北京四中2019-2020学年度第二学期高三年级统练数学
北京市第四中学2020届高三数学下学期统练1试题(含解析)
北京市第四中学2020届高三数学下学期统练试题1（含解析）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,1,0}--D.{2,1,0,1}--【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数定义域求出集合B 的解集，再由集合交集的运算法则，求出答案.【详解】由题可知，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则其中定义域{|10}{|1}B x x x x =->=<又有集合{2,1,0,1,2}A =--，则{2,1,0}A B =-- 故选：C【点睛】本题考查集合表示的定义，求对数函数的定义域，还考查了集合的交集运算，属于基础题.2.直线10x y +-=与圆2222ππcoscos 36x y +=+的公共点的个数（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】表示圆的标准方程，进而表示圆心和半径，再由圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系，即可得答案.【详解】因为圆222222ππ1cos cos 1362x y ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为()0,0,1r =则圆心到直线10x y +-=的距离为12d ==< 所以公共点有2个 故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.3.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A. 2D. 3【答案】C 【解析】分析：设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模. 详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z = C.点睛：本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.4.()2323P ?log 3Q ?log 2R ?log log 2===，，，则( ) A. R<Q<P B. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q【答案】A 【解析】 试题分析：由对数函数的性质，()22323P ?log 3>log 21Q ?log 2(0,1)R ?log log 20===∈=<，，，故选A.考点：对数函数的性质 5.给出下列命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】①由线面平行的判定定理即可判定； ②由长方体与直棱柱的定义即可判定； ③构建特殊的例子，如图即可判定.【详解】①该直线与平面可能相交，位于平面两侧的两个点到平面α的距离也是相等的，故错误；②显然长方体的侧棱是垂直于底面的，故正确；③两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥就不是正棱锥，故错误.故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，直棱锥和正棱锥的定义，属于简单题. 6.“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 7.截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个（ ） A. 新加坡（570万） B. 希腊（1100万） C. 津巴布韦（1500万） D. 澳大利亚（2500万） 【答案】C 【解析】 【分析】由指数幂的计算方式求得答案.【详解】由题可知，年增长率为0.001，则两年后全世界的人口有()275000010.001⨯+万， 则两年增长的人口为()275000010.0017500001500.75⨯+-=万 故选：C【点睛】本题考查指数式的计算，属于基础题.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A. 83B.23C.43D. 2【答案】B 【解析】分析：根据三视图得到原几何体为一个三棱锥，即可求解该三棱锥的体积. 详解：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面（俯视图）的面积为11212S =⨯⨯=，高为2h =， 所以该三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选B.点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.9.已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<≤⎪=+⎨⎪<≤⎩则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用转化思想将零点问题转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线()1y m x =+的函数图象的交点，进而作图分析由数形结合思想即可得答案.【详解】函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点，可等价于方程()0f x mx m --=的根，进一步转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线()1y m x =+的函数图象的交点，作出分段函数的在区间(]1,1-内图象，因为直线()1y m x =+过定点()1,0A -且斜率102m <<，则直线必然与线段OB 相交于一点，故交点个数有2个， 所以函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点个数为2.故选：C【点睛】本题考查利用转化思想与数形结合思想解决函数的零点个数问题，属于较难题. 10.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ∆，那么下列命题正确的是（ ）． A. 若{}n a M ∆，则数列{}n a 各项均大于或等于M ； B. 若{}n a M ∆，则{}22n a M ∆；C. 若{}n a M ∆，{}n b M ∆，则{}2n n a b M +∆；D. 若{}n a M ∆，则{}2121n a M +∆+； 【答案】D 【解析】 【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当 1.5M =时，判断A ；当3M =-时，判断B ；当数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =时，可判断C ；直接根据定义可判断D 正确.【详解】A 中，在数列1，2，1，2，1，2…中， 1.5M =，数列{}n a 各项均大于或等于M 不成立，故A 不正确；B 中在数列1，2，1，2，1，2…中，3M =-，此时{}22n a M ∆不正确，故B 错误； C 中，数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =，而{}n n a b +各项均为3，则{}2n n a b M +∆不成立，故C 不正确；D 中，若{}n a M ∆，则{}21n a +中，21n a +与121n a ++中至少有一个不小于21M +，故{}2121n a M +∆+正确，故选D ．【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{}n a M ∆是解题的关键，属于中档题.二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.已知函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则实数b =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】因为函数()f x （[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.【详解】因为函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=又因为该二次函数的对称轴为22a x +=-，所以2a =-，故2b =. 故答案为：2【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题. 12.函数2cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____. 