北京四中数学高考一轮总复习巩固练习：32简单的线性规划(提高)

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高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)

简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为－311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。

高考文科数学一轮复习练习-简单的线性规划

§7.2 简单的线性规划探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点平面区域问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组);②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;③掌握二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法2016浙江,4,5分二元一次不等式组所表示的平面区域两平行线间的距离★★☆2015重庆,10,5分二元一次不等式组所表示的平面区域三角形的面积线性规划问题①了解线性规划的意义,并会简单应用;②了解与线性规划问题有关的概念;③会用图解法解决线性目标函数的最值;④会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并加以解决2018课标全国Ⅰ,14,5分简单的线性规划二元一次不等式组所表示的平面区域 ★★★2018课标全国Ⅲ,15,5分简单的线性规划二元一次不等式组所表示的平面区域 2016课标全国Ⅰ,16,5分简单的线性规划的实际应用二元一次不等式组所表示的平面区域 2019课标全国Ⅱ,13,5分简单的线性规划二元一次不等式组所表示的平面区域分析解读通过分析高考试题可以看出,题型以选择题、填空题为主,分值为5分,属中低档题.考查数形结合思想,体现数学的应用,命题侧重以下几点:1.考查线性目标函数的最值,借助数形结合的思想,考查直线在纵轴上的截距;2.要清楚目标函数的最值、最优解的概念,若目标函数不是线性的,则常与线段的长度、直线的斜率等有关.破考点练考向【考点集训】考点一平面区域问题1.不等式组{(x -y +3)(x +y)≥0,0≤x ≤4表示的平面区域是( )A.矩形及其内部B.三角形及其内部C.直角梯形及其内部D.等腰梯形及其内部答案 D2.(2019江西九江重点中学联考,4)已知实数x,y 满足线性约束条件{x +y ≤2,y ≥x,x ≥-1,则其表示的平面区域外接圆的面积为( )A.πB.2πC.4πD.6π 答案 C3.(2015重庆,10,5分)若不等式组{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( )A.-3B.1C.43D.3答案 B4.(2016浙江,4,5分)若平面区域{x +y -3≥0,2x -y -3≤0,x -2y +3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.3√55B.√2C.3√22D.√5答案 B考点二线性规划问题1.(2017课标全国Ⅲ,5,5分)设x,y 满足约束条件{3x +2y -6≤0,x ≥0,y ≥0,则z=x-y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案 B2.(2020届四川资阳中学10月月考,5)若x,y 满足{x ≤3,x +y ≥2,y ≤x,则z=y+1x的最大值为( )A.0B.2C.43D.1答案 B3.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元. 答案 216 000炼技法提能力【方法集训】方法1 目标函数的最值(取值范围)问题的求解方法1.(2020届河南漯河摸底,7)设x,y 满足约束条件{x -y +2≤0,x ≥1,x +y -7≤0,则z=2x-4y 的最小值是( )A.-22B.-13C.-10D.-20 答案 A2.(2020届四川成都七中10月模拟,6)已知x,y 满足不等式组{2x +y -4≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,则z=|x+y-1|的最小值为( )A.2B.√22C.√2D.1答案 D3.(2020届安徽安庆一中10月模拟,9)已知实数x,y 满足{y ≤√x,y ≥-23(x -1),y ≥23x,则z=x+y+1x+1的最大值为( )A.75B.119C.12D.32答案 D方法2 线性规划的实际问题的求解方法1.(2019湖南张家界期末)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果各生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为万元.甲乙原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨)128答案 182.某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,甲型卡车每辆每天的成本费为252元,乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问:每天派出甲型卡车与乙型卡车各多少辆,车队所花成本费最低?答案设每天派出甲型卡车x 辆、乙型卡车y 辆,车队所花成本费为z 元,则{x +y ≤9,10×6x +6×8y ≥360,x ≤4,y ≤7,x,y ∈N,z=252x+160y.作出不等式组所表示的平面区域,为图中阴影部分中的整点.作出直线l 0:252x+160y=0,把直线l 0向右上方平移,使其经过可行域内的整点,且使在y 轴上的截距最小.观察可知当直线252x+160y=z 经过点(2,5)时,满足上述要求.此时,z=252x+160y 取得最小值,z min =252×2+160×5=1 304. 故每天派出甲型卡车2辆,乙型卡车5辆,车队所花成本费最低.【五年高考】A 组统一命题·课标卷题组1.