光学 第二章 光的衍射

S 2R (1 cos ) （1）
2
R
k
B0
O

rk
由图可得（余弦定理）
l
2 k
h
r0
p
R ( R r0 ) r cos 2R( R r0 )
2 2
(2)
将（1）、（2）式分别微分得
ds 2R sin d
2
由上两式可得：
rk drk sin d R( R r0 ) ds 2Rdr k rk R r0
一、菲涅耳半波带
现以点光源为例说明惠更斯－菲涅耳原理的应用。如图： O为点光源，S为任一时刻的波面，R为半径。 为了确 定光波到达 对称轴上任 一点P时波面 S所起的作用， 连O，P与球 O 面相交于B0点， B0点称为P点 对于波面的 极点。
rk=r0+k(λ/2)
S R B3 r3=r0+3(λ/2) r2=r0+2(λ/2) r1=r0+λ/2 r0 令PB0＝r0， P
超声波：可小至几毫米 光 波：约为390nm～760nm
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理 一、惠更斯原理
1、波面——等位相点的轨迹 波前——波源前的任何一个曲面 2、惠更斯原理的表述
①任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各 自发出球面波；
②在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形 成整个波在该时刻的新波面。 ——“次波”假设。 3、惠更斯原理的图示如下：
1 Ak a1 a k 2 1 Ak a1 a k 2
Bk
R
O
k
B0

Rh
rk r0
P
l
由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是 暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目。 如图，O点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔 半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有 k个整数半波带。
(1)
又因为
r r (r0 k
2 k 2 0

