第2章 光的衍射
第二章 光的衍射
菲涅耳直边衍射
方孔菲涅耳衍射
§2.6 夫琅和费单缝衍射
一. 实验装置与衍射图样的特点 1、装置： 、装置： 观察屏 缝平面 透镜L 透镜 透镜L′ ′ 透镜L′ B S a
·p
θ θ
0 A
*
f′
f
2、条纹特点： 条纹特点： ）、条纹平行于缝 中央明纹宽度是其它明纹宽度的两倍； 条纹平行于缝， 1）、条纹平行于缝，中央明纹宽度是其它明纹宽度的两倍； ）、中央明纹很亮 其它明纹亮度依次衰减很快。 中央明纹很亮， 2）、中央明纹很亮，其它明纹亮度依次衰减很快
5. 掌握夫琅禾费圆孔衍射的光强分布规律．明确 掌握夫琅禾费圆孔衍射的光强分布规律 夫琅禾费圆孔衍射的光强分布规律． Dsinθ =1.22λ 公式的物理意义和艾里斑的半角 宽度计算; 宽度计算 6. 熟练掌握平面衍射光栅的基本原理和应用，理 熟练掌握平面衍射光栅的基本原理和应用 平面衍射光栅的基本原理和应用， 解光栅的分光原理, 掌握光栅方程、 解光栅的分光原理 掌握光栅方程、缺级和谱 线半角宽度的概念和计算; 线半角宽度的概念和计算 7.了解晶体的 射线衍射布喇格方程 了解晶体的x射线衍射布喇格方程 了解晶体的 射线衍射布喇格方程2dsinα = jλ 的 意义； 意义；.
r0
k =
R nk
λ
1 1 ( + ) r0 R
讨论 1) R → ∞ : 即平行光入射时
R hk =
k λ r0 ;
2) k →
∞时 : ak = 0
a1 ak Ak ( p) ≈ ± 2 2 a1 ⇒ A∞ ( p ) = 2
相当于波面不受限制， 相当于波面不受限制，直线传播
2 3 ) k = 1时 : A1 = a 1 = 2 A∞ , I 1 = I max = 4 A∞
第二章 光的衍射
因此基尔霍夫衍射 i A(q)e ikr (cos 0 cos ) ds 积分 的复振幅表达 Ｅ(p)= 2 r 式为
三、惠更斯-菲涅耳原理
a) 对于一般衍射问题直接计算 E 的积分相当 复杂，常用半波带法和振幅矢量法分析
b) 惠更斯－菲涅耳原理的进步之处是：给出 次波源在传播过程中的振幅变化及相位关 系和次波的叠加关系。
说明
下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方 法 ——半波带法。它在处理一些有对称性的问 题时，既方便，物理图象又清晰。
一、菲涅耳半波带
如图所示：点光源O发出的单色光照射半径为ρ的圆 孔，露出的波面s是一个高度为h的球冠。将波面 S 分 成许多以 B0 为圆心的环形波带，并使：
S
B2
r3=r2+λ/2 r2=r1+λ/2 B3 r1=r0+λ/2
用如下上下交替的矢量来表示 P 点处振幅的叠加
a1 a3 ak Ak Ak a2 a4 a3 –a4 a1 –a2 a2 a4 ak a1 a3
1 a 2 k
1 a 2 1
1 k 为奇数时 Ak ( a1 ak ) 2 1 合成一式 Ak ( a1 ak ) 2
1 k 为偶数时 Ak 2 ( a1 ak )
sk R rk R r0
代入ds
2R 2 drk ds rk R( R r0 )
∵ rk ,可将drk视为相邻两波带间r的差值λ/2，则ds=Δsk ∴ 结论：Δ sk/rk 与 K 无关， 对 每个半波带都相
影响 ak 的只剩下倾斜因子 K（θk）：K↑，θ↑， ak 缓慢减少。
0 0
n
dS
第二章-光的衍射PPT课件
波面为平面的波动称为平面波，如平行光束；
波面为柱面的波动称为柱面波，如狭缝光源发出柱 面波；
一般情况下，波面与传播方向垂直。
2021
13
2、惠更斯原理
[表述]：任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的 次波源而发出球面次波，在以后的任一时刻，所有次 波波面的包络面形成整个波动在该时刻的新波面。
3、衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和 波长的相对大小，只有障碍物的线度和波长可以比拟 时，衍射现象才明显地表现出来．
结论
对光而言，衍射是绝对的，直线 传播是相对的；直线传播仅是衍 射的一种近似。
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二、更斯原理
