线性代数第11讲 向量空间

则 x + y = (k1 + l1 )α1 + (k2 + l2 )α2 + L+ (k s+ls )αs ∈W kx = kk1α1 + kk2α2 + L+ kksαs ∈W
例2 所描述的子空间 W 叫α 1 , α 2 ,Lα s的生成子空间. L ). 记为L(α1 ,α 2 , ,αs ).
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例 3 求 由 向 量 组 α 1 = ( − 1, 6, 2), α 2 = (3, 7, − 1),
α 3 = ( − 3, − 2, 2), α 4 = (5, 0, − 4), 生 成 的 向 量 空 间
V的维数和一组基 . 解： 只需 求α 1 , α 2 , α 3 , α 4的秩 和 它的 一个 极大 无关
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例：n 维单位坐标向量组 ε1 , ε 2 ,L, ε n 是 Rn 的一个极大 无关组，它是向量空间 Rn 的一个基,从而 dim Rn = n.
例：向量组α1 =(1,1,1)T，α2 =(0,1,1)T，α3 =(0,0,1)T =(1,1,1)， =(0,1,1)， 线性无关，所以，α1 ,α2 ,α3 也是 R3 的基.
规 定:由零向 量组成的向 量组的秩为零 .
定理3.3.2: 若一个向量组的秩为 r，则该向量组中 的任意 r + 1 向 量都线性相 关.
定理3.3.4 对任意向量组α1 , α 2 ,Lα m , 有 R{α1 , α 2 ,Lα m } = R(α1 , α 2 ,Lα m ).
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向量空间定义
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例 2 设α1 , α 2 ,Lα s是向量空间V 中的s个n维向量, 则
W = { x = k1α1 + k2α2 + L+k sαs | k1 , k2 ,L, ks ∈ R}
构成 V 的 子空 间 , 因为 设
x = k1α1 + k2α2 + L+k sαs ∈W y = l1α1 + l2α2 + L+l sαs ∈W
L 定义3.4.2 上式中的数组 k1，k2， ，km 称为 定义 下的坐标. 向量 α 在基 α1 , α 2 ,L , α m 下的坐标
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例，R3 中向量 α =(1,2,2)T = ε 1 + 2ε 2 + 2ε 3，所以，
α 在 R3 的自然基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下 的坐标是 1, 2, 2. 但
kα = (0, kx2 , kx3 ,L kxn ) ∈ V .
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向量空间具有以下性质： 向量空间具有以下性质： 性质1 性质 非空集合 V 是向量空间 ⇔
∀α , β ∈ V，∀ k , l ∈ R，有 kα + l β ∈ V .
性质2 向量空间必包含零向量 性质 向量空间必包含零向量. 单个零向量组成零空间，它也是向量空间 单个零向量组成零空间，它也是向量空间. 零空间 非零向量空间具有无限个向量. 非零向量空间具有无限个向量
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定义3.4.1 设 W 是向量空间 V 的非空子集， 的非空子集， 定义 若 W 对加法和数乘运算封闭，则称 W 是 V 对加法和数乘运算封闭， 子空间. 的子空间 两个特点： 的子集； 两个特点：W 是V 的子集；本身是向量空间 注 任意向量空间 V 具有它自身和零空间这 两个子空间， 平凡子空间. 两个子空间，它们也称为 V 的平凡子空间 其它的子空间称为非平凡子空间 非平凡子空间. 其它的子空间称为非平凡子空间
第三章第4节二 节二2、 例 第三章第 节二 、三2
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内积的定义及性质
设有n 设有 维向量 x1 y1 x2 y2 x = , y = , M M x y n n 令 [ x , y ] = x1 y1 + x2 y2 + L + x n yn
定义3.4.1 设 V 是由 n 维向量组成的非空集合， 维向量组成的非空集合， 定义 若对 V 中任意向量 α , β 及任意数 k ，α + β ∈ V 都成立， 向量空间. 和 kα ∈ V 都成立，则称 V 是向量空间 当加法运算和数乘运算具有这些特点时， 当加法运算和数乘运算具有这些特点时，称集 运算封闭. 合对加法和数乘运算封闭 合对加法和数乘运算封闭
[ x, y ] = xT y.
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内积的运算性质
(其中 x , y , z 为n维向量 , λ为实数 ) : (1) [ x , y ] = [ y , x ];
( 2) ( 3)
[λx , y ] = λ [ x , y ]; [x +
y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ];
(4)[ x , x ] ≥ 0, 且当x ≠ 0时有[ x , x ] > 0.
