江苏省南京市2020届高三9月4日零模学情调研数学试题(word版,含解析)
南京市2020届高三年级学情调研卷参考答案和评分标准(答案)
南京市2020届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．[1，＋∞） 2．10 3．4 4．0.018 5．236．3 7．23 3 8．[－1，2] 9．3410．(1，＋∞)11．20 12．6 13．[－2，2] 14．(34，2)二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）因为a sin2B ＝2b sin A ，由正弦定理 a sin A ＝bsin B 得 2sin A sin B cos B ＝2sin B sin A ． ………………… 3分因为A ，B 为△ABC 的内角，所以sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos B ＝22． …………………………… 5分 又因为B 为△ABC 的内角，所以0＜B ＜π，所以B ＝π4． …………………………… 7分（2）因为cos C ＝55，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－(55)2＝255， …………………………… 9分 所以sin2C ＝2sin C cos C ＝2×255×55＝45，cos2C ＝2cos 2C －1＝2×(55)2－1＝－35． ………………………… 11分 因为B ＝π4，所以A ＋C ＝3π4，从而A －C ＝(3π4－C )－C ＝3π4－2C ，因此 sin(A －C )＝sin(3π4－2C )＝sin 3π4cos2C －cos 3π4sin2C＝22×(－35)－(－22)×45＝210．…………………………… 14分16．证明：（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，AB ＝A 1B 1．因为E ，F 分别为AB 和A 1B 1的中点， 所以AE ∥FB 1，AE ＝FB 1，所以四边形AEB 1F 是平行四边形， 所以AF ∥EB 1． ………………………… 4分 因为AF ⊄平面B 1CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ，所以AF ∥平面B 1CE ．……………………… 7分 （2）因为AB ∥A 1B 1，A 1B 1⊥B 1C ，所以AB ⊥B 1C ．在△ABC 中，因为AC ＝BC ，E 为AB 的中点，所以AB ⊥CE ． …………………………… 10分 因为AB ⊥B 1C ，AB ⊥CE ，B 1C ∩CE ＝C ，B 1C ⊂平面B 1CE ，CE ⊂平面B 1CE ，所以AB ⊥平面B 1CE ． …………………………… 12分 因为AB ⊂平面ABC ，所以平面B 1CE ⊥平面ABC ． …………………………… 14分17．解：（1）因为p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，1800， 9≤t ≤15，其中t ∈N ．所以当载客人数不超过1500人时，4≤t ＜9， 此时p (t )＝1800－15(9－t )2随着t 的增大而增大．当t ＝4时，p (4)＝1800－15(9－4)2＝1425＜1500，符合题意；当5≤t ＜9时，p (t )≥p (5)＝1800－15(9－5)2＝1560＞1500，不符合题意． 因此，发车时间间隔t 的值为4． …………………………… 5分 （2）因为Q ＝6p (t )－7920t－100，所以当9≤t ≤15时，Q ＝6×1800－7920t －100＝2880t－100．由于Q 的值随着t 的增大而减少，故t ＝9时Q 取得最大值，此时Q max ＝220． …………………………… 7分1（第16题图）当4≤t ＜9时，Q ＝6p (t )－7920t－100＝6[1800－15(9－t )2]－7920t－100＝－90t 2＋1620t －4410t－100＝1520－90(t ＋49t) …………………………… 9分≤1520－90×2t ×49t＝260，当且仅当t ＝49t，即t ＝7时取得最大值． …………………………… 11分由于260＞220，故t ＝7时Q 取得最大值．答：当发车时间间隔为7分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元． …………………………… 14分18．解：（1）因为(a2，3e )和(b ，3e )都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以 ⎩⎨⎧14＋9e2b2＝1， ①b 2a2＋3e 2b2＝1． ②…………………………… 2分由①整理得，e 2b 2＝112．代入②得，b 2a 2＝1－3×112＝34． …………………………… 4分因为e ＝c a，其中c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝3c ，a 2＝4c ，从而c 2＝a 2－b 2＝c ，解得c ＝1，即a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1． …………………………… 6分（2）由（1）可知A (－2，0)，B (2，0)．解法一：因为C 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 的方程为y ＝k (x －2)，k ≠0．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)，消去y ，得 (3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0．解得x ＝2或x ＝8k 2－63＋4k 2，从而C (8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2)． …………………… 9分因为P 是BC 的中点，所以P (8k 23＋4k 2，－6k3＋4k2)．因为PQ ⊥BC ，所以直线PQ 的方程为y －(－6k 3＋4k 2)＝－1k (x －8k23＋4k2)，化简得y ＝－x k ＋2k3＋4k 2． ③由A (－2，0)，C (8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2)，可得直线AC 的斜率为－12k 3＋4k 28k 2－63＋4k 2＋2＝－34k， 从而直线AC 的方程为y ＝－34k(x ＋2)． ④ 联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y 得－x k ＋2k 3＋4k 2＝－34k(x ＋2)， 解得x ＝32k 2＋183＋4k 2，即点Q 的横坐标为32k 2＋183＋4k 2． …………………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(32k 2＋183＋4k 2－8k 23＋4k2)＝12，即→OB ·→PQ 为定值12． …………………………… 16分解法二：设C (x 0，y 0)，其中x 0≠±2，y 0≠0，则由P 是BC 的中点，得P (x 0＋22，y 02)． 直线AC ，BC 的斜率均存在且不为0，直线BC 的斜率为y 0x 0－2．因为PQ ⊥BC ，所以直线PQ 的方程为y －y 02＝－x 0－2y 0(x －x 0＋22)，即y ＝－x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02．③ …………………………… 9分又直线AC 的斜率为y 0x 0＋2，从而直线AC 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．④联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y ，得 －x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02＝y 0x 0＋2(x ＋2)，两边同乘以y 0，得 (2－x 0)x ＋x 02－42＋y 022＝y 02x 0＋2(x ＋2)．由x 024＋y 023＝1，得y 02＝3－3x 024， 代入化简得(2－x 0)x ＋x 02－48＝34(2－x 0)(x ＋2)．因为x 0≠2，解得x ＝x 0＋142，即点Q 的横坐标为x 0＋142． …………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(x 0＋142－x 0＋22)＝12，即→OB ·→PQ 为定值． …………………………… 16分19．解：（1）由f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，得f ′(x )＝2ax 2－bx ＋2x，因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3， 所以f (1)＝a －b ＝－1， f ′(1)＝2a －b ＋2＝2，解得a ＝1，b ＝2． …………………………… 3分 （2）因为a ＝0，所以f (x )＝2ln x －bx ，x ∈(0，＋∞)；由f (x )≤－2得2ln x －bx ≤－2，即b ≥2＋2ln xx． …………………………… 5分设g (x )＝2＋2ln x x ，x ＞0，则g ′(x )＝－2ln x x2，由g ′(x )＝0得x ＝1．当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0， 则g (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减， 所以当x ＝1时，g (x )有最大值g (1)＝2．于是b ≥2，即实数b 的取值范围为[2，＋∞) ． ……………………… 8分 （3）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当b ＝4时f ′(x )＝2ax 2－4x ＋2x．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋2x，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12；由f ′(x )＜0得x ＞12，所以f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)； ……………………… 9分②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1－1－a a ；由f ′(x )＜0得x ＞1－1－aa，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a )，减区间为(1－1－aa，＋∞)；……………………………11分③当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1－1－a a 或x ＞1＋1－aa；由f ′(x )＜0，得1－1－a a ＜x ＜1＋1－a a，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a )和(1＋1－aa，＋∞)，减区间为(1－1－a a ，1＋1－aa)； ……………………… 13分④当a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，于是f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 综上，当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )，减区间为(1－1－aa，＋∞)；当a ＝0时，f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )和(1＋1－aa，＋∞)，减区间为(1－1－a a ，1＋1－aa)；当a ≥1时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．…………………………… 16分20．解：（1）因为数列{S n n }是以12为公差的等差数列，所以S n n ＝S 11＋12(n －1)＝a 1＋12(n －1)＝n ＋32，即S n ＝n (n ＋3)2．…………… 2分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋3)2－(n －1)(n ＋2)2＝n ＋1，又a 1＝2＝1＋1，所以a n ＝n ＋1，n ∈N *. …………………………… 4分 （2）①因为b n ＝2n a n ＝(n ＋1)2n，所以T n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)2n， 因此2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)2n ＋1，两式相减，得－T n ＝2×21＋22＋23＋ (2)－(n ＋1)2n ＋1＝2＋2×1－2n1－2－(n ＋1)2n ＋1＝－n·2n ＋1， …………………… 6分所以T n ＝n·2n ＋1，因此T n n ＝2n ＋1，从而T n ＋1n ＋1T nn＝2，故数列{T n n}是以4为首项，2为公比的等比数列. …………………… 8分 ② 因为T m T n ＝m (S m ＋λ)n (S n ＋λ)，所以m ·2m ＋1n·2n ＋1＝m [m (m ＋3)2＋λ]n [n (n ＋3)2＋λ]，即m 2＋3m ＋2λ2m ＝n 2＋3n ＋2λ2n，…………… 10分 设f (n )＝n 2＋3n ＋2λ2n，n ∈N *，则f (n ＋1)－f (n )＝n 2＋5n ＋4＋2λ2n ＋1－n 2＋3n ＋2λ2n＝－n 2－n ＋4－2λ2n ＋1，当n ≥3时，－n 2－n ＋4－2λ≤－32－3＋4－2λ＝－8－2λ≤－8－2(－2)＝－4＜0， 所以当n ≥3时，f (n ＋1)＜f (n )，因此当m ＞n ≥3时，f (n )＞f (m )，与f (n )＝f (m )相矛盾，又n ＞1，于是n ＝2， 所以m 2＋3m ＋2λ2m＝5＋λ2． ………………… 12分 当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m≤52＋3×5＋2λ25＝20＋λ16，又20＋λ16－5＋λ2＝－20－7λ16≤－20－7×(－2)16＝－38＜0，即20＋λ16＜5＋λ2， 所以当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m＜5＋λ2，与m 2＋3m ＋2λ2m＝5＋λ2相矛盾．又m ＞n ＝2，所以m ＝3或4． ………………… 14分 当m ＝3时，32＋3×3＋2λ23＝5＋λ2，解得λ＝－1； 当m ＝4时，42＋3×4＋2λ24＝5＋λ2，解得λ＝－2； 因此λ的所有可能值为－1和－2. …………………………… 16分南京市2020届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 2019．0921．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）解法一：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤232 1，设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由A －1A ＝E ，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎨⎧2a ＋2b ＝1，3a ＋b ＝0，2c ＋2d ＝0，3c ＋d ＝1．…………………………… 2分解得a ＝－14，b ＝34，c ＝12，d ＝－12，从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12． …………………………… 4分 解法二：因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc ，………………………… 2分又A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12 －12． …………………………… 4分 （2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3y 2x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋3y ，y ′＝2x ＋y ． ……………………7分 因为(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′2－3y ′2＝1， 代入得(2x ＋3y )2－3(2x ＋y )2＝1，化简得6y 2－8x 2＝1，即曲线C 的方程为6y 2－8x 2＝1． ………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将直线l 的参数方程化为普通方程，得ax －4y ＝－4，即ax －4y ＋4＝0．…………………………… 2分将曲线C 的参数方程化为普通方程得(x －2)2＋y 2＝1， …………………… 4分 所以曲线C 是以(2，0)为圆心，1为半径的圆， 所以曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为|2a ＋4|a 2＋16＋1．…………… 6分又因为曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3， 所以|2a ＋4|a 2＋16＋1＝3，即(a ＋2)2＝a 2＋16， ………………………… 8分 所以4a ＋4＝16，解得a ＝3． ………………………… 10分 C ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≥1时，原不等式化为x 2＋2(x －1)＜6，即x 2＋2x －8＜0，解得－4＜x ＜2，所以1≤x ＜2； …………………………… 4分 当x ＜1时，原不等式化为x 2－2(x －1)＜6， 即x 2－2x －4＜0，解得1－5＜x ＜1＋5，所以1－5＜x ＜1． ………………………… 8分 综上1－5＜x ＜2．