圆锥的投影、截交线及轴侧图
中职——机械制图课件第五章第六章
中职——机械制图课件第五章第六章第五章轴测投影学习要点：主要学习绘制轴测图的基本方法，对发展空间思维和想象能力会有很大的促进。
案例导入：将物体连同其参考直角坐标系一起，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投影在单一投影面上所得到的图形，称为轴测投影图，简称为抽测图（如图5-1）。
1．轴间角在4-1中，轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠X1O1Z1称为轴间角。
2．轴向伸图缩系数轴测轴上的单位长度与相应直角坐标轴上的单位长度的比值轴向伸图缩系数。
在空间三坐标轴上，分别取长度OA、OB、OC,它们的轴测投影长度为O1A1、O1B1、O1C1，令p=,q=,r=,则p、q、r分别称为OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
轴测投影按如前所述，分为正轴测投影和斜轴测投影。
每类再根据轴向伸缩系数的不同又分为三种：正（或斜）等轴测图p1=q1=r1正（或斜）二轴测图p1=r1≠q1正（或斜）三轴测图p1≠r1≠q1在轴测投影中，工程上应用最广泛的是正等测和斜二测。
如图5-2为长度均为a的正方体的两种轴测图。
在轴测投影中，工程上应用最广泛的是正等测和斜二测。
如图5-2为长度均为a的正方体的两种轴测图。
轴测投影的基本性质1．物体上相互平行的线段的轴测投影仍相互平行；2．物体上平行于坐标轴的直线段的轴测投影仍与相应的轴测轴平行；3．物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，其轴测投影保持不变。
正等测的三个轴间角相等，如图5-3∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=∠X1O1Z1=120°正等测的轴向伸缩系数也相等p1=q1=r1=0.82为了作图方便，一般采用简化轴向伸缩系数，p=q=r，即凡平行于各坐标轴的尺寸都按原尺寸作图。
形体的直观形象没有影响。
轴间角：∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=∠X1O1Z1=120°轴向变形系数：p=q=r=0.82简化轴向变形系数:p=q=r=11.平面立体正等轴测图的画法（1）在视图上建立坐标系；（2）画出正等测轴测轴；（3）按坐标关系画出物体的轴测图。
6.2.5圆锥的截交线
形体的表面交线圆锥的截交线掌握圆锥截交线的分析方法；掌握圆锥截交线的求解步骤。
目的和要求圆锥的截交线圆锥面的截交线因截平面与锥轴的相对位置不同，截交线可以是圆、椭圆、抛物线、双曲线或相交二直线。
平面与圆锥面交线的轴测图、投影图和截交线的形状如下。
垂直于轴线与素线都相交平行于一条素线平行于两条素线过锥顶截平面位置θ=0°θ＜αθ=αθ＞α截交线形状圆椭圆抛物线双曲线相交二直线轴测图投影图圆锥的截交线曲面立体截交线的特殊点：1.极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。
2.转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。
3.特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。
4.结合点 截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时结合处的那些点。
对于特殊点，根据现有的知识凡是能求出来的都应求出来。
圆锥的截交线圆锥面的截交线因截平面与锥轴的相对位置不同，截交线可以是圆、椭圆、抛物线、双曲线或相交二直线。
平面与圆锥面交线的轴测图、投影图和截交线的形状如下。
垂直于轴线与素线都相交平行于一条素线平行于两条素线过锥顶截平面位置θ=0°θ＜αθ=αθ＞α截交线形状圆椭圆抛物线双曲线相交二直线轴测图投影图圆锥的截交线例1. 求圆锥截切后的投影。
作图步骤:1.空间分析、投影分析；2.求出所有的特殊点；3.补画若干一般位置点；4.光滑连线，并判别可见性；5.整理轮廓线。
圆锥的截交线例2. 求圆锥截切后的投影。
作图步骤:1.空间分析、投影分析；2.求出所有的特殊点；3.补画若干一般位置点；4.光滑连线，并判别可见性；5.整理轮廓线。
课 程 小 结1. 圆锥截交线的三种情况——圆、椭圆、抛物线、 双曲线、三角形；2. 圆锥截交线的作图步骤：（1）空间分析、投影分析；（2）求出所有的特殊点；（3）补画若干一般位置点；（4）光滑连线，并判别可见性；（5）整理轮廓线。
计算机CAD 第3章 立体表面交线3.3 (教师专用课件!!!)
