考研高数讲义高数经济应用上课资料

微积分在经济学中的应用专题
⎧⎨⎩一元函数微积分
在经济上的应用
导数在经济上的应用—边际和弹性积分学在经济上的应用
一、 一元函数微分学中在经济学中的应用
1、 复利和贴现
设0A 是现有本金，r 是年利率，
t A 是t 年末的未来值，按连续复利计算，
则有复利公式：rt t e A A 0=
贴现公式：rt t e A A -=0
说明：（公式的导出）（微元法）
记)(t A A t =，取微小区间],[t t t ∆+，
则有t t rA t A t t A ∆+≈∆+)()()(， 即)()()(t rA t
t A t t A ≈∆-∆+，令0→∆t ，在则有)(t rA dt dA
=，
又因为0)0(A A =，故rt
t e A A 0=
2、“边际”概念：
“边际”：经计量的变化率，即经济函数的导数。

（1）边际成本：产量增加一个单位时所增加的总成本。

)(x C 为总成本函数，其中x 为产品的产量，则
)(x C dx
dC MC '==称为边际成本函数。

)()()1(x C x C x C '≈-+，所以其经济意义是近似于产品为x 时再增加一个单位产品所需增加的成本。

（2）边际收益：多销售一个单位产品时所增加的销售总收益。

)(x R 为总成本函数，其中x 为销售出的产品的总
量，则)(x R dx
dR MR '==称为边际收益函数。

)()()1(x R x R x R '≈-+，所以其经济意义是近似于产品为x 时再销售一个单位产品所增加的收益。

（3）边际利润：多销售一个单位产品时所增加或减少的总利润。

)(x L 为总成本函数，其中x 为销售出的产品的总
量，则)(x L dx
dL ML '==称为边际利润函数。

)()()1(x L x L x L '≈-+，所以其经济意义是近似于产品为x 时再销售一个单位产品所增加或减少的利润。

（4）因为)()()(x C x R x L -=，所以)()()(x C x R x L '-'='，此时x 为产品的销量（产量），所以
MC MR ML -=。

3、弹性
（1）弹性：用于定量地描述一个经济变量对另一个经济变量的反应程度，即当一个经济变量变动百分之一时会使另一个经济变量变动百分之几。

设经计量x 和y 有函数关系)(x f y =，0x x x -=∆，
)()(00x f x x f y -+=∆，则x 的相对变化为0
x x ∆，y 相对变化为0y y ∆，那么称x
y y x x x y y ∆∆⋅=∆∆0000为)(x f y =
的平均弹性。

令0→∆x ，)
(lim lim 000000000x f y x x y y x x x y y x x '⋅=∆∆⋅=∆∆→∆→∆称
为)(x f y =在0x x =处的弹性，称)
()(x f x f x
'⋅为)(x f y =的弹性函数，记为Ex Ey ，dx dy
y x Ex Ey
=。

（2）需求（对价格的）弹性
需求函数)(p Q Q =，Q 为需求量，p 为价格，则需求
对价格的弹性为dp dQ Q p Ep EQ =，记为
dp dQ Q p Ep EQ p
==ε
注：①一般0<p ε，p ε的意义是：当某产品的价格
上涨（下跌）1%时，其需求量将减少（增加）p ε%
②提价或降价对总收益的影响与p E 有关系 p p Q R p ∆-≈∆|)|1)((ε
pdQ Qdp pQ d dR R +==≈∆)(
p p Q p Q dp dp dQ Q p Q p p ∆-=∆+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=|)|1)((]1[1εε
（3）收益（对价格的）弹性
dp
dR R p Ep ER =，由于pQ R =，所以 p dp dQ p Q Q dp
pdQ Qdp Q dp dpQ Qp p dp dR R p Ep ER ε+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+===111
【例1】（89）某商品的需求量Q与价格P的函数关系为b
Q=，其中a和b为常数，且0
aP
a，则需求
≠
量对价格P的弹性是 .
【答案】b
【例2】（92）设商品的需求函数p
100-
=，其
Q5
中Q、p分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是 .
【答案】(]20,10
二、一元函数积分学在经济中的应用
1、已知生产某种产品的固定成本为0C ，边际成本
为)(x C MC '=，其中x 为该产品的产量，则生产该产品的总成本函数为⎰'+=x dt t C C x C 00)()(
2、已知销售某种产品的边际收益为)(x R MR '=，
其中x 为该产品的销售量，则销售该商品的总收
益函数为⎰'=x dt t R x R 0)()(
3、已知某产品的总产量Q 的变化率是时间t 的连续
函数)(t f ，即)()(t f t Q ='，则从时间a t =到时间b t =，产品产量的变化为⎰=-b a dt t f a Q b Q )()()( 若已知a t =时的产量为0Q ，则总产量函数为
⎰+=t du u f Q t Q 00)()(
【例3】设生产某产品的固定成本为50，产量为x 单
位时的边际成本函数为11114)(2+-='x x x C ，
边际收益函数为x x R 2100)(-='，求总成本函数，总收益函数，总利润函数。

本章强化练习
1、（10）设某商品的收益函数为()
R p，收益弹性为3
1p
+，其中p为价格，且(1)1
R=，则()
R p=______.
答案：
3
1
(1)
3
p pe-
2、（09）设某产品的需求函数为()
=,其对
Q Q P
ξ=，则当需求量为10000件应价格P的弹性0.2
p
时，价格增加1元会使产品收益增加元. 答案：8000
3、（08）设银行存款的年利率为.005
r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？
答案：3980万元
4、（07）设某商品的需求函数为Q p =-1602，其中Q ，p 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于
1，则商品的价格是（ ） （A ）10 （B ）20
（C ）30 （D ）40 答案：（D ）
5、（97）一商家销售某种商品的价格满足关系=-（万元/吨），x为销售量（单位：吨），
70.2
p x
商品的成本函数是31
=+（万元）.
C x
（Ⅰ）若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润时的销售量；
（Ⅱ）t为何值时，政府税收总额最大.
6、（01）设生产函数为Q AL K αβ=，其中Q 为产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而,,A αβ均为大于0的参数，则当
1Q =时K 关于L 的弹性为 。

答案：βα
-
7、（91）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1p 和2p ，销售量分别为1q 和2q ，需求函数分别为11240.2q p =-和22100.05q p =-，总成本函数为123540()C q q =++，试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？
答案：120,8021==p p 时，其最大总利润为605.。