线性代数 向量空间
线性代数中的向量空间及其基本性质
线性代数中的向量空间及其基本性质向量空间是线性代数中的一个重要概念。
它起源于欧氏空间中的几何向量，但不仅仅局限于几何背景。
向量空间是所有线性组合构成的集合，在数学中有广泛的应用，如线性代数、微积分、统计学等。
本文将就向量空间及其基本性质进行详细的阐述。
一、向量空间的定义定义1：设V为一个数域k上的非空集合，称V上的元素为向量。
如果：① V中定义了向量的加法（+），使得∀u，v∈V，都有u+v∈V；② V中定义了数乘，即对于任意的k∈K，都有ku∈V；满足：①加法交换律：∀u，v∈V，都有 u +v=v +u；②加法结合律：∀u，v，w∈V，都有 u +(v +w)=(u +v)+w；③加法有零元：∃0∈V，使得对于任意的u∈V，都有u+0=u；④加法有负元：∀u∈V，∃v∈V，使得u+v=0；⑤数乘结合律：∀k，l∈K，∀u∈V，都有 (kl)u=k(lu)；⑥数乘分配律1：∀k∈K，∀u，v∈V，都有k(u+v)=ku+kv；⑦数乘分配律2：∀k，l∈K，∀u∈V，有 (k+l)u=ku+lu；⑧数乘有单位元1：∀u∈V，都有1u=u。
则称V是数域k上的向量空间，简称向量空间。
向量空间的典型例子包括n元有序实数对$(x_1,x_2,...,x_n)$以及所有n次实系数多项式构成的集合$P_n(R)$。
二、基本概念1. 向量向量是指向量空间中的元素。
2. 零向量零向量是指满足向量空间中定义的加法有零元的向量，用0表示。
3. 运算在向量空间中，有两种运算：加法和数乘。
向量空间中的任何向量都可以通过加法和数乘来表示。
4. 线性组合若给定向量空间V中的n个向量${\{v_1, v_2, …, v_n}\}$以及n 个标量${\{k_1, k_2, …, k_n}\}$，则它们的线性组合是指如下表达式：${v=k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=\sum_{i=1}^n k_iv_i}$其中，${v_1, v_2, …, v_n}$是向量空间V中的向量，${k_1,k_2, …, k_n}$是一个数域k中的标量。
线性代数的向量空间理论
线性代数的向量空间理论线性代数是数学中的一门重要学科，其中的向量空间理论是其核心内容之一。
向量空间理论主要研究数学对象之间的线性关系，通过定义和研究向量空间的性质和运算规则，揭示了各种数学结构和现象背后的共性和规律。
本文将通过介绍向量空间的定义、基本性质和相关定理，来阐述线性代数的向量空间理论。
一、向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的性质。
具体而言，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 封闭性：对于集合中的任意两个元素，其和仍然属于该集合。
即对于向量x和y，x+y也是向量空间中的元素。
2. 结合律：向量空间中的加法满足结合律。
即对于任意的向量x、y 和z，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 零向量：向量空间中存在一个特殊的元素0，称为零向量，满足对于任意的向量x，x+0=x。
4. 负向量：对于向量空间中的任意元素x，存在一个负元素-x，满足x+(-x)=0。
5. 数乘运算：向量空间中的元素可以与标量相乘。
即对于向量x和标量a，存在一个元素ax，满足数乘运算的分配律和结合律。
通过这些定义和运算规则，我们可以建立起一个向量空间的抽象数学模型，便于对其进行研究和应用。
二、向量空间的基本性质在向量空间的理论中，还有一些基本性质是我们需要了解的。
1. 维度：向量空间的维度是指向量空间的基的个数。
一个向量空间的基是指一个线性无关的向量组，可以通过它们的线性组合来表示向量空间中的任意向量。
一个向量空间的维度等于其基的个数。
2. 线性无关性：如果一个向量组中的向量之间没有线性关系，即不能通过它们的线性组合来表示零向量，那么称这个向量组是线性无关的。
一个向量空间的基一定是线性无关的向量组。
3. 基变换矩阵：对于一个向量空间的两个不同的基，它们之间存在一个线性变换关系，并可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵称为基变换矩阵。
4. 子空间：一个向量空间的子集，如果本身也是一个向量空间，则称为原向量空间的子空间。
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数—3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
高考数学中的线性代数中的向量空间
高考数学中的线性代数中的向量空间在高考数学中的线性代数部分，向量空间是一个非常重要的概念。
它不仅仅是一种数学对象，还应用于科学和工程领域，成为一个重要的工具。
本文将对向量空间的定义、基本性质以及实际应用等方面进行探讨。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是一种包含了向量加法和数乘运算的集合。
具体来说，向量空间必须满足下列性质：1. 对于任意两个向量u和v，它们的和u+v也是一个向量。
2. 对于任意一个向量u和任意一个数k，它们的积ku也是一个向量。
3. 向量加法是满足交换律和结合律的。
4. 存在一个零向量，使得对于所有的向量u，u+0=u。
5. 对于每一个向量u，存在它的负向量-v，使得u+v=0。
6. 数乘运算满足结合律和分配律。
7. 对于任意两个数k和j以及向量u，有(k+j)u=ku+ju，以及k(u+v)=ku+kv。
