0)与函数f(x)=x2+1，g(x)=ln x的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A.1B.√22C.12D.√33二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）ρcosθ+2ρsinθ=1的直角坐标方程为________．(ax−1x)6的二项展开式中的常数项为160，则实数a=________．设a1，a2，…a10成等比数列，且a1a2...a10=32，记x=a1+a2+...+a10，y=1a1+1a2+...+1a10，则xy=________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2a cos B=b cos C+c cos B，则∠B=________．已知⊙O:x2+y2=4及点A(1, 3)，BC为⊙O的任意一条直径，则AB→⋅AC→=________．下列四个命题①已知ξ服从正态分布N(0, σ2)，且P(−2≤ξ≤0)=0.4，则P(ξ>2)=0.2②已知命题p:∃x0∈R，tan x0=1；命题q:∀x∈R，x2−x+1>0．则命题“p∧￢q”是假命题③设回归直线方程为ŷ=2.5−2x，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位④∫sinπxdx值等于2其中正确的命题是________．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）若函数f)=2cos 2x +√3sin 2x +a(a ∈R) （1）求函数f(x)的周期及对称轴方程；（2）若函数f(x)在区间[0, π2]上的最小值为5，求函数f(x)在[0, π2]区间上的最大值．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m 处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与其距目标距离的平方成反比，且各次射击是否击中目标是相互独立的．(I)分别求这名射手在150m 处、200m 处的命中率；(II)设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB // CD ，AB =2BC =2CD =2，点E 为PA 中点．（1）求证：DE // 平面PBC ；（2）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（3）若直线PD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√33，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值．已知函数f(x)=−23x 3+2ax 2+3x ．（1）当a =14时，求函数f(x)在[−2, 2]上的最大值、最小值；（2）令g(x)=ln (1−x)+3−f′(x)，若g(x)在定义域上单调递减，求实数a 的取值范围．已知点Q 为直线x =−4上的动点，过点Q 作直线l 垂直于y 轴，动点P 在l 上，且满足OP ⊥OQ （O 为坐标原点），记动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设A ，B 为曲线C 上两点，且直线AB 与x 轴不垂直，若线段AB 中点的横坐标为2，求证：线段AB 的垂直平分线过定点．定义：如果数列{a n }的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n }为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a n }，如果函数y =f(x)使得b n =f(a n )仍为一个“三角形”数列，则称y =f(x)是数列{a n }的“保三角形函数”，(n ∈N ∗)．（1）已知数列{c n }的首项为2010，S n 是数列{c n }的前n 项和，且满足4S n+1−3S n =8040，证明{c n }是“三角形”数列；（2）已知{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)=k x ，(k >1)是数列{a n }的“保三角形函数”，求k 的取值范围．参考答案与试题解析2014年北京市通州区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值．【解答】解：∵集合A={0, 1}，∴1∈A．∵A⊆B，∴1∈B．∵B={−1, 0, a−1}，∴1=a−1．∴a=2．故答案为：B．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：复数z=i(2−i)2=i(3−4i)=4+3i所对应的点(4, 3)在第一象限．故选：A．3.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）简单线性规划【解析】确定不等式组表示的平面区域，利用几何概率的计算公式可求．【解答】解：不等式组{x−y≥0x+y≥0x≤2表示的平面区域为E，为图中的三角形OABA(2, −2)，B(2, 2)由几何概率的计算公式可得点落在圆x2+y2=4内的概率是P=14π⋅2212⋅4⋅2=π4，故选：D．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据框图流程依次计算程序运行的结果，根据输出的a的值，确定跳出循环的n值，从而得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a=21=2，n=2；第二次循环a=22=4，n=3；第三次循环a=24=16，n=4；∵输出的a的值为16，∴n=5时跳出循环体，∴判断框内的条件为：n≤4．故选：C．5.【答案】C【考点】基本不等式指数函数的单调性与特殊点直线的一般式方程【解析】由函数y=a x+1−2(a>0, a≠1)的图象恒过定点A，可得A(−2, −1)，点A在直线mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn>0，利用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【解答】解：由已知定点A坐标为(−2, −1)，由点A在直线mx+ny+1=0上，∴−2m−n+1=0，即2m+n=1，又mn>0，∴m>0，n>0，∴1m+2n=(1m+2n)(2m+n)=4+nm+4mn≥4+2√nm⋅4mn=8当且仅当{2m+n=1nm=4mn即m=14，n=12时取等号．故答案为：86.【答案】 B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 命题的真假判断与应用【解析】由题意，可由点面线的位置关系对四个命题逐一判断得出正确选项，①可由线面平行的条件判断，②可由线面平行的条件判断，③可由线线的垂直的条件判断，④可线面平行的条件判断． 【解答】解：①若m // n ，n ⊂α，此时有m ⊂α或m // α，故①不正确； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，可得出n // α，故②正确； ③若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，可得出m ⊥n ，故③正确；④若m 、n 是异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m // β，此时n 相交平面 α 或n // α，故④不正确． 