2017年北京四中自主招生数学试卷
2017年北京中考数学试卷及答案
①在点 ， ， 中， 的关联点是；
②点P在直线 上，若P为 的关联点，求点P的横坐标的取值范围;
（2) 的圆心在x轴上,半径为2，直线 与x轴、y轴分别交与点A,B.若线段AB上的所有点都是 的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
13。如图，在△ABC中，M，N分别是AC,BC的中点，若 ，则 。
14。如图，AB为 的直径,C，D为 上的点, 。若∠CAB=40°，则∠CAD=°.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看成是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：.
（以上材料来源于《古证复原的原则》、《吴文俊与中国》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程.
证明: （+）.
易知， =，=.
可得： 。
21.关于x的一元二次方程 。
(1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
22。如图在四边形ABCD中,BD为一条射线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，
D。2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9。小苏和小林在右图的跑道上进行4×50米折返跑。在整个过程中，
跑步者距起跑线的距离y(单位：m）与跑步时间t（单位：s）的
对应关系如下图所示。下列叙述正确的是
A。两个人起跑线同时出发，同时到达终点
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
2017年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
学校：姓名：准考证号：
考
生
须
知
2017年北京市北京四中小升初分班测试卷(解析版)
一、基本运算技能.（每小题 4 分，共 40 分） 1． （4 分）9876543×9+1＝ ． ． ． ．
2． （4 分）46391÷23﹣（82+22）＝ 3． （4 分） （101010﹣10101）×66÷99＝
4． （4 分）[11﹣（0.2+6.86÷0.7）]×（969.696+1047.304）＝ 5． （4 分）1.23÷3+2.31÷3+3.12÷3＝ 6． （4 分） 7． （4 分） 8． （4 分） 9． （4 分） 10． （4 分） ＝ ＝ ＝ ＝ ． ＝ ． ． ． ． ．
和这五个数的平均数 （共六个数） ，从小 个位置．
到大重新排列，那么平均数 排在第
15． （4 分）一个真分数，如果分子减去 1，分数变为 ；如果分子减去 2，分数 变为 ，那么这个分数为 16． （4 分）如果 例中项，则 x＝ ．
（x＞0） ，那么 x 叫做 a、b 的比例中项．若 是 和 x 的比 ． ． cm2，
28． （3 分）在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．这 样，三角形没有对角线，四边形有 2 条对角线，五边形有 5 条对角线，六边 形有 条对角线，十边形有 条对角线．
29． （3 分）如图是一个正方形的四分之三．请你想一想，能不能把它分割成面 积相等、并且与原图形的形状相同的四个图形？如果可以，请在该图中，画 出你分割的示意图．
四、数学活动体验（共 25 分） 26． （4 分） （1）用六根 2cm 长的铁丝拼图，最多能组成 出示意图； （2）用八根 2cm 长的铁丝拼图，最多能组成 个正方形．并画出示意图． 个正方形，并画
北京市四中2017-2018学年九年级下期开学考试数学试题
2017—2018学年北京四中初三下学期开学测试数学试卷一、选择题。
1.已知一粒米的质量是0.000021千克,这个数字用科学记数法表示为( ）A.4-1021⨯千克B.6-101.2⨯千克C.5-101.2⨯千克D.4-101.2⨯千克2.若代数式4-x x 有意义,则实数x 的取值范围是( ） A.x=0 B.x=4 C.x ≠0 D.x ≠43.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为（ ） A.51 B.52 C.53 D.54 4.如图，直线a 、b 被直线c 所截，a ∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于（ ）第4题 第6题A.40°B.50°C.70°D.80°5.下面的几体中,主(正)视图为三角形的是( ）A B C D6.图象中所反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后,又去早餐店吃早餐,然后散步走回家。
其中x 表示时间,y 表示张强离家的距离,根据图象提供的信息,以下四个说法错误的是( )A.体育场离强家2.5千米B.张强在体育场锻炼了15分钟C.体育场离早餐店1千米D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时7.如图,AB 与⊙O 相切于点B.AO 的延长线交⊙O 于点C,连接BC ，若∠ABC=120°,OC=3,则BC 的长为( ）A.πB.2πC.3πD.5π8.小王的手机使用的是每月300M 流量套餐，下图记录了小王在4月2日至4月10日这十 天的流量使用情况,下列叙述中正确的是（ ）A.1日-10日这10天的平均流量小于9.0M/日B.11日-30日这20天,如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量C.从1日-10这10天的流量中任选连续3天的流量,则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大D.从1-10日这10天中的流量中任选连续3天的流量,则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小第7题 第8题二、填空题。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
北京市四中自主招生考试素质测数学试题(含答案)
数学素质测试题◆注意事项：本试题共三大题，满分120分，考试时间120分钟。