【答案】π 【解析】 【分析】利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期2T πω=求得答案.【详解】因为函数21cos 231cos 2sin cos 2cos 2222x y x x x x -=-=-=- 故最小正周期等于π. 故答案为：π【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.13.已知(1)nx +的展开式各项系数之和为64，则n =_____，展开式中含2x 项的系数为_____.【答案】 (1). 6 (2). 15 【解析】 【分析】利用赋值法，令1x =，则(1)nx +的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含2x 项的系数.【详解】令1x =，则(1)nx +的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =； 其中通项16rrr T C x +=⋅，令2r ，则2223615T C x x =⋅=，故2x 项的系数为15.故答案为：(1). 6；(2). 15【点睛】本题考查求二项展开式中指定项的系数，还考查了赋值法的应用，属于基础题. 14.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm .【答案】 (1). 4【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai1i +，()1A i +的长度为21i i a ++=，所以，数列{}n a为公比的等比数列， 由题意知4A52=，5a ∴=，51242a a ∴===⎛ ⎝⎭所以，0A纸的面积为(22211S ===，又22n n S a =，222111122n n n n n a S a S a +++⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S是以为首项，以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于921121412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-.故答案为：. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 . 【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为4的正方形，11A C 与11B D 交于点N ，1BC 与1B C 交于点M ，且AM BN ⊥.（Ⅰ）证明：//MN 平面1A BD ； （Ⅱ）求1AA 的长度；（Ⅲ）求直线AM 与DN 所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1AA 的长度等于22（Ⅲ）2211【解析】 【分析】（Ⅰ）在以11A BC ∆中，利用中位线定理证明1//MN A B ，再由线面平行的判定定理得证； （Ⅱ）由已知说明DA ，DC ，1DD 两两垂直，进而可建立空间直角坐标系，再分别表示点坐标，即可表示AM ，BN 的坐标，由向量垂直的数量积为零构建方程求得答案； （Ⅲ）由数量积的坐标运算求夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：由已知，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11BCC B 与四边形1111D C B A 是平行四边形，所以M ，N 分别是1BC ，11A C 的中点.所以11A BC ∆中，1//MN A B .因为MN ⊄平面1A BD ，所以//MN 平面1A BD . （Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ，11//DD AA ，所以1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AD ⊥，1DD CD ⊥，又正方形ABCD 中AD CD ⊥，所以以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设1AA t =，所以(4,0,0)A ，(2,4,)2tM ，(4,4,0)B ，(2,2,)N t ，(2,4,)2tAM =-，(2,2,)BN t =--.因为AM BN ⊥，所以2(2)(2)4(2)4022t t AM BN t ⋅=-⨯-+⨯-+⨯=-+=，解得t =，所以1AA的长度等于（Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,AM =-，(2,2,DN =， 设直线AM 与DN 所成角为θ， 所以||22cos |cos ,|11||||AM DNAM DN AM DN θ⋅=<>==. 即直线AM 与DN 所成角的余弦值为11. 【点睛】本题考查空间中线面平行的证明，还考查了利用空间向量求棱长与异面直线所成角，属于简单题.17.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】 【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． （Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===, ()304236C C 135C P X ===.所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=. 【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 18.现给出三个条件：①函数()f x 的图象关于直线π3x =对称；②函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；③函数()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.已知函数())f x x =ω+ϕ（0>ω，π||2ϕ<），_____，_____.求函数()f x 在区间ππ[,]26-上的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】 【分析】方案①③与②③，都有周期2T πω=可求得ω，再由sin 型函数的对称轴2k ππ+与对称中心(),0k π求得ϕ，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，由对称轴π3x =与对称中心π(,0)6-可构建方程组，分别表示ω与ϕ，利用分类讨论6πϕ=-和6π时ω的情况，其中若T 小于所求区间范围的区间长度，则最值由振幅确定，反之则可由性质求值域.【详解】方案一：选①③.由已知，函数()f x 的最小正周期πT =，所以2ππω=，2=ω，所以())f x x ϕ=+.令π2π2x k ϕ+=+，得ππ422k x ϕ=-+，k ∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为ππ422k x ϕ=-+，k ∈Z .令πππ4223k ϕ-+=，k ∈Z ，由π||2ϕ<，得π6ϕ=-.综上，π())6f x x =-.因为ππ[,]26x ∈-，所以π7ππ2[,]666x -∈-. 所以当π7π266x -=-或π6，即π2x =-或π6时，max ()f x =当ππ262x -=-，即π6x =-时，min ()f x =. 方案二：选②③.由已知，函数()f x 的最小正周期πT =， 所以2ππω=，2=ω，所以())f x x ϕ=+.所以ππ())063f ϕ-=-+=，于是ππ3k ϕ-+=，k ∈Z . 由π||2ϕ<，得π3ϕ=.综上，π())3f x x =+.因为ππ[,]26x ∈-，所以π2π2π2[,]333x +∈-. 所以当ππ232x +=，即π12x =时，max ()f x =当ππ232x +=-，即5π12x =-时，min ()f x =.方案三：选①②.