(2017课标全国Ⅰ,7,5分)设x,y 满足约束条件{x +3y ≤3,x -y ≥1,y ≥0,则z=x+y 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3 答案 D2.(2017课标全国Ⅱ,7,5分)设x,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z=2x+y 的最小值是( )A.-15B.-9C.1D.9 答案 A3.(2018课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y 满足约束条件{x +2y -5≥0,x -2y +3≥0,x -5≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案 94.(2019课标全国Ⅱ,13,5分)若变量x,y 满足约束条件{2x +3y -6≥0,x +y -3≤0,y -2≤0,则z=3x-y 的最大值是 .答案 95.(2018课标全国Ⅰ,14,5分)若x,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y 的最大值为 .答案 66.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z=x-2y 的最小值为 .答案 -5B 组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2018天津,2,5分)设变量x,y 满足约束条件{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0,则目标函数z=3x+5y 的最大值为( )A.6B.19C.21D.45答案 C2.(2019浙江,3,4分)若实数x,y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则z=3x+2y 的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12 答案 C3.(2017浙江,4,4分)若x,y 满足约束条件{x ≥0,x +y -3≥0,x -2y ≤0,则z=x+2y 的取值范围是( )A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞) 答案 D4.(2015福建,10,5分)变量x,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -2y +2≥0,mx -y ≤0.若z=2x-y 的最大值为2,则实数m 等于( )A.-2B.-1C.1D.2 答案 C5.(2019北京,10,5分)若x,y 满足{x ≤2,y ≥-1,4x -3y +1≥0,则y-x 的最小值为 ,最大值为 .答案 -3;16.(2018北京,13,5分)若x,y 满足x+1≤y ≤2x,则2y-x 的最小值是 . 答案 3C 组教师专用题组1.(2017北京,4,5分)若x,y 满足{x ≤3,x +y ≥2,y ≤x,则x+2y 的最大值为( )A.1B.3C.5D.9 答案 D2.(2017山东,3,5分)已知x,y 满足约束条件{x -2y +5≤0,x +3≥0,y ≤2,则z=x+2y 的最大值是( )A.-3B.-1C.1D.3 答案 D3.(2016山东,4,5分)若变量x,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12答案 C4.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB 上,则2x-y 的最大值为( ) A.-1B.3C.7D.8答案 C5.(2015湖南,4,5分)若变量x,y 满足约束条件{x +y ≥1,y -x ≤1,x ≤1,则z=2x-y 的最小值为( )A.-1B.0C.1D.2 答案 A6.(2015安徽,5,5分)已知x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y -4≤0,y ≥1,则z=-2x+y 的最大值是( )A.-1B.-2C.-5D.1 答案 A7.(2015天津,2,5分)设变量x,y 满足约束条件{x -2≤0,x -2y ≤0,x +2y -8≤0,则目标函数z=3x+y 的最大值为( )A.7B.8C.9D.14答案 C8.(2015广东,4,5分)若变量x,y 满足约束条件{x +2y ≤2,x +y ≥0,x ≤4,则z=2x+3y 的最大值为( )A.2B.5C.8D.10 答案 B9.(2014课标Ⅱ,9,5分)设x,y 满足约束条件{x +y -1≥0,x -y -1≤0,x -3y +3≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.8B.7C.2D.1 答案 B10.(2014课标Ⅰ,11,5分)设x,y 满足约束条件{x +y ≥a,x -y ≤-1,且z=x+ay 的最小值为7,则a=( )A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案 B11.(2013课标Ⅱ,3,5分)设x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-3 答案 B12.(2011全国,4,5分)若变量x 、y 满足约束条件{x +y ≤6,x -3y ≤-2,x ≥1,则z=2x+3y 的最小值为( )A.17B.14C.5D.3 答案 C13.(2010全国Ⅰ,3,5分)若变量x,y 满足约束条件{y ≤1,x +y ≥0,x -y -2≤0,则z=x-2y 的最大值为( )A.4B.3C.2D.1 答案 B14.(2018浙江,12,6分)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .答案 -2;815.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y 满足约束条件{2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x ≤1,则z=2x+3y-5的最小值为 .答案 -1016.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为 .