所以不等式的解集为(1－5，2)． …………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：（1）因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥平面ABCD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz ．设AB ＝a ． 因为PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，所以C (a ，2，0)，D (0，2，0)，F (a2，0，0)，E (0，0，1)，所以DF →＝(a 2，－2，0)，CE →＝(－a ，－2，1)， ………………………… 2分因为DF ⊥CE ，所以DF →·CE →＝0， 即 a2×(－a )＋(－2)×(－2)＋0×1＝0， 解得a ＝22，所以AB 的长为22．………………… 4分 （2）因为a ＝22，所以DF →＝(2，－2，0)， EF →＝(2，0，－1)．设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·DF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，2x －2y ＝0，取n ＝(2，1，2)． …………………………… 6分 又CF →＝(－2，－2，0)，所以cos ＜CF →，n ＞＝CF →·n |CF →||n |＝－2×2－2×1＋0×26×7＝－24221．………………………… 8分记直线CF 与平面DEF 所成角为α， 则sin α＝| cos ＜CF →，n ＞|＝24221，即直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值为24221． ……………………… 10分23．解：（1）当n ＝5时，B ＝{1，2，3，4，5}．随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．P (X ＝1)＝1C 34C 35＝140； P (X ＝2)＝3＋3C 34C 35＝320； P (X ＝3)＝9＋6C 34C 35＝38； P (X ＝4)＝18C 34C 35＝920． …………………………… 4分因此随机变量X 的概率分布如下表：随机变量X E (X )＝1×140＋2×320＋3×38＋4×920＝134． …………………………… 6分（2）由题意知，当S ＝1时，T ＝n －2，此时，符合要求的取法共有C 23C 2n －3种；当S ＝2时，T ＝n －1，此时，符合要求的取法共有C 22C 2n －2种．………… 8分 故P (X ＝n －3)＝ C 23C 2n －3＋C 22C 2n －2 C 34C 3n＝3(n －3)(2n －7)2n (n －1)(n －2)． …………… 10分。
【数学】南京2020届高三年级学情调研卷 及解析
159
1800,
t
2
,
4t 9t
9, 15,
其中
t
N
（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1500 人，试求发车时间间隔 t 的值；
（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 Q 6 p t 7920 100（单位：元），问当发车时间
t 间隔 t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
3
tan
1 ，则 tan 2 的值为
.
10. 已知函数 f x x ，则不等式 f x 3 f 2x 0 的解集为
.
1 x
11. 等差数列an 的前 n 项和记为 Sn ，已知 a1 a4 a7 =99，a2 a5 a8 93 ，若存在正整
数 k ，使得对任意 n N* ，都有 Sn Sk 恒成立，则 k 的值为__________
3a4 99 ，∴ a4 33 ， 3a5 93，∴ a5 31，∴ d 2 ， a1 39 ，
Sn n2 40n ， Sn 最大值为 S20 ，所以 k 20 .
【点评】此题考查的是对等差数列求 n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题
南京市 2020 届高三年级学情调研 数学
2019.09 注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两 部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式： 柱体的体积公式：V Sh ，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高. 球的体积公式：V 4 R3 ，其中 R 为球体的半径.
南京市2020届高三年级学情调研卷(定稿)
南京市2020届高三年级学情调研数 学 2019.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 球的体积公式：V ＝43πR 3，其中R 为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．函数f (x )＝x －1的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．某算法的流程图如图所示，则输出的n 的值为 ▲ ．4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x 的值为 ▲ ．（第3题图） （第4题图）5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ ．6．把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．若函数f (x )＝2sin(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π，则当x ∈[0，π2]时，f (x )的值域为 ▲ ．9．若锐角α满足tan(α＋π4)＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝x1＋|x |，则不等式f (x －3)＋f (2x )＞0的解集为 ▲ ．11．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若存在正整数k ，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 恒成立，则k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝2π3，则CP →·CA →的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －a )2＋(y －2a )2＝4，圆N ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4．若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＋1， x ＞0，－14x 2－x ， x ≤0．若函数y ＝g [f (x )]－a 有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin2B ＝2b sin A ． （1）求B 的大小； （2）若cos C ＝55，求sin(A －C )的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点． （1）求证：AF ∥平面B 1CE ；（2）若A 1B 1⊥B 1C ，求证：平面B 1CE ⊥平面ABC ．17．（本小题满分14分）随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p (t )（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，1800， 9≤t ≤15，其中t ∈N ．（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值；（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q ＝6p (t )－7920t －100（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．1（第16题图）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点(a2，3e )和(b ，3e )都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的标准方程；（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：→OB ·→PQ 为定值．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，a ，b ∈R ．（1）若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实数a ，b 的值； （2）若a ＝0，且f (x )≤－2对一切正实数x 恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝4，求函数f (x )的单调区间．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且数列{S n n }是以12为公差的等差数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n a n ，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为T n ， ①求证：数列{T nn}为等比数列；②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得T m T n ＝m (S m ＋λ)n (S n ＋λ)，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值.（第18题图）。
江苏省南京市2020届高三年级月考模拟考试数学试卷及参考答案
江苏省南京市2020届高三年级月考模拟考试2019.12数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{}1,0,2U =-，集合{}1,0A =-，则U C A = ▲ ． 2．已知复数z =(i 为虚数单位)，复数的共轭复数为z ，则z z ⋅= ▲ ． 3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为30的样本，其中高一年级抽12人，高三年级抽8人，若该校高二年级共有学生500人，则该校学生总数为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ． 5．已知42a =，log 2a x a =，则正实数x = ▲ ． 6．函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ ． 7．已知锐角θ满足θθcos 6tan =，则=-+θθθθcos sin cos sin ▲ ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若bsinAsinB 十acos 2B - 2c ，则a c的值为 ▲ ．9．已知椭圆 C 1 : 22221x y a b+= (a > b > 0) 与圆 C 2 : 222x y b += ，若椭圆 C 1 上存在点 P ，由点P 向圆 C 2 所作的两条切线 PA , PB 且 ∠APB = 60︒ ，则椭圆 C 1 的离心率的取值范围是▲ .10．将一个半径为8cm 、圆心角为4π的扇形薄铁片，焊接成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于 ▲ 3cm ．11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则789a a a ++= ▲ .12．已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段, AB AC 上的动点, D E 分别满足, (12) ()AD AB AE AC λλλ==-∈R ，设DE 中点为F ，记||()||FG R BC λ=，则()R λ的取值范围为 ．14．已知函数1()2cos sin 2262x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若对任意实数15[,]62x ππ∈--，都存在唯一的实数2[0,]x m ∈，使得12()()0f x f x +=，则实数m 的范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 限内的动点，过点P 作x 轴的垂线分别与x 轴，直线y x =点M ，N ，设MOP ∠=α,(0)4πα∈，．（1）若1sin 5α=,求cos PON ∠； （2）求OP ON ⋅uur uuu r的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点．（1）求证：MN ∥平面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：（第16题图）17．（本小题满分14分） 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为100m 的扇形土地OAB 上建造市民广场．规划设计如图：矩形EFGH (其中E ，F 在圆弧AB 上，G ，H 在弦AB 上)区域为运动休闲区，△OAB 区域为文化展示区，其余空地为绿化区域，已知P 为圆弧AB 中点，OP 交AB 于M ，cos ∠POB ＝720，记矩形EFGH 区域的面积为Sm 2． （1）设∠POF ＝θ(rad)，将S 表示成θ的函数； （2）求矩形EFGH 区域的面积S 的最大值．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆E 上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆E 的离心率e =. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点.①若点1F 为椭圆的左焦点，点2F 为椭圆的右焦点，1F 关于直线PN 的对称点为Q ，当点P的坐标为时，求证：点2,,P Q F 三点共线．②试判断直线PN 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论.19．（本小题满分16分）已知函数1)(3++-=mx x x f ，R ∈m ．(1)若函数()y f x =的图象在1x =处的切线垂直于直线210x y -+=，求m 的值； (2)求函数)(x f 的单调区间；(3)若函数)(x f 在()2,1-上的极小值也是)(x f 的最小值，求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列．（1）若12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列，求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）在（1）的条件下，数列{}n a 的前n 和为n S ，设122111n n n nb S S S ++=+++，若对任意的n *∈N ，不等式n b k ≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）若数列{}n a 中有两项可以表示为某个整数(1)c c >的不同次幂，求证：数列{}n a 中存在无穷多项构成等比数列．江苏省南京市2020届高三年级月考模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-b a A ，其中R b a ∈,，若点)2,1(P 在矩阵A 的变换下得到的点)4,2(1P（1）求实数b a ,的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 极坐标方程为6cos =ρθ，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的直角坐标方程．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．22. （本小题满分10分）某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．(1)求恰有2次击中目标的概率；(2)现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记X 为射手射击3次后的总得分，求X 的概率分布列与数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>过点(2,1)，直线l 过点(0,1)P - 与抛物线C 交于,A B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ',连接A B '. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）问直线A B '是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请请说明理由.