【步步高】2015届高考数学总复习-8.4空间中的垂直关系-理-新人教B版PPT优秀课件
【步步高】2015届高考数学总复习 8.3空间中的平行关系课件 理 新人教B版
结论
a∥αa∩α＝∅a∥b基础知识·自主学习要点梳理
3.面面平行的判定与性质
知识回顾 理清教材
判定 定义 图形
α∩β＝∅
定理
性质
条件 结论
a⊂β，b⊂β， α∥β， α∥β， α ∩ γ ＝ a ， a∩ b ＝ P ， a⊂β β∩γ＝b a∥α，b∥α
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) √ (3) × (4) √ (5) ×
解析
B C
2
②
题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 (2012· 山东) 如图，几何体 E－ ABCD 是四棱锥， △ ABD 为正三角形， CB＝ CD， EC⊥ BD. (1)求证： BE＝ DE； (2) 若∠ BCD＝ 120° ， M 为线段 AE 的中点，求证： DM∥平面 BEC.
⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质 (α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别为棱 A1B1，D1C1 上的点，且 EH∥A1D1， 过 EH 的平面与棱 BB1， CC1 相交， 交点分别为 F，G，求证：FG∥平面 ADD1A1.
知识回顾 理清教材
方向相同 ，那么这两个角相等．
(4)空间四边形： 顺次连接 不共面 空间四边形． 的四点 A、B、C、D 所构成的图形，叫做
基础知识·自主学习
要点梳理
2．直线与平面平行的判定与性质
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练五 第2讲 空间中的平行与垂直 理
第2讲 空间中的平行与垂直考情解读 1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b线面垂直的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α线面垂直的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊂β⇒α⊥β面面垂直的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝ca ⊂αa ⊥c ⇒a ⊥β面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βb ⊂βa ∩b ＝Oa ∥α，b ∥α⇒α∥β面面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3．平行关系及垂直关系的转化热点一 空间线面位置关系的判定例1 (1)设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α思维启迪判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定．答案(1)D (2)D解析(1)A：应该是b∥α或b⊂α；B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D.(2)若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是( )A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α答案 B解析A中：由线面垂直的判定定理知，还需m与n相交才能得a⊥α，故A错．C中：由线面平行的判定定理，还需知a⊄α，故C错．D中：由面面平行的判定定理知，还需a与b相交才能得β∥α，故D错．所以选B.热点二平行、垂直关系的证明例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪(1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；(2)BE∥AD易证；(3)EF是△CPD 的中位线．证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ， 由(1)知PA ⊥底面ABCD . 所以PA ⊥CD . 所以CD ⊥平面PAD . 所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 又CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD .思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． 求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.热点三图形的折叠问题例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．思维启迪折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点， 所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP . 从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．如图(1)，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝x .沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图(2)所示)，G 是BC 的中点．(1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；(2)当x 变化时，求三棱锥D －BCF 的体积f (x )的函数式． (1)证明 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接BH ，GH ，因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，DH ⊂平面AEFD ， 所以DH ⊥平面EBCF ，又EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH . 因为EH ＝AD ＝12BC ＝BG ＝2，BE ＝2，EF ∥BC ，∠EBC ＝90°，所以四边形BGHE 为正方形，故EG ⊥BH .又BH ，DH ⊂平面DBH ，且BH ∩DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH . 又BD ⊂平面DBH ，故EG ⊥BD .(2)解 因为AE ⊥EF ，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，AE ⊂平面AEFD ， 所以AE ⊥平面EBCF .由(1)知，DH ⊥平面EBCF ，故AE ∥DH ，所以四边形AEHD 是矩形，DH ＝AE ，故以B ，F ，C ，D 为顶点的三棱锥D －BCF 的高DH ＝AE ＝x . 又S △BCF ＝12BC ·BE ＝12×4×(4－x )＝8－2x ，所以三棱锥D －BCF 的体积f (x )＝13S △BFC ·DH＝13S △BFC ·AE ＝13(8－2x )x ＝－23x 2＋83x (0<x <4)．1．证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明． 2．证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； (2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； (2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5．证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.真题感悟1．(2014·某某)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B解析 方法一 若m ∥α，n ∥α，则m ，n 可能平行、相交或异面，A 错；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确； 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错． 方法二 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用平面ABCD 表示α. A 项中，若m 为A ′B ′，n 为B ′C ′，满足m ∥α，n ∥α， 但m 与n 是相交直线，故A 错． B 项中，m ⊥α，n ⊂α，∴m ⊥n ，这是线面垂直的性质，故B 正确． C 项中，若m 为AA ′，n 为AB ， 满足m ⊥α，m ⊥n ，但n ⊂α，故C 错． D 项中，若m 为A ′B ′，n 为B ′C ′， 满足m ∥α，m ⊥n ，但n ∥α，故D 错．2．(2014·某某)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． (1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．(1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC . 又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 押题精练1.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？并证明你的结论． (1)证明 如图，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， 所以B 1C 1⊥面ABB 1A 1. 因为A 1B ⊂面ABB 1A 1， 所以B 1C 1⊥A 1B .又因为A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1， 所以A 1B ⊥面ADC 1B 1.