答案 417.(2015课标Ⅱ,14,5分)若x,y 满足约束条件{x +y -5≤0,2x -y -1≥0,x -2y +1≤0,则z=2x+y 的最大值为 .答案 818.(2015湖北,12,5分)若变量x,y 满足约束条件{x +y ≤4,x -y ≤2,3x -y ≥0,则3x+y 的最大值是 .答案 1019.(2015北京,13,5分)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D 中任意一点,则z=2x+3y 的最大值为 .答案 720.(2015山东,12,5分)若x,y 满足约束条件{y -x ≤1,x +y ≤3,y ≥1,则z=x+3y 的最大值为 .答案 721.(2014大纲全国,15,5分)设x 、y 满足约束条件{x -y ≥0,x +2y ≤3,x -2y ≤1,则z=x+4y 的最大值为 .答案 522.(2013课标Ⅰ,14,5分)设x,y 满足约束条件{1≤x ≤3,-1≤x -y ≤0,则z=2x-y 的最大值为 .答案 323.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料 A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨,B 种原料360吨,C 种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润. 答案 (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为{4x +5y ≤200,8x +5y ≤360,3x +10y ≤300,x ≥0,y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.图1(2)设利润为z 万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+z 3,这是斜率为-23,随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距,当z 3取最大值时,z 的值最大.又因为x,y 满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y 经过可行域上的点M 时,截距z 3最大,即z 最大.图2解方程组{4x +5y =200,3x +10y =300,得点M 的坐标为(20,24).所以z max =2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.【三年模拟】时间:40分钟分值:50分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届江西南昌摸底,7)已知二元一次不等式组{x +y -2≥0,x -y +2≥0,x +2y -2≥0表示的平面区域为D,命题p:点(0,1)在区域D 内;命题q:∃(x,y)∈D,x 2+y 2≤2,则下列命题中的真命题是( ) A.p ∧q B.p ∧( q) C.( p)∧q D.( p)∧( q)答案 C2.(2020届安徽A10联盟摸底,4)某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生,y 名女生,若x,y 满足约束条件{2x -y ≥5,y >12x -1,x <7,则数学兴趣小组最多可以选拔学生( ) A.21名 B.16名 C.13名D.11名答案 C3.(2020届河南郑州一中、河北衡水中学等名校10月联考,8)若实数x,y 满足不等式组{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a(a >0),且目标函数z=ax-2y 的最大值为6,则实数a 的值是( ) A.4B.1或3C.2D.2或4答案 C4.(2019安徽六安一中模拟,5)已知实数x,y 满足{x -2y +1≥0,|x|-y -1≤0,则z=2x+y+2x 的取值范围为( )A.[0,103]B.(-∞,2]∪[103,+∞) C.[2,103] D.(-∞,0]∪[103,+∞)答案 D5.(2019湖南炎德英才大联考(三),11)已知由不等式组{x ≤0,y ≥0,y -kx ≤2,y -x -4≤0确定的平面区域Ω的面积为7,定点M 的坐标为(1,-2),若N ∈Ω,O 为坐标原点,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是( ) A.-8B.-7C.-6D.-4答案 B6.(2018四川成都外国语学校12月月考,7)已知变量x,y 满足约束条件{x -2y +3≥0,x -3y +3≤0,y -1≤0,若目标函数z=y-ax 仅在点(-3,0)处取到最大值,则实数a 的取值范围为( )A.(12,+∞) B.(3,5) C.(-1,2) D.(13,1)答案 A7.(2018山东栖霞一中4月模拟,8)已知实数x,y 满足约束条件{y ≥0,y -x +1≤0,y -2x +4≥0.若目标函数z=y-ax(a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个,则a 的值为( ) A.2 B.1 C.1或2D.-1答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020届安徽芜湖第一中学9月月考,13)已知正数x,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=4-x·(12)y 的最小值为 .答案1169.(2020届江西赣州中学10月月考,14)已知x,y 满足{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y ≤1,且z=3x+2y 的最大值为m,若正数a,b 满足a+b=m,则1a +4b的最小值为 . 答案 110.(2019重庆南开中学3月测试,14)已知定点A(2,0),点P(x,y)的坐标满足{x -4y +3≤0,3x +5y -25≤0,x -a ≥0,当OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(O 为坐标原点)的最小值是2时,实数a 的值是 . 答案 2。