高三数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．{2} 2．14 3．1500 4．1 5. 126. 56 7.8. 2 9．3[,1)11. 448 12. 4[,0]3- 13. 1,24⎡⎢⎣⎦14. 5[,)26ππ二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）(1)因为MOP ∠=α,(0)4πα∈，，且点P 在以原点为圆心 的单位圆上，所以点P 坐标为()cos ,sin αα， 又PN x ⊥轴，点N 在直线y x =上， 所以点N 坐标为()cos ,cos αα，因为1sin 5α=，且(0)4πα∈，，所以cos α=所以1cos cos 4225PON π⎛⎫∠=-α=⋅= ⎪⎝⎭；(2) ()()2cos ,sin cos ,cos cos sin cos OP ON ⋅=αα⋅αα=α+ααu u u r u u u r()1cos2111sin 2sin 2cos22222+α=+α=α+α+ 1242π⎛⎫=α++ ⎪⎝⎭， 当242ππα+=，即8πα=时，OP ON ⋅uur uuu r 1216．（本小题满分14分）证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，//MN ∴平面PAB （2）在平面PAD 内过点A 作直线PM 的垂线，垂足为H ， 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC平面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂平面PADAH ∴⊥平面PMC ，CM ⊂平面PMC ，AH ∴⊥CM ，PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ,PA AH A =，PA 、AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，CM AD ∴⊥．17．（本小题满分14分）（1）由题意知100OF OB ==. 7cos 1003520OM OB POB =∠=⨯= 在矩形EFGH 中，2sin 200sin EF OF POF θ=∠=…………………………2分cos 100cos 35FG OF POF OM θ=∠-=-故200sin (100cos 35)1000sin (20cos 7)S EF FG θθθθ==-=-g g ………4分 即所求函数关系是1000sin (20cos 7).0S POB θθθ=-<<∠………………6分（2）令()1000sin (20cos 7).0f POB θθθθ=-<<∠则2()1000cos (20cos 7)1000sin (20sin )1000(40cos 7cos 20)f θθθθθθθ=-+-=--…………………………8分由'()0f θ=，即240cos 7cos 200θθ--=，解得：4cos 5θ=或5cos 8θ=-. 因为0POB θ<<∠，所以cos cos POB θ>∠，所以4cos 5θ=………………10分设04cos 5θ=，且00POB θ<<∠则当0(0,)θθ∈时，'()0f θ>，()f θ是增函数，当0(,)POB θθ∈∠时，'()0f θ<，()f θ是减函数…………………………………………………………………………12分所以当0θθ=，即4cos 5θ=时，()f θ取得最大值，此时S 有最大值为25400m 即区域EFGH 的面积最大值为25400m ……………………………………………14分 18．（本小题满分16分）解（1）依题设条件可得：2ab =，c a =.又222a c b -=，解得24a =，21b =， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=..……………4分（2）①直线AP的方程为2)=+y x ，求得点M的坐标为，点N的坐标为，直线PN 的斜率1=-k直线PN的方程为=-+y x ，.………………6分设左焦点F （）关于直线PN 的对称点为11(,)Q x y，则112=⎪=-⎪⎩y ，解得11⎧=⎪⎨=⎪⎩x y即Q ，. ………………8分所以直线PQ的斜率14=k 直线2PF的斜率24===+k 所以12=k k ，即点2,,P Q F 三点共线． ………………10分 ②直线PN 与椭圆E 相切于点P .证明如下： 设00(,)P x y ，又(2,0)A -，所以直线AP 的方程为00(2)2y y x x =⋅++， 令2x =，得0042y y x =+，即004(2,)2y M x +..………………12分 又(2,0)B ，N 为MB 的中点，所以002(2,)2yN x +于是直线PN 的方程为000022()2y y x y y x x x -+-=⋅--，即000020()4x yy x x y x =-+-.因为220014x y +=，所以220044x y -=-，所以000020()4x y y x x y y =-+-，整理得0044x xy y -=.………………14分由22001444x y y x x y y ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪=⎪⎩消去y 并整理得22220000(4)816160x y x x x y +-+-=，即220020x x x x -+=，此方程的根的判别式2200(2)40x x ∆=--=，所以直线PN 与椭圆E 相切 于点P .………………16分 19．（本小题满分16分） （1）'2()3f x x m =-+因为函数1)(=x x f 在处的切线垂直于直线210x y -+=所以'(1)2f =-，即32m -+=-，所以1m =；………………………3分 （2）'2()3f x x m =-+，当0m ≤时，'()0f x ≤恒成立，所以函数)(x f 的单调减区间为(,)-∞+∞，无增区间；………………………4分所以单调增区间为：( ………………………8分 （3）由（2）知)(x f 的极小值为(f ，令0x = 设方程0()()f x f x =的根为t ，则330011x mx t mt -++=-++，即22000()()0t x t tx x m -++-=，………………………10分 所以22000,t tx x m ++-=因为0()()f x f x =有两个相等实根0x ，所以22000t tx x m ++-=必有一根为0x ，………………………12分设另一个根为3t ，则300t x x +=-， 所以302t x =-，即12030,2t t x t x ===-，即3t =………………………14分 因为函数)(x f 在区间()2,1-上的极小值也是)(x f 的最小值，所以133⎧-<-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得332m ≤<所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23 ………………………16分20．（本小题满分16分） （1）因为213242,.(1)a a a a ==+又因为{}n a 是正项等差数列，故0d ≥所以2(22)(2)(33)d d d +=++，得2d =或1d =-(舍去) ，所以数列的通项公式2n a n =．………………………………………………4分（2） 因为(1)n S n n =+，122111111(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n b S S S n n n n n n ++=+++=++++++++，1111111223221n n n n n n =-+-++-+++++ 211112123123n nn n n n n n=-==++++++， 令1()2(1)f x x x x =+≥，则21()2f x x x'=-.当1x ≥时，()0f x '>恒成立， 所以()f x 在[1,)+∞上是增函数.故当1x =时，min [()](1)3f x f ==，即当1n =时，max 1[]6n b =， 要使对任意的正整数n ， 不等式n b k ≤恒成立，则须使max 1]6n k b =≥[， 所以实数k 的最小值为16．…………………………10分（3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以0d >，设,,r s i j c a c a ==其中,i j a a 是数列的项，c 是大于1的整数，,r s i j <<， 令t s r =-，则(1)s r r t c c c c -=-，{}n a故s r j i c c a a -=-是d 的整数倍，对c 的r kt +次幂r kt c +， 所以(1)(1)(1)(1)r kt r r kt r t k t c c c c c c c +--=-=-++，右边是d 的整数倍．所有r kt c +这种形式是数列{}n a 中某一项，因此有等比数列{}n b ，其中1,r t s r b c q c c -===． …………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准A.解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422111b a ，……………………2分所以⎩⎨⎧=+=-4222b a 所以⎩⎨⎧==24b a ．……………………4分（2）61214)det(=-=A ，……………………6分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32316161646261611A ．……………………10分 B ．解：设弦OM 中点为(,)N ρθ，则(2,)M ρθ，因为点M 在圆A 上，由圆A 的极坐标方程为6cos =ρθ，所以26cos =ρθ， 即3cos =ρθ， ……………………………4分 又点M 异于极点O ，所以0ρ≠，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为3cos (0)=≠ρθρ．…………………………6分即直角坐标方程为2230(0)+-=≠x y x x ……………………………………………10分C ．因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．.................................... 8分 又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥． (10)分22. 解:(1)设X 为射手在3次射击中击中目标的次数,则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.在3次射击中,恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49. ………………………………………5分(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (X ＝1)＝123212()339C =；P (X ＝2)＝23×13×23＝427； P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827；P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.X8分所以X 的数学期望()E X ＝2488861236927272727⨯+⨯+⨯+⨯=．………………10分23. 解：（1）将点(2,1)代入抛物线C ：22x py =的方程得，2p = 所以，抛物线C 的标准方程为24x y = ……………………4分 （2）设直线l 的方程为1y kx =-，又设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)A x y '-由2141y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得2440x kx -+= 则2121216160,4,4k x x x x k ∆=->⋅=+=所以22212121211244()4A Bx x y y x x k x x x x '---===--+ 于是直线A B ' 的方程为22212()44x x x y x x --=- ……………………8分所以，2212212()1444x x x x x y x x x --=-+=+当0x =时，1y =所以直线A B '过定点(0,1). ……………………10分。
江苏省南京市2020高三数学9月学情调研试题(含解析)
江苏省南京市2020届高三数学9月学情调研试题（含解析）一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1、函数()1f x x =-的定义域为 ▲【答案】[1,+∞)【解析】被开方式大于等于 0【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.2、已知复数z 满足(2)1z i i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 【答案】10【解析】z a bi =+，(2)13z i i a -=+⇒=，110b z =-⇒=， 【点评】考查复数的运算，属于基础题型.3、某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为 ▲ ．【答案】4【解析】n ＝2，p ＝4；n ＝3，p ＝9；n ＝4，p ＝16． 【点评】考查流程图，属于基础题型.4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为 ▲【答案】0.018【解析】0.1(0.0060.0060.010.0540.006)0.018x =-++++=【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型.5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ 【答案】23【解析】322333P ⨯==⨯ 【点评】考查组合，属于基础题型.6、把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损 耗），则该钢球的半径为 ▲ cm. 【答案】 3【解析】由圆柱和球的体积相等得：2343433R R ππ⨯⨯=⇒= 【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型.7、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．【答案】3【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得22tan 303b a b a c a a c⨯︒===，得e ==【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型. 8、若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为▲ ． 【答案】[﹣1，2]【解析】由周期为π，得2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-，x ∈[0，2π]时，()f x ∈[﹣1，2]【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 9、若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ．【答案】34【解析】由题意化简得：tan (3tan 1)0αα-=，解得tan 0α=或1tan 3α= ∵α为锐角，∴1tan 3α=，∴tan2α＝34【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 10、已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为 ▲ ． 【答案】x ＞1【解析】由题意得()f x 为奇函数，通过分离常数法得()f x 是R 上的增函数转换可得(3)(2)f x f x ->-，即32x x ->-，x ＞1【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题11、等差数列｛n a ｝的前n 项和记为Sn ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为 ▲ ． 【答案】20【解析】由等差数列，可得4399a =，∴433a =；5393a =，∴531a =；∴2d =-，139a = 240n S n n =-+，n S 最大值为20S ，所以k ＝20．【点评】此题考查的是对等差数列求n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题型.12、在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，则CP CA u u u r u u u r g的值为 ▲ ． 【答案】6【解析】∵1()2CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r∴222111cos 442CP CA CB CA CB ACB =++∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴21344CB CB =+-u u ur u u u r ，解得CB u u u r ＝2∴21111111()1642()62222222CP CA CA CB CA CA CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中.13、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[﹣2，2]【解析】设P(x ，y )，因为以P 为圆心，半径为1的圆与圆N 有公共点所以1≤22(2)(1)x y -++≤3，又P 在圆M ，可得22(2)(21)a a -++≤5 可得：实数a 的取值范围为﹣2≤a ≤2．【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，14、已知函数若函数有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(34，2) 【解析】作出()f x 与()g x 的图像由题知，(())g f x a =有6个解，令()f x t =当a ＜0时，()g t a =只有一个解，且t ＜﹣4，对应()f x t =只有一个解，舍去； 当0≤a ≤34时，()g t a =有两个解，且143t -≤≤-，210t -≤≤，结合图像可知()f x t = 没有6个解，舍去；当34＜a ＜2时，()g t a =有两个解，且1t ，2t ∈(﹣3，1)，结合图像可知()f x t =有6个解；当a ≥2时，()g t a =只有一个解，且t ＞1，对应()f x t =只有一个解，舍去． 综上得 a 的取值范围是34＜a ＜2．【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决本题的关键，综合性较大.二、解答题：本大题共5小题，共计90分。