由已知可知其中一个对称轴π3x =与对称中心π(,0)6-， 则()112232,6k k Z k Z k ππωϕππωϕπ⎧+=+⎪⎪∈∈⎨⎪-+=⎪⎩，解得1212221121336k k k k ωϕπ=-+⎧⎪⎨⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎩ 因为12121π||3362k k ϕπ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭，则12221k k -<+<，即1221k k +=-或0当1221k k +=-时，()222,22121616k k k πϕω=-=---+=--因为0>ω，则()22216106k k k Z -->⇒<-∈ 当21k =-时，5ω=，则225T ππω==又因为区间ππ[,]26-的区间长度为2623T πππ⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间ππ[,]26-上的22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立， 当1220k k +=时，()222,2221616k k k πϕω==--+=-+因为0>ω，则()22216106k k k Z -+>⇒<∈ 当20k =时，1ω=，则223T ππ=>此时函数π=+())6f x x ，则其在区间[,]26ππ-上有363x πππ-≤+≤，即33)262x π-≤+≤，故最大值为32，最小值为32-，当21k =-时，7ω=，则2273T ππ=<，所以函数()f x 在区间ππ[,]26-最小值为22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立综上所述，函数()()61,1,6f x x k k k Z π⎛⎫=ω-ω=--≤-∈ ⎪⎝⎭和函数()()61,1,6f x x k k k Z π⎛⎫=ω+ω=-+≤-∈ ⎪⎝⎭在区间ππ[,]26-和最小值为；函数π=+())6f x x 在区间[,]26ππ-上最大值为32，最小值为32-.【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，还考查了求指定区间的最值，属于难题.19.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得0002x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=.因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20.已知函数21()(1)e 22xf x x ax ax =+++，0a <. （Ⅰ）若()f x 满足(0)0f '=，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的极值点的个数；（Ⅲ）若0x （02x ≠-）是()f x 的一个极值点，且2(2)e f -->，证明：0()1≤f x .【答案】（Ⅰ）1a =-；（Ⅱ）当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点；（Ⅲ）见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，由(0)0f '=构建方程，求得a 的值；（Ⅱ）对()f x 求导，利用分类讨论思想讨论()f x 在当2a e -<-，2a e -=-，2e 0a --<<时的单调性，进而分析极值点的个数；（Ⅲ）由2(2)e f -->，可得2e a -<-，此时由（Ⅱ）可知其两个极值为-2和ln()a -时，又0x （02x ≠-）是()f x 的一个极值点，则()0ln x a =-，即可表示0()f x ，进而由换元法令()()ln 2,t a =-∈-+∞，构造新的函数利用导数证明此时的不等式即可.详解】（Ⅰ）()(2)e 2(2)(e )x x f x x ax a x a '=+++=++.(0)2(1)0f a '=+=，所以1a =-.（Ⅱ）()(2)e 2(2)(e )xxf x x ax a x a '=+++=++ 当0a <时，令()0f x '=，解得12x =-，()2ln x a =-. ①当2a e -<-时，2ln()a -<-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 有2个极值点.②当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点.③当2e 0a --<<时，2ln()a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 有2个极值点.综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，则22(,e )(e ,0)a --∈-∞--.又22(2)e2e f a ---=-->，即2e a -<-.02x ≠-()0ln x a ∴=-.()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦. 令()()ln 2,t a =-∈-+∞，则e t a =-()()21e 222t g t t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞. 则()()()211e 44e 22t t g t t t t t '=-+=-+，令()0g t '=，解得4t =-或0t =. 当t 在区间(2,)-+∞上变化时，()g t '，()g t 的变化如下表()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减()()()02max 10e 020212g t g ∴==-+⨯-=，即()1g t ≤()01f x ∴≤.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，还考查了利用分类讨论分析含参函数的单调性进而分析极值，属于难题.21.已知集合12{|(,,,),*,1,2,,}n n i S X X x x x x i n ==∈=N （2n ≥）.对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)n n a a a a a a λλλλ=（R λ∈）；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ； （Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0λ∃>，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=； （ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0λ∃>，使AB BC λ=？说明理由； （Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．【答案】（Ⅰ）51a =，或55a =．（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）不存在0λ>，使得AB BC λ=．见解析（Ⅲ）(,)d A B 的最大值为2p ． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知的新定义1(,)||niii d A B a b ==-∑，代值计算即可；（Ⅱ）（ⅰ）由已知新定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---，可将已知转化为0λ∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =，所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数，进而由1(,)||niii d A B a b ==-∑与绝对值的性质即可得证；（ⅱ）举特例取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，即可说明不存在；（Ⅲ）由绝对值的性质对,x y ∈R ，都有||||||x y x y +≤+，则所求式子11(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)ni i i b a =≤-+-∑11|1||1|2n ni i i i a b p ===-+-=∑∑．【详解】（Ⅰ）当5n =时，由51(,)||7iii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由 *5a ∈N ，得 51a =，或55a =．（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0λ∃>，使 AB BC λ=，所以 0λ∃>，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即 0λ∃>，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数．所以 11(,)(,)||||nniiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)niiiii b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑．（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0λ∃>，使得AB BC λ=．