【世纪金榜】高中数学 3.4.3 简单线性规划的应用课后巩固练习北师大版必修5

【世纪金榜】2014年高中数学 3.4.3 简单线性规划的应用课后巩固练习北师大版必修5(30分钟50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·成都模拟）某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元/辆，购买B型汽车需8万元/辆，假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元/辆，B型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买( )(A)8辆A型汽车，42辆B型汽车(B)9辆A型汽车，41辆B型汽车(C)11辆A型汽车，39辆B型汽车(D)10辆A型汽车,40辆B型汽车2.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的软件和磁盘，其中软件至少买3片，磁盘至少买2盘，则不同的选购方式有( )（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种3.(2011·四川高考）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( ) （A）4 650元（B）4 700元（C）4 900元（D）5 000元4.买4 kg苹果和5 kg梨的费用之和不小于20元,而买6 kg苹果和3 kg梨的费用之和不大于24 元,则买3 kg苹果和9 kg梨至少需要( )（A）22元（B）36元（C）24元（D）72元二、填空题（每小题4分，共8分）5.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为_______元.6.配制A药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为_______百元．三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知x、y满足约束条件x2y82x y8x N y N++≤⎧⎪≤⎨⎪∈∈⎩＋＋，目标函数为z＝3x＋y，求得x＝4，y＝0时，z max＝12.但题中要求x、y∈N+，请调整一下最优解与目标函数的最大值．8.(2011·黄冈模拟)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【挑战能力】(10分)某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元，如果此人只能筹8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？答案解析1.【解析】选D.设购买A型汽车x辆，购买B型汽车y辆，第一年纯利润为z万元，则x y5013x8y450 x Ny N+++≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，z=2x+1.5y,作出可行域，由x y50,13x8y450,+=⎧⎨+=⎩解得x10,y40=⎧⎨=⎩此时z取得最大值，故选D.2.独具【解题提示】可根据资金不超过500元，建立关于软件数和磁盘数的不等式组.根据不等式组逐一列出即可.【解析】选C.由60x70y500x,y Nx3y2+≤⎧⎪∈⎪⎨≥⎪⎪≥⎩＋,得6x7y50x,y Nx3y2+≤⎧⎪∈⎪⎨≥⎪⎪≥⎩＋(其中x为软件数，y为磁盘数),当x＝3时,7y≤32，y可取2,3,4共三种．当x＝4时,7y≤26，y可取2,3共两种．当x＝5时.7y≤20，y可取2共一种．当x＝6时,7y≤14，y可取2共一种．当x ≥7时,不合题意．故共7种选购方式．3.【解析】选C.设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，获得的利润为u 元，u=450x+350y ，由题意，x 、y 满足关系式x y 122x y 1910x 6y 720x 8x N 0y 7y N+≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤∈⎪≤≤∈⎪⎩，，,作出相应的平面区域，u=450x+350y=50 (9x+7y).在由x y 122x y 19+=⎧⎨+=⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元，故选C ．4.【解析】选A.设苹果每千克x 元,梨每千克y 元,则约束条件为4x 5y 206x 3y 24x 0,y 0+≥⎧⎪+≤⎨⎪>>⎩,目标函数z=3x+9y,作出可行域如图.作直线l :3x+9y=0,平移直线至过点A 时,z=3x+9y 取最小值. 解方程组4x 5y 206x 3y 24+=⎧⎨+=⎩得A 点坐标为(104,33)，∴z min =3×103+9×43=22(元). 5.【解析】设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为20x 10y 1000x 4x N ,0y 8y N +≥⎧⎪≤≤∈⎨⎪≤≤∈⎩，，目标函数z=400x+300y. 画图可知，当平移直线400x+300y=0至经过点(4,2)时，取得最小值2 200. 答案：2 2006.【解析】设配制药剂A x 剂，药剂B y 剂，则2x 5y 205x 4y 25x 0y 0x N y N .++≤⎧⎪≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩＋，＋，，，，目标函数为z ＝x ＋2y ，作出可行域如图所示(整数点部分)．令z ＝0得直线x ＋2y ＝0，平移此直线过点M 时z 最大，由2x 5y 205x 4y 25⎧⎨⎩＋＝＋＝，得M(45501717，)，调整得最优解(2,3)， ∴z max ＝2＋2×3＝8(百元)．答案：87.独具【解题提示】根据x 、y ∈N +且在边界上有最大值为12，在可行域内调整x 、y 的值，求出最优解. 【解析】∵0∉N +，∴x ＝4，y ＝0，不是最优解．∵在可行域内z ＝12时,仅有x ＝4，y ＝0， ∴z 最大取不到12，∵x 、y ∈N +，z ＝3x ＋y ∈N +，∴考虑z ＝3x ＋y ＝11时取最大，而此时可行域内有x ＝3，y ＝2使z ＝11，∴最优解为x ＝3，y ＝2，z max ＝11. 8.【解析】设搭载产品A 有x 件，产品B 有y 件，预计收益z ＝80x ＋60y.则20x 30y 30010x 5y 110x N ,y N+++≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩,作出可行域，如图作出直线 l 0:4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时,z 能取得最大值，2x 3y 302x y 22+=⎧⎨+=⎩, 解得x 9y 4=⎧⎨=⎩,即M （9，4），所以z max =80×9+60×4=960(万元）.答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．【挑战能力】【解析】设应隔出大房间x 间和小房间y 间，则18x 15y 1801 000x 600y 8 000x 0,y 0x,y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩即6x 5y 605x 3y 40x 0,y 0x,y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩, 目标函数为z=5×40x+3×50y ，作出约束条件可行域：根据目标函数z=200x+150y，作出一组平行线200x+150y=t,当此线经过直线18x+15y=180和直线1 000x+600y=8 000的交点C(2060,77)时，目标函数取最大值为200x+150y=13 0007，由于(2060,77)不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是它的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解，即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大.如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间.独具【方法技巧】线性规划中的最优解问题（1）解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图应尽可能精确,假若图上的最优点并不明显时,不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检验,以“验明正身”.（2）另外对最优整数解问题,可使用“局部微调法”，其步骤可用以下十二个字概括：微调整、求交点、取范围、找整解.。