因为A 1B ⊂面A 1BE ，所以平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE . (2)解 当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：取C 1D 1中点F ，连接EF ，B 1F 易知：EF ∥C 1D ，且EF ＝12C 1D .设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，则B 1O ∥C 1D 且B 1O ＝12C 1D ，所以EF ∥B 1O 且EF ＝B 1O ， 所以四边形B 1OEF 为平行四边形． 所以B 1F ∥OE .又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.所以B1F∥面A1BE.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·某某)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β答案 B解析根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．A1C⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1答案 D解析因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥BB1且DD1＝BB1，所以四边形DD1B1B为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为BD⊄面CB1D1，B1D1⊂面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为AA1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以AA1⊥BD，因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为AC∩AA1＝A，所以BD⊥面A1ACC1，因为A1C⊂面A1ACC1，所以BD⊥A1C，故B正确．同理可证得B1D1⊥面A1ACC1，因为AC1⊂面A1ACC1，所以B1D1⊥AC1，同理可证CB1⊥AC1，因为B1D1∩CB1＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正确．排除法应选D.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析对①，根据线面平行的判定定理知，m∥α；对②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α；对③，在平面α内取一点A，设过A、m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，则m∥α；对④，设α∩β＝l，在α内作m′⊥β，因为m⊥β，所以m∥m′，从而m∥α.故四个命题都正确．6.在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是( )A．12π B．32πC．36π D．48π答案 C解析由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM，又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，∴BS⊥面ASC.即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为3SA＝6.∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.选C.二、填空题7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数为_________________．答案 2解析①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β，且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故③④正确．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x .易知Rt△CAF ∽Rt△FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D， 即2a x ＝3a －x a ，整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a .10．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (不含端点)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 破解此题可采用两个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t ＝1，随着F 点到C 点时，∵CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ，对于CD ＝2，BC ＝1，∴BD ＝3，又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD ⊥BD ，则有t ＝12， 因此t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题11．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明 (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC .CC 1⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，∵D 是AB 的中点，E 是C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1，∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.12．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .(1)求证：EF ∥平面BC 1D ；(2)在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M .因为AF ＝14AB ，所以F 为AM 的中点． 又E 为AA 1的中点，所以EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别是A 1B 1，AB 的中点，所以A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，所以四边形A 1DBM 为平行四边形，所以A 1M ∥BD .所以EF ∥BD .因为BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，所以EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．则V E －AFG ∶VABC －A 1B 1C 1＝1∶16，所以V E －AFG VABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG sin∠GAF ·AE 12×AB ·AC sin∠CAB ·AA 1＝13×14×12×AG AC ＝124×AG AC ， 由题意，124×AG AC ＝116，解得AG AC ＝2416＝32. 所以AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在． 13．(2014·某某)如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M －CDE 的体积．(1)证明 如图，因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ，PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD .又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF .又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，所以CF ⊥平面MDF .(2)解 因为PD ⊥DC ，PC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12. 过点F 作FG ⊥CD ，垂足为G ，得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34， 所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334，所以MD ＝ME 2－DE 2＝ 3342－342＝62. S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38. 故V M －CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。
【步步高】2015届高考数学总复习 8.4空间中的垂直关系课件 理 新人教B版
R B（理）
§8.4 空间中的垂直关系
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1．两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点， 并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过交 点(O)的 任何 直线都垂直， 就说这条直线和这个平面互相垂直．
(1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面 PAD， AD⊂平面 PAD，
∴BE∥平面 PAD.