1、波面： 光波传播过程中，位相相同的空间各点的轨迹所构 成的曲面，即等相面，称为波阵面，简称波面。
是他的经典名著。
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§2. 1 惠更斯-菲涅耳原理
一、光的衍射现象：
1、机械波的衍射 不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。 如声波、水波的衍射。
2、电磁波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。如
无线电波（电视、广播）的衍射。
3、光波的衍射
A
E
直线传播 宽
衍射
E
A
a'
S
缝
S
惠更斯首先发明了摆钟并对有关时计的若干种摆（单摆、复
摆、旋轮摆等）作了研究，这对当时天文与航行上所用和后来时
计的发展起了重要的作用。惠更斯是创建经典力学的先驱之一，
在研究钟摆、圆周运动、完全弹性体碰撞等问题中，他阐明了许
多动力学的概念和规律（摆的运动方程与周期、向心力与离心力、
光学教程(重要)第2章光的衍射2
b A : 反映了障碍物与光波波长之间的辩证关系 : 限制越强, 扩张越显著; 在何方限制, 就在何方扩张.
称为衍射反比定律, 包含如下意义 :
B : b , 是一种光学变换放大, 而非简单几何放大.
9、衍射图样与缝在垂直于透镜L的光轴方向上的位置无关。
L
∵ 衍射角相同的光线，会 聚在接收屏的相同位置上。
(4) 光强分布图： (5) 艾里斑： 第一级暗环所包围的部分为中央亮斑， 称为艾里斑，其上光强占总入射光强的 84%。 其半角宽度为 : 1 sin 1 0.610 R 1.22 ( D为圆孔直径) D 线半径 : l f tan 1 f sin 1 1.22 f D
P0
7、 由 :
1 b b A : b 亮条纹变窄, 条纹间距变小 整个花样压缩;
一定
b 亮条纹变宽, 条纹间距变大 整个花样扩展; B : b 0, 花样压缩为一条直线, 为缝的像 直线传播; (日常生活中的常见情况) b与可比拟时, 0 衍射现象明显.
l
P
由暗条纹公式: sin k k
k
得:
中央亮条纹角宽度: 0 1 1 2
b
f
b
' 2
P0
次最大亮条纹角宽度: k 1 k
相应线宽度 : 中央条纹 : l0 f 2 tan 1 tan 1 f 2 sin 1 sin 1 f 2 0 2 f 2 其它亮条纹 : l f 2
y tan u
-π π 2π 3π
u
《光学教程》(姚启钧)第二章 光的衍射
3. 惠更斯-菲涅耳原理（1818）
菲涅耳对惠更斯原理的改进: 给不同次波赋予相应的相位和振幅，并将次波的干涉 叠加性引入惠更斯原理，得到衍射的定量表达式。
波面S上每个面元dS都是次波源，次波在p点引起振动的振幅与面积dS成正 比，与距离r成反比，且与倾角有关。
A(Q) K ( ) dE( P) dS r
相应的振动相位依次为：
a1 a2 a3 a4 ...... ak ak 1
f1，f1+，f1+2， f1+3，…f1+(k-1)，f1+k。
对于轴上光源点 S 和轴上场点 P ，设圆孔恰好分 为 k 个半波带，则有
~ i 1 E1 a1e ~ i 1 E2 a2e ~ i 1 2 E3 a3e
次波中心Q 的光振幅 Q点在p 点引起的 光波振幅 倾斜因子 次波中心附 近的小面元
d · r S Q S(波面)
次波中心 设初相为零
n
dE(p) · p
观 察 点
倾斜因子K()的特点
A(Q) K ( ) dE( p) C dS cos(kr t ) r
0, K K max K ( ) , K 0 2
2
1mm 1000 mm 1000 mm 4 6 1000 mm 1000 mm 500 10 mm
2
半径为0.5mm的圆屏挡住的波带数为：
j
'
0.5mm 1000mm 1000mm 1 1000mm 1000mm 500 106 mm
又：
( h r0 , R)
2 2
R rk (r0 h)
第二章 衍射
2-1 菲涅耳衍射
光的衍射现象
S
缝
P
夫琅禾费 衍射 缝
光源、屏与缝相距有限远 光源、
光源、屏与缝相距无限远 光源、
单缝衍射、圆孔（圆屏）衍射、 单缝衍射、圆孔（圆屏）衍射、衍射光栅