2
s
) r
2 2 0
Bk
k r0
(略去
k2
O
R
k
B0
Rh
rk
2
4
(2)
)
l
(3)
h
r0
P
2 Rhk R 2 ( R h) 2 2 Rh
由（1）、（2）、（3）式可得
r0 R R R k R r0
2 hk 2 h
A0 a1
1 2
即球面波自由传播时，每各球面波上各此波 波源在P点产生的合振动等于第一个半波带在P点 产生的振动振幅得一半，强度为它的4分之1。
I0 a
1 4
2 1
三. 矢量合成法
各半波带在P点引起的振动 可以用上下交替的矢量来 表示。为清楚起见，将各 矢量彼此错开，如图
a1
a3
a2 a4
• 1. 惠更斯－菲涅耳原理 • 波面 S 上每个面积元 dS 都可以看成新的波源，它
们均发出次波。波面前方空间某一点 P 的振动可以由 S 面 上所有面积元所发出的次波在该点叠加后的合振幅来表示。
面积元 dS所发出的次波的振幅和相位符合以下四个假设： ① 所有次波都有相同的初相位（令0 = 0)
2.光波面受限越厉害，衍射图样扩展越显著。光波面在衍射
屏上哪个方向受限，接受屏上的衍射图样就在哪个方向扩展。
3.衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和波长的相
对大小，只有障碍物的线度和波长可以相比拟时，衍射现象 才明显地表现出来。 一些波的波长
声 波：几十米 无线电波：可达几百米 微 波：几毫米
第2章 光的衍射
（ Diffraction of Light）
光的干涉是研究两列或两列以上光波的相互叠加问题。 光的衍射研究光波本身传播行为，它进一步揭示了光 的波动性的本质。
主 要 内 容
一、光的衍射现象、二、惠更斯——菲涅耳原理 三、菲涅耳半波带、四、菲涅耳衍射（圆孔和圆屏） 五、夫琅和费单缝衍射、六、夫琅和费圆孔衍射
七、平面衍射光栅
§2.1 光的衍射现象
一切波动都能绕过障碍物向背后传播性质。 例如，户外的声波可绕过树木，墙壁等障碍物而传到室 内，无线电波能够绕过楼房，高山等障碍物而传到收音 机、电视里等。 波遇到障碍物时偏离原来直线传播方向的现象称为 波的衍射。 光波在传播中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘而 偏离直线传播,在光场中形成明暗变化的光强分布的现象叫光 的衍射。 通常看来，光是沿直线传播的，遇到不透明的障碍物 时，会透射出来清晰的影子，而前一章光的干涉现象已经 证实了光是有波动性的。因而光应该具有衍射现象。衍射 和直线传播似乎是矛盾的，应怎样来解释这个矛盾？
s
O
Bk
R
k
B0
Rh
rk
l
h
r0
P
• P点的合振幅的大小取决于露出的波带数, 而波 带数又取决于圆孔的位置和大小． • 如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对 应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些 点，合振幅较小． • 如果带数不是整数，那么合 振幅介乎上述最大 值和最小值之间． • 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的 光强不断地变化．
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理图示
r = vt1
r
S
Σ1
Σ2
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
4、惠更斯原理的成功与失败
①可以解释光的直线传播、反射、折射和双折射现象； ② “子波”的概念能定性解释光的拐弯现象，但不能说
明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍射。 也不能解释波的干涉现象（未涉及波长等）；
L2
在夫 实琅 验禾 中费 实衍 现射
R
L1
P
S
第2章 光的衍射
（ Diffraction of light） §2.3 菲涅耳半波带 （Fresnel Half-wave Zone）
使用菲涅耳—基耳霍伏衍射积分公式计算菲涅耳衍 射场十分复杂不易严格求解。 在衍射屏具有对称性的一些简单情况下，用代数加法或 矢量加法代替积分运算，可以十分方便地对衍射现象作 定性或半定量的解释。 本节主要介绍使用菲涅耳半波带法和矢量叠加法处理 菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题。
由上两式可得：
ds 2Rdr k rk R r0
因为rk>>，故可将drk看着相邻半波带间r的差值 /2，ds看着半波带的面积，于是有
由此可见：
sk 即它对每一个半波带都是相同的，所以 ak K k rk 只决定于倾斜因子 K( )了。
k
S k rk
S k R rk R r0
二、合振幅的计算
以a1、a2、a3、…分别表 示各半波带发出的次波 在P点所产生的振幅。
由于相邻两个半波带所发出的次波到达P点时相位相差， 所以k个半波带所发出的次波在P点叠加的合振幅Ak为：
Ak a1 a2 a3 a4 a5 ....... (1)
sk ak K k rk
由于各半波带在P点的振幅其大小是缓慢的单调下降，因此 近似地有：
a1 a3 a2 2 2
a3 a5 ak 1 ak 1 a4 , ak 2 2 2 2
故P点处合振动的振幅为：
综合有：
a1 k 1 ak Ak (1) 2 2
对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k， ak 0，则对于给定轴线上的一点P的振幅为：
与k无关
从一个半波带到与之相邻的半波带，k变化甚微。 K( k)随着倾角的增大，而缓慢地逐渐减小 。
ak 缓慢
当k时， K( k) 0 由此可得
a1 a2 a3 a4 ak
由于任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光 程差为/2，故它们的相位差逐个差。 故P点处合振动的振幅为：
a
光源 S
屏 幕
E
(b)
b
衍射屏
像屏
衍射屏
像屏
L S
L

a
S
*
*
圆孔衍射
单缝衍射
圆盘衍射 （泊松点） 透过手指缝看日光灯，也能看到衍射条纹。
刀片边缘的衍射
总结上述实验，光的衍射现象有如下规律 ：
1. 光在均匀的自由空间传播时，因光波波面未受到限制，则
光沿直线传播。当遇到障碍物时，光波面受限，造成光强扩 展，弥漫，分布不均匀，并偏离直线传播而出现衍射现象。
二、菲涅耳圆屏衍射
波面S
R O B0
rk=r0+k(λ/2)
Rh r0 P
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将 没有贡献。 如图
波面S
R O B0
rk=r0+k(λ/2) Rh r0 P
设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开 始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。 这些半波带的次波在P点叠 加后振幅为: 因m，所以 am 0
为了计算
S k rk
Bk
k 1
ak
下面来比较a1、a2、a3、…的大小。按惠更斯—菲涅 耳原理，第k个半波带所发次波到达P点的振幅为：
R
O
k
B0

rk
如图，求球冠的面积：
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h
r0
p
S 2R h 2R R(1 cos )
2R 2 (1 cos )
（1）
Bk
kr0 h 2( R r0 )
2 Rh 1 1 k ( ) r0 R