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
平面与平面垂直的判定与性质
(2013· 北京)
思维启迪 解析 思维升华
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
平面与平面垂直的判定与性质
(2013· 北京)
思维启迪 解析 思维升华
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，
(1)平面 PAD⊥底面 ABCD，可
AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 由面面垂直的性质证 PA⊥ 底 平 面 PAD⊥ 底 面 ABCD ， PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD、PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
如图所示，
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
∴AE⊥平面 PCD.
在四棱锥 P—ABCD 中， PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60° ，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第六节空间图形的垂直关系 理
第六节 空间图形的垂直关系知识梳理一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直． 二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为90°，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直．三、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面．1．定义：从一条直线AB 出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角．记作二面角αAB β，AB 叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面．2．二面角的平面角：在二面角的棱AB 上任取一点O ，过O 分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM ，ON ，我们把∠MON 叫做二面角αAB β的平面角，用它来度量二面角的大小．平面角是直角的二面角叫做直二面角．1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．五、两个平面垂直的判定和性质.1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定和性质基础自测1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )A. m∥nB. n⊥mC. n∥αD. n⊥α解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，根据面面垂直的性质定理，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β.答案：B2．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：两个平面互相垂直，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行、可能相交、可能异面，排除选项A；两个平面互相平行，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行，可能异面，排除选项B；根据面面垂直的判定定理知，选项C错误，选项D正确．故选D.答案：D3．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：∵底面四边相等，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，从而有平面PCD⊥平面MBD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的是________．①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，一定有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确．答案：①③④1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l 满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：显然α与β相交，不然由α∥β⇒m ∥n ，与m ，n 为异面矛盾，排除选项A ；当α与β相交时，设交线为l ′，由m ⊥平面α，n ⊥平面β知，l ′⊥m ，l ′⊥n ，而l ⊥m ，l ⊥m ，于是易知l ′∥l .故选D.答案：D2．(2012·江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .证明：(1) ∵ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD .又AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2) ∵A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， ∴A 1F ⊥B 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥A 1F .又CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， ∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F ∥AD . 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴A 1F ∥平面ADE .1．(2013·惠州一模)已知集合A 、B 、C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B.若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出下列四个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥b c ∥b ⇒a ∥c ，②⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥b c ⊥b ⇒a ∥c ，③⎩⎪⎨⎪⎧a ∥bc ⊥b ⇒a ⊥c ， ④⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bc ∥b ⇒a ⊥c .其中所有正确命题的序号是________．解析：对于①，当c 表示平面时，根据a ∥b 且c ∥b ，不一定有a ∥c 成立，可能a ⊂c ，故①不正确；对于②，c如果是平面，a可以在平面c内，所以②不正确；对于③，当c表示平面时，由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立，故③不正确；对于④，用与③相同的方法，可证出a⊥c成立，故④正确．综上，正确命题的序号为④.答案：④2．(2013·珠海一模)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE；(3)求二面角APDC的平面角的正弦值．(1)证明：PA⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，因为AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)证明：PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，所以PA＝AC，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC，由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，所以AE⊥PD.易知BA⊥PD，所以PD⊥平面ABE.(3)解析：过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF.由(2)知，AE⊥平面PCD，故∠AFE是二面角APDC的一个平面角．设AC ＝a ，则AE ＝22a ，AD ＝23a ，PD ＝73a ， 从而AF ＝PA ·AD PD ＝27a ，故sin∠AFE ＝AE AF ＝144.。
2025年高考数学一轮复习-8.4节-空间直线、平面的垂直【课件】
(2)判定定理与性质定理
类型
判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的
垂线
______,那么这两个平面垂直
两个平面垂直,如果一个平面内有一
交线
性质定理 直线垂直于这两个平面的______,
那么这条直线与另一个平面垂直
图形表示
符号表示
常用结论
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
第八章 立体几何初步、空间向量与立体几何
第四节
空间直线、平面的垂直
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、
直线与平面、平面与平面的垂直关系的定义,归纳出有关垂直的性质定理和判定
定理,并加以证明.
2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
(2)二面角的平面角
∠AOB
若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是________.
0°≤θ≤180°
(3)二面角的平面角θ的范围:___________.
4.平面与平面垂直
(1)定义
直二面角
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面
图形表示
符号表示
2.直线和平面所成的角
射影
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角,叫做这条直线和这个
90° ;一条直线和平面
平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是____
平行或在平面内,则它们所成的角是0°.