2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试 数学试题
2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试 数学试题1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q ＝ ▲ ．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ▲ ．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为 ▲ ．5．记函数f (x )＝4－3x －x 2 的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则z =3x －2y 的最大值为 ▲ ．8所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 ▲（第4题）4cm 2.9．若函数f (x )＝A sin(x ＋)(A ＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f ()的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为 ▲ ． 11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是 ▲ ． 12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为 ▲ ． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值； （2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标16．如图,在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点,点F 在AC 上，且.AFACλ=（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED17．如图,有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿XX '的方向,乙沿Y Y '的方向,两人同时以4/km h 的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当t 为何值时,甲乙两人的距离最短,并求出此时两人的最短距离18．如图,,A B 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B的任意一点,直线l 是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1,2直线:4,l x =求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点,求椭圆C 的离心率19．已知数列{}n a 共有2k 项()*2,k N ≤∈数列{}n a 的前n 项的和为,n S 满足12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=-其中常数1p >（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若2212,k p -=数列{}n b 满足()()2121log 1,2,,2,n n b a a a n n n==求数列{}n b 的通项公式（3）对于（2）中的数列{},n b 记3,2n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的 20．设函数()()x f x ax e a R =+∈（1）若函数()f x 有且只有两个零点()1212,,x x x x <求实数a 的取值范围； （2）当1a =时,若曲线()f x 上存在横坐标成等差数列的三个点,,A B C ①证明：ABC ∆为钝角三角形；②试判断ABC ∆能否为等腰三角形,并说明理由2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试 数学试题1．{0，2} 2．7 3．16 4．－ 2 5．126．3 7． 6 8．189．－1 10．611．(－∞，2] 12．13 13．－43 14．[0，2]∪[3，8]15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值； （2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标【答案】()24125()342,1010B ⎛-+ ⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）因为点A 在单位圆上,点A 在第一象限，点A 的横坐标是3,5所以点A 的坐标为34,.55⎛⎫⎪⎝⎭根据三角函数定义有34cos ,sin 55x y r r θθ====，从而24sin 22sin cos .25θθθ==（2）因为点B 在单位圆上,,3COB πθ∠=+根据三角函数定义有11cos()cos sin()sin 3232x r y r ππθθθθθθ=+===+=+=因此点B 的坐标为34.1010⎛-+ ⎝⎭试题解析：（1）因为点A 在单位圆上,点A 在第一象限，点A 的横坐标是3,5所以点A 的坐标为34,.55⎛⎫⎪⎝⎭根据三角函数定义有34cos ,sin 55x y r r θθ====，从而24sin 22sin cos .25θθθ==（2）因为点B 在单位圆上,,3COB πθ∠=+根据三角函数定义有1314cos()cos sin()cos sin ,3221032210x r y r ππθθθθθθ-=+=-==+=+=因此点B 的坐标为.⎝⎭考点：三角函数定义，二倍角公式16．如图,在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点,点F 在AC 上，且.AFACλ=（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED【答案】()112λ=()2详见解析【解析】试题分析：（1）因为//EF 平面,ABD EF ⊂平面,ABC 平面ABD 平面ABC AB =,所以根据线面平行性质定理得：//.EF AB 因此1.2AF BE AC BC λ=== （2）,AB AC =点E 是BC 的中点,.AE BC ∴⊥同理由,DB DC =点E 是BC 的中点,.DE BC ∴⊥又AE ⊂平面,AED DE ⊂平面,AED AE DE E =,因此BC ⊥平面,AED 而BC ⊂平面,BCD 所以平面BCD ⊥平面AED .试题解析：（1）因为//EF 平面,ABD EF ⊂平面,ABC 平面ABD 平面ABC AB =,所以根据线面平行性质定理得：//.EF AB 因此1.2AF BE AC BC λ=== （2）,AB AC =点E 是BC 的中点,.AE BC ∴⊥同理由,DB DC =点E 是BC 的中点,.DE BC ∴⊥又AE ⊂平面,AED DE ⊂平面,AED AE DE E =,因此BC ⊥平面,AED 而BC ⊂平面,BCD 所以平面BCD ⊥平面AED . 考点：线面平行性质定理，面面垂直判定定理17．如图,有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿XX '的方向,乙沿Y Y '的方向,两人同时以4/km h 的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当t 为何值时,甲乙两人的距离最短,并求出此时两人的最短距离【答案】(1 ()124t km =当时,最短距离为2【解析】试题分析：（1）由余弦定理得：7AB ==，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为.（2）当3[0,)4t ∈时，4048247A B t ⨯-+，因此当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 当3[,+4t ∈∞）时，))c o s 120A B t t =-=-+，因此当3=4t 时，两人的最短距离为4km. 综上，当1=4t 时，两人的最短距离为2km.试题解析：（1）由余弦定理得：7AB ==，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为.（2）当3[0,)4t ∈时，4048247A B t ⨯-+，因此当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 当3[,+4t ∈∞）时，))c o s 120A B t t =-=-+，因此当3=4t 时，两人的最短距离为4km. 综上，当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 考点：余弦定理18．如图,,A B 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B的任意一点,直线l 是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1,2直线:4,l x =求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点,求椭圆C 的离心率【答案】()221143x y += ()2e =【解析】试题分析：（1）由题意得：2c 1,42a a c ==，解得：22,1,3,a c b ===因此椭圆C 的方程为221.43x y += （2）设(,)M x y ，则直线:()y AM y x a x a =++，因此22(,()).y a a P a c x a c++因为MB OP ⊥，所以22()1y a a x a c y a x a c++⋅=--，222c(1)1y x a a +=--，又2222222221,x y y b a b x a a+==--，因此222c (1)1,(1)(1)1b e e a a -+=--+=，210e e +-=，又01e <<，所以1.2e =试题解析：（1）由题意得：2c 1,42a a c ==，解得：22,1,3,a c b ===因此椭圆C 的方程为221.43x y += （2）设(,)M x y ，则直线:()y AM y x a x a =++，因此22(,()).y a a P a c x a c++因为MB OP ⊥，所以22()1y a a x a c y a x a c++⋅=--，222c(1)1y x a a +=--，又2222222221,x y y b a b x a a+==--，因此222c (1)1,(1)(1)1b e e a a -+=--+=，210e e +-=，又01e <<，所以1.2e =考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19．已知数列{}n a 共有2k 项()*2,k N ≤∈数列{}n a 的前n 项的和为,n S 满足12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=-其中常数1p >（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若2212,k p -=数列{}n b 满足()()2121log 1,2,,2,n n b a a a n n n==求数列{}n b 的通项公式（3）对于（2）中的数列{},n b 记3,2n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的和 【答案】（1）详见解析（2）()12121n n b k -=+-()22321k k T k =- 【解析】试题分析：（1）证明：因为()112,n n a p S +=-+当2n ≥时，()112n n a p S -=-+。
【精准解析】江苏省南京市金陵中学、2020届高三下学期第四次模拟考试数学试题
南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2020届高三年级第四次模拟考试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高； 锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高； 圆锥的侧面积S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则M N =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 2.已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则2z 的实部为________. 【答案】3- 【解析】 【分析】计算234z i =-+，得到复数实部.【详解】12z i =+，则()221214434i z i i =+=+-=-+，故2z 的实部为3-. 故答案为：3-.【点睛】本题考查了复数的乘方运算，求复数的实部，属于简单题.3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为________. 【答案】32 【解析】 【分析】直接根据高三学生所占比例求解即可.【详解】高一、高二、高三年级学生人数之比为9:8:8，所以从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应该从高三年级抽取的学生的人数为810032988⨯=++，故答案为：32.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了数据的处理能力，属于基础题. 4.运行如图所示的伪代码，输出的T 的值为________.【答案】16 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】当1T =时，3i =； 当134T =+=时，5i =； 当459T =+=时，7i =； 当9716T =+=时，98i =>. 所以输出16T =. 故答案为：16.【点睛】本题主要考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是常用的方法，属于基础题.5.从集合122,3,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭中取两个不同的数a ，b ，则log 0a b >的概率为________.【答案】13【解析】 【分析】从集合中选出两个不同的数组成有序数对，得出基本事件总数，再求出满足log 0a b >的基本事件个数即可得到概率.【详解】取两个不同的数a ，b ，记为有序数对(),a b ，所有基本事件为：()()1212111222212,3,2,,2,,3,2,3,,3,,,2,,3,,,,2,,3,,232322233332⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭共12种， 满足log 0a b >的情况为：()()12212,3,3,2,,,,2332⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，一共4种， 所以其概率为13. 故答案为：13【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，准确列举不重不漏.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为________.【解析】 【分析】先求双曲线的渐近线，再利用点到直线的距离公式求出b ，求出c 后可得离心率.【详解】双曲线()22210y x b b-=>的渐近线为0bx y ±=，设焦点坐标为()(),00c c ±>.3=.因为221c b =+，故3bc c =即3b =，所以c =，故离心率e ==.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．7.已知4cos sin 65παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则7sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.【答案】45- 【解析】 【分析】展开得到4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到7sin sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到答案.