三
衍射与直线传播的统一
“障碍物线度” 障碍物线度” 障碍物线度
第二章 光的衍射
5
波动及近 代光学
一
1
惠更斯原理
惠更斯— 2-2惠更斯—菲涅耳原理
K(θ )A(Q) dE = c cos(kr −ωt)ds r
S
E = ∫ dE
s
λ C:比例系数 K(θ ):倾斜因子随 θ 增大而减小 比例系数 倾斜因子随
A(Q) :波面上振幅分布函数 波面上振幅分布函数
第二章 光的衍射
9
K(θ )A Q) i(kr−ωt ) ( 记成复数： 记成复数：E = c∫ ds e r 2π k= 为介质中波长） 波数 （ λ为介质中波长） λ
Ak
a2 a1 a3
ｋ为偶数： 为偶数：
1 Ak = (a1 + ak ) 2
a2
a4
ak
Ak
1 Ak = (a1 − ak ) 2
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第二章 光的衍射
波动及近 代光学
2-3 菲涅耳半波带
1 1 k+1 Ak = [a1 + (−1) ak ] = (a1 ± ak ) 2 2
k为奇数取“＋” 为奇数取“ 为奇数取 k为偶数取“－” 为偶数取“ 为偶数取
即 1 1 1 + = R r0 f ′
f′ = R
2 h
kλ
26
第二章光的衍射
第二章光的衍射§1 惠更斯——菲涅耳原理一、衍射现象即不沿直线传播而向各方向绕射的现象。
定义：光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏上出现光强不均匀的分布现象——光的衍射。
当障碍物或孔隙的线度比波大很多，通常都显示光的直线传播现象。
声波和水波的衍射可常见。
例：人在房间说话，另一房间的人能听见。
又,把杨氏装置中的两孔之一遮蔽，使光束通过单孔照射，仔细观察，屏上明亮区比直线传播所估计的要大且出现明暗不均匀的现象。
二、惠更斯——菲涅耳原理惠更斯：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源,各自发出球面次波，在以后时刻,所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。
原理较粗糙,不能解释干涉、衍射甚至还有倒退波的存在。
它不涉及波的时空周期特性——位相、波长、振幅，而衍射现象有明暗相间的条纹出现。
波动有两个基本性质：（1）振动在空间的传播；（2)具有时空周期性，能够相干迭加。
“次波”概念反映前一基本性质,也是成功之处。
但当时对波动性认识肤浅，惠更斯并不知光速有多大，只把光看成空气中的声波（纵波）,其“振动”也是非周期性的无规则脉冲，因而原理中并没反映出波的时空周期性.菲涅耳的改进因牛顿威望极高，微粒说影响极大,光的波动理论停滞不前，几乎过了一百年，到了十九世纪，杨反用波的迭加原理解释了薄膜的颜色，首先提出“干涉"一词概括波与波的相互作用，为了验证自己的理论,做了一个双缝干涉，即杨氏干涉实验，他并对出现于阴影边缘附近的衍射条纹给出了正确解释，但这些富有价值的光学研究并没被重视，直到1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地获胜，才开始了光的波动说的兴旺时期，那次竞赛会上,评委中有许多著名的学者，如毕奥、拉普拉斯、泊松，他们都是微粒说的拥护者,竞赛题目的具体表达式带有明显的有利于微粒说的倾向性.然而,菲涅耳吸收了惠更斯的次波概念，阐述的次波相干迭加的新观点具有极大说服力，使反对派马上接受了，会后泊松又仔细审核菲涅理论，并用圆盘衍射，屋圆盘中心轴线上应有亮斑，看来似乎不可思议离奇的结论，不久，在实际中阿喇果果真发现了这一惊人的理论，这一发现对惠——菲原理是十分有力的支持. 惠-—菲原理:波面上每个面元ds 都可看成是新的振动中心，它们又发出次波,在空间某一点p 的振动是所有这些次波在该点的相干迭加。
第2章 光的衍射
第二章 光的衍射1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。
求第к个带的半径。
若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。
