2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(文科)：热点探究训练5平面解析几何中的高考热点问题文北师大版_33
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：热点探究训练1导数应用中的高
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热点探究训练(一) 导数应用中的高考热点问题1．(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a －2.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋ax ＋x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上是增加的．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上是减少的．(2)证明：由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1， 则g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的． 故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0. 所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f (x )≤－34a－2.2．已知函数f (x )＝e x(x 2＋ax －a )，其中a 是常数．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝e x(x 2＋ax －a )可得f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ].2分当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e.5分(2)令f ′(x )＝e x[x 2＋(a ＋2)x ]＝0， 解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.6分当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0， 所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根． 8分当－(a ＋2)＞0，即a ＜－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (－(a ＋2))＝a ＋4ea ＋2.因为函数f (x )是(0，－(a ＋2))上的减函数， 是(－(a ＋2)，＋∞)上的增函数，且当x ≥－a 时， 有f (x )≥e －a(－a )＞－a ，又f (0)＝－A ．所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a .12分3．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【导学号：00090078】[解] (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ). 1分(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的. 3分(ⅱ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的． ②若a ＞－e2，则ln(－2a )＜1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上是增加的，在(ln(－2a )，1)上是减少的. ③若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上是增加的， 在(1，ln(－2a ))上是减少的.7分(2)(ⅰ)设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，所以f (x )有两个零点.9分(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a ＜0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上是增加的．又当x ≤1时f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上是减少的，在(ln(－2a )，＋∞)上是增加的．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).12分4．(2017·郑州二次质量预测)已知函数f (x )＝e xx －m.(1)讨论函数y ＝f (x )在x ∈(m ，＋∞)上的单调性；(2)若m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则当x ∈[m ，m ＋1]时，函数y ＝f (x )的图像是否总在函数g (x )＝x2＋x 图像上方？请写出判断过程． [解] (1)f ′(x )＝exx －m －e x x －m 2＝e x x －m －x －m 2，2分当x ∈(m ，m ＋1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(m ＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(m ，m ＋1)上是减少的，在(m ＋1，＋∞)上是增加的. 4分(2)由(1)知f (x )在(m ，m ＋1)上是减少的，所以其最小值为f (m ＋1)＝em ＋1. 5分因为m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，g (x )在x ∈[m ，m ＋1]最大值为(m ＋1)2＋m ＋1.所以下面判断f (m ＋1)与(m ＋1)2＋m ＋1的大小，即判断e x与(1＋x )x 的大小，其中x ＝m ＋1∈⎝⎛⎦⎥⎤1，32.令m (x )＝e x －(1＋x )x ，m ′(x )＝e x－2x －1， 令h (x )＝m ′(x )，则h ′(x )＝e x－2，因为x ＝m ＋1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，所以h ′(x )＝e x－2＞0，m ′(x )单调递增．8分所以m ′(1)＝e －3＜0，m ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e 32－4＞0，故存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，使得m ′(x 0)＝e x 0－2x 0－1＝0，所以m (x )在(1，x 0)上是减少的，在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，32上是增加的 ，所以m (x )≥m (x 0)＝e x 0－x 20－x 0＝2x 0＋1－x 20－x 0＝－x 20＋x 0＋1，所以当x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，m (x 0)＝－x 20＋x 0＋1＞0，即e x ＞(1＋x )x ，也即f (m ＋1)＞(m ＋1)2＋m ＋1， 所以函数y ＝f (x )的图像总在函数g (x )＝x 2＋x 图像上方．12分。
2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第9章 平面解析几何 第6讲
标准方程 范围 对称 性 质 性 顶点 渐近 线
x2 y2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 x≥a 或 x≤－a，y∈R
y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 y≤－a 或 y≥a，x∈R
坐标轴 ，对称中心：______ 原点 对称轴：________
A1(－a，0)，A2(a，0) b y＝ ± ax A1(0，－a)，A2(0，a) a y＝ ± bx
2 2 （－ 5 ＋ 6 ） ＋ 2 － 解析：选 B．2a＝
（－5－6）2＋22
＝ 4 5． 所以 a＝2 5，又 c＝6， 所以 b2＝c2－a2＝36－20＝16． x2 y2 所以双曲线的标准方程为 － ＝1．故选 B． 20 16
x2 y2 (选修 11 P51 例 3 改编)双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的一条 a b 渐近线方程为 4x＋3y＝0，则双曲线的离心率为( 4 A． 3 5 C． 4 5 B． 3 D．2 )
2a（P在右支上） |PF1|－|PF2|＝ ，其中 －2a（P在左支上）
F1、F2 为左、右焦
点． (2)求双曲线标准方程的一般方法 ①待定系数法
设出双曲线方程的标准形式， 根据已知条件， 列出参数 a、 b、 x2 y2 c 的方程并求出 a、b、c 的值，与双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b x2 y2 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 2－ 2＝λ(λ≠0， a>0， a b b>0)． ②定义法 依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位 置确定 c 的值．
2 2 a ＋ b c ＝____________ (c＞a＞0，c＞b＞0)
2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第四章 三角函数、解三角形 4.3
(k∈Z)
π 6 5π 6
C. 2������π + ,2������π +
(k∈Z)
π 6
D. ������π + ,������π +
(k∈Z)
(2)函数 f(x)=3sin 2������A. - ,
3 3 2 2
在区间 0, C.