【详解】114cos sin cos cos cos sin 62265ππαααααααα⎛⎫⎛⎫+-=+-=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 74sin sin sin 6665πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且201010302013S S S S -=-，则数列{}n a 的公比为________.【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，根据20103020,S S S S --的关系可得20101030201S S S S q-=-，从而可求q 的值.【详解】因为1121201020a a a S S =++-+，()102122301112302200a a a q a a S a S =+++-+=++，故20101030201S S S S q -=-即101011=3q ，因为等比数列{}n a 为正项数列，故0q >，所以3q =. 故答案为：3.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .9.在平面直角坐标系xOy 中，过直线2y x =上一点P 作圆()()22:311C x y -+-=的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.若直线PA ，PB 关于直线2y x =对称，则线段PA 的长度为________.【答案】2 【解析】 【分析】根据直线PA ，PB 关于直线2y x =对称可得PC ⊥直线2y x =，从而得到圆心到直线2y x =的距离PC ，再根据勾股定理求解PA 即可.【详解】由题，因为直线PA ，PB 关于直线2y x =对称，故PC 与直线2y x =垂直.又PC 为圆心C 到直线20x y -=的距离，为()222315521⨯-==+-，故512PA =-=.故答案为：2【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，需要根据题意确定直线间的垂直关系，再根据勾股定理求解对应的线段长度，属于中档题.10.设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.32【解析】 【分析】 ，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值.【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54.如图所示，又V2＝1 3 h×πr2＝13πr3＝9π，即r＝3，所以l＝2r，即S2＝12l×2πr＝2πr2＝92π，所以12SS＝92π＝32故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.11.已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0x≥时，()25f x x x=-，则不等式()()2f x f x->的解集为________.【答案】37,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】求出函数()y f x=的解析式，分0x≤、20x x-<<、20x-≥三种情况解不等式()()2f x f x->，进而可求得该不等式的解集.【详解】由于函数()y f x=是定义在R上的奇函数，且当0x≥时，()25f x x x=-，当0x<时，0x->，()()()()2255f x x x x x f x-=--⨯-=+=-，此时，()25f x x x=--.综上所述，()225,05,0x x xf xx x x⎧--<=⎨-≥⎩.①当0x≤时，由()()2f x f x->，得()()222525x x x x---->--，解得32x>-，此时，32x-<≤；②当20xx-<⎧⎨>⎩时，即当02x<<时，由()()2f x f x ->得()()222525x x x x ---->-，整理得2230x x --<，解得13x ，此时02x <<；③当20x -≥时，即当2x ≥时，由()()2f x f x ->得()()222525x x x x --->-，解得72x <，此时722x ≤<. 综上所述，不等式()()2f x f x ->的解集为37,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：37,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.12.已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n N ∈，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.【答案】()41nn +【解析】 【分析】 根据函数的性质和周期得到函数图象，根据图象知，直线n y kx =与第1n +个半圆相切，则n k =，再利用裂项相消法求和得到答案.【详解】当02x ≤<时，()y f x ==，即()2211x y -+=，0y ≥；当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故n k ==，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，数列{}2nk 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41nn +.【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.13.设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠=_____________. 【答案】6 【解析】 【详解】由题设得tan tan tan 345A B Cλ===.再由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得5λ=，tan 5C =.故6cos cos AHC C ∠=-=. 故答案为66-14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为________.5 【解析】 【分析】将()()22sin sin S R B A B A =-+结合面积公式，正弦定理化简得到,A B 的关系式，再利用正弦定理sin sin a cA C=，表示边a 并化简，得sin sin()A a A B =+，再利用求出,A B 关系式，消去A ，转化成关于B 的函数，再求最值.【详解】由()()22sin sin S R B A B A =-+，则21sin 2sin()sin()2ab C R B A B A =-+， 又2sin ,2sin a R A b R B ==，得sin sin sin()A B B A =-，sin sin sin cos cos sin A B B A B A =-，得sin (sin cos )sin cos A B B B A +=，得sin tan sin cos B A B B =+，又sin sin a cA C=，得sin sin sin sin()A A a C B A ==+sin sin cos cos sin A B A B A =+tan sin cos tan A B B A=+， 代入sin tan sin cos B A B B =+，得1sin 2cos a B B=+，当sin 2cos B B +取最大值5时，a 的最小值为5. 故答案为：5 【点睛】本题考查了正弦定理，三角形面积公式，辅助角的应用，将最值问题转化成求函数的最值是解决问题的思路与关键，还培养了观察分析逻辑思维能力，难度较大.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB //CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1＝AB .求证：（1）AB //平面D 1DCC 1； （2）AB 1⊥平面A 1BC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 在四棱柱中得出AB ∥CD ，结合线面平行的判定定理，即可证得AB //平面D 1DCC 1； (2) 先证得AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，结合线面垂直的判定定理，即可得到AB 1⊥平面A 1BC . 【详解】(1) 在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB ⊄平面D 1DCC 1，CD ⊂平面D 1DCC 1，所以AB ∥平面D 1DCC 1.(2) 在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形， 又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形， 从而AB 1⊥A 1B ，又AB 1⊥BC ，而A 1B ∩BC ＝B ，A 1B 、BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC .【点睛】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 16.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5A =. （1）若ABC 的面积为3，求AB AC ⋅的值； （2）设2sin,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，求()sin 2B C -的值.【答案】（1）92AB AC ⋅=；（2）()sin 250B C -=-. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，利用三角形的面积公式可求得bc 的值，再利用平面向量数量积的定义可求得AB AC ⋅的值； （2）由//m n 结合二倍角公式可求得4B π=，求得sin 2C 和cos 2C 的值，再利用两角差的正弦公式可求得()sin 2B C -的值.【详解】（1）0A π<<，sin 0A ∴>，则4sin 5A ==， ABC 面积为114sin 3225ABC S bc A bc ==⨯⨯=△，152bc ∴=.因此，1539cos 252AB AC cb A ⋅==⨯=； （2）2sin,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，所以，2sin cos cos 22B B B =，即sin cos B B =，tan 1B ∴=.0B π<<，4B π∴=.223337sin 2sin 2sin 2cos 212cos 1242525C A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 334324cos 2cos 2cos 2sin 22sin cos 2425525C A A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯⨯=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，()()22247312sin 2sin 2cos 2sin 2422252550B C C C C π⎛⎫⎛⎫-=-=-=⨯--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题. 17.如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A （大小忽略不计）盛产海产品，在公路MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，3tan 4ABC ∠=，4ACM π∠=，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心.现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心.已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km .（1）求方案①的运输费用；（2）请确定P 点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？ 【答案】（1）20000元；（2）P 在点B 正西方向403BP =-千米. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得210250210AB ==，即可求得费用；（2）设00,,,222APM x x ABP πππθθ⎡⎤∠=--∈=∠⎢⎥⎣⎦，总费用()304002004030tan cos y x x =⨯+⨯-，00,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦利用导函数求解最值即可得解. 【详解】（1）4ACM π∠=，在钝角三角形ABC 中，334tan ,sin ,cos 455ABC ABC ABC ∠=∠=∠=，43sin sin 455BAC ABC π⎛⎫∠=-∠==⎪⎝⎭ 由正弦定理可得3sin sin 4BC AB BACπ=∠，105010AB ⨯==，所以方案①的运输费用为400×50=20000元； （2）由（1）可得点A 到公路所在直线的距离为350305km ⨯=，设00,,,222APM x x ABP πππθθ⎡⎤∠=--∈=∠⎢⎥⎣⎦， 易得0001sin cos ,2226πππθθθ⎛⎫-=>->⎪⎝⎭则总费用()304002004030tan cos y x x =⨯+⨯-，00,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22sin 16000cos x y x -⎛⎫'= ⎪⎝⎭，00,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 当00,,0,,,0662x y x y πππθ⎛⎫⎛⎫''∈<∈-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭单调递减，0,62x ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以当6x π=时，2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值为12800060008000⎛⎫- ⎪+=+，此时4030tan 40BP x =-=-所以P 在点B正西方向40BP =-千米.【点睛】此题考查解三角形知识与函数模型综合应用，利用解三角形和三角函数以及导函数知识求解实际应用问题，属于较难题目.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且右焦点坐标为()1,0.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A ，B 为椭圆的左，右顶点，C 为椭圆的上顶点，P 为椭圆上任意一点（异于A ，B 两点），直线AC 与直线BP 相交于点M ，直线BC 与直线AP 相交于点N ，求证：MC NC =.【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义，可得122||||4a PF PF =+=，又1c =，结合222b a c =-，即得解 （2）设(,)o o P x y ，分别表示直线,,,AP BP AC BC 的方程，联立得到,M N 点的坐标，继而证明0M N x x -=，即直线MN 斜率不存在，0CQ k =，即CQ MN ⊥，可得CMN ∆为等腰三角形，即得证【详解】（1）由题意，椭圆的两个焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -，记3(1,)2P - 故123524,222a PF PF a =+=+=∴=又2221,3c b a c =∴=-=故椭圆的方程为：22143x y +=（2）设(,)o o P x y，(2,0),(2,0),A B C - 故：,:(+222o o AP o o y y k AP y x x x ==++） ,:(222o o BP o o y y k AP y x x x ==---）::22BC y x AC y x =-+=联立计算可得：M N 由于M N x x -==22=22=由于00(,)P x y 在椭圆上，故2200143x y +=，即22003412x y +=故0M N x x -=，即直线MN 斜率不存在 令线段MN 中点为Q故122M N Q y y y +==12=212====故0CQk=CQ MN∴⊥故CMN∆为等腰三角形即得证MC NC=【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题19.已知函数()()1ln1xf x x a ax-=-⋅∈+R.（1）若2x=是函数()f x的极值点，求a的值；（2）令()()()1g x x f x=+⋅，若对任意ex≥，有()0g x>恒成立，求a的取值范围；（3）设m，n为实数，且m n>，求证：2e e e ee2m n m n m nm n+-+<<-.【答案】（1）94a=；（2）11eae+<-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）先求出()f x'，令()20f'=后可得a的值，注意检验.（2）参变分离后可得()1ln1x xax+<-对任意的x e≥恒成立，利用导数可得()()1ln1x xh xx+=-的最小值，从而可得a的取值范围.（3）原不等式等价于22e e1m n n mm n---<-且2e1e1m nm nm n--<--+，可通过构建新函数()2x x s x e e x -=--及()()()121x x t x x e e =+--，再利用导数可证当0x >时，()()0,0s x t x >>，从而可得原不等式成立.