综上，②③正确. 故选B . 7.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据直线和圆锥曲线的位置公式，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：当x ≥0时，曲线y 29−x|x|4=1的方程为y 29−x 24=1，当x <0时，曲线y 29−x|x|4=1的方程为y 29+x 24=1，∴ 曲线y 29−x|x|4=1的图象为右图，由图象可知当k >32是直线y =k(x +2)与曲线y 29−x|x|4=1有两个公共点，充分性成立，当k =32时，直线y =k(x +2)与曲线y 29−x|x|4=1有两个公共点，但此时k >32不成立，故k >32是直线y =k(x +2)与曲线y 29−x|x|4=1有两个公共点的充分不必要条件，故选：A ．8.【答案】 B【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 两点间的距离公式【解析】将两个函数作差，得到函数y =f(x)−g(x)，再求此函数的最小值对应的自变量x 的值． 【解答】解：设函数y =f(x)−g(x)=x 2−ln x +1，求导数得 y′=2x −1x =2x 2−1x当0<x <√22时，y′<0，函数在(0, √22)上为单调减函数，当x >√22时，y′>0，函数在(√22, +∞)上为单调增函数所以当x =√22时，所设函数的最小值为32+12ln 2，所求t 的值为√22．故选B ．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）【答案】x +2y −1=0 【考点】圆的极坐标方程 【解析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcos θ、y =ρsin θ，把所给曲线的极坐标方程化为直角坐标方程． 【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcos θ、y =ρsin θ，可得ρcosθ+2ρsinθ=1的直角坐标方程为x+2y−1=0，故答案为：x+2y−1=0．【答案】−2【考点】二项式定理的应用【解析】根据题意，由二项式定理可得(ax−1x)6展开式的通项，分析可得其常数项，结合题意“二项展开式中的常数项为160”，可得关于a的方程，解可得答案．【解答】解：(ax−1x )6展开式的通项为T r+1=C6r⋅(ax)6−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅C6r⋅a6−r⋅x6−2r，令6−2r=0，可得r=3，r=3时，有T4=(−1)3⋅C63⋅a3=−20a3又由题意，可得−20a3=160，解可得a=−2；故答案为−2．【答案】2【考点】数列的求和【解析】由等比数列的性质得到a1⋅a10=a2⋅a9=a3⋅a8=a4⋅a7=a5⋅a6=2，y=1a1+1a2+...+1a10=12(2a1+2a2+⋯+2a10)=12(a1a10a1+a2a9a2+⋯+a10a1a10)=12(a1+a2+...+a10)求出值．【解答】解：∵a1，a2，…a10成等比数列，且a1a2...a10=32，∴a1⋅a10=a2⋅a9=a3⋅a8=a4⋅a7=a5⋅a6=2∴y=1a1+1a2+...+1a10=12(2a1+2a2+⋯+2a10)=12(a1a10a1+a2a9a2+⋯+a10a1a10)=12(a1+a2+...+a10)=1 2 x∴xy=2故答案为：2【答案】60∘【考点】余弦定理【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sin A不为0求出cos B 的值，即可确定出B的度数．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B，整理得：2sin A cos B=sin(B+C)=sin A，∵sin A≠0，∴cos B=12，则∠B=60∘．故答案为：60∘．【答案】6【考点】平面向量数量积的运算【解析】分类讨论：当直径BC所在的直线斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，与圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积运算即可得出；当直径BC所在的直线斜率不存在时，取B(0, −2)，C(0, 2)，利用数量积即可得出．【解答】解：如图所示，当直径BC所在的直线斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B(x1, y1)，C(x2, y2)，不妨是x1<x2．则AB→⋅AC→=(x1−1, y1−3)•(x2−1, y2−3)=(x1−1)(x2−1)+(kx1−3)(kx2−3)=x1x2−(x1+x2)+1+k2x1x2−3k(x1+x2)+9=(1+k2)x1x2−(1+3k)(x1+x2)+10，(∗)联立{y=kxx2+y2=4，化为(1+k2)x2−4=0，∴x1+x2=0，x1x2=−41+k2．代入(∗)可得：AB→⋅AC→=−4(1+k2)1+k2−0+10=6．当直径BC所在的直线斜率不存在时，取B(0, −2)，C(0, 2)．则AB→⋅AC→=(−1, −5)⋅(−1, −1)=1+5=6．综上可知：AB→⋅AC→=6．故答案为：6．【答案】 ②④【考点】命题的真假判断与应用 【解析】对于①，画出正态分布N(0, σ2)的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．对于②，先由正切函数的性质推导出命题P 是真命题，再由二次函数的性质推导出命题q 为真命题．由此得到“p ∧￢q ”是假命题． 对于③，回归方程为y ̂=2.5−2x ，变量x 增加一个单位时，则变量y ̂平均减少2个单位，得到结果． 对于④，根据积分公式直接进行计算即可． 【解答】解：①已知ξ服从正态分布N(0, σ2)，且P(−2≤ξ≤0)=0.4，则P(ξ<−2)=0.1 故P(ξ>2)=0.1，故①不正确；②命题p ：当x 0=π4，tan x 0=1，故p 为真命题； 命题q ：由于x 2−x +1=(x−12)2+34>0，故q 为真命题；则命题“p ∧￢q ”是假命题，故②正确； ③回归方程为y ̂=2.5−2x ，变量x 增加一个单位时，则变量y ̂平均减少2个单位， 故③不正确；④∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=−cos π−(−cos 0)=2，故④正确；故答案为：②④三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 【答案】解：（1）∵ 函数f(x)=2cos 2x +√3sin 2x +a(a ∈R) =1+cos 2x +√3sin 2x +a=2sin (2x +π6)a +1+a∴ T =2π2=π，∴ 函数f(x)的周期π， 令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ， ∴ x =π6+12kπ，∴ 函数f(x)的对称轴方程x =π6+12kπ，k ∈Z ；（2）∵ x ∈[0, π2]， ∴ (2x +π6)∈[π6, 7π6]， ∴ sin (2x +π6)∈[−12, 1]，∴ f(x)∈[12+a, 32+a]， ∵ 12+a =5，∴ a =92，∴ 数f(x)在[0, π2]区间上的最大值32+92=6．