反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=． 因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在0λ>，使得AB BC λ=．（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||n i i i d A B b a ==-∑， 设(1,2,,)i i b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<． 所以 1(,)||ni ii d A B b a ==-∑ 12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++ 因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以 11(1)(1)n n i i i i a b ==-=-∑∑， 整理得 11n ni ii i a b ===∑∑． 所以 12121(,)||2[()]n i i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑． 因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤．对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ．解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)n i i i b a =≤-+-∑ 11|1||1|2n n i i i i a b p ===-+-=∑∑．上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)2d A B p ≤．对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ．【点睛】本题考查向量与绝对值求和的新定义问题，还考查了绝对值的性质的应用，属于难题.。
北京四中2019-2020学年度第二学期高三统练1数学学科
数 学 试 卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =I （A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{2,1,0}-- （D ）{2,1,0,1}--2. 直线10x y +-=与圆2222ππcos cos 36x y +=+的公共点的个数 （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）不能确定3. 若复数z 满足23i z z +=-（z 是z 的共轭复数），则||z =（A ）2（B（C（D ）34. 设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则 （A ）R Q P << （B ）P R Q << （C ）Q R P <<（D ）R P Q <<5. 给出下列命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. “sin 0α=”是“sin20α=”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个 （A ）新加坡（570万） （B ）希腊（1100万） （C ）津巴布韦（1500万） （D ）澳大利亚（2500万）8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（A ）83 （B ）23（C ）43（D ）29. 已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪<⎩≤≤则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(1,1]-内的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）310.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M >，那么下列命题正确的是 （A ）若{}n a M >，则数列{}n a 各项均不小于M （B ）若{}n a M >，{}n b M >，则{}2n n a b M +>（C ）若{}n a M >，则22{}na M > （D ）若{}n a M >，则{21}21n a M ++>二、填空题共5题，每题5分，共25分。
北京市西城区第四中学2020届高三上学期10月月考数学试题Word版含解析
由函数 y f x 的周期性和奇函数的性质可得出
C. 1 f 2019 f 1
D. 2 f 1 ，代入解析
式可得出 f 2019 的值 .
【 详解】 由于函 数 y f x 定义在 R 上 周期 为 4 的奇 函数，且 当 x 0,2 时， f x x2 ln x ，
f 2019 f 4 505 1 f 1
A. 14
B. 21
C. 28
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质得到 a4 4 ，再计算 a1 a2
a7 7a4 得到答案 .
D. 35
【详解】数列 { an} 是等差数列，则 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 ；
a1 a2
a7 7a4 28
故选： C
【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用
1 时计算得到答案 .
【详解】 f x
）
2
A. x﹣ 2y＝ 0
B. x﹣ y﹣ 1＝ 0
C. x﹣ 2y﹣ 1＝0
﹣3＝ 0
【答案】 C
【解析】
【分析】
D. 2x﹣ 2y
求导得到 y '
1 2 x 1 ，当 x
2 时， y
1 ,y'
2
1
，计算得到切线方程 .
2
【详解】 y
1 ln（ x 1） y ' 2
1 2 x 1 ，当 x
2 时， y
，得
sin2
sin 2 k
sin 1
4
2
成立；反之，若
sin2 1，则
2 2k 2
k 4
，
得
sin cos ，故 ?sin cos ?是 “sin2 1?的充分必要条件 .
北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学
北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学学科数学试卷一、选择题1.tan690︒的值为( )A .BCD .2.数列{}n a 是等差数列，若34512a a a ++=，则前7项和7S =( ) A .14 B .21 C .28 D .35 3.“sin cos αα=”是“sin 21α=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.定义：a b ad bc c d=-，若复数z 满足112z i i i =+-，则z 等于( ) A .1i +B .1i -C .3i +D .3i -5.已知集合{}12M x x =∈-≤R ，511P x x ⎧⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，则M P =( )A .{}03x x ∈<≤ZB .{}03x x ∈≤≤ZC .{}10x x ∈-≤≤ZD .{}10x x ∈-≤<Z6.同一平面直角坐标系中，函数12x y +=与12x y -=的图象( ) A .关于原点对称 B .关于x 同对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线y x =对称7.函数()1ln 12x y +-=在点()2,P k 处的切线是( ) A .20x y -=B .10x y --=C .210x y --=D .2230x y --=8.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()1'0x f x -<，设()0a f =，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3c f =，则( )A .a b c <<B .c a b <<C .c b a <<D .b c a <<9.已知()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,2x ∈时，()2ln f x x x =+，则()2019f =( ) A .1-B .0C .1D .210.设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是( ) A .()(),66,-∞-+∞ B .()(),44,-∞-+∞ C .()(),22,ki -∞-+D .()(),14,-∞-+∞二、填空题 11.函数()f x =______________.12.