【详解】（1）()()2121a f x x x '=-+，因为2x =是函数()f x 的极值点，故()20f '=即94a =， 又当94a =时，()()()()()()2222192122121x x x x f x x x x x +---'==++， 当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>， 故2x =是函数()f x 的极小值点， 综上，94a =. （2）()()()1ln 1g x x x a x =+--，故()0g x >对任意的x e ≥恒成立等价于：()1ln 1x x a x +<-对任意的x e ≥恒成立.令()()1ln 1x x h x x +=-，x e ≥，则()()()()21ln 111ln 1x x x x x h x x ⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭'=-()212ln 1x x x x --=-， 令()12ln u x x x x =--，则()()2221121x u x x x x-'=+-=， 当x e ≥时，()0u x '>，故()u x 为[),e +∞上的单调增函数， 所以()()110u x u e e e≥=-->， 故x e ≥时，()0h x '>，故()h x 为[),e +∞上的单调增函数， 所以()()min 11e h x h e e +==-，故11e a e +<-. （3）要证2e e e e e2m n m n m nm n +-+<<-，因为20,e e 0n m n +>>，故即证22ee 1m n n m m n--->-且e 1e 12m n m n m n --+<--， 即证22ee1m n n m m n--->-且2e 1e 1m n m n m n --<--+.令()2xxs x e ex -=--，0x >，则()2x x s x e e -'=+-.因为0x >，1x e ∴>，所以2x x e e -+>即()0s x '>， 所以()s x 为()0,∞+上的增函数，故当0x >时，有()()00sx s >=.令2m n x -=，则0x >，故()220m n n m e e m n ----->即22e e 1m nn mm n--->-. 令()()()121xxt x x e e =+--，0x >，则()()11xt x x e '=-+，故()xt x xe ''=，当0x >时，()0t x ''>，故()t x '为()0,∞+上的增函数，故当0x >时，有()()00t x t ''>=，所以()t x 为()0,∞+上的增函数，故当0x >时，有()()00t x t >=， 令x m n =-，则有()()()1210m nm n m n ee ---+-->，也就是2e 1e 1m n m n m n --<--+. 综上，原不等式恒成立.【点睛】本题考查函数的极值、含参数的函数的单调性以及函数不等式的恒成立，利用极值求参数的值时，注意检验，对于多变量的不等式的恒成立的问题，要注意利用不等式的结构特点将其转化为一元函数不等式的恒成立问题，后者可利用导数来证明.20.若存在常数m ∈R ，使对任意的*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列. （1）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S .若{}n S 是()1Z 数列，求1a 的取值范围；（2）已知数列{}n b 各项均为正数，记数列{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}2n b 的前n 项和为n T ，且2*34,n n n T R R n =+∈N .①求证：数列{}n b 是等比数列；②设()1n n nn c b b λλ-=+∈R ，试证明：存在常数m ∈R ，对于任意的[]2,3λ∈，数列{}n c 都是()Z m 数列.【答案】（1）12a ≥-；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出()211n n n S a =+-，通过1n n S S +≥恒成立，即可求解；（2）①由题求出首项，根据234n n n T R R =+，211134,2,n n n T R R n n N ---≥+∈=，两式相减，得出递推关系即可得证；②求出{}n c 通项公式，根据定义建立不等式求解最值. 【详解】（1）由题可得：()211n n n S a =+-，{}n S 是()1Z 数列，1n n S S +≥恒成立，()()()()22111111n a n n a n ++-+≥+-对任意的*n ∈N 恒成立，12a n ≥-对任意的*n ∈N 恒成立，所以12a ≥-；（2）①由题：234n n n T R R =+，211134,2,n n n T R R n n N ---≥+∈=，两式相减得：2221,234n n n n n b R R b -+-≥=，()21,342n n n n n b R R b n b -++≥=，数列{}n b 的各项均为正数，所以13,24n n n b R n R -=++≥，1123,34n n n b R R n ---=+≥+，两式相减得： 113,33n n n n b b b b n --=+≥-，1,32n n b b n -≥=，当n =1时，2*34,n nn T R R n =+∈N 可得22111*34,b b b n =+∈N ，数列{}n b 的各项均为正数， 所以12b =当n =2时，13,24n n n b R n R -=++≥可得22122343224,b R R b b =++=+++， 所以2b =4综上可得：数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列；②由①可得：2nn b =，1122n n n nnn n c b b λλ--=+=+，1n n c mc +≥，[]2,3λ∈对任意的*n N ∈恒成立，[]2,3λ∈，1202n n nn c λ-=+>，()1111122,122n n n n nnn c m m n c λλ++++-+≥≥-+，对于任意m <0该不等式恒成立，即存在常数,0m m ∈<R ，对于任意的[]2,3λ∈，数列{}n c 都是()Z m 数列.【点睛】此题考查数列综合应用，证明数列是等比数列，根据数列不等式求参数范围，考查综合能力，属于偏难题目.数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A （选修4-2矩阵与变换21.已知,b c ∈R ，向量123e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵12b M c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值4的一个特征向量.求矩阵M 及它的另一个特征值.【答案】1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1-.【解析】 【分析】利用矩阵乘法规则可求1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，然后利用特征多项式求出特征值.【详解】由题意的114Me e =，即12238232612b b c c +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2,3b c ==，即矩阵1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.矩阵M 的特征多项式为()12()1(2)632f λλλλλ--==-----，令()0f λ=，得矩阵M 的另一个特征值为1λ=-.【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征值，明确矩阵运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养，属于中档题.B （选修4-4极坐标与参数方程）22.在极坐标系中，设直线l过点A ，)6π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值． 【答案】2a = 【解析】 【分析】先求得直线l 的普通方程，把曲线:cos (0)C a a ρθ=>的极坐标方程化为直角坐标方程．因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，可得圆心到直线的距离|3|222aa -=，由此解得a 的值．【详解】依题意，点A ，)6π、(3,0)B 的直角坐标为3(2A，(3,0)B ， 从而直线l的普通方程为30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>的直角坐标方程为222()24a a x y -+=．因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|3|222aa -=，解得2a =（负值已舍）． 【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．C （选修4-5不等式选讲）23.已知a ，b ，c 为正实数，且5a b c ++=，求2222a b c ++的最小值. 【答案】10 【解析】【分析】利用柯西不等式可求2222a b c ++的最小值. 【详解】由柯西不等式可得())()22222111112522a b a b a b c c ⎡⎛⎫++≥⨯+⨯+=++=⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦++，即222210a b c ++≥，当且仅当112a b ==即2,2,1a b c ===时等号成立，故2222a b c ++的最小值为10.【点睛】本题考查柯西不等式在最值中的应用，注意把目标代数式配成平方和的乘积形式以便于使用柯西不等式，求最值时要验证等号是否成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否合格相互独立.（1）记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，()f p 取最大值时对应的产品为不合格品概率为0p ，求0p ；（2）现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）0110p =；（2）分布列见解析；()39E X =. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布概率公式可得()f p ，利用导数可确定()f p 单调性，从而得到最大值点； （2）首先确定X 所有可能的取值和对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率()()1822201f p C p p =⋅⋅-，()()()()1817222202021181f p C p p C p p '∴=⋅⋅-+⋅⋅--()()()()171722222020121181220C p p p p C p p p ⎡⎤=---=--⎣⎦，令()0f p '=，又01p <<，解得：110p =， ∴当10,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当1,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<；()f p ∴在10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,110⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ∴当110p =时，()f p 取得最大值，即0110p =. （2）由题意得：X 所有可能的取值为：30，60，90，120，()3031729301101000P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭；()2131124360110101000P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭； ()223112790*********P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33311120101000P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭； X ∴的分布列为：∴数学期望()729243271306090120391000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查二项分布概率问题的求解以及服从于二项分布的随机变量的分布列与数学期望的求解问题；解题关键是能够利用导数的知识确定关于概率的函数的单调性，进而确定最值点.25.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式. （1）根据恒等式()()()()*111,m nmnx x x m n ++=++∈N 两边p x 的系数相同直接写出一个恒等式，其中,,p p m p n ∈≤≤N ；（2）设*,,,,m n p p m p n ∈∈≤≤N N ，利用上述恒等式证明：()1112C CC C 1C C pp i p i p pn m n n m m n m i i --+-+=--=-∑. 【答案】（1）0112200ppp p p pip i m nm n m nm nmnm n i CC C C CC CC C C C ---+==++++=∑，其中,,p p m p n ∈≤≤N ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理系数的性质，左右两边分别表示出p x 的系数即可. （2）证明左边等于右边，用上1211C CC C C C ppip i i p i p nmn m m i i n i i ---===-∑∑，11i i n n iC nC --=，000p pn m n m C C C C =-，（1）的结果以及2101pp p i p ip p i n mn m i m i i n n mC CC C C C C C --==-++=∑∑逐步推证即可. 【详解】解：（1）()()()()*111,m nmnx x x m n ++=++∈N ，等式左边p x 的系数为pm n C +，右边p x 的系数这样产生：()1mx +中的1与()1nx +中的p x 的系数的pn C 的积，即0p mn C C ， ()1mx +中x 的系数1m C 与()1nx +中1p x -的系数的1p n C -的积，即11p mn C C -， ()1mx +中2x 的系数2m C 与()1nx +中2p x -的系数的2p n C -的积，即22p mn C C -， ()1mx +中3x 的系数3m C 与()1nx +中3p x -的系数的3p n C -的积，即33p mn C C -，()1mx +中p x 的系数p m C 与()1nx +中1的系数的0n C 的积，即0p mn C C ， 所以0112200ppp p p pip i m nm n m nm nmnm n i CC C C CC CC C C C ---+==++++=∑. （2）当*,i n ∈N ，且i n 时，11!(1)!!()!(1)!()!i n in n n n iC i nC i n i i n i ---=⋅==---，由（1）得10112211110111111p p p p p pp i i m m n m n m n mn mn n i CC CC CC CCCCC -----+-------=-=++++=∑ 左边=11111222(1)pppp i p i p i p i i p in m n nmm n nmn m i i i C CC Ci nCiC CC C -----+-+-===--=-+∑∑∑， 111112ppi i p p i p p im n nmn mn m i i nCiC CC CC C ----+-===-++∑∑，1101101112ppp i p i p p p p im n n mn m i n mnmn m i i nCnC CC C C CC C C C -----+--===-++-+∑∑，11111ppp i p i i p i pm n n mn m m i i nCn C CC C C ----+--===-+-∑∑， 1111p p p p p pm n m n m n m m n m nC nC C C C C --+-+-++=-+-=-=右边，所以()1112C CC C 1C C pp i p i p pn m n n m m n m i i --+-+=--=-∑. 【点睛】考查二项式定理以及“算两次”思想的应用，对学生的推理论证能力以及运算求解能力是一个挑战；难题.。