2022版高考数学一轮复习第六章不等式第三讲简单的线性规划学案(含解析)新人教版

学习资料2022版高考数学一轮复习第六章不等式第三讲简单的线性规划学案（含解析）新人教版班级：科目：第三讲简单的线性规划知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线Ax＋By＋C__＝0__上，另两类分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__〉0__，另一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__<0__.(2）二元一次不等式Ax＋By＋C〉0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成__虚线__，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成__实线__.知识点二二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界，特殊点定域"的方法．(1)直线定界，即若不等式不含__等号__,则应把直线画成虚线;若不等式含有__等号__，把直线画成实线．(2）特殊点定域,由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都__相同__,故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用__特殊点法__，如取(0,0)、（0,1)、(1，0）等点．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__公共部分__.知识点三线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的__不等式（组）__ 线性约束条件由x,y的__一次__不等式(或方程)组成的不等式(组）目标函数关于x，y的函数__解析式__，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x,y的__一次__解析式可行解满足约束条件的解__(x，y)__可行域所有可行解组成的__集合__最优解使目标函数取得__最大值__或__最小值__的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的__最大值__或__最小值__问题1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y〉kx＋b或y〈kx＋b的形式．（1）若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方．(2)若y〈kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0下方．2．最优解与可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解,最优解不一定存在，存在时不一定唯一．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．（√)（2)不等式Ax＋By＋C〉0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（×）（3）点(x1，y1），（x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）〉0，异侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）(Ax2＋By2＋C)〈0.(√) （4）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．（√)（5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．（√)（6)目标函数z＝ax＋by（a≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×）题组二走进教材2．（必修5P86T3改编）不等式组错误!表示的平面区域是（C）[解析]x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．3．(必修5P91练习T1(1）改编)已知x,y满足约束条件错误!则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是（C）A．3，－3 B．2,－4C．4，－2 D．4，－4[解析］作出可行域如图中阴影部分所示．A(2，－1），B(－1，－1),显然当直线l：z＝2x＋y＋1经过A时z取得最大值，且z max＝4，当直线l过点B时,z取得最小值,且z min＝－2，故选C．题组三走向高考4．（2020·浙江,3，4分)若实数x,y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是（B）A．(－∞，4］B．［4，＋∞）C．[5，＋∞) D．(－∞，＋∞）[解析］由约束条件画出可行域如图．易知z＝x＋2y在点A（2,1)处取得最小值4，无最大值,所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选B．5．（2019·北京）若x,y满足错误!则y－x的最小值为__－3__，最大值为__1__.［解析]由线性约束条件画出可行域，为图中的△ABC及其内部．易知A(－1,－1)，B （2，－1)，C(2,3）．设z＝y－x，平移直线y－x＝0，当直线过点C时，z max＝3－2＝1，当直线过点B时,z min＝－1－2＝－3.考点突破·互动探究考点一二元一次不等式（组）表示的平面区域—-自主练透例1 (1）(2021·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组错误!的点(x，y）的集合用阴影表示为下列图中的（C）(2）（2021·四川江油中学月考)已知实数x，y满足线性约束条件错误!则其表示的平面区域的面积为（D)A．错误!B．错误!C．9 D．错误!（3)若不等式组错误!表示的平面区域的形状是三角形,则a的取值范围是（D）A．a≥错误!B．0<a≤1C．1≤a≤错误!D．0〈a≤1或a≥错误!［解析]（1）｜x｜＝｜y|把平面分成四部分，｜x|≤｜y|表示含y轴的两个区域；|x｜<1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．（2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A（0，3)，B错误!，C(3，0）,∴S＝错误!|AB｜·|OC｜＝错误!×错误!×3＝错误!，故选D．（3）作出不等式组错误!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1,l3:x＋y＝错误!。

高考数学文科一轮复习(北京卷B)课件：7.2 简单的线性规划

∴z的最大值为3+2 × 3=9. 故选D.
2.(2016 北京,7,5分,0.90)已知A (2,5),B(4,1).若点P(x ,y)在线段AB 上,则2 x -y的最大值为 ( ) A答.-案1 C B点. 3P(x ,y)C在. 7线段ABD上.8且A (2,5),B(4,1),如图:
则z= x +2 y的取值范围是 ( )
A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,∞+ ) 答案 D 本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法. 不等式组形成的可行域如图所示.
平移直线y=- x ,当直线过点A (2,1)时,z有最小值4.显然z没有最大值.故选D.
因此S△ABC = S△ABD + S△BCD = × 2 × 2+ × 2 × 2=4.
故答案为4.
考点二线性规划问题
1.(2018 天津,2,5分)设变量x ,y满足约束条件
)
则目标函数z=3 x +5 y的最大值为 (
A答.6案 C B.本1 9题主要C考.2查1 线性目D.标45函数最值的求解. 由变量x ,y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).

设z=2 x -y,则y=2 x -z, 当直线y=2 x -z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2 × 4-1=7.
一题多解由题意,易得线段AB 的方程为y-1=
因为2 x -y=4 x -9,且2 ≤x ≤4, 所以-1 ≤2 x -y≤7. 故选C.
(x -4),即y=-2 x +9(2 ≤x ≤4).

作出基本直线l0:3x +5 y=0, 平移直线l0,当经过点A (2,3)时,z取最大值,zmax =3 × 2+5 × 3=21, 故选

人教A版高中数学必修四北京四中同步复习向量巩固练习平面向量的线性运算基础,

5．4( ― )―3( + )－等于（）
A． ―2 B． C． ―6 D． ―8
6．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）
A．与的方向相反B．与 2 的方向相同
C．|－ |≥| | D．|－ |=| |·
7．已知向量、，且，，，则一定共线的三点是（）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，
已知，
用表示 =， .
13．化简：（1）2(3 ―2 )+3( +5 )―5(4 ― )；
（2）．
14．已知，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示 .
15．G为△ABC的重心，O为平面内不同于G的任意一点，求证：．
解①②： .
13．【解析】（1）原式=6 ―4 +3 +15 ―2 +5 =14 ―9 ；
（2）原式．
14．【解析】
由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC
故
.
15．【解析】∵ ，，，
∵G为△ABC重心，∴ ，
∴ ，即．
8．【答案】C
【解析】正方形ABCD边长为1
∴ .
9．【答案】
【解析】答案】―1
【解析】 = ke1+e2= (e1+ke2) (k― )e1=(k ―1)e2， k=±1．当k=1时，a=e1+e2=b=e1+e2，∴k=－1．
12．【答案】
【解析】设，M、N为DC、BC中点，，，在△ABN中和△ADM中， ① ②