高考一轮复习新课标数学(理)配套教材：8.5 空间中的垂直关系
§8.5空间中的垂直关系1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间中垂直关系的简单命题．在高考中，对空间垂直关系的考查主要表现在三个方面：一是将关于空间位置关系的定义、判定和性质结合起来，以选择、填空的形式，对有关命题的真假进行判断；二是灵活运用判定定理、性质定理求线面角、二面角，考查空间想象能力及计算能力；三是以几何体为载体，在解答题中以证明的形式，考查线线、线面、面面垂直关系及逻辑推理能力．1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作____________．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做_________．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_____________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．【自查自纠】1．直角2．(1)直线l 与平面α互相垂直 l ⊥α 平面α的垂线 直线l 的垂面 垂足 (2)两条相交直线 (3)平行 3．锐角 [0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱 [0°，180°]5．(1)直二面角 (2)垂线 (3)交线设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，当m ⊂α，n ⊂β时，下列命题正确的是( )A ．若m ∥n ，则α∥βB ．若m ⊥n ，则α⊥βC ．若m ⊥β，则m ⊥nD ．若n ⊥α，则m ⊥β解：易知A ，B ，D 错误．故选C.设α，β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：据面面垂直的判定定理可知，若l ⊂α，l ⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．故选A. 在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，可知AE ⊥侧面BB 1C 1C ，∠ADE 就是AD与侧面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为a ，则在Rt △AED 中，ED ＝12a ，AE ＝32a ，tan ∠ADE＝3，所以∠ADE ＝60°.故选C.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，连接BC ，在β内作CD ⊥l ，交l 于点D ，连接AD .∵l ⊥CD ，l ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴l ⊥面ACD .∴l ⊥AD .故∠ADC 为二面角α-l -β的平面角，即∠ADC ＝60°，易知∠ABC 为直线AB 与平面β所成的角．设CD ＝a ，则AD ＝2a ，AC ＝3a .又∵∠ABD ＝30°，∴AB ＝4a .∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝3a 4a ＝34.故填34.在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形； ②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为____________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD ′E 为平行四边形，①正确；若四边形BFD ′E 是正方形，则BE ⊥ED ′，又A ′D ′⊥EB ，A ′D ′∩ED ′＝D ′，∴BE ⊥面ADD ′A ′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影是正方形ABCD ，③正确；当E ，F 分别为棱AA ′，CC ′的中点时，EF ∥AC ，又AC ⊥平面BB ′D ，∴EF ⊥面BB ′D ，④正确．故填①③④.类型一 线线垂直问题如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明：(1)∵D 1D ⊥面ABCD ，且BD ⊂面ABCD ，∴D 1D ⊥BD .又∵AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos60°＝3AD 2， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2. ∴AD ⊥BD .又∵AD ∩D 1D ＝D ，∴BD ⊥面ADD 1A 1. 又AA 1⊂面ADD 1A 1, ∴AA 1⊥BD .(2)连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接A 1E .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且 A 1C 1＝EC ，∴四边形A 1ECC 1为平行四边形．∴CC1∥A1E.又∵A1E⊂面A1BD，CC1⊄面A1BD，∴CC1∥面A1BD.【评析】本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD中没有与CC1平行的直线，故需作辅助线．(2013·江苏)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS ＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点．又∵E分别是SA的中点，∴EF∥AB.又∵EF⊄平面ABC, AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理可证FG∥平面ABC.又∵EF∩FG＝F, EF，FG⊄平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC.又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC, AB∩AF＝A, AB，AF⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA.类型二线面垂直问题如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)证明：因为P A⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以P A⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又P A∩AD＝A，所以CE⊥平面P AD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，CE＝CD·sin45°＝1，DE＝CD·cos45°＝1，又因为AB＝1，则AB＝CE.又CE∥AB，AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形．因为AD ＝3，所以BC ＝AE ＝AD －DE ＝2，S ABCD ＝12(BC ＋AD )·AB ＝12(2＋3)×1＝52，V P -ABCD ＝13S ABCD ·P A ＝13×52×1＝56. 于是四棱锥P -ABCD 的体积为56.【评析】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD 的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD 是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积．(2013·陕西改编)如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .证明：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∴BD ⊥平面A 1OC .∴BD ⊥A 1C .又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1.∵BD ∩BB 1＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .类型三 面面垂直问题如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．(1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； (2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M . 