2020年9月江苏省南京市普通高中2021届高三毕业班学情调研考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省南京市普通高中2021届高三毕业班上学期学情调研考试数学试题(解析版)2020年9月注意事项：1．本试卷共6页,包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分,考试时间为120分钟．2．答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时,选出每小题的答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内,在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0},B＝{x|1＜x＜3 },则A∩B＝A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}解析：集合A＝{x|x2－x－2＜0}={x|-1<x<2},A∩B＝{x|1＜x＜2} ,答案选C. 2．已知(3－4i)z＝1＋i,其中i为虚数单位,则在复平面内z对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：z=()()()()25714343431431iiiiiii+-=+-++=-+,z对应的点位于第二象限,答案选B.3．已知向量a ,b 满足|a |＝1,|b |＝2,且|a ＋b |＝ 3,则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3解析：|a ＋b |2=|a |2+2a ·b +|b |2＝5+4cos θ=3,解得[]πθθ，，021cos ∈-=,所以32πθ=,答案选D. 4．在平面直角坐标系xOy 中,若点P (43,0)到双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4C ． 2D ． 3解析：双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐进线方程为3x ±ay=0,则点P 到该渐进线方程的距离为6333422=+⋅=a d ,解得a 2=3,所以椭圆的离心率为2393=+==a c e ,故答案选A.5．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．若2b cos C ≤2a －c ,则角B 的取值范围是A ．(0,π3]B ．(0,2π3]C ．[π3,π) D．[2π3,π) 解析：因为2b cos C ≤2a －c ,所以由余弦定理可得abc b a b 22222-+⋅≤2a －c ,化简得ac ≤a 2+c 2－b 2,即21cos ≥B ,因为()π，0∈B ,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈30π，B ,答案选A. 6．设a ＝log 4 9,b ＝2－1.2,c ＝(827)－13,则 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 解析：由题意b ＝2－1.2<02=1,a ＝log 4 9=log 2 3=log 2 9＞23log 222=,c ＝(827)－13＝。
苏教版江苏省南京市玄武区高三(上)9月调研数学试卷押题卷解析版
2019-2020学年苏教版江苏省南京市玄武区高三（上）9月调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，则复数z的实部是．2．（5分）设集合A＝{3，6}，B＝{2≤x＜4}，则A∩B＝．3．（5分）函数y＝ln（x2﹣4）+的定义域为．4．（5分）已知向量的夹角为，＝．5．（5分）函数y＝f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣ax（a∈R），且f（2）＝6，则a＝．6．（5分）曲线y＝x2+在点（1，2）处的切线方程为．7．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=3x﹣2y的最大值为．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为cm2．9．（5分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f（﹣π）的值为．10．（5分）记等差数列{a n}前n项和为S n．若a m=10，S2m﹣1=110，则m的值为．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上为单调增函数．若f（﹣1）=﹣2，则满足f（2x﹣3）≤2的x的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，=λ．若•=﹣，则实数λ的值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）=若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，E是BC的中点，求证：（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）A1C∥平面AB1E．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=．（Ⅰ）若c=2a，求的值；（Ⅱ）若C﹣B=，求sinA的值．17．（14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f（x）=t1+t2．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）当x等于多少时，f（x）取得最小值？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．19．（16分）已知函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为3，求a的值；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）+f（﹣x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），记h（a）=M（a）﹣m（a），求h（a）的最小值．20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n=S n2+2S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，求k和t的值．【选做题】在21,22,23,24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA=DC．求证：CA=3CB．[选修4-2：矩阵与变换]22．设二阶矩阵A=．（Ⅰ）求A﹣1；（Ⅱ）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C′：6x2﹣y2=1，求曲线C 的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．解不等式：|x﹣2|+|x+1|≥5．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1．（Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的余弦值．26．袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X 的概率分布与数学期望．2019-2020学年江苏省南京市高三（上）9月调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．7．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=3x﹣2y的最大值为6．【解答】解：作出实数x，y满足条件，对应的平面区域如图：由z=3x﹣2y得y=x﹣，平移直线y=x﹣，经过点A时，直线y=x﹣的截距最小，此时z最大．由，解得A（4，3），此时z max=3×4﹣2×3=6，故答案为：6．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，设正方形的边长为acm，则V=πa2•a=27π，解得a=3cm，∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f（﹣π）的值为﹣1．【解答】解：有函数的图象可得A=2，再根据T=•=π﹣，求得ω=．由于点（π，2）在函数图象上，可得：2=2sin（×π+φ），可得：×π+φ=2kπ+，k∈Z，求得φ=2kπ﹣，k∈Z，又由于|φ|＜π，可得：φ=﹣，故函数的解析式为f（x）=2sin（x﹣），可得：f（﹣π）=2sin（﹣π﹣）=﹣2sin=﹣1．故答案为：﹣1．10．（5分）记等差数列{a n}前n项和为S n．若a m=10，S2m﹣1=110，则m的值为6．【解答】解：由a m=10，∴2a m=a1+a2m﹣1=20，==10（2m﹣1）=110，∴S2m﹣1解的m=6，故答案为：611．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上为单调增函数．若f（﹣1）=﹣2，则满足f（2x﹣3）≤2的x的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上为单调增函数，则在f（x）在[0，+∞）上也是增函数，故函数f（x）R上也是增函数；又由f（﹣1）=﹣2，则f（1）=﹣f（﹣1）=2，则f（2x﹣3）≤2⇒2x﹣3≤1，解可得x≤2，即不等式的解集为（﹣∞，2]；故答案为：（﹣∞，2]．12．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，=λ．若•=﹣，则实数λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，=λ=λ（﹣），∴•=（+）•=（+λ（﹣））•（﹣）=[（1﹣λ）+λ]•（﹣）=（1﹣2λ）•﹣（1﹣λ）+λ=（1﹣2λ）×3×2×cos120°﹣（1﹣λ）×32+λ•22=19λ﹣12=﹣，解得λ=．故答案为：．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1关于x轴的对称图形是：圆D：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆D上存在点N在直线kx+y+3=0上，又直线kx+y+3=0过定点P（0，﹣3），∴直线与圆D相切时，有d=r，即=1，解得k=﹣或k=0，∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数f（x）=若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为[0，2]∪[3，8] ．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：（1）当x＞0时，f（x）≤f（1）=3，∵存在唯一的整数x，使得＞0成立，∴a＜f（x）只有1个整数解，又f（2）=0，∴0≤a＜3．（2）若x＜0，则f（x）≥f（0）=0，∵存在唯一的整数x，使得＞0成立，∴a＞f（x）只有1个整数解，又f（﹣1）=2，f（﹣2）=8，∴2＜a≤8．∴当0≤a≤2或3≤a≤8时，＞0只有1个整数解．故答案为：[0，2]∪[3，8]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，E是BC的中点，求证：（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）A1C∥平面AB1E．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．∵AE⊂平面ABC，∴CC1⊥AE．∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC．∵BC⊂平面B1BCC1，CC1⊂平面B1BCC1，且BC∩CC1=C，∴AE⊥平面B1BCC1．∵AE⊂平面AB1E，∴平面AB1E⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）连接A1B，设A1B∩AB1=F，连接EF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，∴F为A1B的中点．∵E是BC的中点，所以EF∥A1C．∵EF⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E，∴A1C∥平面AB1E．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=．（Ⅰ）若c=2a，求的值；（Ⅱ）若C﹣B=，求sinA的值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为cosB=，所以：．因为：c=2a，所以：=，即=，所以：=，由正弦定理得，所以：．（Ⅱ）因为cosB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=．又0＜B＜π，所以sinB==，所以sin2B=2sinBcosB=2×=．因为C﹣B=，即C=B+，所以A=π﹣（B+C）=﹣2B，所以sinA=sin（﹣2B）=sin cos2B﹣cos sin2B=﹣（﹣）×=．17．（14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f（x）=t1+t2．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）当x等于多少时，f（x）取得最小值？【解答】解：（I）∵t1=，t2==．∴f（x）=t1+t2=+，定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．（II）f（x）=1000=10[x+（100﹣x）]=10（10+）≥10×（10+2）=10×（10+6）=160．当且仅当x=75人时，函数f（x）取得最小值160小时．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．【解答】（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，所以a2=4b2．又因为椭圆C过点（1，），所以，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设P（x0，y0），﹣2＜x0＜2，x0≠1，则．因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N（2﹣x0，﹣y0），所以2﹣x0=m．由A（﹣2，0），P（x0，y0），可得直线AP的方程为y=（x+2），令x=m，得y=（m+2），即M（m，（m+2））．因为PB⊥MB，所以k PB•k MB=﹣1，所以k PB•k MB=•=﹣1，即=﹣1．因为．所以=1．因为x0=2﹣m，化简得3m2﹣10m+4=0，解得m=．因为m＞2，所以m=19．（16分）已知函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为3，求a的值；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）+f（﹣x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），记h（a）=M（a）﹣m（a），求h（a）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，故k=f′（0）=6a，由6a=3，解得：a=；（Ⅱ）f（x）+f（﹣x）=﹣6（a+1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立，故﹣（a+1）≥，g（x）=，x＞0，则g′（x，令g′（x）=0，解得：x=，故g（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（x）max=g（）=，故﹣（a+1）≥，故a≤﹣1﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣1﹣]；（Ⅲ）f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a），f（1）=3a﹣1，f（2）=4，令f′（x）=0，解得：x=1或x=a，①当1＜a≤时，x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，a）递减，x∈（a，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，2）递增，∵f（1）≤f（2），故M（a）=f（2）=4，m（a）=f（a）=﹣a3+3a2，故h（a）=M（a）﹣m（a）=a3﹣3a2+4，∵h′（a）=3a（a﹣2）＜0，∴h（a）在（1，]递减，故a∈（1，]时，h（a）=h（）=；最小值②当＜a＜2时，x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，a）递减，x∈（a，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，2）递增，∵f（1）＞f（2），∴M（a）=f（1）=3a﹣1，m（a）=f（a）=﹣a3+3a2，故h（a）=M（a）﹣m（a）=a3﹣3a2+3a﹣1，∵h′（a）=3（a﹣1）2≥0，故h（a）在（，2）递增，故a∈（，2）时，h（a）＞h（）=；③当a≥2时，x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）递减，故M（a）=f（1）=3a﹣1，m（a）=f（2）=4，故h（a）=M（a）﹣m（a）=3a﹣5，故h（a）在[2，+∞）上的最小值是h（2）=1，=．综上，h（a）最小值20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n=S n2+2S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，求k和t的值．【解答】解：（I）由3T n=S n2+2S n，n∈N*．n=1时，3T1=+2S1，可得≠0，解得a1=1．（II）由3T n=S n2+2S n，n∈N*．n≥2时，+2S n﹣1，相减可得：=S n2﹣+2a n，∴3a n=S n+S n﹣1+2．∴3a n+1=S n+1+S n+2，可得：3a n+1﹣3a n=a n+1+a n，化为：a n+1=2a n．