【考点】三角函数中的恒等变换应用 三角函数的周期性及其求法 【解析】（1）首先，化简函数解析式，f(x)=2sin (2x +π6)a +1+a ，然后，确定该函数的周期和对称轴方程； （2）直接根据x ∈[0, π2]，得到函数的值域，然后，借助于其最小值为5，从而确定a 的取值，最后，求解该函数的最大值． 【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=2cos 2x +√3sin 2x +a(a ∈R) =1+cos 2x +√3sin 2x +a=2sin (2x +π6)a +1+a∴ T =2π2=π，∴ 函数f(x)的周期π， 令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，∴ x =π6+12kπ，∴ 函数f(x)的对称轴方程x =π6+12kπ，k ∈Z ； （2）∵ x ∈[0, π2]， ∴ (2x +π6)∈[π6, 7π6]， ∴ sin (2x +π6)∈[−12, 1]，∴ f(x)∈[12+a, 32+a]，∵ 12+a =5， ∴ a =92，∴ 数f(x)在[0, π2]区间上的最大值32+92=6． 【答案】解：(1)由题意，这名选手距目标xm 处的命中率P x =k x 2，∵ p 100=12，∴ k =5000，∴ p 150=50001502=29，p 200=50002002=18即这名射手在150m 处、200m 处的命中率分别为29，18． (2)由题意ξ∈6，3，1，0，记100m ，150m ，200m 处命中目标分别为事件A ，B ，C由(1)知P(ξ=6)=P(A)=12，P(ξ=3)=P(A ¯⋅B)=P(A ¯)⋅P(B)=12×29=19，P(ξ=1)=P(A ¯⋅B ¯⋅C)=12×79×18=7144，P(ξ=0)=1−P(ξ=6)−P(ξ=3)−P(ξ=1)=49144，所以随机变量ξ的分布列为Eξ=6×12+3×19+1×7144+0×49144=487144．【考点】离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列 【解析】(I)由题意，这名选手距目标xm 处的命中率P x =k x 2，根据射手甲在100m 处击中目标的概率为12，求出k ，然后可求出这名射手在150m 处、200m 处的命中率；(II)这名射手在比赛中得分数为ξ，ξ的可能取值为6、3、1、0，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列和期望． 【解答】解：(1)由题意，这名选手距目标xm 处的命中率P x =k x 2，∵ p 100=12，∴ k =5000，∴ p 150=50001502=29，p 200=50002002=18即这名射手在150m 处、200m 处的命中率分别为29，18． (2)由题意ξ∈6，3，1，0，记100m ，150m ，200m 处命中目标分别为事件A ，B ，C由(1)知P(ξ=6)=P(A)=12，P(ξ=3)=P(A ¯⋅B)=P(A ¯)⋅P(B)=12×29=19，P(ξ=1)=P(A ¯⋅B ¯⋅C)=12×79×18=7144， P(ξ=0)=1−P(ξ=6)−P(ξ=3)−P(ξ=1)=49144，所以随机变量ξ的分布列为Eξ=6×12+3×19+1×7144+0×49144=487144． 【答案】（1）证明：取PB 中点F ，连结EF ，CF ，∵ E 是PA 中点，∴ EF = // 12AB ，∵ AB // CD ，AB =2BC =2CD =2，∴ EF = // CD ，∴ 四边形EFCD 是平行四边形， ∴ DE // CF ，∵ DE 不包含于平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，∴ DE // 平面PBC ．（2）证明：∵ PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， ∴ PA ⊥BC ，∵ AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，∴ BC ⊥平面PAB ， ∵ BC ⊂平面PBC ，∴ 平面PBC ⊥平面PAB ．（3）解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 平行于AP 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，由题意知C(1, 0, 0)，D(1, 1, 0)，∵ 直线PD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√33，设P(0, 0, t)，PD →=(1,1,−t)，平面ABCD 的法向量z →=(0,0,1)， ∴ |cos <PD →，z →>|=√2+t 2=(√33)=√63，解得t =2或t =−2（舍），∴ PD →=(1,1,−2)，PC →=(1,0,−2)， 设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z)，则{PC →⋅n →=x −2z =0˙，取z =1，得n →=(2, 0, 1)，∵ 平面PAB 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos <n →，m →>=√6=√66． ∴ 平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√66． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题 平面与平面垂直的判定【解析】 （1）取PB 中点F ，连结EF ，CF ，由已知条件推导出四边形EFCD 是平行四边形，由此能证明DE // 平面PBC ．（2）由线面垂直得PA ⊥BC ，再由AB ⊥BC ，得BC ⊥平面PAB ，由此能证明平面PBC ⊥平面PAB ． （3）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 平行于AP 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【解答】（1）证明：取PB 中点F ，连结EF ，CF ， ∵ E 是PA 中点，∴ EF = // 12AB ，∵ AB // CD ，AB =2BC =2CD =2，∴ EF = // CD ，∴ 四边形EFCD 是平行四边形， ∴ DE // CF ，∵ DE 不包含于平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，∴ DE // 平面PBC ．（2）证明：∵ PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， ∴ PA ⊥BC ，∵ AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，∴ BC ⊥平面PAB ， ∵ BC ⊂平面PBC ，∴ 平面PBC ⊥平面PAB ．