参考公式：()3223333b ab b a a b a +++=+ ()()2233b ab a b a b a +-+=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=- ()()2233b ab a b a b a ++-=-一、选择题（每小题5分，共30分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、已知80sin cos <<A ，则锐角A 的取值范围是 （ ）A ． 8060<<AB ． 8030<<AC ． 6010<<AD ．3010<<A 2、实数b 满足3<b ，并且有实数a ，使b a <恒成立，则a 的取值范围是 A ．小于或等于3的实数 B ．小于3的实数 C ．小于或等于3-的实数 D ．小于3-的实数3、设1x 、2x 是方程02=++k x x 的两个实根，若恰有22221212k x x x x =++成立，则k 的值为（ ）A ．1-B ．21或 1- C ．21 D ．21-或 14、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为A ．12B ．13C ．14D ．115、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数。
连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为A ．365 B ．61 C ．31 D ．946、=⨯++⨯+⨯+⨯10099433221A ．223300B ．333300C ．443300D ．433300 二、填空题（每小题5分，共30分）1、多项式411623++-x x x 可分解为 。
2、已知点),(y x p 位于第二象限，并且62+≤x y ，x 、y 为整数，则点p 的个数是 。
2017年北京自主招生数学模拟题
某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（1）求出表中 的值；（2）若该区高二学生有5000人，试估计这次统考中该区高二学生的平均分数及分数在区间 内的人数。
分组频数频率频率/组距2答案（1） 。
。
， ， ， ；（2）4150人.解析本试题主要考查了统计的运用。
解：（Ⅰ）因为 ，所以 。
从而。
， ， ， 。
（ 6分）（II）平均分约为45×0.02+55×0.04+65×0.11+75×0.38+85×0.34+95×0.11=78.1。
该区高二同学分数在区间 内的人数为（人）。
（ 12分）数据 的方差为2，则数据 的方差为 .答案8.解析的平均数为 ,则 的平均数为 ,，因而 的方差为8数据5，7，7，8，10，11的标准差是（ ）A、2 B、1 C、8D、4答案A解析平均值所以标准差为2.应选A一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人。
为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本。
则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A、12 ,24,15,9B、9,12,12,7C、8,15,12,5D、8,16,10,6答案D解析解：因为40/ 800 ="1" 20 ，故各层中依次抽取的人数分别是160 /20 =8，320/ 20 =16，200/ 20 =10，120/ 20 =6，故选D、对总数为 的一批零件用简单随机抽样方法抽取一个容量为30 的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则 的值为A、1 00B、120C、150D、200答案B解析解：∵每个零件被抽取的概率都相等，∴30 N =0.25，∴N=120。
故选B、从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是A、5,10,15,20,25B、3,13,23,33,43C、3,6,12,24,48D、8,16,24,32,40答案B解析解：解因为共有50枚导弹，分为5组，每组10枚，那么第一枚的数字应该在1-10之间，第二枚在11-20之间，依次类推，并且编号构成了等差数列，公差为10，因此满足题意的只有B。
历年真题北京市2017年高级中等学校招生考试真题下载
北京市2017年高级中等学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意，得点P 到直线l 的距离是线段PB 的长度，故选：B 。
【考点】点到直线的距离的概念 2.【答案】D【解析】由意义可知：40-≠x ，∴4≠x ，故选：D 。
【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故选：A 。
【考点】几何体的展开与折叠 4.【答案】C【解析】由数轴上点的位置，得401a b c d -＜＜＜＜＜＜；A ．4-＜a ，故A 不符合题意；B ．0＜bd ，故B 不符合题意；C ．4=＞a d ，故C 符合题意；D ．0+＜b c ，故D 不符合题意；故选：C 。
【考点】数轴上点的特征 5.【答案】A【解析】A ．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，故选A 。
【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念 6.【答案】B【解析】设多边形n 边形，由题意，得(2)180150-︒=n n ，解得12=n ，故选：B 。
【考点】正多边形的内角和定理 7.【答案】C【解析】2222244(2)(2)()(2)2222-+--===+=+--- a a a a a a a a a a a a a a a a a 。
∵2210+-=a a ，∴221+=a a ，∴原式1=，故选C 。
【考点】分式的化简求值8.【答案】B【解析】A．由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；B．由折线统计图可得：20112014年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；C．20112016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：(3632.54003.04436.54803.64718.74554.4)64358+++++÷≈故超过4 200亿美元，正确，不合题意；D．∵4554.41368.2 3.33÷≈，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多。