π A.2 2π B. 3
)
C.π
D.2π
关闭
因为 y=√3sin 2x+ cos 2x=2 其最小正周期 T= =π. 2 C
2π
√3 sin2������ 2
+ cos2������ =2sin 2������ +
2
1
π 6
,所以
关闭
解析
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
5.函数 y=3cos 2������- 4 的单调递增区间是
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)y=cos x在第一、二象限内是减函数. ( ) (2)若y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值是k+1. ( ) (3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数 f(x)的周期. ( ) π (4)函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ+ (k∈Z)( )
y=sin x
奇函数
y=cos x
偶函数
y=tan x 奇函数 π ������π- , 2 (k∈Z)
π 2������π- , 2 π 2������π + (k∈Z) 2 π 2������π + , 2 3π 2������π + 2 (k∈Z)
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第5节 椭 圆
则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形
[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、
右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(
A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)
解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,
所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程
为
(0, )
+
=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.
解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为
(0,).
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线
2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第9章 平面解析几何 第5讲 第2课时
4－t2－2 4－t2＋2 则 k1＋k2＝ － ＝－1，得 t＝2，不符合题 2t 2t x2 2 设．从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入 ＋y 4 ＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0． 由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0．
解：(1)由题意知，以椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴 长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2， |c＋1| 所以圆心到直线 x＋y＋1＝0 的距离 d＝ ＝a，(*) 2 因为椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 三角形， 所以 b＝c，a＝ 2b＝ 2c，代入(*)式得 b＝c＝1， 所以 a＝ 2b＝ 2， x2 2 故所求椭圆方程为 ＋y ＝1． 2
x2 y2 (2)证明： 将直线 AM 的方程 y＝k(x＋2)(k＞0)代入 ＋ ＝1， 4 3 得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0． 16k2－12 2（3－4k2） 由 x1·(－2)＝ ， 2 ，得 x1＝ 2 3＋4k 3＋4k
2 12 1 ＋ k 故|AM|＝|x1＋2| 1＋k2＝ 2 ． 3＋4k
所以 t∈(－2，0)∪(0，2)． 综上可得 t∈(－2，2)．
考点二
椭圆中定点、定值问题
x2 y2 (2017· 高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)， a b 3 3 四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1， )，P4(1， )中恰有三 2 2 点在椭圆 C 上． (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A， B 两点． 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
1 由题设，直线 AN 的方程为 y＝－k(x＋2)，故同理可得|AN| 12k 1＋k2 ＝ ． 3k2＋4 2 k 由 2|AM|＝|AN|，得 ， 2＝ 2 3＋4k 3k ＋4 即 4k3－6k2＋3k－8＝0．
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第4章 平面向量、数系的扩
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第二节 平面向量基本定理及坐标表示[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(对应学生用书第59页)[基础知识填充]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( ) A ．5 B ．13 C ．17D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13.]3．(2018·洛阳模拟)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)A [AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A ．]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.](对应学生用书第60页)(1)12面内所有向量的一组基底的是 ( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1(2)(2018·太原模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________. 【导学号：00090130】(1)D (2)43 [(1)选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.][规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．[变式训练1] 如图421，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD与BC 的中点．设BA →＝a ，BC →＝b ，则EF →＝________，DF →＝________，CD →＝________(用向量a ，b 表示)．图42113b －a 16b －a a －23b [EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF →＝DE →＋EF →＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD →＝CF →＋FD →＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23B ．]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，则|2a ＋b |的最小值为________．25 [由条件得2a ＋b ＝(2＋t,2t －6)，所以|2a ＋b |＝＋t2＋t －2＝t －2＋20，当t ＝2时，|2a ＋b |的最小值为2 5.]已知a(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值.【导学号：00090131】[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0， ∴m ＝32.[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λA ．2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．[变式训练3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．(1)π4 (2)k ≠1 [(1)由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或－22，又θ为锐角，所以θ＝π4. (2)若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， 所以1×(k ＋1)－2k ≠0， 解得k ≠1.]。
2019届高考数学人教A版文科一轮复习课件：第五章 平面
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(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
答案 答案
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2.(2017全国Ⅱ,文4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥bD.|a|>|b|
)
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由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2,即a· b=0. 又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A. A
a-b=a+(-b)
λ(μa)= λμa ; (λ+μ)a= λa+μa ; λ(a+b)= λa+λb
-8知识梳理 双基自测 自测点评
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3.向量共线定理 (1)向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使 b=λa 得 . 注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性. (2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有
第五章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入
-2-
5.1
平面向量的概念及线性运算
-4知识梳理 双基自测 自测点评
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1.向量的有关概念
名称 定 向量 义 备 注 既有 大小 又有 方向 的量;向量AB的大 小叫做向量的 长度 (或 模 ),记作|AB| 的向量;其方向是任意的 平面向量是自 由向量 记作 0 非零向量 a 的 单位向量为 ±|������ |
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A
答案 答案
-13知识梳理 双基自测 自测点评
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高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第11节 圆锥曲线中的证明与存在性问题
解:(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件.