（3）解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 平行于AP 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，由题意知C(1, 0, 0)，D(1, 1, 0)，∵ 直线PD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√33，设P(0, 0, t)，PD →=(1,1,−t)，平面ABCD 的法向量z →=(0,0,1)，∴ |cos <PD →，z →>|=√2+t 2=√1−(√33)2=√63，解得t =2或t =−2（舍），∴ PD →=(1,1,−2)，PC →=(1,0,−2)，设平面PCD 的法向量n →=(x,y,z)，则{PC →⋅n →=x −2z =0˙，取z =1，得n →=(2, 0, 1)，∵ 平面PAB 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos <n →，m →>=√6=√66． ∴ 平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√66． 【答案】解：（1）当a =14时，函数f(x)=−23x 3+12x 2+3x ，f′(x)=−2x 2+x +3=−(x +1)(2x −3)， ∵ x ∈[−2, 2]，令f′(x)=0，解得x =−1，32．列表如下：由表格可知：当x =−1时，函数f(x)取得极小值，f(−1)=−116，又f(2)=83，∴ 函数f(x)在区间[−2, 2]的最小值为−116．当x =32时，函数f(x)取得极大值，f(32)=278，又f(−2)=43，∴ 函数f(x)在区间[−2, 2]的最大值为278．（2）g(x)=ln (1−x)+3−f′(x)=ln (1−x)+，g(x)=ln (1−x)+2x 2−4ax ，其定义域为(−∞, 1)． g′(x)=1x−1+4x −4a =4x 2−(4+4a)x+4a+1x−1，∵ 函数g(x)在定义域上单调递减，∴ g′(x)≤0，x ∈(−∞, 1)． ∴ 4x 2−(4+4a)x +4a +1≥0恒成立，x ∈(−∞, 1)． ⇔a ≥(2x−1)24(x−1)，x ∈(−∞, 1)．∵(2x−1)24(x−1)≤0，∴ a ≥0．因此实数a 的取值范围是[0, +∞)． 【考点】导数求函数的最值 导数的运算利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）当a =14时，函数f(x)=−23x 3+12x 2+3x ，f′(x)=−2x 2+x +3=−(x +1)(2x −3)，令f′(x)=0，解得x =−1，32．列出表格可得极值，再求出区间端点的函数值，经过比较即可得出最值．（2）g(x)=ln (1−x)+3−f′(x)=ln (1−x)+，g(x)=ln (1−x)+2x 2−4ax ，由1−x >0可得其定义域为(−∞, 1)．g′(x)=1x−1+4x −4a =4x 2−(4+4a)x+4a+1x−1．由于函数g(x)在定义域上单调递减，因此g′(x)≤0，x ∈(−∞, 1)．即4x 2−(4+4a)x +4a +1≥0恒成立，x ∈(−∞, 1)⇔a ≥(2x−1)24(x−1)，x ∈(−∞, 1)．求出右边的最大值即可． 【解答】解：（1）当a =14时，函数f(x)=−23x 3+12x 2+3x ，f′(x)=−2x 2+x +3=−(x +1)(2x −3)， ∵ x ∈[−2, 2]，令f′(x)=0，解得x =−1，32． 列表如下：由表格可知：当x =−1时，函数f(x)取得极小值，f(−1)=−116，又f(2)=83，∴ 函数f(x)在区间[−2, 2]的最小值为−116．当x =32时，函数f(x)取得极大值，f(32)=278，又f(−2)=43，∴ 函数f(x)在区间[−2, 2]的最大值为278．（2）g(x)=ln (1−x)+3−f′(x)=ln (1−x)+，g(x)=ln (1−x)+2x 2−4ax ，其定义域为(−∞, 1)． g′(x)=1x−1+4x −4a =4x 2−(4+4a)x+4a+1x−1，∵ 函数g(x)在定义域上单调递减，∴ g′(x)≤0，x ∈(−∞, 1)． ∴ 4x 2−(4+4a)x +4a +1≥0恒成立，x ∈(−∞, 1)． ⇔a ≥(2x−1)24(x−1)，x ∈(−∞, 1)．∵ (2x−1)24(x−1)≤0，∴ a ≥0． 因此实数a 的取值范围是[0, +∞)．【答案】（1）解：∵ 点Q 为直线x =−4上的动点，∴ 设Q(−4, y)， ∵ 过点Q 作直线l 垂直于y 轴，动点P 在l 上，∴ 设P(x, y)， ∵ OP ⊥OQ （O 为坐标原点）， ∴ OP →⋅OQ →=(x, y)(−4, y)=−4x +y 2=0，∵ 动点P 的轨迹为C ，∴ 曲线C 的方程为y 2=4x ．（2）证明：设A ，B 的坐标A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， ∵ AB 不与x 轴垂直，∴ 设直线AB 的方程为y =kx +b 代入抛物线方程，消元可得k 2x 2+(2bk −4)+b 2=0 ∴ x 1+x 2=4−2bk k 2，∵ 线段AB 中点的横坐标为2，∴ 4−2bk k 2=4，∴ b =2−2k 2k，∵ 线段AB 中点的坐标为(2, 2k +b)∴ AB 的垂直平分线方程为：y −(2k +b)=−1k (x −2) ∵ b =2−2k 2k，∴ 方程可化为x +4y −4=0，显然过定点(4, 0)∴ 线段AB 的垂直平分线恰过定点． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）由已知条件设Q(−4, y)，P(x, y)，由OP ⊥OQ （O 为坐标原点），知OP →⋅OQ →=(x, y)(−4, y)=−4x +y 2=0，由此能求出曲线C 的方程．（2）设直线AB 的方程为y =kx +b 代入抛物线方程，消元可得k 2x 2+(2bk −4)+b 2=0，由已知条件推导出AB 的垂直平分线方程为：y −(2k +b)=−1k (x −2)，由此能证明线段AB 的垂直平分线恰过定点．【解答】（1）解：∵ 点Q 为直线x =−4上的动点，∴ 设Q(−4, y)， ∵ 过点Q 作直线l 垂直于y 轴，动点P 在l 上，∴ 设P(x, y)， ∵ OP ⊥OQ （O 为坐标原点）， ∴ OP →⋅OQ →=(x, y)(−4, y)=−4x +y 2=0，∵ 动点P 的轨迹为C ，∴ 曲线C 的方程为y 2=4x ．（2）证明：设A ，B 的坐标A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， ∵ AB 不与x 轴垂直，∴ 设直线AB 的方程为y =kx +b 代入抛物线方程，消元可得k 2x 2+(2bk −4)+b 2=0 ∴ x 1+x 2=4−2bk k 2，∵ 线段AB 中点的横坐标为2，∴ 4−2bk k 2=4，∴ b =2−2k 2k，∵ 线段AB 中点的坐标为(2, 2k +b)∴ AB 的垂直平分线方程为：y −(2k +b)=−1k (x −2) ∵ b =2−2k 2k，∴ 方程可化为x +4y −4=0，显然过定点(4, 0)∴ 线段AB 的垂直平分线恰过定点．【答案】 证明：（1）由4S n+1−3S n =8040得4S n −3S n−1=8040，两式相减得4c n+1−3c n =0 所以，c n =2010⋅(34)n−1，经检验，此通项公式满足4S n+1−3S n =8040显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2010⋅(34)n +2010(34)n+1=2010⋅(34)n−1>c n ，所以{c n }是“三角形”数列；（2）显然a n =n +1，a n +a n+1>a n+2对任意正整数都成立， 即{a n }是三角形数列．