曲线x y e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为___________. 13.若等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =______________. 14.如图，设A 、B 两点在河的对岸，测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50米，45ACB =︒∠，105CAB =︒∠，则A 、B 两点的距离为_____________米.15.已知函数()2ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e>；③()000f x x +<；④()000f x x +>其中正确命题的序号是_____________________.16.设函数()()()2,142,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩.①若1a =，则()f x 的最小值为____________；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________.三、解答题17.已知：{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为其前n 项和，37S =，且13a +，23a ，34a +构成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令231log n n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.已知：函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴是直线8x π=.(1)求ϕ的值；(2)求函数()y f x =的单调增区间； (3)画出函数()y f x =一个周期的图象.19.已知：函数()()ln f x x a x a =-∈R .(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的极值.20.已知：ABC △中的内角A 、B 、C 所对的连长分别为a 、b 、c ，且4cos 5B =，2b =. (1)当53a =时，求A ∠的大小；(2)求ABC △面积的最大值.21.某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内预计年销量Q (万件)，与广告费x (万元)之间的函数关系为()3101x Q x x +=≥+，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占的广告费的50%”之和，当年产销量相等.(1)试将年利润P (万元)表示为广告费x (万元)的函数，并判断当年广告费投入100(万元)时，企业是盈利还是亏损？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？(年利润=年收入-年成本－广告费)22.已知：函数()22ln 3f x x ax x =-+，其中a ∈R . (1)若()12f =，求函数()f x 的最大值；(2)若1a =-，正实数1x ，2x 满足()()120f x f x +=，证明：12x x +.。
北京市西城区第四中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析
北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学学科数学试卷一、选择题1.tan 690o 的值为（ ） A.3 B.3 C. 33-D. 3-【答案】C 【解析】 试题分析：因3-故应选C. 考点：诱导公式及运用.2.设数列{a n }是等差数列，若a 3+a 4+a 5＝12，则a 1+a 2+…+a 7＝（ ） A. 14 B. 21C. 28D. 35【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到44a =，再计算12747a a a a ++⋯+=得到答案. 【详解】数列{a n }是等差数列，则345443142a a a a a ==+∴=+；1247728a a a a =⋯+=++故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3.设R α∈，则“sin cos αα=”是“sin21α=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】sin cos αα=，得4k παπ=+，得sin2α=1 成立；若sin21α=，得4k παπ=+，得sin cos .αα=，即可判断 【详解】若sin cos αα=，则tan 1,4k πααπ==+，得sin2α=sin 2sin 142k πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭成立；反之，若sin21，则α=2224k k ππαπαπ=+∴=+，得sin cos ?sin cos ?“sin21?.ααααα===，故是的充分必要条件故选C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sin cos αα=”推出“sin21α=”. 4.定义：a b ad bc c d=-，若复数z 满足112z i i i=+-，则z 等于（ ）A. 1+iB. 1﹣iC. 3+iD. 3﹣i【答案】B 【解析】 【分析】根据定义得到1z zi i i i=+-，代入数据化简得到答案. 【详解】根据题意知：11121z izi i i z i i ii+=+=+∴==-- 故选：B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5.已知集合{}512,,1,1M x x x R P x x Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P I 等于（ ）A. {}03,x x x Z <≤∈B. {}03,x x x Z ≤≤∈ C. {}10,x x x Z -≤≤∈ D. {}10,x x x Z -≤<∈【答案】B【解析】 【分析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得M P I ． 【详解】集合{}12,M x x x R =-≤∈解绝对值不等式12x -≤,可得{}13M x x =-≤≤ 集合51,1P xx Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭解分式不等式51,1x Z x ≥∈+,可得{}14,P x x x Z =-<≤∈ 则{}{}{}1314,03,M P x x x x x Z x x x Z ⋂=-≤≤⋂-<≤∈=≤≤∈ 故选:B【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题． 6.在同一坐标系内，函数11()2,()2x x f x g x +-==的图象关于（ ） A. 原点对称 B. x 轴对称 C. y 轴对称 D. 直线y=x 对称 【答案】C 【解析】 因为1()2()xg x f x -==-，所以两个函数的图象关于y 轴对称，故选C ．7.函数112ln x y +-=（）在点P （2，k ）处的切线是（ ）A. x ﹣2y ＝0B. x ﹣y ﹣1＝0C. x ﹣2y ﹣1＝0D. 2x ﹣2y﹣3＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到()1'21y x =-，当2x =时，11,'22y y ==，计算得到切线方程.【详解】()1ln 11'221x y y x +-=∴=-（），当2x =时，11,'22y y ==故切线方程为：()11221022y x x y =-+∴--= 故选：C【点睛】本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.8.函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，1)2(b f =，(3)c f =，则（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】B 【解析】【详解】x ∈（-∞，1）时，x -1＜0，由（x -1）•f '（x ）＜0，知f '（x ）＞0， 所以（-∞，1）上f （x ）是增函数． ∵f （x ）=f （2-x ）， ∴f （3）=f （2-3）=f （-1） 所以f （-1）＜（0）＜1()2f ， 因此c ＜a ＜b ． 故选B ．9.