解：2022r r k k +=ρ 而20λk r r k +=20λk r r k =- 20202λρk r r k =-+将上式两边平方，得 422020202λλρk kr r rk++=+略去22λk 项，则 λρ0kr k =将 cm 104500cm,100,1-80⨯===λr k 带入上式，得cm 067.0=ρ2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。
问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm 。
解：（1）根据上题结论 ρρ0kr k =将cm 105cm,400-50⨯==λr 代入，得cm 1414.01054005k k k =⨯⨯=-ρ当k 为奇数时，P 点为极大值； k 为偶数时，P 点为极小值。
（2）P 点最亮时，小孔的直径为 cm 2828.02201==λρr3．波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强度I 0之比。
解：根据题意 m 1=R 500nm mm 1R mm 5.0R m 121hk hk 0====λr有光阑时，由公式 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=R r R Rr r R R k h h 11)(02002λλ 得 11000110001105005.011620211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-R r R k hk λ4100011000110500111620222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-R r R k hk λ 按圆孔里面套一个小圆屏幕()13221312121212121a a a a a a a a p =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=没有光阑时 210a a =所以42/211200=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a I I p4．波长为632.8nm 的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏。
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m
R sin
1）中央主最大值的位置 0=0
sin 1 0.610
R
( 第一最小)
2）最小值的位置
sin 2 1.116
sin 3 1.619
R
R
其它最大值的位置:
sin 10 0.819
sin 20 1.333
sin 30 1.847
单 缝 衍 射 次 最 大 值 的 位 置
四.夫氏单缝衍射图样的特点
(1) 各最大值光强不等,中央主最大光强最强, I0=A02, 各级次 最大依次减弱. 最亮的次最大光强还不到主最大光强的5%. (2) 角宽度和条纹线宽. (3)暗纹等间距，次最大不是等间距. （4）白光作光源：中央白，边缘为彩色.
当
d jБайду номын сангаас时, b k
,出现缺级.
缺级的亮纹级次
d j k b
衍射缺级(N=6，d=3b )
六、双缝衍射 双缝衍射是光栅衍射N=2的情况，是夫琅禾费衍射。
sin 2 u sin 2 sin 2 u I P A02 2 2 [4 A02 cos 2 ( / 2)] 2 u sin ( / 2) u
2 d sin
P点的总光强为:
sin u I P I0 u
2
sin N / 2 sin / 2
2
单缝衍射因子
多光束干涉因子
I0= A02为只有一条缝存在时单缝衍射中央主最大光强 单缝衍射因子对干涉主极大起调制作用
u
b sin
七. 干涉和衍射的区别和联系
干涉和衍射两者的本质都是波的相干叠加的结 果，都满足惠更斯-菲涅耳原理. • 区别:1)参与相干叠加的对象不同。干涉是有限几 束光的叠加，而衍射则是无穷多次波的相干叠加， 前者是粗略的，后者是精细的叠加。
障碍物到光源和观察点到光源的距离都是 无限的.