8" ●
●
3"
●
7"
●
4"●
● ● ●
2"
1'●
6"
1"
5"
3●
6● 1● 4
●
8 ● 3 1●
4●
●
2●
5
● ●
●
2
7
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的改变而改变。
45°
什么情况下投 影为圆呢? 截平面与轴线 成45°夹角时
例2：求左视图
例3:求作圆柱切口开槽后的视图
3′(4′) 1′(2′)
2
●
1
●
注意： 三面共点： 要逐个截平面分析和
2 1
绘制截交线。当平面体只 Ⅰ、Ⅱ两点分 有局部被截切时，先假想 别同时位于三个面 为整体被截切，求出截交 线后再取局部。 上。
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例5:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4（5） 7 5 6 3 4 2
y
完成后的三视图：
相贯线的特殊情况
1. 两回转体同轴时，相贯线为垂直于轴线的圆
2. 相贯线为平面曲线：两回转体公切于一圆球
3.相贯线为直线：两回转体沿素线相交，是直线 如：两圆柱轴线平行
或两圆锥共顶点
影响相贯线的各种因素 影响相贯线形状的因素主要有： 回转体表面的形状、大小及它们的相对位 置关系。
7‘ (8') 3‘(4’) 5' (6 ') 9‘ (10') 2' 1' 1"
8" 4" • 6" •
正等轴测投影图
一、正等轴测投影的形成正等轴测投影的投射方向S垂直于轴测投影间P，如图7-2 a所示，且确定物体空间位置的三个坐标平面与轴测投影面均倾斜，其上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾角均相等，物体上平行于三个坐标平面的平面图形的正等轴测投影的形状和大小的变化均相同，因此，物体的正等轴投影的立体感颇强。
二、正等轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数（一）轴间角正等轴测投影，由于物体上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾角均相等，因此，与之相对应的轴测轴之间的轴间角也必须相等，即∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°，如图7-3a 所示。
(二) 轴相伸缩系数正等轴测投影中OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数相等，即 p=q=r。
经数学推导得：p=q=r≈0.82。
为作图方便，取简化轴向伸缩系数p=q=r=1，这样，画出的图形，在沿各轴向长度上均分别放大到1／0.82≈1.22倍，如图7-3c所示。
三、平面立体的正等轴测图画法由多面正投影图画轴测图时，应先选好适当的坐标体系，画出对应的轴测轴，然后，按一定方法作图，画平面立体轴测图的基本方法是按坐标画出各顶点的轴测图，称为坐标法，见以下两例。
[例7-1] 根据三棱锥的三面投影图，画出它的正等轴测图。
作图步骤，如图7-4所示。
[例7-2] 根据六棱柱的三面投影图，画出它的正等轴测图。
作图步骤，如图7-5所示。
本题关键在于选定坐标轴和坐标圆点，如先确定顶面各点的坐标，可避免画不必要的作图线。
四、曲面立体的正等轴测图的画法（一）坐标平面（或其平面）上的圆的正等轴测投影坐标平面（或其平行面）上圆的正等轴测投影为椭圆。
立方体平行于坐标平面的各表面上的内切圆的正等轴测投影，如图7-6所示。
从图7-6中可以看出：（1）分别平行于坐标平面的圆的正等轴测投影均为形状和大小完全相同的椭圆，但其长轴和短轴方向各不相同。
（2）各椭圆的长轴方向垂直于不属于轴测投影（即轴测轴），且在菱形（圆的外切正方形的轴测投影）的长对角线上；短轴方向平行于不属于此坐标平面的那根坐标轴的轴测投影（即轴测轴），且在菱形的短对角线上。
第06章 形体的表面交线
1 空间分析、投影分析 2 找出所有特殊点 3 求点连线、判别可见性 4 补全所有棱线
6׳
5״ 7״
5
3 1
7 2 6 4
第六章 形体的表面交线
1'（2'） 2" 1"
例题： 求立体 截切后的 三面投影。
11'
3'（4'） 10' （5'）
4"
5"
3"
10"
9' 5 2（4）
（6'）
8' （7'） 6 7
第六章 形体的表面交线
平面体相贯线是指平面体与空间形体(平面体 或曲面体)相交时的表面交线,其特点是组成相 贯线的各截交线段都是平面曲线(包括直线)。 本节先讨论平面体相贯线。
第六章 形体的表面交线