已知()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,2x ∈时，()2ln f x x x =+，则()2019f =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由函数()y f x =的周期性和奇函数的性质可得出()()()201911f f f =-=-，代入解析式可得出()2019f 的值.【详解】由于函数()y f x =定义在R 上周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()2ln f x x x =+，()()()()()2201945051111ln11f f f f ∴=⨯-=-=-=-+=-，故选A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题. 10.设函数f （x）=xmπ，若存在f （x ）的极值点x 0满足x 02+[f （x 0）]2＜m 2，则m 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】求导得到()'xf x mπ=，计算得到0,2mx mk k Z =+∈，代入式子化简得到 223304k k m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，取0k =或1k =-时计算得到答案.【详解】()x f x m π=，则()'xf x mπ=故()0000'0,22x x mf x k x mk k Z m m ππππ==∴=+∴=+∈2222222003[]330,24m m x f x k m k k m k Z m ⎛⎫⎛⎫<∴++<∴+-+<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝（）当0k =或1k =-时得：233024m m -+<∴>或2m <- 故选：C【点睛】本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力.二、填空题11.函数f （x ）12121log x =+（）的定义域是_____． 【答案】（12-，0）∪（0，+∞）． 【解析】 【分析】根据定义域定义得到12210log 210x x +>⎧⎪⎨+≠⎪⎩（）计算得到答案. 【详解】函数()1212log 1f x x =+（）的定义域满足：()12210100,log 2102x x x +>⎧⎪⎛⎫∴∈-⋃+∞⎨ ⎪+≠⎝⎭⎪⎩，（） 故答案：()100,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力. 12.曲线x y e =在点()22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .【答案】22e【解析】解析：依题意得y′=e x ，因此曲线y=e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2，相应的切线方程是y-e 2=e 2（x-2），当x=0时，y=-e 2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：221122e S e =⨯⨯=13.已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 【答案】152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 14.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，则A ，B 两点的距离 为 m【答案】502m 【解析】由正弦定理得50sin 45502sin(18010545)=--oo o o15.已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点．给出以下几个命题： ①010x e<<； ②01x e>； ③00()0f x x +<； ④00()0f x x +>其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号） 【答案】①③． 【解析】 试题分析：的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有．考点：导数在求函数极值中的应用16.设函数f （x ）21421x a x x a x a x ⎧-=⎨--≥⎩，＜（）（），，①若a ＝1，则f （x ）的最小值为_____；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____．【答案】 (1). ﹣1 (2). 12≤a ＜1，或a ≥2． 【解析】 【分析】①分别计算1x <和1x ≥的最小值，比较得到答案.②设h （x ）＝2x ﹣a ，g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ），讨论()h x 有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案【详解】①当a ＝1时，f （x ）2114121x x x x x ⎧-=⎨--≥⎩，＜（）（），，当x ＜1时，f （x ）＝2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ≥1时，f （x ）＝4（x ﹣1）（x ﹣2）＝4（x 2﹣3x +2）＝4（x 32-）2﹣1， 当1＜x 32＜时，函数单调递减，当x 32＞时，函数单调递增， 故当x 32=时，f （x ）min ＝f （32）＝﹣1，故最小值为1- ②设h （x ）＝2x ﹣a ，g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x ＝1时，h （1）＝2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以12≤a ＜1， 若函数h （x ）＝2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）＝2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1＝a ，x 2＝2a ，满足题意的 综上所述：a 的取值范围是12≤a ＜1，或a ≥2． 故答案为：-1；12≤a ＜1，或a ≥2． 【点睛】本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、解答题17.已知：{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，S 3＝7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝log 2a 3n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n ＝2n ﹣1，n ∈N （2）T n ＝32（n 2+n ） 【解析】 【分析】（1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.（2）计算得到3n b n =，直接利用等差数列求和公式得到答案.【详解】（1）{a n }是公比q 大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，S 3＝7，可得a 1（1+q +q 2）＝7，①a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列，可得6a 2＝a 1+3+a 3+4，即6a 1q ＝a 1+a 1q 2+7，② 由①②可得a 1＝1，q ＝2，则a n ＝2n ﹣1，n ∈N *；（2）32312log l 23og nn n b a n +===，数列{b n }的前n 项和T n ＝3（1+2+…+n ）＝312⨯n （n +1）32=（n 2+n ）． 【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.18.设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝8π.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 【答案】（1）34π-；（2）5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（3）图象见解析. 【解析】【详解】解：（1）∵sin(2)18πφ⨯+=±，∴,42k k ππφπ+=+∈Z ．∵0πφ-<<，∴34πφ=-． （2）3sin(2)4y x π=-．由3222,242k x k k πππππ-≤-≤+∈Z 得函数3sin(2)4y x π=-的单调增区间为5[,],88k k k ππππ++∈Z ． （3）由3sin(2)4y x π=-知 x8π38π58π78ππy22-1-122-故函数()y f x =在区间[0,]π上的图象如图所示．