因为k >1，显然有f(a n )<f(a n+1)<f(a n+2)，由f(a n )+f(a n+1)>f(a n+2)得k n +k n+1>k n+2，解得k <1+√52．所以当k ∈(1, 1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．【考点】 数列的应用 【解析】（1）先利用条件求出数列{c n }的通项公式，再证明其满足“三角形”数列的定义即可；（2）先由条件得{a n }是三角形数列，再利用f(x)=k x ，(k >1)是数列{a n }的“保三角形函数”，得到k n +k n+1>k n+2，解得k 的取值范围．【解答】 证明：（1）由4S n+1−3S n =8040得4S n −3S n−1=8040，两式相减得4c n+1−3c n =0 所以，c n =2010⋅(34)n−1，经检验，此通项公式满足4S n+1−3S n =8040显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2010⋅(34)n +2010(34)n+1=2010⋅(34)n−1>c n ， 所以{c n }是“三角形”数列；（2）显然a n =n +1，a n +a n+1>a n+2对任意正整数都成立， 即{a n }是三角形数列．因为k >1，显然有f(a n )<f(a n+1)<f(a n+2)，由f(a n )+f(a n+1)>f(a n+2)得k n +k n+1>k n+2，解得k <1+√52．所以当k ∈(1, 1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．。
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-北京卷
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D 2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。
【答案】D3．设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。
【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。
【2014西城二模】北京市西城区2014届高三二模试卷理科数学Word版含答案(wwwks5ucom2014高考)
北京市西城区2014年高三二模试卷数 学（理科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞2．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B （C （D4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A （DAA5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）（A ）1（B ）2（C ）π2（D ）π7. 在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组4100,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是（ ） （A ）14（B ）35（C ）34（D ）15正(主)视图俯视图侧(左)视图8. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ○1 ()x Ω○2 ()()x y Ω+Ω的取值范围是； ○3 ()()x y Ω-Ω恒等于0.其中所有正确结论的序号是（ ） （A ）○1（B ）○2○3（C ）○1○2（D ）○1○2○3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．61()x x+的二项展开式中，常数项为______． 10. 在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则sin A =_____；B =_____． 11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦， AB 与CD 相交于点E ，且4CE D E ==，:4:1AE BE =，则 AE =______；ACBD=______.12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．C D. O E BA13. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则||||MF MN +的取值范围是 .14. 已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中θ∈R .（Ⅰ）当2π3θ=时，求向量AB 的坐标； （Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求||AB 的最大值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ） 现从A 班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X 表示其中视力大于4.6的人数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =. （Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ； （Ⅱ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值； （Ⅲ）设点N 在线段PB 上，且PNPBλ=，//MN 平面ABC ，求实数λ的值.18．（本小题满分13分）已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22: 143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与ACPHM点,A B 不重合），O 为坐标原点.（Ⅰ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程； （Ⅱ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ； （Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．20 10．3 π411．8 2 12．13- 13．[3,+)∞14．