如果一个集合满足上述性质，就称它是一个向量空间。
一般地，向量空间的元素被称为向量。
二、向量空间的基本性质向量空间有许多基本性质，这使得它成为了一种非常有用的数学对象。
下面介绍一些重要的基本性质。
1. 一个向量空间的零向量是唯一的。
2. 向量的加法和数乘都是封闭的，也就是说，向量空间中的任意向量加上另一个向量空间中的向量或与一个标量乘法的结果仍然在向量空间中。
3. 向量空间的任意向量都有唯一的负向量。
4. 向量的加法和乘法都是满足分配律的。
5. 向量空间中的任意向量可以用基向量的线性组合表示出来。
6. 向量空间中的基向量是线性无关的。
在向量空间中，我们可以利用基向量和系数，将每一个向量表示成一个线性组合。
这个表示方法在数学和工程领域中都非常有用，例如在计算机图像处理和机器学习中。
三、向量空间在实际应用中的例子向量空间是一个非常有用的数学工具，它在科学和工程领域中有许多应用。
下面介绍一些例子。
1. 图像处理在计算机图像处理中，我们将一幅图像看成像素组成的向量。
这些向量在RGB或CMYK空间中表示每个像素的颜色。
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
[考研数学]自考线性代数第二章向量空间
![[考研数学]自考线性代数第二章向量空间](https://img.taocdn.com/s3/m/116decf1846a561252d380eb6294dd88d0d23d33.png)
第二章 向量空间打印本页内容提要：n 维向量的概念：向量的线性运算：向量空间及其子空间的概念。
向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩的概念，向量空间的基，维数和向量的坐标。
一、向量空间及其子空间1.n 维向量及其线性运算例：坐标原点0（0，0）为起点，以M （x,y ）为终点的向量OM ，称为点M 的位置向量或点M 的向径，可用有序数组（X ，Y ）来表示，而M 1（x 1，y 1）为起点，M 2（x 2，y 2）为终点的向量m 1m 2可用二元有序数组（x 2－x 1，y 2－y 1）表示，类似地，空间中的向量可以用3元有序数组（a 1，a 2，a 3）来表示。
定义： 称由n 个数a 1，a 2……a n 组成的有序数组（a 1，a 2……a n ）为一个n 维向量，数a i 称为该向量的第i 个分量。
（i=1,2……，n ）行向量：（a 1，a 2……a n ）列向量：α,β，x ，y……等来表示向量，用ai, xi, yi ……等来表示向量的分量向量的相等：如果两个n 维向量α=（ a 1，a 2……a n ），β=（ b 1，b 2……b n ）的对应分量相等，即ai=bi （I=1,2……n ）则称向量α与β相等，记为α=β零向量：分量全是零的n 维向量称为n 维零向量，记为0负向量：对于向量α=（a 1，a 2……a n ）称-α=（-a 1,-a 2.……-an ）为α的负向量。
向量的线 性运算：加法运算=（a1,a2,---,an）=（b1，b2，---bn）与的和为：+=（a1+b1，a2+b2，……，an+bn）数乘运算：k（或k）=（ka1，ka2，……，kan）减法运算：-=+（-）=（a1-b1，a2-b2，……an-bn）向量的线性运算法则：（1）+=+（2）（+）+=+（+）（3）+0=（4）+（-）=0（5）1=（6）k（l）=（kl）（7）k（+）=k+k（8）（k+l）=k+l向量的转置和乘法矩阵一致例：设向量=（4，7，-3，2）=（11，-12，8，58）求满足5-2=2（-5）的向量解：∵5-2=2（-5）∴15=2+2∴=（+）=（15，-5，5，60）=（2，，8）由向量的定义，一个mxn的矩阵可以看成是用m个n维行向量：ai=（ai1，ai2，……，ain）（i=1，2，……m）组成的，或看成是由n个m维列向量=（j=1，2，…，n）组成的。
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
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若存在数 k1 , k 2 , k 3 使 k1a1 k2a2 k3a3 0
k1 k 2 k 3 0 即 k1 2 k 2 6 k 3 0 k 3k 3k 0 2 3 1 1 1 1
因为其系数行列式 D= 1 2 6 8 0 1 3 3 于是方程组只有零解， 1 k 2 k 3 0 k
所组成的集合叫做向量组。
设
k a1 ,a 2 ,a s , 是n维向量组， 1 , k 2 , k s
是一组实数， 则称k1 a1 k 2 a 2 k s a s
是向量组a1 , a 2 ,as 的线性组合。
例如向量
a1=(4 ,1,3 ,- 2) , a 2=(1,2 ,- 3 ,2) , a 3=(16,9 ,1,- 3) ,
V2 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 1 ,
V1 ,V2 是不是 R n 子空间？为什么？ 问
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用． 答 36维的． 如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
(1)
则称向量组a1 ,a2 ,as 线性相关；
否则称之为线性无关。
(1 即当且仅当 k1 k2 k s 0 时， )式才成立，
则称向量组 a1 ,a2 ,as , 线性无关。
注 意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关.