2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
一、菲涅耳半波带
二．合振幅的计算
k愈大，K()愈小，所以ak随k值的增大而缓慢减小， 其相位逐个相反。
a1 ak Ak 2 2
k为偶数时负号， k为奇数时取正号。
三、圆孔的菲涅耳衍射 1、半波带数的确定
1 1 k ( ) r0 R
3、菲涅耳波带片的功用
面积大、轻便、可折叠，加工简单；长焦距的波带片不 难制作；波带片的焦距随波长的增加而缩短，正好与玻璃透 镜的焦距色差相反，两者配合使用，有利于消除光学系统的 色差。
六、直线传播和衍射的联系
光的传播总是按照惠更斯—菲涅耳原理的方式进行。 衍射现象是光的波动特性最基本的表现。光的直线传播不 过是衍射现象的极限表现而已，在适当条件(光束截面积足 够大)下，可以不考虑衍射花样。
（2）光在衍射屏上的什么地方受到限制，在观察屏上 就在该方向扩展，限制愈严，扩展愈厉害，衍射效应愈明 显。 （3）当障碍物的线度接近光波波长时，衍射现象更加 明显。 2. 衍射现象明显的的条件 障碍物的线度接近光波波长。
3. 衍射与直线传播的关系
二、惠更斯原理
1.波面：波射线 2.惠更斯原理： 任何时刻波面 上的每一点都可作 为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的 任何时刻，所有这些次波面的包络面形成整个 波在该时刻的新波面——“次波”假设。
*七 菲涅耳直边衍射
半平面障碍物
2.3 夫朗禾费单缝衍射
一. 实验装置
二、衍射光强计算
1.强度的计算
A0 dx dE0 cos t b
三、衍射光强的分布
d sin 2 u 2sin u (u cos u sin u ) 0 2 3 du u u
sin u 0 tgu u
能解释：直线传播、反射 、折射、晶 体的双折射等； 不能解释：波的干涉现象（未涉及波长 等）； 而且由惠更斯原理还会导致有倒退波的 存在，而实际上倒退波是不存在的。
三、惠更斯-菲涅耳原理
改进：根据“次波”假设 ，补充了振幅相 位的定量表示式，增加了“次波相干叠加”。
1. 惠更斯－菲涅耳原理
• 波面 S 上每个面积元 dS 都可以看成新的波 源，它们均发出次波。波面前方空间某一点 P 的振动可以由 S 面上所有面积元所发出的 次波在该点叠加后的合振幅来表示。
第二章 光的衍射 Chap.2 Diffraction of Light
2.1 惠更斯—菲涅耳原理
一．光的衍射现象 1. 衍射: 波通过障碍物时偏离直线传播而绕射的现象.
图2-1
光的单缝衍射波面
各种衍射物产生的衍射花样
衍射现象的特点：
（1）衍射光波不仅能绕过障碍物，使物体的几何阴影 失去了清晰的轮廓，屏上的明亮区域要比根据光的直线传 播所估计的大得多，而且还在边缘附近出现了明暗不均匀 分布现象。
2 d sin
1)单缝衍射最小位置
sin u 0 u
2
b sin k (k 1, 2,)
2）多光束干涉主最大位置
d sin 2 j
d sin j ( j 0, 1, 2,)
光栅衍射主最大光强： 3） 多光束干涉最小
sin 2 u I P N 2 A02 u 2 sin 1 ( j / d )
透射光栅
反射光栅
一、实验装置和定性分析
二.光栅衍射的光强分布
在观察点P处的合振动:
E dE
0
b
d b
d
dE
( N 1) d b
( N 1) d
dE
合振动的振幅：
sin u sin( N / 2) AP A0 u sin( / 2)
b sin u
夫琅禾费双圆孔衍射图样
2.5 平面衍射光栅
• 光栅: 任何具有空间或光学性质（如折射率、透射
率等）周期性的衍射屏都叫做光栅。 • 透射光栅: 在一块透明的屏板上刻有大量相互平行、 等宽等间距的刻痕，这样一块屏板就是一种透射 光栅，其中刻痕被认为是不透光部分。 • 反射光栅: 在一块光洁度很高的金属平面上刻出一 系列的等间距平行槽纹，就是一种反射光栅。
(1)由中央亮条纹的中心到第一级暗纹的 角距离为多少? (2)单缝的宽度是多少?