8 {1,2}注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得(sin cos ,)AB θθθ=-， ……………… 2分当 2π3θ=时，2π2π1sin cos sin cos 332θθ+-=-=， ……………… 4分2π3θ==所以 AB =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 (sin cos ,)AB θθθ=-，所以 222||(sin cos )()AB θθθ=-+ ……………… 7分21sin 22sin θθ=-+ ……………… 8分 1sin 21cos 2θθ=-+- ……………… 9分π2)4θ=+. ………………10分因为π2θ≤≤，所以ππ5π2444θ+≤≤. ………………11分所以当π5π244θ+=时，2||AB取到最大值2||2()32AB=-=，……12分即当π2θ=时，||AB………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为A4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x+，…………2分B班5名学生的视力平均数为B5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x+. ………………3分从数据结果来看A班学生的视力较好. ………………4分（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大. ………………7分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X的所有可能取值为0，1，2. ………………8分所以3335C1(0)C10P X===；………………9分213235C C3(1)C5P X===；………………10分123235C C3(2)C10P X===. ………………11分所以随机变量X………………12分故1336()012105105E X=⨯+⨯+⨯=. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以 PA BC ⊥， ……………… 1分 又因为 AC BC ⊥， PAAC A =，所以 ⊥BC 平面PAC ， ……………… 2分 又因为 ⊂AH 平面PAC ，所以 BC AH ⊥. ……………… 3分 因为 ，AC PA =H 是PC 中点， 所以 AH PC ⊥， 又因为 PCBC C =，所以 ⊥AH 平面PBC . ……………… 5分 （Ⅱ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ， 所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M . ……………… 6分设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =，(1,2,0)AB =，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令1=z ，得(2,1,1)=-n . ……………… 8分 设PM 与平面AHB 成角为θ，因为)23,21,0(-=PM ，所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅n n n， 即 sin 15θ=.……………… 10分（Ⅲ）解：因为 (1,2,2)PB =-，PN PB λ=，所以 (,2,2)PN λλλ=-， 又因为 13(0,,)22PM =-， 所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……………… 12分 因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =， 所以 340MN AP λ⋅=-=， 解得 43=λ. ……………… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数1e ()44x f x x +=+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分11122e (44)4e 4e ()(44)(44)x x x x xf x x x ++++-'==++. ……………… 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞． 所以当0x =时，函数()f x 有极小值e(0)4f =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：因为 1a >，所以 22244(2)(1)0ax x x a x ++=++->，所以函数()f x 的定义域为R ， ……………… 7分求导，得12112222e (44)e (24)e (42)()(44)(44)x x x ax x ax x ax a f x ax x ax x +++++-++-'==++++，…… 8分令()0f x '=，得10x =，242x a=-， ……………… 9分 当 12a <<时，21x x <，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：故函数()f x 的单调减区间为(2,0)a -，单调增区间为(,2)a-∞-，(0,)+∞． ……………… 11分当 2a =时，210x x ==，因为12222e ()0(244)x x f x x x +'=++≥，（当且仅当0x =时，()0f x '=） 所以函数()f x 在R 单调递增. ……………… 12分 当 2a >时，21x x >，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：故函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-，单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a-+∞． 综上，当 12a <<时，()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞；当 2a =时，函数()f x 在R 单调递增；当 2a >时，函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-；单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a -+∞． ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为1-， 因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±. ……………… 3分 所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=.…………… 5分 （Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称， 只要证点1B 与点C 重合，.又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线. ……………… 7分 以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -.由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分 所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+. ……………… 10分在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)mk-， 由4OM ON ⋅=，得点N 的坐标为4(,0)km-， ……………… 11分 设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k kx y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m+⨯++⨯--=-=++++ ，………12分 因为 21112244k k x y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k k x kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯2121242()()8k k x x m x x k m=++++2222412482()()()83434m k kmk m k k m k -=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k---++=+ 0=， ……………… 13分所以 10NA NB k k -=，所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分 设2 a k =，则 2k ≥. 