（2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
必要条件是两向量的对应分量成比例。其几
设 n 维向量 a (a1 , a2 , an ) T ,
b (b1 , b2 , bn )T
则当且仅当a i b（i 1,2, n）时, i 称向量 a与 b 相等，记作a b
定义4.3 分量全为零的向量0,0,0) 称为零向量， (
记作0 0， ， （ 0， 0）
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个n维列向量所组成的向量 1 , 2 , , m , 组 构成一个 m 矩阵 n
A ( 1 , 2 ,, m )
1T m 个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 , m , B 构成一个m n矩阵 T m
何意义是两向量共线。
（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
(4) 对于任一向量组不是线性无关就是线性 . , 相关
例4.7
对向量组a1
1 = 1 , 1
a2
0 = 2 , 5
a3
由于
- a1 -a2
1 0 1 = - 1 - 2 = - 3 = -2a3 1 5 6
第四章 向量空间
n维向量空间 向量组的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量空间
n维向量的概念与运算
n维向量空间
向量组的线性组合与线性表示
一、n 维向量的概念与运算
定义4.1
n个实数a1 , a 2 , a n 组成的有序数组 称为实数域上的 维向量。 n
记作：a (a1 , a 2 ,a n ) （称行向量）
AX b
特别地 当b为零向量时，即 0，称为m个 AX
方程n个未知量的齐次线性方 程组。
二、n维向量空间
定义4.6
实数域上的 n维向量全体，当定义了
上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为 为实数域上的n维向量空间。记作 R n
设V是R n的一个非空子集，如果 满足 定义4.7
（1） 若对 a, b V, 则a b V （2） 若对 a V , k R, 则ka V
就称V是R n的子空间
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
P ( x, y, z )
运算规律
由上述定义，对任意的维向量a,b,c及实数k , l， n 向量加法与数乘运算满 足下列八条性质： (1) a b b a
(2) (a b) c a (b c ) ( 3) a 0 a (4) a ( a ) 0 (5) 1a a (6) k (la) (kl )a (7) k (a b) ka kb (8) (k l )a ka la
1 2 3 = , 2 3
即
a1 a2 2a3 0
- 1，1，不全为零，按定义 1 ,a2 ,a3 ,线性相关。 - 2 a
例4.8 试判断下列向量组的线性相关性
a1 = (1,1,1)T , a2 = (1,2,3)T , a3 = (1,6,3)T ,
也称向量b可由向量组
例如 对向量 有
a1 ,a 2 ,a s , 线性表示。
a1 = (0,1)T , a2 = (1,1)T , a3 = (-2,4)T , b = (3,5)T
b = -4a1 + 5a2 a3 及 b = 2a1 + 3a2 + 0a3 3 还有 b = 11a1 + 0a2 - a3 2
3a1 + 5 a2 - a3 = (1,4 ,- 7 ,7) T ,
就是这3个向量
T
T
T
a1 , a2 , a3 的一个线性组合。
设b, a1 , a 2 ,a s , 都是 n 维向量,如果对向量b
存在一组实数 k1 , k 2 , k s 使得
k1a1 k 2 a 2 k s a s b 则称向量b是向量组 a 1 ,a 2 ,a s , 的线性组合，
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角
( ) 2 2 ( )
(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
定义4.2
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
二、向量组的线性相关与线性无关
定义4.9
如果对给定向量组A： a1 ,a2 ,as ,
k1 , k 2 , k s
存在不全为零的实数
使得
k1a1 k2a2 k s a s 0
所以 b是a1 , a2 , a3的线性组合。
而且表示的方法不惟一
小结
n维向量
n维向量的概念、表示
n维向量的运算 向量
向量在生产实践与科 学研究中的广泛应用
向量空间的概念
向量空间
解析几何与线性代数
中向量的联系与区别
思 考 题
设 V1 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 0,
一 一 对 应
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
例4． V ( x ,0,0)T x R是R 3的子空间 1
例4． 2 V (0,0,0,0)T }是R 4的子空间，通常称其 为零子空间。
例4． 3
V ( x,0,1) x R不是R 的子空间
有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
第二节 向量组的线性相关性
向量、向量组与矩阵 向量组的线性相关与线性无关
向量组线性相关的判定定理
一、向量、向量组与矩阵
对于矩阵 (aij ) mn 有n个m维列向量 A
aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地 矩阵A (aij ) mn 又有m个n维行向量 ,
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2ຫໍສະໝຸດ a1 n a2n a in a mn
n维行向量
第n个分量
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
( n 3)