解：(1)因为C 1D 1∥B 1A 1，所以∠MA 1B 1为异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，所以∠A 1B 1M ＝90°.而A 1B 1＝1，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2，故tan ∠MA 1B 1＝B 1MA 1B 1＝ 2.(2)证明：由A 1B 1⊥平面BCC 1B 1， BM ⊂平面BCC 1B 1， 得A 1B 1⊥BM .①由(1)知，B 1M ＝2，又BM ＝BC 2＋CM 2＝2，B 1B ＝2， B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M .②又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，由①②得BM ⊥平面A 1B 1M . 而BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M . 【评析】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．本题还可以利用规则几何体建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求解．如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(1)求证：平面VAB ⊥平面VCD ； (2)当角θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围． 解：(1)证明：∵AC ＝BC ＝a ，∴△ACB 是等腰三角形．又D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB . 又VC ⊥底面ABC ，∴VC ⊥AB .于是AB ⊥平面VCD .又AB ⊂平面VAB ， ∴平面VAB ⊥平面VCD .(2)在平面VCD 内过点C 作CH ⊥VD 于H ，则由(1)知CH ⊥平面VAB .连接BH ，于是∠CBH 就是直线BC 与平面VAB 所成的角．在Rt △CHD 中，易知CH ＝22a sin θ.设∠CBH ＝φ，在Rt △BHC 中，CH ＝a sin φ，∴22sin θ＝sin φ. ∵0<θ<π2，∴0<sin θ<1，0<sin φ<22.又0<φ<π2，∴0<φ<π4.即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π4. 类型四 垂直综合问题如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ； (2)求二面角B -P A -C 的余弦值．解：(1)证明：∵OA ＝OC ，D 为AC 中点， ∴AC ⊥OD.又∵PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，∴AC ⊥PO .∵OD ∩PO ＝O ，∴AC ⊥平面POD .而AC ⊂平面P AC ，∴平面POD ⊥平面P AC .(2)在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，∴OH ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥OH .在平面P AO 中，过O 作OG ⊥P A 于G ，连接HG ，则有 P A ⊥平面OGH ，从而P A ⊥HG ，∴∠OGH 是二面角B -P A -C 的平面角． 在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105，在Rt △POA 中，OG ＝PO·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63，在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155，所以cos ∠OGH ＝105.故二面角B -P A -C 的余弦值为105.【评析】本题以圆锥为载体，主要考查面面垂直及二面角的计算等．第(1)问是利用隐含的线线、线面垂直得出面面垂直，充分利用圆及圆锥的性质是证明的关键；第(2)问的难点在于如何作出二面角B -P A -C 的平面角，这主要是利用第(1)问面面垂直的性质作图来实现的，在作出二面角的平面角后，构造(或找出)含此角的三角形，计算即可．注意尽量将计算问题放在直角三角形内．(2013·广东)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ； (2)求二面角A ′CD -B 的平面角的余弦值．解：(1)证明：在图1中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2.如图示，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A ′D ＝22，易得A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，∴A ′O ⊥OD .同理可证A ′O ⊥OE .又∵OD ∩OE ＝O ，∴A ′O ⊥平面BCDE .(2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，∵A ′O ⊥平面BCDE ，由三垂线定理知A ′H ⊥CD ，∴∠A ′HO 为二面角A ′CD -B 的平面角.结合图1可知，H 为AC 中点，又O 为BC 中点，故OH ＝12AB ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302 ，∴cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，∴二面角A ′CD -B 的平面角的余弦值为155.1．判断(证明)线线垂直的方法 (1)根据定义；(2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ； (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α. (2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ.3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等结论；(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥r ⇒β⊥r .4．平面与平面垂直性质的应用 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找) ⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC .。
2015届高考数学总复习第八章 第六节空间图形的垂直关系课件 理
所以CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以PA⊥CD. (2)解析：过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE， 由(1)知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
所以CD⊥PB，又DE∩CD＝D，
所以PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，
所以CE⊥PB，
所以∠DEC为二面角CPBA的平面角．
由(1)可知CD＝，PD＝BD＝3，
【例2】
＝
(2013· 潮州二模)如图所示，已知AB为圆O的直径，
1 ，点C为圆O上一点，且BC DB 3
点D为线段AB上一点，且AD＝
AC. 3 点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：PA⊥CD； (2)求二面角CPBA的余弦值．
思路点拨：(1)先利用平面几何知识与线面垂直的性 质证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直 ⇒线线垂直； (2)通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在 三角形中求解．
1 1 ∴VBCDE＝3S△CDE· AE＝3×9 3×3＝9 3. ∵AB⊥平面 ADE， 1 1 9 3 ∴VBADE＝3S△ADE· AB＝3× 2 ×6＝9 3. ∴VABCDE＝VBCDE＋VBADE＝9 3＋9 3＝18 3. 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3.