假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列， 所以公差210d b b =-=， 所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分（Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分 设3 ()a l l k =>， 则112l k k b b b -+====， 且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分 所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++121(1)p p a a p a a p -=-----++121()p p p pa p a a a a -=+-++++(1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。
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2014年北京市各区高三二模试题汇编—解析几何(理科)1.（2014东城二模）（13）若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ，N ，若2BN AM =，则k 的值2.（2014西城二模）3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B （C （D 3. （2014西城二模）13. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点， (2,2)N ，则||||MF MN +的取值范围是.[3,+)∞4. （2014朝阳二模）（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2]（B ）[2,)+∞（C ）（D ）)+∞5. （2014海淀二模）. 10.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为6.（2014丰台二模）（7）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则||||BF AF 的值等于 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）57.（2014昌平二模）（12）已知抛物线22(0)=>y px p 的焦点为(2,0)F ，则=p ________， 过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则=EF _____.4；528.（2014顺义二模）7.已知双曲线2221x y a-=（0a >），与抛物线24y x =的准线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积等于1，则a =A ．1C D ．129.（2014东城二模）（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点F ，且与椭圆交于B A ,两点，P 为直线3x =上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程.10.（2014西城二模）19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22: 143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M（与点,A B 不重合），O 为坐标原点.（Ⅰ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程； （Ⅱ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称.11.（2014朝阳二模）（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.12.（2014海淀二模）19.（本小题满分14分）已知椭圆G (0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.13（2014丰台二模）（19）（本小题满分13分）已知椭圆E ：22184x y +=与直线l ：y kx m =+交于A ,B 两点,O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线l 椭圆的左焦点，且k =1，求△ABC 的面积；（Ⅱ）若OA OB ⊥，且直线l 与圆O ：222x y r +=相切，求圆O 的半径r 的值.14（2014昌平二模）(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0,B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k . 求证:'⋅k k 为定值.15.（2014顺义二模）19. （本小题共14分）已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率e =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求TAB 面积的最大值.2014年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科)答案1~8略9.解（Ⅰ）依题意有2c =，3c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=．………………………………………………５分（Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． 则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+==设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+，02231ky k =-+．直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =，所以2023(1)(31)P k MP x x k +=-=+． 当△ABP 为正三角形时，AB MP 23=，223(1)(31)k k +=+ 解得1k =±．即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=．………………………………13分10．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ，……………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为1-， 因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±.