2017年北京四中自主招生数学试卷
2017年北京四中自主招生数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k 的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或14．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．115．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．2017年北京四中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先明确cos30°=，sin80°=cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．【解答】解：∵cos30°=，sin80°=cos10°，余弦函数随角增大而减小，∴10°＜A＜30°．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数【分析】熟悉绝对值的意义，根据绝对值的意义求得b的取值范围，再根据a，b的关系求得a的取值范围．【解答】解：∵|b|＜3，∴﹣3＜b＜3，又∵a＜b，∴a的取值范围是小于或等于﹣3的实数．故选：C．【点评】此题考查了绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，更直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2代入已知条件中，求得k的值．【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，则（x1+x2）2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k=﹣1．故选：A．【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．4．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．11【分析】先将原式可化为+，代数式的值即P（x，0）到A（0，﹣2）和B（12，3）的距离之和，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB=AB最短．【解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），原式可化为+，即=AP，=BP，AB==13．代数式的最小值为13．故选：B．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a=0时，=0，当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：=|a|．5．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．【分析】依据题意先分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：共有6×6=36种可能，掷得面向上的点数之和是3的倍数的有12种，所以概率是，故选C．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300【分析】根据题目中的数据可以求出该式子的结果，从而可以解答本题．【解答】解：1×2+2×3+3×4+…+99×100=++…+===333300，故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数字的变化规律．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是6．【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．【解答】解：∵点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y≤2x+6，∴2x+6＞0，即x＞﹣3，所以﹣3＜x＜0，x=﹣1或﹣2，当x=﹣1时0＜y≤4，y=1，2，3，4；当x=﹣2时，y≤2，即y=1或2；综上所述，点P为：（﹣1，1），（﹣1，2）（﹣1，3），（﹣1，4），（﹣2，1），（﹣2，2）共6个点．【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求特殊值．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是15°或75°．【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角的三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=2008．【分析】根据系数的特点，应用十字相乘法来因式分解，从而求解．【解答】解：（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0，原方程可化为，20072x2+（﹣20072+1）x﹣1=0，（x﹣1）（20072x+1）=0，解得x1=1，x2=﹣．∵所求方程x2+2006x﹣2007=0，则原方程可化为，（x﹣1）（x+2007）=0，解得x3=1，x4=﹣2007．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为x1=1，方程x2+2006x﹣2007=0的较小根为x4=﹣2007；则a﹣b=1﹣（﹣2007）=2008．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是2．【分析】观察题目，可用借助于整体思想，设=a，=b，进行替换，加以解答．【解答】解：设=a，=b．则，．又4==a3b3，∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式=x（x2+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），=a3b3（a3﹣b3），=，=4×2=8．