1. 平面立体与平面立体相交 两平面立体的相贯线一般是空间闭合折线,相贯 线上每一线段都是两表面的交线,而折点则是某个立 体的棱线(或底边线)对另一立体的贯穿点。 求作两平面立体(全贯或互贯)的相贯线,通常采 用下面两种方法: (1) 求出一立体各有关平面与另一立体的截交线, 然后再分析、组合,得出相贯线。 (2) 求出两立体上各有关棱线的贯穿点,然后按一 定顺序连成相贯线 。 以上两法,为了避免作图的盲目性,在解题前都必 须先分析哪些平面、哪些棱线参与相贯。下面,举例 说明它们的作图过程。
6" 11" 7" 8"
9"
11
1（3） 8 9
10
第六章 形体的表面交线
例：求五棱柱截切后的侧面投影。
6’(7’) 6’(7’) 2’(3’) 1’ 4’(5’) 1’ 7” 6” 4” 2” 1”
机械制图-- 基本体及其截断体的投影
单元四基本体及其截断体的投影项目描述：任何机体，不管其形状多么复杂，都可以看成是由圆柱、圆锥、圆球、棱柱、棱锥等单一几何形体(基本体)按一定方式组合而成，它们是构成形体的基本单元。
本项目中通过介绍各种基本几何体及截断体的投影特征，学习基本几何体的画法及表面取点方法；学习基本几何体及截断体尺寸标注方法。
项目目标：1、掌握平面立体和曲面立体的种类及其三视图画法。
2、掌握平面立体和圆柱体表面取点、取线的作图方法。
3、能正确、完整的标注基本及其切口穿孔的尺寸。
4、掌握截切基本体交线的画法。
能力目标：1、学会运用投影原理分析基本体及其三视图。
2、培养运用投影原理绘制基本体三视图的能力。
3、掌握基本几何体表面求点方法。
任务一平面立体根据表面性质的不同，基本体分为平面立体和曲面立体两类。
立体表面全部由平面所围成的立体，称为平面立体。
如棱柱和棱锥等。
图4-1 基本体组成的机体一、六棱柱三视图及斜截六棱柱的三视图画法棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。
棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。
图4-2a所示为一正六棱柱。
由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。
设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。
(a) (b) 立体图 (c)投影图图4-2 正六棱柱投影及表面上的点的三视图1．六棱柱的三视图分析上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。
六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。
其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。
(1)俯视图六棱柱的俯视图是正六边形，是六棱柱顶面和底面的重合投影，反映顶、底面的实形。
正六边形的六条边是六个侧面垂直于顶、底面的积聚性投影。
(2)主视图六棱柱的主视图由三个矩形线框组成。
中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影，反映实形。
机械制图与识图项目3基本体及轴测图
1 利用积聚性求相贯线
两圆柱体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的 圆柱，那么此圆柱在该投影面上的投影具有积聚性，因而相 贯线的这一投影必然落在圆柱的积聚投影上，根据这个已知 投影，就可利用形体表面上取点的方法作出相贯线的其他投 影。
圆柱与圆柱相贯
例：两圆柱正交，求作相贯线的投影
作图: 1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
2)画侧棱线的各面投影， 不可见轮廓的投影画成 虚线。
直棱柱三视图的特性： 一个视图反映棱
柱的顶面和底面的实形， 另两个视图都是由实线 或虚线组成的矩形线框。
2. 棱柱表面上的点的投影 当点在形体的表面上时，点的投影必在它所从属的表面的同
面投影范围内。若该表面为可见，则表面上的点的同面投影也可 见；反之，为不可见。
当点位于转向轮廓线圆时， 可直接作出其投影。如图中的 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ点。
圆球面上取点
在圆球表面上，过任意一点可以作出无数个圆，但考虑作图简 便，应选择过球面上已知点作平行于投影面的辅助圆来作图。
例：已知圆球面上的M点
的V面投影m ′，求M点的
m′
m"
其他两面投影。
在球面上过M点作平
行于V面的辅助圆的方法
画圆锥的三视图： 1）用细点画线画出轴线
和圆的对称中心线； 2）画出投影为圆的视图； 3）画出其余两个视图。
3. 圆锥表面取点
M
(1)辅助素线法
利用圆锥面素线来求点 的投影的方法称为辅助素线 法。
例： 已知圆锥面上的M点投
m′
m"
影m′，求它的其他两面投影。
大一机械制图 第4章 立体的投影
P Q
48