……………… 3分 所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=.…………… 5分（Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称， 只要证点1B 与点C 重合，.又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合）， 所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线.……………… 7分 以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -. 由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+. ……………… 10分在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)mk-， 由4OM ON ⋅=，得点N 的坐标为4(,0)km-， ……………… 11分设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k kx y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m+⨯++⨯--=-=++++ ，………12分 因为 21112244k k x y y x y y m m +⨯++⨯ 21112244()()()()k kx kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯2121242()()8k kx x m x x k m=++++2222412482()()()83434m k kmk m k k m k -=⨯++-+++22323824832243234m k k m k k k k k ---++=+0=， ……………… 13分所以 10NA NB k k -=，所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称.……………… 14分11．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+．若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=， 222224128(1)03434m km k km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分 12.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a+=>.-------------------------------1分 由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分 由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++.----------------------------8分 所以直线BD 的方程为2211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅的取值}13解：（Ⅰ）椭圆E 的左焦点为（-2，0），所以直线l 为：y=x+2.222,1,84y x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得82(,),(0,2)33A B --， 所以1882233AOB S ∆=⨯⨯=. -----------------5分（Ⅱ）22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(21)4280k x kmx m +++-=. 2222164(21)(28)k m k m ∆=-+-22648320k m =-+>.设1122(,),(,)A x y B x y所以12221224,2128,21km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以1212()()y y kx m kx m =++，221212()k x x km x x m =+++222821m k k -=+. 因为OA OB ⊥所以12120x x y y +=，即22388m k =+，此时21283203k +∆=>.由题意r === 14(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由条件可知2,a b ==， …………2分 故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分 （Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分 由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分 因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立.设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分 因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ， 直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………9分 令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x y N ，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………10分 直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=- 12121()422y y x x =+-- 122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++ 34k=- 9所以k k '⋅为定值43-. …………13分 15．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在x 轴上，1c =，2c a =，∴a =1b =，———2分∴椭圆E 的方程为2212x y +=———4分 （Ⅱ）2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2234220x mx m ++-= 直线l 与椭圆有两个交点，∴0>，可得23m <（*）———6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ∴1243m x x +=-，212223m x x -=，弦长||AB =，———8分AB 中点2(,)33m m M -， 设(,0)T x ，∴1AB MT k k ⋅=-，∴31123m m x ⋅=---， ∴3m x =-∴(,0)3m T -，||TM =11分∴1||||2S AB MT ===23m <，∴232m =时，max 3S =，——14分（或：1||||2S AB MT ===29≤==""=当且仅当232m =时成立，max 3S =.（用其它解法相应给分）。