年高考第一轮复习数学简单的线性规划

简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）.B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数.当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x +y ≥0内B.点（0，0）在区域x +y +1<0内C.点（1，0）在区域y >2x 内D.点（0，1）在区域x －y +1>0内解析：将（0，0）代入x +y ≥0，成立. 答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足（x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3， A.5 B.10 C.217解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10. 答案：D2x －y +1≥0，x －2y －1≤0， x +y ≤1则x 2+y 2的最小值为3.不等式组表示的平面区域为A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43. ∴α≠3π. 答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________.解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32.答案：t ＞325.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个. 答案：3 ●典例剖析【例1】求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1， y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1， x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0. 其平面区域如图.y∴面积S =21×4×4=8. 评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.或或或深化拓展若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济此时需花费多少元剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围.解：（1）依题意得v =y 50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100. ∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.② 因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.x y 1492.52+3=38y x（2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小. 此时，v =，w =30，p 的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么 x +y ≤9，10×6x +6×8x ≥360， 0≤x ≤4， 0≤y ≤7.z =252x +160y ，其中x 、y ∈N .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l 0：252x +160y =0在y 轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x +160y =t 经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z =252x +160y 取得最小值，即x =2，y =5时，z min =252×2+160×5=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f （x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x －1）2+（y －1）2=1是｜x －1｜+｜y －1｜≤1的__________条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分且必要 D.既不充分也不必要解析：数形结合. 答案：B2.（x +2y +1）（x －y +4）≤0表示的平面区域为x xy y yy ABCD解析：可转化为 x +2y +1≥0， x +2x －y +4≤0 x －y +4≥0. 答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x 、y 满足约束条件 x ≥0， x ≥y ，2x －y ≤1，则z =3x +2y 的最大值是____________.或解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0，3x +5y －25≤0， x ≥1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．yx ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）.x －4y +3=0， 3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52．答案：52 522 5.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.由得B （5，2）.4.变量x 、y 满足条件设z =x y ，则z 的最小值为_______，最大值为由因此所求区域的不等式组为x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min =3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），y所需费用为S =+，且x 、y 满足 6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0， y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小. 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1， y ≥1，3x +5y ≤20， 5x +4y ≤25.下的最大值为11，最小值为－5.上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300， 5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数. 由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元. 探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域；（3）a +b －3的值域.f （0）＞0f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0，a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.解：由题意知 ⇒又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（4，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）. ●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点（x ，y ）实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x 0，y 0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax +By +C =0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设ax +by =t ，则此直线往右（或左）平移时，t 值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；（2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围.解：∵－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5， p －q ≤－1，p －q ≥－4， 4p －q ≤5， 4p －q ≥－1. 求z =9p －q 的最值.∴p =0， q =1，z min =－1， p =3，q =7， ∴－1≤f （3）≤20.【例2】某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.xx y +3=由图知当直线l ：y =－x +t 过Q格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点.x +3y =40，2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.如图，∵z max=20，解方程组。

高考第一轮复习数学：7.4--简单的线性规划

高考第一轮复习数学：7.4--简单的线性规划7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x+y≥0内B.点（0，0）在区域x+y+1<0内C.点（1，0）在区域y>2x内D.点（0，1）在区域x－y+1>0内解析：将（0，0）代入x+y≥0，成立.答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足（x －y +1）（x +y －4）≥0， x ≥3，A.5B.10C.217 D.10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10.答案：D2x －y +1≥0， x －2y －1≤0，x +y ≤1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43. ∴α≠3π.则x 2+y 2的3.不表示的平答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________.解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32. 答案：t ＞32 5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3●典例剖析【例1】求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为 x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1，y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1，或或或x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0.其平面区域如图. O x y∴面积S =21×4×4=8. 评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.深化拓展若再求：①12-+x y；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】某人上午7时，乘摩托艇以匀速vn mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围.解：（1）依题意得v =y 50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.②因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.x（2）∵p +2·（8－y ），∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小.此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么x+y≤9，10×6x+6×8x≥360，0≤x≤4，0≤y≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z min=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x －1）2+（y －1）2=1是｜x －1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.（x +2y +1）（x －y +4）≤0表示的平面区域为x xyy yy AB C D x +2y +1≥0， x +2y +1≤0， x －y +4≤0 x －y +4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x 、y 满足约束条件或x ≥0， x ≥y ，2x －y ≤1，则z =3x +2y 的最大值是____________.解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0，x ≥1， _________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．yx ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）. x －4y +3=0，由得B 4.变量x 、设z =xy ，则z 的最小值为由3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52．答案：525225.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.因此所求区域的不等式组为 x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min = 3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和下的最大值为10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），y所需费用为S x 、y 满足6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0，y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小. 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y ∈N），则x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25.上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300，5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数.由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域；（3）a +b －3的值域.f （0）＞0 f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0， a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）. ●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使解：由用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）实数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x0，y0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax+By+C=0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；（2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】已知f（x）=px2－q且－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的范围.解：∵－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，p－q≤－1，p－q≥－4，∴4p－q≤5，4p－q≥－1.求z=9p－q的最值.p =0q =1，z min =－1， p =3， q =7，∴－1≤f （3）≤20.【例2】某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.如z max=xx y +3=由图知当直线l 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点. x +3y =40， 2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.解方。