两直线垂直的证明
第八章
第六节 空间图形的垂直关系
直线与平面垂直的证明
【 例 1】 (2012· 福 建 卷 ) 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD －
A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点． (1)求三棱锥A－MCC1的体积； (2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.
AE· DE 3×3 3 3 3 ∴EF＝ AD ＝ 6 ＝ 2 . 又正方形 ABCD 的面积 SABCD＝36， 1 1 3 3 ∴VABCDE＝VEABCD＝3SABCD· EF ＝3×36× 2 ＝18 3. 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3. (法二)在 Rt△ADE 中，AE＝3，AD＝6， ∴DE＝ AD2－AE2＝3 3.
2015届高三数学一轮总复习课件：8.5空间中的垂直关系
(1)求证:SD⊥平面 ABC;
(2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC.
证明:(1)如图所示,取 AB 中点 E,连接 SE,DE,在 Rt△ABC 中,D,E 分别为
AC,AB 的中点,故 DE∥BC,且 DE⊥AB,∵SA=SB,
∴△SAB 为等腰三角形.
故 SE⊥AB.
∵SE⊥AB,DE⊥AB,SE∩DE=E,
故 AB⊥PH.
又∵PH 为△PAD 中 AD 边上的高,∴AD⊥PH.
∵AB∩ AD=A,AB⊂平面 ABCDAD⊂平面 ABCD,∴PH⊥平面 ABCD.
(2) 解:由于 PH⊥平面 ABCD,E 为 PB 的中点,PH=1,
1
2
1
2
故 E 到平面 ABCD 的距离 h= PH= .
又∵AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD.
叫做二面角的棱;每个半平面叫做二面角的面.棱为 l,两个面分别为 α,β 的二
面角记为 α-l-β.
从二面角的棱上一点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射
线所成的角叫做二面角的平面角.
5.线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的转化
基础梳理
自我检测
第七页，编辑于星期五：八点 三十五分。
考点基础
自我检测
相转化.
证明线面垂直的方法有:
(1)利用定义,即证直线垂直于平面内任一直线.
(2)利用线面垂直的判定定理,它是判定线面垂直的最常用思路.
(3)利用线面垂直的性质,即两平行直线之一垂直于平面,则另一条直线必
垂直于该平面.
(4)利用面面垂直的性质定理,即两平面互相垂直,在一个面内垂直于交线
的直线垂直于另一平面.
考点基础
(新课标)高考数学一轮复习 8.4垂直关系及空间角名师课件
1.给出下列三个命题: ①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”; ②“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直于直线b在平 面β内的射影”; ③“直线a垂直于平面β”的必要非充分条件是“直线a垂直于平面β内的 无数条直线”. 其中正确的命题个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
设二面角C1-OB1-D的大小为θ,易知θ是锐角,
于是cos
θ=|cos<n1,n2>|=
|
n1=
n1 |
n2 | n2
=
|
2 .3
19
故二面角C1-OB1-D的余弦值为
2
5. 7
19
2 57 19
证明线面垂直的方法:一是利用线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的 性质定理;三是利用平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另 一条也垂直于这个平面).解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化; 另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底 边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一,矩形的内角、直径所对的圆 周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形、直角梯形等等.
AE BC
(2)AE⊂平面PAB,由(1)知 AE ⇒PABE⊥平 面PBC.
PBBC B
PC AE
(3)PC⊂平面PBC,由(2)知 PC ⇒APFC⊥平 面AEF.
AEAF A
面面垂直的判定与性质 典例2 (2014福建,17,13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥ BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
2015高考数学一轮复习课件：08-4空间中的垂直关系
第八章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
( 2 ) 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线 的直 线垂直于另一个平面．
第八章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
3．二 面 角 的 有 关 概 念 ( 1 ) 二 面 角 ： 从 一 条 直 线 出 发 的 做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两 个半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角.