则其算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，解题时注意运用公式简便计算（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3．同时注意用一个字母可以表示一个较复杂的数的整体思想．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是9π．【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积=扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积．【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，∴阴影面积=﹣=9π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．【分析】（1）根据题意画出图形，计算出各小正方形的个数即可；（2）无色的小正方体的个数为83=512；除以所有正方体的个数即可；（3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可．【解答】解：（1）8×12=96块；（2）P===0.512；（3）每个面有（n﹣2）2个（n＞1），6个面有N=6（n﹣2）2．【点评】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．【分析】由已知条件xy+（x+y）=17，x2y+xy2=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，可得出xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根或xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，根据根的判别式△=b2﹣4ac，判断两个方程有无实数根，有实数根时可以整理出x2+y2=（x+y）2﹣2xy，把原代数式化简为含x2+y2的形式，代入求值即可．【解答】解：由已知条件可知xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，由t1=6，t2=11得或，当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根，∵△1=36﹣44＜0，∴此方程没有实数根；当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，∵△2=121﹣24＞0，∴此方程有实数根，这时x2+y2=（x+y）2﹣2xy=109，∴x4+x3y+x2y2+xy3+y4=x4+y4+x2y2+xy（x2+y2）=（x2+y2）2﹣x2y2+xy（x2+y2）=12499．【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握①一元二次方程根的判别式的有关内容．根的判别式△=b2﹣4ac＞0⇒方程有两个不相等的实数根；△=0⇒方程有两个相等的实数根；△＜0⇒方程没有实数根．②一元二次方程根与系数的关系：如果一个一元二次方程的两根是x1、x2，那么这个一元二次方程为x2﹣（x1+x2）x+x1x2=0．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？【分析】（1）对二次函数式进行变形，可得y=k（x+1）2+（1﹣k），即得顶点坐标A（﹣1，1﹣k），对称轴就是x=﹣1，又x=0时，y=1，说明函数经过（0，1），也就是二次函数的开口必然向下，即k＜0；（2）用k的代数式分别表示AC、BC、AB，利用勾股定理可得相等关系，可求出OB，即得B点坐标；（3）在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值，可求出k的值，注意k＜0．【解答】解：（1）∵y=kx2+2kx+1∴对称轴x=﹣1，易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴，∴A（﹣1，1﹣k），当x=0时，y=1，即抛物线过p（0，1），故k＜0开口向下．（2）如图，由题意可知：AC=1﹣k，BC=CO+OB=1+OB，AB=AD+BD=AE+OB=AC﹣CE+OB=OB﹣k由勾股定理得（1﹣k）2+（1+OB）2=（OB﹣k）2，解得：OB=，∴B（，0）；（3）∵∠ABC=60°，∴tan∠ABC=，又tan∠ABC===，∴=，∴k2+2﹣1=0，解得k1=﹣+2，k2=﹣﹣2，又∵k＜0∴k=﹣﹣2．【点评】本题是二次函数的综合题，利用了二次函数的解析式可以变形，勾股定理，以及三角函数，解一元二次方程等知识．16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．【分析】（1）要证明RQ是⊙O的切线只要证明∠OQR=90°即可；（2）先证明△BCP∽△AQP，从而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB2=PB•PQ+OP2；（3）分别考虑当RA=OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围．【解答】证明：（1）连接OQ；∵OB=OC，PR=RQ；∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；∴∠OQP+∠RQP=90°；即∠OQR=90°，∴RQ是⊙O的切线．证明：（2）延长AO⊙O交于点C；∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，∴△BCP∽△AQP，∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA﹣OP）=（OB+OP）（OB﹣OP）=OB2﹣OP2，∴OB2=PB•PQ+OP2．解：（3）当RA=OA时，∠R=30°，易得∠B=15°，当R与A重合时，∠B=45°；∵R是OA延长线上的点，∴R与A不重合，∴∠B≠45°；又∵RA≤OA，∴∠B＜45°，∴15°≤B＜45°．【点评】此题考查了学生对切线的判定及相似三角形的判定等知识点的综合运用．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．【分析】题目中的n个点中不妨设这两个点为A1、A2，则可以分当∠A2A1An≥180°﹣和当∠A2A1A n＜180°﹣两种情况进行讨论．根据三角形的内角和定理就可以证出．【解答】解：如图，在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为A1、A2，其它各点按逆时针方向设为A3、A4、A n．（1）当∠A2A1A n≥180°﹣时，连接A2A n．在△A1A2A n中，∠A1A2A n+∠A1A n A2=180﹣∠A2A1A n≤则∠A2A1A n、∠A1A n A2中必有一个角不大于；（2）当∠A2A1A n＜180°﹣时，∠A2A1A3+∠A3A1A4+∠A4A1A5+…+∠A n﹣1A1A n＜180°﹣，则在这n﹣2个角中，必有一个角不大于设∠A i A1A i﹣1≤，则△A i A1A i﹣1即为所求三角形．【点评】本题的难度较大，分情况讨论是解题的关键．。