2021年高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5

2021年高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.52.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组则3x+4y的最小值是( )（A）13 （B）15 （C）20 （D）283.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组则目标函数z=x+y的最大值是( )(A)3 (B)5 (C) (D)74.已知x、y满足不等式组且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )(A)0 (B) (C) (D)1二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知点P（x,y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.8.设变量x，y满足约束条件求z=(x- )2+y2的取值范围.【挑战能力】（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足，试求的最大值.答案解析1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-，当直线过点A （3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.由得，点A坐标为（5，2）.故z max=5+2=7.4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.由得A(a，a)，由得B(1,1)，∴z max=3，z min=3a.∴a=.5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,在C处取最小值z=0-1=-1,∴z的取值范围为[-1,2].答案：[-1,2]6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-过直线的交点时，取最大值.【解析】画出可行域，可知z=x+5y在点（）处取最大值为4，解得m=3.答案：37.【解析】画出可行域(如图)，将目标函数z=2x-3y变形为y=，它表示与y=x平行、截距是-的一族平行直线，当它经过点A时，截距-最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-最小，此时z最大（取不到）.由⇒A(3,1)由⇒B(1,-2)∴过点A时，z=2×3-3×1=3过点B时，z=2×1-3×(-2)=8∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（,0)距离的平方.【解析】由作出可行域，如图阴影部分所示.z=（x-)2+y2表示可行域内的任意一点与点(，0)距离的平方.因此(x-)2+y2的最小值为点(,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=.z的最大值为点(,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=，∴z的取值范围是［, ］. 【挑战能力】【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,∴z max=2+2=4,即的最大值为4.32154 7D9A 続Qw24733 609D 悝30899 78B3 碳A40191 9CFF 鳿" _31261 7A1D 稝35449 8A79 詹B23309 5B0D 嬍37681 9331 錱。

四中高三数学总复习-充分条件与必要条件提高巩固练习

北京四中2014届高三数学总复习充分条件与必要条件提高巩固练习【巩固练习】一、选择题1．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件2．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0<a<1，则p是q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设集合M＝{x|x>a}，P＝{x|x<a－1}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，sin A>sin B是A>B的________条件( )A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．下列命题中的真命题是( )A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件B．“A∩B≠∅”是“A B”的充要条件C．“b2－4ac<0”是一元二次不等式“ax2＋bx＋c>0的解集为R”的充要条件D．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形二、填空题7．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________；(3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．10. 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：x ＝1； q ：x －1＝1x -.(2)p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5.(3)p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形．12．已知p: x 2-8x-20>0, q: x 2-2x+1-a 2>0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.13．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．14．证明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.15.求不等式(a 2－3a ＋2)x 2＋(a －1)x ＋2>0的解是一切实数的充要条件．【答案与解析】1. 【答案】 B【解析】命题p ：(x －1)(y －2)＝0⇒x ＝1或y ＝2. 命题q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2.由q ⇒p 成立，而由p ⇒/ q 成立．2. 【答案】 A【解析】若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0，故选A.3. 【答案】 B【解析】当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ；当20440a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即0<a <1时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R . 综上，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R 时，0≤a <1，故选B.4. 【答案】 B【解析】先分别求出适合条件的“x ∈M 或x ∈P ”和“x ∈M ∩P ”的x 的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．由已知可得x ∈M 或x ∈P ，得{x|x<a －1或x>a}，x ∈M ∩P ，即{x|x<a －1且x>a}＝∅.∴“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件．5. 【答案】 C【解析】在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B ，故A >B 是sin A >sin B 的充要条件，故选C.6. 【答案】 D【解析】对于A ，“x >2且y >3”⇒“x ＋y >5”，但“x ＋y >5”未必能推出“x >2且y >3”，如x ＝0且y ＝6满足“x ＋y >5”但不满足“x >2”，故A 假．对于B ，“A ∩B ≠∅”未必能推出“A B ”．如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}．故B 为假．对于C ，“b 2－4ac <0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R ”的充要条件是假命题，如一元二次不等式－2x 2＋x －1>0的解集为∅，但满足b 2－4ac <0.对于D ，是真命题，因为“一个三角形的三边满足勾股定理”能推出“此三角形为直角三角形”，条件不仅是必要的，也是充分的，故是充要的．7. 【答案】m ＝0【解析】当m ＝0时，原方程即为x ＝2，满足条件；当m ≠0时，212m m +=，m ＝1或12m =-， Δ＝(m ＋1)2－8m 2；m ＝1及12m =-均使Δ<0，故充要条件是m ＝0.8. 【答案】充分不必要【解析】点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列，但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.9. 【答案】 (1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10．【答案】b ＝0【解析】f (x )关于y 轴对称⇔002b b a-=⇔=.11. 【解析】 (1)充分不必要条件当x ＝1时，x －1＝1x -成立；当x －1＝1x -时，x ＝1或x ＝2.(2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．12．【解析】解不等式x 2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2}解不等式x 2-2x+1-a 2>0，得q: B={x|x>1+a 或x<1-a, a<0}依题意，p ⇒q 且q p, 说明A B ，于是有⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010a a a 且等号不同时成立，解得：0<a ≤3,∴正实数a 的取值范围是0<a ≤313．【解析】令f (x )＝x 2－2mx －1要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，只需f (x )＝x 2－2mx －1在[1,3]上的最小值大于0即可．（1）当m ≤1时，f (x )在[1,3]上是增函数，f (x )min ＝f (1)＝－2m >0，解得m <0，又m ≤1，∴m <0.（2）当m ≥3时，f (x )在[1,3]上是减函数，f (x )min ＝f (3)＝8－6m >0，解得43m <，又m ≥3，∴此时不成立．（3）当1<m <3时，f (x )min ＝f (m )＝－m 2－1＝－(m 2＋1)>0不成立，综上所述，m 的取值范围为m <0.14. 【解析】证明：(1)充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋bx －a －b ＝0，∴a (x －1)(x ＋1)＋b (x －1)＝0，∴(x －1)[a (x ＋1)＋b ]＝0，∴x ＝1或a (x ＋1)＋b ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．(2)必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴a ＋b ＋c ＝0.综上(1)(2)命题得证．15. 【解析】讨论二次项系数：(1)由a 2－3a ＋2＝0，得a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，原不等式为2>0恒成立，∴a ＝1适合．当a ＝2时，原不等式为x ＋2>0，即x >－2，它的解不是一切实数，∴a ＝2不符合．(2)当a 2－3a ＋2≠0时，必须有222320,(1)8(32)0,a a a a a ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩ 解得12,1517a a a a <>⎧⎪⎨<>⎪⎩或或， ∴a <1或157a >. 综上可知，满足题意的充要条件是a 的取值范围是a ≤1或157a >.。