19.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）当2a =时，求曲线y =()f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】(1) x ＋y －2＝0；(2) 当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a 无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x . (1)当a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ，f′(x)＝1－2x(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－a x ＝x a x-，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a)时，f′(x)<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a －aln a ，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值．20.在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，若4cos , 2.5B b == （1）当5,3a =求角A 的度数；（2）求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）30.A =︒（2）3.【解析】【详解】解：（1）43cos ,sin ,55sin sin a b B B A B=∴==Q Q 52153sin ,2,(0,),30.3sin 2325A A A A π∴=∴=<∴∈∴=︒Q ．．．．．．．．．．．5分 （2）13sin ,210S ac B ac ==Q 22222882cos ,242555b ac ac B a c ac ac ac ac =+-∴=+-≥-=Q得10ac ∴≤，3310S ac =≤ 所以ABC ∆面积的最大值为3.．．．．．．．．．．．．．12分21.某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q 311x x +=+（x ≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）． （1）试将年利润w 万元表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【答案】（1）w 2983521x x x -++=+（）,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大【解析】【分析】（1）先计算售价为9962Q x Q ++，再计算利润为9963322Q x w Q x Q Q ++=⋅---，化简得到答案.（2）化简得到164(1)5021w x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由题意，每件售价为332Q Q +⨯150%x Q +⨯50%9962Q x Q++=， 则299699626649835332222(1)Q x Q x x Q x x w Q x Q Q x ++++----++=⋅---==+ ， 则当x ＝100时，w 100009800352101-++=⨯＜0，故企业亏损． （2）29835164(1)50508422(1)21x x w x x x -++⎛⎫==-+++≤-= ⎪++⎝⎭（当且仅当x ＝7时等号成立）．故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.22.已知：函数f （x ）＝2lnx ﹣ax 2+3x ，其中a ∈R ．（1）若f （1）＝2，求函数f （x ）的最大值；（2）若a ＝﹣1，正实数x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）＝0，证明：1232x x -++≥． 【答案】（1）f （x ）max ＝2ln 2+2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算得到1a =，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案.（2）代入数据得到()22ln 3f x x x x ++=，得到()()()21212121232ln x x x x x x x x +++=-，设()ln h t t t =-得到函数的最小值得到不等式（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）≥2，计算得到答案.【详解】（1）∵f （1）＝2，∴﹣a +3＝2，∴a ＝1，∴f （x ）＝2lnx ﹣x 2+3x ，∴f '（x ）2x =-2x +3212x x x+-=-（）（）， 由f '（x ）＞0得，0＜x ＜2，有f '（x ）＜0得，x ＞2，∴f （x ）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数，∴f （x ）max ＝f （2）＝2ln 2+2；（2）证明：当a ＝﹣1，f （x ）＝2lnx +x 2+3x ，∵f （x 1）+f （x 2）＝2lnx 1+x 12+3x 1+2lnx 2+x 22+3x 2＝0，∴（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）＝2（x 1x 2﹣lnx 1x 2），令h （t ）＝t ﹣lnt ，∴h '（t ）＝111t t t--=， 由h '（x ）＞0得，t ＞1，由h '（x ）＜0得，0＜t ＜1，∴h （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴h （x ）min ＝h （1）＝1，∴（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）≥2，∴（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）﹣2≥0，解得：1232x x -+≥． 【点睛】本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数()ln h t t t =-是解题的关键.。
北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三测试数学试题(含答案)2.13
（D） x2 y2 1 12 4
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为
（A） 2 3
（C） 8 3
（B） 4 3
（D） 16 3
9．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有 1个这种细菌和 200 个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要
（A）6 秒
（A）4
（B）5
（C）6
（D）8
4．已知 a,b R ，则“ a b ”是“ log2 a log2 b ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
5．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所 示是一位猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子 上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是
17．（本小题满分 14 分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随
机抽取 10 天的数据，制表如下：
甲公司某员工 A
乙公司某员工 B
396583 3 23 4 66 6 77
0 14 4 22 2
．
15．已知向量 e1 ， e2 是平面 内的一组基向量， O 为 内的定点，对于 内任意一点 P ，当
OP x e1 +y e2 时，则称有序实数对 (x, y) 为点 P 的广义坐标，若点 A , B 的广义坐标分别为
(x1, y1) , (x2 , y2 ) ，对于下列命题：
① 线段 AB 中点的广义坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) ；
2020年4月北京市第四中学高三下学期月考数学试卷(解析)
与
则“
”是
”的否定是“
，
，即
”，∴ 选 ，
，但
不一定成立，错误；
如下图，阴影部分是 所在区域，
的必要条件，正确．
故选 D .