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三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
13．；14．；15．；16．
；17．
；
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度数是
．
10．（5 分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0 的较大根为 a，方程 x2+2006x
﹣2007=0 的较小根为 b，则 a﹣b=
．
11．（5 分）已知 x=
，则 x3+12x 的算术平方根是
．
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12．（5 分）如图，Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC 以点 B
点，BP 的延长线交⊙O 于点 Q，点 R 在 OA 的延长线上，且 RP=RQ． （1）求证：RQ 是⊙O 的切线； （2）求证：OB2=PB•PQ+OP2； （3）当 RA≤OA 时，试确定∠B 的取值范围．
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17．（14 分）平面上有 n 个点（n≥3，n 为自然数），其中任何三点不在同一直 线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角
D．433 300
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
7．（5 分）多项式 6x3﹣11x2+x+4 可分解为
．
8．（5 分）已知点 P（x，y）位于第二象限，并且 y≤2x+6，x、y 为整数，则点 P
的个数是
．
9．（5 分）已知⊙O 的半径 OA=1，弦 AB、AC 的长分别是 、 ，则∠BAC 的
2017 年北京四中自主招生数学试卷
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．（5 分）已知 ＜cosA＜sin80°，则锐角 A 的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
2．（5 分）实数 b 满|b|＜3，并且有实数 a，a＜b 恒成立，a 的取值范围是（ ）
B．13
C．14
D．11
5．（5 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 六个
数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是 3 的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（ ）
A．22343 300
A．小于或等于 3 的实数
B．小于 3 的实数
C．小于或等于﹣3 的实数
D．小于﹣3 的实数
3．（5 分）x1，x2 是方程 x2+x+k=0 的两个实根，若恰 x12+x1x2+x22=2k2 成立，k 的
值为（ ）
A．﹣1
B． 或﹣1
C．
D．﹣ 或 1
4．（5 分）代数式
的最小值为（ ）
A．12
不大于
．
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2017 年北京四中自主招生数学试卷
参考答案
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．D；2．C；3．A；4．B；5．C；6．B；
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 7．（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）；8．6；9．15°或 75°；10．2008；11．2 ；12．9π；
x4+x3y+x2y2+xy3+y4 的值． 15．（12 分）在直角△ABC 中，∠C=90°，直角边 BC 与直角坐标系中的 x 轴重合，
其内切圆的圆心坐标为 P（0，1），若抛物线 y=kx2+2kx+1 的顶点为 A． （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用 k 表示 B 点的坐标； （3）当 k 取何值时，∠ABC=60°？ 16．（14 分）如图，OA 和 OB 是⊙O 的半径，并且 OA⊥OB．P 是 OA 上的任意一
为中心逆时针旋转，使点 C 旋转至 AB 边延长线上的 C′处，那么 AC 边转过的
图形（图中阴影部分）的面积是
．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 13．（10 分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成
若干个小正方体．在这些小正方体中，求： （1）两面涂有红色的小正方体的个数； （2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； （3）若将原正方体每条棱 n 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 14．（10 分）已知 x，y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式