• •
2.4 夫琅和费圆孔衍射
一. 实验装置
圆孔 透镜 L B S f1 观察屏
透镜 L
P
b
d C A f2
O
夫朗禾费圆孔衍射光强分布
衍射圆孔
透镜
屏
I0/I
0 sin
圆孔孔径
D
f’
爱里斑
夫朗禾费圆孔衍射照片
-8 光栅衍射 光强曲线
-4
0 I N2I
0单
4 单缝衍射 轮廓线
8
sin
(/d)
-8
-4
0
4
8 sin
(/d)
光栅衍射光强分布
三、光栅方程 1、平行光垂直入射到光栅
d sin j ( j 0, 1, 2,)
2、平行光倾斜入射到光栅 光栅方程 : d (sin sin 0 ) j
( j 0, 1, 2,)
式中0表示入射光方向与光栅平面法线间的夹角，其角度 均取正值。与0在法线同侧时[图 (a)]，上式左边括号中取 加号；在异侧时取减号[图 (b)]。
(a)
(b)
若规定入射线或衍射线在光栅法线上方时角度为正，入射
线或衍射线在光栅法线下方时角度为负，则光栅方程可写 成：
1.谱线的半角宽度:
Nd cos
半角宽度与乘积Nd成反比， Nd愈大， 愈小，谱 线愈窄，锐度愈好。
2、谱线的光强
IP N 2
五、谱线的缺级
干涉条纹主极大的强度受到衍射的调制
d sin j，j 0, 1, 2,
bsinθ =kλ，k=±1,±2,±3,
n
和n分别为真空和介质中的波长.
波面S在P点激发的合振动：
K ( ) A(Q) E C cos(kr t )dS r S
——菲涅耳衍射积分
四. 衍射的分类
1) 菲涅耳衍射－近场衍射：障碍物到光源和 观察点到光源的距离都是有限的,或其中之 一是有限的. 2) 夫琅禾费衍射－远场衍射：
1 2 3 4
sinθ sinθ sinθ
10 20
30
sinθ
k0
=±1.43 ≈± =±2.46 ≈±5 /2 ) ≈± 7 =±3.47 ( b 2 b …… 1 =± (k ) 2 b (k0 = 1,2, )
3 2 b
0
( ) b ( ) b
3 2 b
(5)缝宽对衍射花样的影响
b
b
b 0
几何光学
1.限制和扩展 －衍射反比率 2.光学变换放大
中央主极大值的半角宽度与缝宽b成反比
例:
• 波长为=632.8nm的He-Ne激光垂直地 投射到一单缝上。现有一焦距=50cm的凸 透镜置于单缝后面，在观察屏上测得中央 亮条纹的线宽度为L=3cm，试求：
ak 1 a ak 1 A 2 2 2
菲涅耳圆屏衍射
圆 屏 几 何 影 子 的 中 心 永 远 是 亮 的
五. 波带片
1、波带片的原理
2、波带片的焦距 1 1 1 2 r0 R Rhk k
R f r0 k
2 hk
1 1 1 r0 R f
二. 光强分布
J12 (2m) I P I0 m2