n=1时，，可得+2（1+a2），a2＞0，解得a2=2，满足上式．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n=2n﹣1．（III）由（II）可得：S n==2n﹣1．由S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，∴，可得（2k﹣2）2=2t ﹣2k．化为：2t=（2k）2﹣3•2k+4，可得：2t﹣2=（2k﹣1）2﹣3•2k﹣1+1．（*）k=1时不满足题意，∴k≥2．k=2时，2t=8，解得t=3．k≥3时，t=2时，化为2k=3，不成立舍去．t≥3时，（*）左边为偶数，右边为奇数，不成立．综上可得：t=3，k=2．【选做题】在21,22,23,24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA=DC．求证：CA=3CB．【解答】证明：连接OD，因为DA=DC，所以∠DAO=∠C．在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，从而∠DOC+∠C=90°，即2∠C+∠C=90°，故∠C=30°，所以OC=2OD=2OB，所以CB=OB，所以CA=3CB．[选修4-2：矩阵与变换]22．设二阶矩阵A=．（Ⅰ）求A﹣1；（Ⅱ）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C′：6x2﹣y2=1，求曲线C 的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A=，∴detA==﹣2，A*=，∴=．（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（x，y），在矩阵A对应的变换作用下得到点P （x′，y′），则==，∴∵（x′，y′）在曲线C′上，∴6x′2﹣y′2=1，代入6（x+2y）2﹣（3x+4y）2=1，化简得8y2﹣3x2=1，∴曲线C的方程为8y2﹣3x2=1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．【解答】解：由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为x﹣y+1=0．由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=1．因为直线l与圆C相切，所以=1，解得a=1±．所以实数a的值为1±．[选修4-5：不等式选讲]24．解不等式：|x﹣2|+|x+1|≥5．【解答】解：（1）当x＜﹣1时，不等式可化为﹣x+2﹣x﹣1≥5，解得x≤﹣2；（2）当﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣x+2+x+1≥5，此时不等式无解；（3）当x＞2时，不等式可化为x﹣2+x+1≥5，解得x≥3；所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1．（Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．∵AP=AB=AD=1，∴A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）．设C（1，y，0），则=（1，0，﹣1），=（﹣1，1﹣y，0）．∵直线PB与CD所成角大小为，∴|cos＜＞|=||=，即=，解得y=2或y=0（舍），∴C（1，2，0），则BC的长为2；（Ⅱ）设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z）．∵=（1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），∴，令x=1，则y=1，z=1，=（1，1，1）．∵平面PAD的一个法向量为=（1，0，0），∴cos＜＞==，∴二面角B﹣PD﹣A的余弦值为．26．袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X 的概率分布与数学期望．【解答】解：（1）两个球颜色不同的情况共有⋅42=96（种）．（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，第21页（共21页）P （X=3）==．所以随机变量X 的概率分布列为：X0 1 2 3 P所以E （X ）=0×+1×+2×+3×=．。
江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(含解析)
3 )，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO． 2
（1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
3
19．（本题满分 16 分）
已知函数
f
(x)
=
x2
ex − ax + a
的离心率为
．
9．若正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A—B1CD1 的体积为
．
1
10．已知函数
f
(x)
=
x
f
+ 2, x (−x),
0 x
0
，
g
(
x)
=
f
(x − 2) ，若 g(x −1) 1 ，则实数 x
的取值
范围为
．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝2 上两个动点，且 OA ⊥ OB ，若 A，
(a R)，其中
e
为自然对数的底数．
（1）若 a＝1，求函数 f (x) 的单调减区间；
（2）若函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (2) f (a) ，求 a 的取值范围；
（3）证明：对任意 a (2，4)，曲线 y = f (x) 上有且仅有三个不同的点，在这三点处
的切线经过坐标原点．
20．（本题满分 16 分）
)部分图象如图所示，则
f(
)
2
2
2
的值为
．Leabharlann 7．已知数列an 为等比数列，若 a1 = 2 ，且 a1 ，a2 ，a3 − 2 成等差数列，则an 的前 n 项
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南京市2020届高三年级学情调研卷数 学 2019. 09一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1、函数()1f x x =-的定义域为 ▲【答案】[1,+∞)【解析】被开方式大于等于 0【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.2、已知复数z 满足(2)1z i i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 【答案】10【解析】z a bi =+，(2)13z i i a -=+⇒=，110b z =-⇒=， 【点评】考查复数的运算，属于基础题型.3、某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为 ▲ ．【答案】4【解析】n ＝2，p ＝4；n ＝3，p ＝9；n ＝4，p ＝16． 【点评】考查流程图，属于基础题型.4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为 ▲【答案】0.018【解析】0.1(0.0060.0060.010.0540.006)0.018x =-++++=【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型.5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可 能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ 【答案】23【解析】322333P ⨯==⨯ 【点评】考查组合，属于基础题型.6、把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损 耗），则该钢球的半径为 ▲ cm. 【答案】 3【解析】由圆柱和球的体积相等得：2343433R R ππ⨯⨯=⇒= 【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型.7、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】233【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得223tan 303b a b a c a a c⨯︒===，得222313b e a =+=【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型. 8、若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为 ▲ ．【答案】[﹣1，2]【解析】由周期为π，得2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-，x ∈[0，2π]时，()f x ∈[﹣1，2] 【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 9、若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ． 【答案】34【解析】由题意化简得：tan (3tan 1)0αα-=，解得tan 0α=或1tan 3α= ∵α为锐角，∴1tan 3α=，∴tan2α＝34【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 10、已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为 ▲ ． 【答案】x ＞1【解析】由题意得()f x 为奇函数，通过分离常数法得()f x 是R 上的增函数转换可得(3)(2)f x f x ->-，即32x x ->-，x ＞1【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题11、等差数列｛n a ｝的前n 项和记为Sn ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为 ▲ ． 【答案】20【解析】由等差数列，可得4399a =，∴433a =；5393a =，∴531a =；∴2d =-，139a =240n S n n =-+，n S 最大值为20S ，所以k ＝20．【点评】此题考查的是对等差数列求n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题型. 12、在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，则CP CA 的值为 ▲ ． 【答案】6 【解析】∵1()2CP CA CB =+ ∴222111cos 442CP CA CB CA CB ACB =++∠∴21344CB CB =+-，解得CB ＝2∴21111111()1642()62222222CP CA CA CB CA CA CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯-=【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中. 13、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[﹣2，2]【解析】设P(x ，y )，因为以P 为圆心，半径为1的圆与圆N 有公共点所以1≤22(2)(1)x y -++≤3，又P 在圆M ，可得22(2)(21)a a -++≤5可得：实数a 的取值范围为﹣2≤a ≤2．【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，14、已知函数若函数有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(34，2) 【解析】作出()f x 与()g x 的图像由题知，(())g f x a =有6个解，令()f x t =当a ＜0时，()g t a =只有一个解，且t ＜﹣4，对应()f x t =只有一个解，舍去； 当0≤a ≤34时，()g t a =有两个解，且143t -≤≤-，210t -≤≤，结合图像可知()f x t = 没有6个解，舍去；当34＜a ＜2时，()g t a =有两个解，且1t ，2t ∈(﹣3，1)，结合图像可知()f x t =有6个解；当a ≥2时，()g t a =只有一个解，且t ＞1，对应()f x t =只有一个解，舍去． 综上得 a 的取值范围是34＜a ＜2．【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决本题的关键，综合性较大. 二、解答题：本大题共5小题，共计90分。
15、（本小题满分14分） 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin2B ＝2bsinA. （1）求B 的大小；(2）若cosC＝55，求sin（A－C)的值．【点评】本题主要考察了解三角形及三角恒等变换的应用。
第一问主要考察了利用正弦定理对三角形进行边角互化，第二问主要考察了和差角的恒等变换，本题作为解答题的第一题，难度较低。
16.（本小题满分14分）如图，在三梭柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，E，F分别为AB，A1B1的中点．(1）求证：AF∥平面B1CE；(2）若A1B1⊥B1C，求证：平面B1CE⊥平面ABC.【点评】本题主要考查立体几何当中线面平行的证明以及面面垂直的证明。
第一问难度比 较低，直接通过平行四边形得到线线平行来证线面平行；第二问则是用线线垂直来推出线 面垂直，从而得到最终要求的面面垂直。
本体的难度适中，需要学生对立体几何部分的平 行以及垂直判定定理比较熟悉。
17、（本小题满分14分）随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路 运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p(t) （单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值． （2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．【点评】本题考的是函数型应用题。
第一问除了考察一元二次不等式之外还要注意t 的取值范围才能得出正确答案；第二问要分段讨论，考察基本不等式和观察法判断函数单调性，总体难度偏低。
18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ， B ，点（2a，3e)和(b ，3e ）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． (1）求椭圆的标准方程；(2)若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交 于点P ，Q ，求证：OB PQ 为定值．【点评】考察直线与椭圆综合问题，第一问利用点在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程求 解；第二问考查定值问题，设出点坐标，将所求定值的表达式写出，化简求值，难度一 般，思路较为清晰，但计算量较大。
19.（本小题满分16分） 已知函数(1)若曲线()y f x =在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实教a ，b 的值． (2)若a ＝0，且()f x ≤－2对一切正实数x 值成立，求实数b 的取值范围．(3)若b ＝4，求函数()f x 的单调区间．【点评】第一问考察切线方程，根据函数值和导数值列出方程组求解即可，较为基础；第 二问恒成立问题既可以通过分离参数法求解，也可以通过整体构造函数进行求解，较为简 单；第三问属于含参的分类讨论问题，题型常规，难度适中。
20.（本小题满分16分）已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为Sn ，且数列｛n S n ｝是以12为公差的等差数列· (1）求数列｛n a ｝的通项公式；(2）设2n n n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为Tn ，①求证：数列｛n T n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值．南京市2020届高三年级学情调研卷数学附加题2019.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2.本试卷共40分，考试时间30分钟．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试从的答案写在等题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵A＝(1)求A－1；(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C'：x2一3y2＝1，求曲线C的方程．【点评】考查矩阵的运算和方程的求解，该题属于基础题型。
B.选修4－4．坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy中，直线l：(t为参数，a为常数），曲线C:(θ为参数）．若曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3，求a 的值．【点评】考察极坐标参数方程的转化，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离，难度较 小。