北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理教案

【考纲要求】1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2.掌握对数函数的概念、图象和性质.3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1.如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数恒等式：log log a b N a a N a N N b ⎫=⇒=⎬=⎭3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即0N >；(2)1的对数为0，即log 10a =；(3)底的对数等于1，即log 1a a =.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 对数与对数函数图象与性质对数运算性质 对数函数的图像与对数的概念 指对互化运算以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、(1)()log log log a a a MN M N =+；推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N=-； (3)log log a a M M αα=.(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:(1) )(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， (a b )n =M n ，即n b n M a =)(，即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即aM b c c log log =， 即)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log1log ≠>≠>=b b a a ab b a . 考点二、对数函数及其图像、性质1.函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R(2)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的图像过点(1，0)(3)当a>1时，0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>⎧⎪<<==⎨⎪><<⎩当时，【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(1)2log 83=；(2)13log 92=-；(3)3log3x =；(4)45625=；(5)1133-=；(6)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】(1)328=；(2)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)33x =； (4)5log 6254=；(5)31log 13=-；(6)14log 162=-. 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式】求下列各式中x 的值： (1)642log 3x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2-ln e x =【解析】(1)2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====；(2)111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 (3)10x =100=102，于是x=2；(4)由222ln ln 2x e x x e ee x --=-===-，得，即所以. 类型二、对数运算法则的应用例2.求值(1) log 89·log 2732 (2)91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (3))36log 43log 32(log log 42122++ (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 【解析】(1)原式=91035322log 3log 532233=⋅=⋅. (2)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=--- (3)原式=1222223log (5log log 6)4-++ 22223log (5log log 6)log 834=-+== (4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251(3log 5log 5log 5)(3log 2)3=++52133log 2log 5133=⋅= 举一反三：【变式】已知：log 23=a ， log 37=b ，求：log 4256=?【解析】∵ 3log 12log 23= ∴a12log 3=， 33342333log 56log 7log 8log 56log 42log 7log 6+==+3333log 73log 2log 71log 2+=++ 13113+++=+++=a ab ab a b ab 类型三、对数函数性质的综合应用例3.已知函数)2(log )(221x x x f +-=（1）求函数)(x f 的值域；（2）求)(x f 的单调性【解析】222221122212212212(1)-20200202-2(2)(0,1]log (-2)log 10log (-2)[0,).(2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v uu x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴由题得当时，函数的值域为设函数在（）上是增函数，在（）上是减函数。

是减函数由复合函数的单调性得函数f(212log (-2)0,11,2x x +x)=在（）上是减函数，在（）上是增函数。

举一反三：【变式】已知f(log a x)=)1()1(22--a x x a (a>0且a ≠1)，试判断函数f(x)的单调性. 【解析】设t=log a x(x ∈R +， t ∈R).当a>1时，t=log a x 为增函数，若t 1<t 2，则0<x 1<x 2，∴ f(t 1)-f(t 2)=)1()1)(()1()1()1()1(221212122222121-+-=-----a x x x x x x a a x x a a x x a ，∵ 0<x 1<x 2， a>1， ∴ f(t 1)<f(t 2)，∴ f(t)在R 上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R 上为增函数.∴ 不论a>1或0<a<1， f(x)在R 上总是增函数.例4．求函数y=21log (-x 2+2x+3)的值域和单调区间. 【解析】设t=-x 2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=21log t 为减函数，且0<t ≤4，∴ y ≥4log 21=-2，即函数的值域为[-2，+∞).再由：函数y=21log (-x 2+2x+3)的定义域为-x 2+2x+3>0，即-1<x<3.∴ t=-x 2+2x+3在(-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=21log t 为减函数.∴ 函数y=21log (-x 2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3).例5. 判断下列函数的奇偶性.(1)1-()lg;1x f x x=+ (2)())f x x =. 【解析】由1-0-111x x x ><<+可得 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又1111()lg lg()-lg ()111x x x f x f x x x x-+---====--++ ()()f x f x -=-即 所以函数1-()lg 1x f x x=+是奇函数； 【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)0x x R >∈可得所以函数的定义域为R 关于原点对称，又(-))f x x ==)-()x f x ===即f(-x)=-f(x)；所以函数())f x x =是奇函数.【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.例6．已知函数h(x)=2x (x ∈R)，它的反函数记作g(x)，A 、B 、C 三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a ，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC 的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a 的取值范围.【解析】(1)依题意有g(x)=log 2x(x>0). 并且 A 、B 、C 三点的坐标分别为A(a ， log 2a)， B(a+4， log 2(a+4))， C(a+8， log 2(a+8)) (a>1). ∴A ，C 中点D 的纵坐标为21〔log 2a+log 2(a+8)〕 ∴ S=21|BD|·4·2=4|BD|=4log 2(a+4)-2log 2a-2log 2(a+8). (2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log 2(a+4)-log 2a-log 2(a+8)〕=2log 2)8()4(2++a a a =2log 2(1+a a 8162+). 由于a>1时，a 2+8a>9， ∴1<1+a a 8162+<925， 又函数y=log 2x 在(0，+∞)上是增函数， ∴ 0<2log 2(1+aa 8162+)<2log 2925， 即0<S<2log 2925. (3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数， 证明如下：任取a 1，a 2，使1<a 1<a 2<+∞，则： (1+222816a a +)-(1+121816a a +) =16(1212228181a a a a +-+) =16·)8)(8()8)((1212222121a a a a a a a a ++++-，由a 1>1，a 2>1，且a 2>a 1，∴ a 1+a 2+8>0， 22a +8a 2>0， 21a +8a 1>0， a 1-a 2<0， ∴ 1<1+222816a a +<1+121816a a +， 再由函数y=log 2x 在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a 1)>f(a 2)∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得⎪⎩⎪⎨⎧>>++⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>++12)8()4(12)8()4(log 2222a a a a a a a a ， 解之可得：1<a<42-4.。