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).
设Q(x0,y0)(x0>1)为双曲线C右支第一象限上一点.
当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,
所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,
所以t=-1,即M(-1,0).
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当 p<0 时,x=± -,则 2 -=4 ,
解得p=-4,故C的方程为x2=8y.
(2)设P为C的准线上一点,过P作C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB
的斜率分别为k1,k2,且直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,直线AB的
斜率为k0.证明:k1·k2为定值,且k1,k0,k2成等差数列.
(2)证明:由(1)可知C的准线方程为y=-2,
不妨设P(m,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意,过点P且与C相切的直线l的斜率一定存在,设为k,
则l:y=k(x-m)-2,且k≠0,
= (-)-,
2
联立
得 x -8kx+8(km+2)=0,
= ,
2
2
则Δ=64k -32(km+2)=0,即 k -mk-1=0,
|| ||
,证明:∠ANC=2∠AMC.
=
|| ||
(2)证明:由(1)可知 M(-8,0),设直线 l 的方程为 x=my-8,其与椭圆
E:+=1 的交点为 B(x1,y1),C(x2,y2),
+
=
,
2
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
还是由交点纵坐标确定,同时还要注意坐标与距离关系.
(2)求解与抛物线有关的问题,要充分利用平面几何的性质.
角度二
抛物线性质的综合应用
[例4] (2024·陕西商洛模拟)已知F为抛物线y2=16x的焦点,P为该
||
抛物线上的动点,点A(-1,0),则
代入点P(-1,2),
解得 k=-4 或 m=,
2
2
所以 y =-4x 或 x =y.
2
y =-4x 或 x = y
.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
抛物线的定义及应用
[例1] (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,
点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(
直径的圆与y轴相切.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点
坐标是 (,0) ,准线方程是 x=- .( × )
(2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象就是抛物线.( √ )
设出对应的标准方程,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件
就可以确定抛物线的标准方程.