4. C 【解析】 由题意知：
，
又∵
，
，
，由
，
得 ∴ 当 故选 ．
时，
，当且仅当
时，等号成立，
，
有最小值，最小值是 ．
5. D
【解析】 由三视图可知：几何体是对角线长为 的正方形， 侧棱垂直于底面的四棱锥， 侧棱长为 ，则该几何体的体积是 ．
则由
是函数 的对称轴，
知，
，
即
，所以
，
由 在区间
上单调知
，
即
，
两者矛盾，则假设不成立，
假设这 个条件是①③，
则由 的周期为 ，
得
，即
，
又
，
所以
，
，
得
，
，
因为
，
所以不存在满足条件的 值，则假设不成立，
所以
满足的条件是①②，
由函数 的周期为 ，
得
，即
，
由
是函数 的对称轴，
得：
，
，
即
，
，又
，所以
，
所以 的解析式为
．
所以
．
由 的任意性知， 的取值集合为
．
6. A
【解析】 由
的图象知
，
令，∴，， Nhomakorabea即
，
∴
，
令
，
∴
，
，
即
，
∴
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北京四中2019-2020学年度第一学期 统一练习(二) 初三年级数学试卷
数学试卷（考试时间：120分钟，试卷满分：100分）班级：________________学号：________________姓名：____________________一．选择题（每题2分，共16分）1．下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（）2．如果两个相似三角形面积的比是1:4，那么它们周长的比是（）A．1:16B．1:2C．1:4D．1:63．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1:2B．1:3C．2:1D．3:14．抛物线221y x=-+在同一直角坐标系内，则它们（）=，23y xA．都关于y轴对称B．开口方向相同C．都经过原点D．互相可以通过平移得到5．如图，点A的坐标为（1，3），O为坐标原点，将OA绕点A按逆时针方向旋转90°得到AO′，则点O′的坐标是（）A．（4，1）B．（1，4）C．（4，2）D．（2，-4）6．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．26寸C．25寸D．13寸7．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下； ②抛物线的对称轴为直线1x =-； ③m 的值是0；④图象不经过第三象限．上述结论中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③8．如图，∠AOB =120°，OP 平分∠AOB ，且OP =2．若点M ，N分别在射线OA ，OB 上，且∠PMN 为等边三角形，则满足上述条件的∠PMN 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上二．填空题（每题2分，共16分）9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，2tan 3A =，则AC 的长为__________.10. 如果43x y =，那么x y = ______________． 11. 如图，现有测试距离为5m 的一张视力表，表上一个E 的高AB 为2cm ，要制作测试距离为3m 的视力表，其对应位置的E 的高CD 为___________cm ．12. 如图，在⊙O 中，弦=22AC ，点B 是圆上一点，且∠ABC ＝45°，则⊙O 的半径R ＝________．13. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为_________．14. 抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（-1，3.2），部分图象如图所示，由图象可知关于x 的一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根分别是1 1.3x =和2=x ___________．15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OB =BB′，如果点A （2，3），那么点A′的坐标为__________.16. 如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若AB =3，BC =4，则tan AFE ∠=___________.三．解答题：（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：26tan 303sin 60cos45sin30︒-︒-︒︒．18．已知：如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A =60°，BC = 27，AD =2．求AB 的长．19．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，求cos EFC∠的值.20．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8，AE=2.（1）求⊙O的半径；（2）求OF的长.22．体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D与看台底端A连线和地面垂直，测得看台AC的长为14 米，∠BAC=30°，∠ACD=45°．（1）求看台高BC的长；）（2）求顶棚顶端D到地面的距离AD的长．（取3 1.723．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示：（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3 s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m？请说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC. 过点B作AB 的垂线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE = AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE =2∠EBD；（2）如果AB=5，5sin EBD∠=，求BD的长．25. 小明利用函数与不等式的关系，对形如()()()120n x x x x x x --->（n 为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整．．．．： ①对于不等式20x ->，观察函数2y x =-的图象可以得到如下表格：由表格可知不等式20x ->的解集为2x >．②对于不等式()()210x x -->，观察函数()()21y x x =--的图象可得到如下表格：由表格可知不等式()()210x x -->的解集为___________________．③对于不等式()()()2120x x x -+->，请根据已描出的点画出函数()()()1=22x x y x -+-的图象；观察函数()()()1=22x x y x -+-的图象，补全下面的表格：由表格可知不等式()()()2120x x x -+->的解集为___________________．小明将上述探究过程总结如下：对于解形如()()()120n x x x x x x --⋯->（n 为正整数）的不等式，先将12,n x x x ，，按从大到小的顺序排列，再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式()()()()64220x x x x ---+>的解集为_________________；②不等式()()()25340x x x --+>的解集为____________________．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2M y ax bx c =++： ()0a ≠经过A （-1，0），且顶点坐标为B （0，1）．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设F （t ，0）为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为________；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27. 如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点P 为直线BD ，CE 的交点．（1）如图，将△ADE 绕点A 旋转，当D 在线段CE 上时，连接BE ，下列给出两个结论：①2BD CD AD =+ ②()2222BE AD AB =+． 其中正确的是_________，并给出证明.（2）若AB =4，AD =2，把△ADE 绕点A 旋转，①当∠EAC =90°时，求PB 的长；②旋转过程中线段PB 长的最大值是______．28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D（-1，-1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外称点是___________；②若点M（m，n）为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G（2，2），求m的取值范围；（2）直线y x b=-+过点A（1，1），与x轴交于点B．⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围．。