例：求作水平投影
画步出骤未: 截切前
的1. 空俯间视和图投影分析 2.找特殊点，补充中间点 3.依次光滑连线判别可见性 4.完成轮廓线的投影
49
截平面与立体的相交形式
单体单面
基本形式
单体多面 多体多面
分别分析单面 与单体交线
截平面与截平面 之间的交线分析
体与体连接处的 交线分析
50
4.３ 两立体相交
判别可见性 4.完成轮廓线。
辅助平面为水平面
63
例:画出两圆柱相贯线的投影
64
相贯线的变化趋势分析
相交体大小对交线的影响
平面曲线
交线总弯向直径大的圆柱的轴线 等径圆柱
65
66
例：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
● ●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内形交线
轮廓线上的点是
a'
a'' 曲线虚实分界点
b'
(c'')
b''
(c') d'
(d'')
c
d a
b
分析
ac不平行轴线 故AC为曲线
作图
①找特殊点 ②求H投影 ③求W投影 ④光滑连接曲线
11
圆锥体
s'
s"
S
V
W
H
s
正面 轮廓线
侧面 轮廓线
13
圆锥体表面取点取线
建筑制图与识图--投影的基本知识
建筑识图与构造
4.2 曲面立体的投影
分析：过圆球面 上K点作一水平
的纬圆，该纬圆 的V面投影积聚 成水平线，而H
面投影反映实形 为一圆，点K 到
球的竖直轴线的 距离即为该圆的 半径。
k'
l'
o'
l
o k
k‘' o ‘'
建筑识图与构造
4.4 相贯型组合体
两平面立体相交的相贯线，一般情况下是由直线段组合 而成的空间折线多边形。构成相贯线折线的每一直线段， 都是两个平面体有关棱面的交线，每一个折点都是一平面 体的棱线对另一平面体的贯穿点。 求相贯线的一般步骤如下：
(1) 分析。认识两相贯体的形体特征，考察它们的相对位 置，研究它们哪些部分参与相贯，选择解题方法；
建筑识图与构造 第三章 投影的基本知识
第四节 基本形体的投影 第五节 轴测图的基本知识 第六节 视图的阅读
建筑识图与构造
第四节 基本形体的投影
4.1 平面立体的投影 定义：由平面构成的几何体称为平面几何体 。
平面几何体
各棱线相互平行的几何体（正方体、长方体、 棱柱体等）。
各棱线或其延长线交于一点的几何体（三棱锥、 四棱台等）。
建筑识图与构造
4.3 平面体的截交线
截平面：用来截立体的平面。
截交线：截平面与立体平面的交线。截交线是截平面和立 体表面的共有线，截交线是封闭的。截交线上的每个点都 是截平面和立体表面的共有点。
建筑识图与构造
4.3.1 棱柱的截交线
例题：如图所示，三棱柱被正垂面P截断，P面左下右上横向将三棱柱截切， 三棱线与截平面的交点是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，求三棱柱的截交线。
第3章-机械制图基本体
资讯
3.1 基本体的投影
立体按构成不同可分为基本体和组合体。 通常将棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体等简单几何体称为基本体。 按表面性质不同，又可将立体分为平面立体和曲面立体。 3.1.1 平面立体 由平面围成的立体称为平面立体，立体上相邻侧表面的交线称为 棱线。 1. 棱柱 (1) 棱柱的三视图 图3-1所示一放置在三投影面体 系中的正六棱柱。
图3-2 三棱锥的三视图
资讯
3.1.2 曲面立体 曲面立体的表面由曲面或曲面和平面组成。常见的曲面立体有圆 柱、圆锥和球体。 由于组成立体的曲面为回转面，故上述曲面立体也称为回转体。 有关回转面的几个概念如下。 回转面：一条线绕另一直线旋转所形成的运动轨迹。 回转面的轴线：不动的直线。 母线：即运动的线，回转面的母线可以是 直线也可以为任意曲线。 素线：母线位于回转面上任一位置时的线。
(a) 截切的圆锥
(b) 截切圆锥的视图
图3-17 圆锥的截交线
资讯
[例3-4] 完成被截切圆锥的视图。
(a) 求作截交线
(b) 整理图形 图3-18 圆锥的截交线
资讯
3. 球体的截交线 球体的截交线为圆，如图3-19所示。 由于截切的位置关系，球体截交线圆的投影可能为圆、直线或椭圆。 球体截交线的作图分析：当截交线的投影为圆或直线时，作图较为 简便。如是椭圆，则要利用找点的方法求得椭圆上若干点的投影后 再光滑连接各点。
资讯
若是沿圆柱轴线开一通孔，便称为圆筒。圆筒有内、外两个表面。 当截平面截切圆筒时，就会在内外表面上产生形状相同的截交线， 如图3-14所示。
(a)
(b)
图3-14 圆筒的截交线
资讯
圆筒被截切和开槽的情况如图3-15所示。
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特殊点
a'
c'
a' ' c'
'
b'
b'
'
辅助圆定点
b
a
c
.