[针对训练]
(1)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为
(
)
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
√
解析:(1)由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第4章 重点强化课2 平面向量学案
重点强化课(二) 平面向量(对应学生用书第65页)[复习导读] 从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1 平面向量的线性运算 (1) (2018·深圳模拟)如图1，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若＝λ＋μAC → AM→ ，则λ＋μ＝( )BD→图1A ．B ．4353C ．D ．2158(2)在▱ABCD 中，AB ＝a ，＝b,3＝，M 为BC 的中点，则＝________.(用a ，b 表AD → AN → NC → MN→ 示)(1)B (2)－a －b [(1)因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ3414AC → AM → BD → AB → BM → BA → AD→＋μ(－＋)＝(λ－μ)·＋，所以Error!得Error!所以(AB → ＋12AD → )AB → AD → AB → (12λ＋μ)AD → λ＋μ＝，故选B ．53(2)如图所示，＝＋MN → MC → CN→＝＋12AD → 34CA → ＝＋(＋)12AD → 34CB → CD →＝＋(＋)12AD → 34DA → BA → ＝b －b －a ＝－a －B ．]1234343414[规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．O 在AB 外，A ，B ，C 三点共线，且＝λ＋μ，则有λ＋μ＝1.OA → OB → OC→ [对点训练1] 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且＋＋2＝0，则△ABC 的面积OA → OB → OC→ 与△AOC 的面积的比值为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．6B [因为D 为AB 的中点，则＝(＋)，OD → 12OA → OB →又＋＋2＝0，OA → OB → OC→ 所以＝－，所以O 为CD 的中点．OD → OC→ 又因为D 为AB 的中点，所以S △AOC ＝S △ADC ＝S △ABC ，1214则＝4.]S △ABCSAOC 重点2 平面向量数量积的综合应用 (2018·杭州模拟)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足||＝2||.PM → PN→ (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝·，求f (a )的取值范围. 【导学号：00090144】GA → GB→ [解] (1)设P 的坐标为(x ，y )，则＝(4－x ，－y )，＝(1－x ，－y )．PM → PN→∵动点P 满足||＝2||，∴＝2，PM → PN→ 4－x 2＋y 2 1－x 2＋y 2整理得x 2＋y 2＝4.4分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，)，B (a ，－)，∴f (a )＝·＝(0，4－a 24－a 2GA → GB→ )·(0，－)＝a 2－4；6分4－a 24－a 2(b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，2ak 21＋k 2k 2a 2－41＋k 2∴f (a )＝·＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )GA → GB→ ＝a 2－4.由(a)(b)得f (a )＝a 2－4.10分∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点，∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是[－4,0).12分[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．[对点训练2] (1)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A ．－1 B ．22C ．＋1D ．＋222(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠B ＝，点P 满足π3AP ＝λ，λ∈R ，若·＝－3，则λ的值为( ) 【导学号：00090145】AB → BD → CP→ A ．B ．－1212C ．D ．－1313(1)C (2)A [(1)∵a ，b 是单位向量，且a ·b ＝0，∴|a |＝|b |＝1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，∴|a ＋b |＝.又|c －a －b |＝1，2∴|c |－|a ＋b |≤|c －a －b |＝1.从而|c |≤|a ＋b |＋1＝＋1，2∴|c |的最大值为＋1.2(2)法一：由题意可得·＝2×2cos 60°＝2，BA → BC→ ·＝(＋)·(－)BD → CP → BA → BC → BP → BC → ＝(＋)·[(－)－]BA → BC → AP → AB → BC → ＝(＋)·[(λ－1)·－]BA → BC → AB → BC → ＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2BA → BA → BC → BA → BC → BC→ ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故选A ．12法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－1，)．33令P (x,0)，由·＝(－3，)·(x －1，－)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3，得x ＝1.BD → CP→ 33∵＝λ，∴λ＝.AP → AB→12故选A ．]重点3 平面向量与三角函数的综合应用 (2017·合肥二次质检)已知m ＝，n ＝(cos x,1)．(sin (x －π6)，1)(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调增区间．[解] (1)由m ∥n 得sin－cos x ＝0，3分(x －π6)展开变形可得sin x ＝cos x ，3即tan x ＝.5分3(2)f (x )＝m ·n ＝sin＋，7分12(2x －π6)34由－＋2k π≤2x －≤＋2k π，k ∈Z 得π2π6π2－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z .10分π6π3又因为x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为和.12分[0，π3][5π6，π][规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[对点训练3] 已知O 为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin OA → OB→α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为( )(3π2，2π)OA → OB→ A ．－ B ．－ 4345C ． D ．4534A [由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcosα－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tanα－4＝0，由于α∈，(3π2，2π)则tan α<0，解得tan α＝－，故选A ．]S43。
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热点探究训练(五)平面解析几何中的高考热点问题1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，B ．[解](1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3aC ．2分将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.5分(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4A ．① 8分由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2 －c －x 1 ＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.10分代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 a 2－4a 4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 12分2．已知椭圆C 的方程为：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解](1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 2分 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. 5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0， 所以tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.8分又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2 4－x 20 x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4). 10分因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.12分3．如图4，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．图4(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[解](1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8. 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.2分解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).5分(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.8分由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2，10分则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎪⎫2a＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.12分4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． [解]∵b ＝1，e ＝22， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝1＋c 2，解得a 2＝2.3分故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)，由于点A (m ，n )在椭圆C 上， ∴－1<n <1.5分∵直线PA 的方程为y －1＝n －1mx ，∴x M ＝m 1－n ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)∵点B 与点A 关于x 轴对称， ∴B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.8分“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.∵x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，∴y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.10分∴y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ . 点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2).12分5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.图5(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解](1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3， 3分 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2.8分设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4km， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m .∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，10分∴MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意.12分6．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.[解]由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 2分(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .5分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 8分由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1). 10分而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求的轨迹方程为y 2＝x －1.12分。