第八章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
[ 解析]
本 小 题 主 要 考 查 空 间 线 面 的 垂 直 关 系 和 应 用 充
要条件解题的能力． 由已知 m α， 若 α⊥β 则有 m⊥β， 或 m∥β 或 m 与 β 相交； 反之，若 m⊥β，∵m α，∴由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 知 ∴α⊥β 是 m⊥β 的必要不充分条件．故选 B. α ⊥ β.
所以 AD2＋BD2＝AB2.故 AD⊥BD. 又平面 P A D ⊥平面 A B C D ， 平 面 P A D ∩平面 A B C D ＝AD， BD 平面 A B C D ，所以 BD⊥平面 P A D . 又 BD 平面 M B D ， 故 平 面 M B D ⊥平面 P A D .
第八章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
(理) ( 2 0 1 3 ·
西安模拟)给 定 下 列 四 个 命 题 ：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行， 那么这 两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平 面相互垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直， 那么一个平面内与它们的交线不垂直 的直线与另一个平面也不垂直．
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∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
数学 R B（理）
§8.4 空间中的垂直关系
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点， 并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过交 点(O)的 任何 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．
证明 (1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点，所以 SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中，AD＝BD，又 SA＝SB，SD＝SD， 所以△ADS≌△BDS，所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC. 由(1)知 SD⊥BD，又 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
【例 1】 如图所示， 在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
思维启迪 解析 ∴AE⊥平面 PCD.
思维升华
而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥ 平 面 PAD ， 而 PD ⊂ 平 面 PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面 ABE.
思维启迪 解析 思维升华
(2)证明线面垂直的核心是证线 线垂直，而证明线线垂直则需借 助线面垂直的性质．因此，判定 定理与性质定理的合理转化是 证明线面垂直的基本思想．
(3)线面垂直的性质，常用来证明
(2)PD⊥平面 ABE.
线线垂直．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是 AC 的中点，S 是△ABC 所在 平面外一点，且 SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
【例 1】 如图所示，
思维启迪 解析 思维升华
在四棱锥 P—ABCD
(1)证明直线和平面垂直的常用
中，PA⊥底面 ABCD，
方法：①判定定理；②垂直于
AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点．
平面的传递性 (a∥b， a⊥α⇒ b⊥α) ； ③ 面 面 平 行 的 性 质
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)平面与平面垂直的判定定理：
文字语言
图形语言 符号语言
判 如果一个平面过另一 定 个平面的一条 垂线 ， 定 则这两个平面互相 理 垂直
l⊥α
l⊂β
⇒α⊥β
基础知识·自主学习
要点梳理
(3)平面与平面垂直的性质定理：
知识回顾 理清教材
文字语言 如果两个平面互 性 相垂直，那么在 质 一个平面内垂直 定 于它们 交线 的 理 直线垂直于另一 个平面
思维启迪 解析
在四棱锥 P—ABCD
中，PA⊥底面 ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝
AB＝BC，E 是 PC 的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE.
思维升华
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
【例 1】 如图所示，
思维启迪 解析
思维升华
在四棱锥 P—ABCD
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论：
文字语言
图形语言
符号语言
判 定 定 理
如果一条直线与平面内的 两条相交直线 ，则这 条直线与这个平面垂直
a⊂α
b⊂α a∩b＝O
⇒l⊥α
l⊥a
l⊥b
推 如果在两条平行直线中，有
论 一条垂直于平面，那么另一
第(1)问通过 DC⊥平面 PAC 证
中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
明；也可通过 AE⊥平面 PCD 得到结论； 第(2)问利用线面垂直的判定定 理证明直线 PD 与平面 ABE 内 的两条相交直线垂直．
证明：(1)CD⊥AE；
(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面
(2)PD⊥平面 ABE.
垂直的性质．
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
【例 1】 如图所示， 在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE；
1 条直线也 垂直于 这个平面
推 论
如果两条直线垂直于同一个 平面，那么这两条直线平行
2
a∥b a⊥α
⇒b⊥α
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 如果两个相交平面的 交线 与第三个平面垂直，又 这两个平面与第三个平面相交所得两条交线 互相 垂直 ，就称这两个平面互相β＝a l⊥a
⇒l⊥α
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) √ (3) √ (4) ×(5) √
D C C
可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
解析
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
【例 1】 如图所示，
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
【例 1】 如图所示， 在四棱锥 P—ABCD
思维启迪 解析 思维升华 证明 (1)在四棱锥 P—ABCD 中， ∵PA⊥ 底 面 ABCD ， CD ⊂ 平 面
中，PA⊥底面 ABCD，
ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.