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向量的长度及性质
定义3.4.5 定义3.4.5 令
x =
[x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,
称 x 为 n 维向量 x 的 长度 (或 范数 ).
向量的长度具有下述性质： 向量的长度具有下述性质： 1. 非 性当 x ≠ 0时, x > 0;当 x = 0时, x = 0; 负
§3.4 向量空间
向量空间的定义 基和维数 坐标变换 向量的内积 向量的长度和性质 向量的正交化方法 正交矩阵 小结
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满足： 定义3.3.1 定义3.3.1 设向量组 S 的部分组 α1 , α 2 ,L , α r 满足： 线性无关； （1） α1 , α 2 ,L , α r 线性无关； （2）向量组 S 中的每一个向量均可以 线性表示. 由 α1 , α 2 ,L , α r 线性表示. 则称 α1 , α 2 ,L , α r 是向量组 S 的极大线性无关组， 极大线性无关组， 简称极大无关组 极大无关组. 简称极大无关组.
推论 若 n 维 向 量 组 β 1 , β 2 ,L , β s 可 由 n 维 向 量 组
α 1 , α 2 ,L , α m 线 性表 示,则 R( β 1 , β 2 ,L , β s ) ≤ R(α 1 , α 2 ,L , α m ).
第三章1三 例 第三章 三2
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定义 3.3.4 向量组的极大线性无关组所含向量个数， 称为该向量组的秩，记为 R{α1 , α 2 ,L , α m }.
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由向量组 α 1 , α 2 , Lα s 所生成的向量空间 :
W = { x = k1α1 + k2α2 +L+ k sαs | k1 , k2 ,L, ks ∈ R}
由 于 向 量 空 间 W 与 向 量 组 α 1 , α 2 ,L α s 等 价 ， 所 以 向 量 组 α 1 , α 2 ,L α s 的 极 大 无 关 组 就 是 W 的 一 个 基 ， 向 量 组 α 1 , α 2 ,L α s 的 秩 就 是 W 的维数. dim L(α 1 , α 2 ,L α s ) = R{α 1 , α 2 ,L α s }.
因为 α = (1,2,2)T = (1,1,1)T + (0,1,1)T + 0(0, 0,1)T ， 所以 α 在 R3 的基α 1 = (1,1,1)T ，α 2 = (0,1,1)T ，
α 3 = (0, 0,1)T 下的坐标是 1,1, 0.
由此 可 见, 向量 空间 V中 的 向量 在V 的不 同 基下 的 坐标是不同的.
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a1 j a2 j β i = a1 jα1 + a2 jα 2 + L + amjα m = (α1 , α 2 ,L , α m ) M a mj
a11 a21 ( β 1 , β 2 ,L , β m ) = (α1 , α 2 ,L , α m ) M am 1 a12 a22 M am 2 L a1m L a2 m M L amm
那 么 ,两 个 不 同 的 坐标 之 间 有 什么 关 系 呢 ?
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例3.3.5 设 { β1 , β 2 ,L , β m } 可由 {α1 , α 2 ,L , α m } 线性表示，
β i = a1 jα1 + a2 jα 2 + L + amjα m ( j = 1, 2,L , m ), A = (aij )m×m .
2. 齐 性 λx = λ x ; 次
3. 三 不 式 x + y ≤ x + y . 角 等
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位 量 n 向 间 夹 *单 向 及维 量 的 角
(1) 当 x = 1时 , 称 x 为单位向量 .
(2 ) 当 x ≠ 0, y
[x, y] ≠ 0时 ,θ = arccos
x y
称为 n维向量 x与 y的夹角 .
例 4 求 向 量 α = ( 1, 2, 2, 3 ) 与 β = ( 3,1, 5,1 ) 的 夹 角. α ⋅ β = 18 = 2 解 Q cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = . 4
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将向量空间 V 看作向量组,向量空间 V 的基就是 该向量组的极大无关组, 而维数 r 就是该向量组 的秩 .
dimV=r， 定理3.4.2 设 V 是向量空间，若 dimV=r，则 V 中任意 r+1 个向量都线性相关.
dimV=r， 推论 设 V 是向量空间，若 dimV=r，则 V 中任意 r 个线 性无 关 的向 量 组都 是 V 的 一 个基 .
定义3.4.5 定义3.4.5
称 [ x , y ]为向量 x 与 y 的 内积 .