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【巩固练习】
1．以下四个命题中，正确的是（）
Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧
Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x －y=0同侧
Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧
Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧
2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（）
A ．右上方
B ．右下方
C ．左下方
D ．左上方
3．在坐标平面上，不等式组⎩
⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（） A ．2 B ．23 Ｃ．2
23 Ｄ．2 4．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨
≤-+⎪⎩的区域面积是( ) A ．12 B ．32 C ．52
D ．1 5．若x 、y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，则目标函数z=6x+8y 的最大值为，最小值为。

6．若实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤≤+≤8
22624y x y x ，则x+y 的范围是。

7．非负实数x 、y 满足⎩
⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则x+3y 的最大值是。

8．设实数x 、y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的最大值是。

9．设实数x 、y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x －y 的最大值为（）
A ． 2
B ． 1
C ．－2
D ．－3
10．已知变量x 、y 满足约束条件1≤x+y ≤4，－2≤x －y ≤2。

若目标函数z=ax+y （其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围是。

11．设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+1
4
032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线x+y=10距
离的最大值是。

12．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A 型、B 型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型、B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。

如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且
A 、
B 型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台，才能使利润最大？
13．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，而且要考虑可能出现的亏损。

某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大赢利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？
14．（1）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
（2）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件22
12516
x y += 【参考答案与解析】
1．C ；2．C ；
3．B 解析：⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+≥⇔0131x x y x y 或⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≤+≥0131x x y x y 画出可行域，是两个三角形∴所求面积为2
3。

4．D ；
5.最大值为40，最小值为0；
6．2.8≤x+y ≤5.2
7．最大值为9。

8．最大值为2
3。

9．最大值为1。

10．解析：由约束条件可知可行域，区域为矩形的内部及其边界，（3，1）为其中一个顶点，z 最大时，即平移y=-ax 时，使直线在y 轴上的截距最大，∴-a<-1∴a>1。

11．解析：画出可行域为一个四边形，到直线x+y=10距离最远的点应该是直线2x+3y=3、y ＝1的交点，即点（1，1），它到x+y=10的距离是24。

12．解析：设生产A 型x 台，B 型y 台，依题意得约束条件为：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+1051202410032y x y x y x 而目标函数为：z=6x+4y 。

画出可行域和直线3x+2y=0并平移可得最优解为：x=y=20。

13．解析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+008.11.03.010y x y x y x ，目标函数为z=x+0.5y ，画出可行域和直线x+0.5y=0并平移得到最优点是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点（4，6）此时z=7（万元）。

14.解：（1）作出可行域 3m a x =Z ；（2）令''5,4x x y y ==，
则'2'2''()()1,104x y z x y +==+，当直线''104z x y =+和圆'2'2()()1x y +=
相切时z =
max Z =。