一般点
a' c'
d'
b'
b
a
dc
.
描深图线 a'
' c' d' ' '
b'
'
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线 的的空投间影 如一形特何根状找轴性椭的？？圆端另点
？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
.
例2:圆锥被正平面截切，补全主视图。
e′
●
●
●
c′ d′
●
●
a′
b′
截交线
的空间 形状E？ 截C交线D B 的投影 A特性？
a●
●
c
e
●
●d
●
b
.
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
.
例3 圆. 锥截交线
返回
3.7.4画圆台的正等轴测图
.
.
小结
重点掌握：
一、基本体的三视图画法及面上找点的方法。
⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。
二、简单叠加体的画图和看图方法
⒈ 画图时一定逐个形体画，同时注意分析表面的 过渡关系，以避免多线或漏线。
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法）
素线法 纬圆法
作图步骤:
1). 投影分析
2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点
3). 求一般位置点
4). 光滑连接各点
5). 判断可见性
6). 整理轮廓线
.
上一级
4.辅助素线法求截交线
分析：P平面垂直于V面，其截交线的正面投 影积聚为一直线，水平和侧面投影需要求出。求
1m
O Y.H
YW M
o Ⅰ
(2) 辅助圆法
s'
Z
s"
m'
X
O
m"
YW
s
m
M YH
.
2.圆锥体表面上取点(模仿练习)
1. 纬圆法 2. 素线法
a'
(b')
b
"
b
(a")
Y B
前半锥 可见
A
a . 返回
3.7.3 平面与 圆锥相交
(1).平面与 圆锥相交所得截交线形状
圆
一对相交直线
椭圆
双.曲线
抛物线
返回
㈡ 圆锥体表面的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面 与圆锥面的交线有五种形状。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 两相交直线
θ=90° 圆
90°＞θ＞ α 椭圆
.
θ＝α 0°≤θ＜α 抛物线 双曲线
2 . 圆锥体的截交线
轴 测 图
PV
投 影 图
形式
圆
PV
PV PV
PV
椭圆
抛物线
.
双曲线
三角形
⒉ 看图时切忌只抓住一个视图不放。利用封闭线 框分解形体和分析表面的相对位置关系。
.
.
解时先确定截交线的特殊点，再求一般点。
辅助素线法：截 交线上任一点M，可 看成是圆锥面上某一 素线SI与截平面P的 交点。因M点在素线 SI上，故点M的三面 投影分别在该素线的
同面投影上。
S
特殊点
P
Ⅰ
.
特殊点
a'
一般点 c'
b'
b
a
c
a' ' c' 整理加深
' b' '
S
由点连线
P
Ⅰ
.
5.利用辅助平面法(纬圆法)求截交线
圆锥体
形成：锥面可看作直线SA绕与它相交的轴线旋转而成。 构成：圆锥体由圆锥面，底面（平面）所围成。
视图分析：圆锥俯视图是一个圆线框，主、左视图是
两个全等的三角形线框。 俯视图的圆线框，反映
圆锥底面的实形，同时也表 示圆锥的投影。主、左视图 V
的等腰三角形线框，其下边
Z 最前轮 廓素线
s'
S
s"
为圆锥底面的积聚性投影。
b'
母线
A
O
S 素线
O
c' a' (d')
A
X
d
最左轮
a
廓素线
d" a"
C (b") c" b
cYBiblioteka .圆锥轮廓 素线的投影
最左
圆锥体的投影图形
最后 最右
最前
圆锥轮 廓素线
.
3.7.2. 属于圆锥表面的点
已知圆锥表面点M的正面投影m′，求m和m″。
方法：(1)辅助素线法
s'
Z
s"
s
m' m"
1'
X
s