优品课件之高考数学第一轮圆锥曲线基础知识点复习教案
高三数学一轮复习教案：圆锥曲线
圆锥曲线复习【复习指导】1、掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质；2、圆锥曲线的应用。
【重点难点】重点：椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质难点：圆锥曲线的应用【教学过程】一、知识梳理1、焦点在x轴上的椭圆、双曲线、抛物线的定义、图像和性质：同样，类比得到焦点在y轴的椭圆、双曲线、抛物线的图像和性质。
xyF 1F 2O1M小试牛刀：（1）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离（ ）A 2B 3C 5D 7（2）已知双曲线19-2522=y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为12，则点P 到另一个焦点的距离（ ）A 2B 22C 2或22D 4或22（3）如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）A.（0，+∞）B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)（4）方程12--422=+t y t x 所表示的曲线为C ，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则4t 2<<；②若曲线C 为双曲线，则2t 4t <>或； ③曲线C 不可能为圆；④若曲线C 为焦点在y 轴的双曲线，则4t >。
以上命题正确的是 。
（5）抛物线的焦点是双曲线369-422=y x 的左顶点，则抛物线的标准方程为 。
二、典例示范类型一 圆锥曲线的定义及其应用例一 求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心M 的轨迹方程.变式训练： 点B(-4,0),C(4,0)且△ABC 的周长是18,则△ABC 的顶点A 的轨迹方程。
类型二 圆锥曲线的标准方程与几何性质例二 （1）求焦点为（0,6）且与双曲线1-222 y x 有相同渐近线的双曲线方程；思考：若将焦点为（0,6）该为焦距为12，求标准方程。
（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P （m,-3）到焦点的距离等于5，求m的值，并写出抛物线方程、准线方程及焦点坐标。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
(2)过点 S－13，0的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否存 在一个定点 T，使得无论直线 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存 在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 当直线 l 不与 x 轴重合时，设直线 l 的方程为 x＝my－31， A(x1，y1)，B(x2，y2)，T(t，0)， 由xy22＝＋mxy2＝－113，消去 x 并整理，得 (18m2＋9)y2－12my－16＝0，
索引
所以 y1＋y2＝－m22m＋n9，y1y2＝mn22－＋99. 代入③式，得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0. 解得 n＝－3(舍去)或 n＝23. 故直线 CD 的方程为 x＝my＋32， 即直线 CD 过定点32，0. 若 t＝0，则直线 CD 的方程为 y＝0，过点32，0. 综上，直线 CD 过定点32，0.
索引
(2)过点 P13，0的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试探究以线段 AB 为直径的圆是 否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 当 AB⊥x 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为x－132＋y2＝196. 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1. 可得两圆交点为Q(－1，0). 由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为Q(－1，0). 下证Q(－1，0)符合题意. 设直线l的斜率存在，且不为0， 其方程设为 y＝kx－13，代入y22＋x2＝1，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； 解 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得 a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x. 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)， 可得 m＝21，所以抛物线方程为 x2＝21y. 综上所述，抛物线 C 的方程是 y2＝4x 或 x2＝12y.
高三数学一轮复习圆锥曲线方程及性质教案
圆锥曲线方程及性质程图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p-(0,)2p(0,)2p-准线方程2px=-2px=2py=-2py=范围x≥0x≤0y≥0y≤对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e=1e=1e=1e=说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线o F xylo xyFlxyoFlxy2=，那么它的两条准线间的距离是（）A．36 B．4 C．2 D．1解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B。
（2）双曲线221mx y+=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214xy-+=，∴ m=14-，选A。
（3）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2=，∴2292a bba⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2236ab⎧=⎨=⎩，所以它的两条准线间的距离是222ac⋅=，选C。
点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。
题型5：抛物线方程例9．（1）)焦点到准线的距离是2；（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程。
解析：（1）y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y；方程是x2=-8y。
点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。
当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。
题型6：抛物线的性质例10．（1）若抛物线22y px=的焦点与椭圆22162x y+=的右焦点重合，则p的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4 （2）抛物线28y x =的准线方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- （3）抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(解析：（1）椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ；（2）2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2，选A ；（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题课件
p
已知抛物线y2=2px(p>0)的弦AB的中点M(x0,y0)(y0≠0) ,则kAB=⑧ yc0 . 若涉及直线过圆锥曲线焦点的问题,则一般利用圆锥曲线的定义去解决.
4.定点、定值问题 (1)求定值问题常见的方法 (i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定点问题的常见解法 (i)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该 方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解 为坐标的点即所求定点; (ii)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.
6.求定值、最值问题等圆锥曲线综合问题要四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 7.存在性问题 一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决存在性问题.
1.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分,则m与n的关系 是( ) A.m+n=4 B.mn=4 C.m+n=mn D.m+n=2mn 答案 C 解法一:焦点为F(1,0),设焦点弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),当直 线AB的斜率存在时,依题意设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 由焦半径公式得AF=x1+1=m,BF=x2+1c =n,又 y2 4x,
1 k2
c
|y1-y2|(k≠0)
.
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),
高考数学第一轮总复习课件 圆锥曲线与方程
▪
2.若双曲线x2 y2 1 的两条渐近线恰好
是抛物线y=a1x29+
4
的两条切线，则a的值B为
3
（ ）3
1
1
3
4
3
9
5
▪ A.
B.
C.
D.
▪2
3
易得双曲线的渐2近线方程为y=±
3
▪1 x，由对称性可知，直线y= x与2 曲线1
3y=ax24+ 4 a 0
93
1 3
33
▪ 相切，联立两方程消去y得ax2- x+ =0，
▪ 设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，
▪则
y2)，
▪
所以
x1
x2
3m 2
，x1
x2
3m2 4， 4
AB
2 x1 x2
32 6m2 ， 2
▪ 又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距
离 ▪
即BC
2m 2
，
▪
所以AC 2 AB2 BC 2 m2 2m 10
▪
=-(m+1)2+11，
▪ (Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线 AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的 距离d的最小值.
▪
(Ⅰ)由已知可得点A(-6,0),F(4，0),设
点P(x,y)，y＞0，则AP =(x+6,y)，
▪FP =(x-4,y)，由已知可得：
(x+3x662)(x-2y402)+y12=0，
不4 可能发生.故填4①p.
▪ 1.直线与圆锥曲线的位置关系
▪ 直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、 相离；相交有两个交点（特殊情况除外）， 相切只有一个交点，相离无交点.判断直线 与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方 程与曲线方程联立，消去变量y（或x）得 变量x（或y）的方程：ax2+bx+c=0（或 ay2+by+c=0）
XX届高考数学第一轮备考圆锥曲线复习上课学习上课学习教案
XX届高考数学第一轮备考圆锥曲线复习教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址XX版高三数学一轮精品复习学案：第八章解析几何8.3圆锥曲线【高考目标导航】一、曲线与方程．考纲点击了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.2．热点提示（1）求轨迹方程是高考的重点和热点；（2）常以解答题的第一问的形式出现.一般用直接法、定义法或相关点法求解，所求轨迹一般为圆锥曲线，属中低档题。
二、椭圆．考纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用。
（3）理解数形结合的思想2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。
（2）定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。
三、双曲线．考纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。
（2）了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。
（3）理解数形结合的思想。
2．热点提示（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆锥曲线的交汇命题是热点。
（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。
四、抛物线．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
（2）理解数形结合的思想。
（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。
2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。
（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。
有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。
【考纲知识梳理】一、曲线与方程．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线c上的点与一个二元方程f=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
2024届高考数学第一轮专项复习——圆锥曲线的综合应用 教学PPT课件
− −
所以2（1－2 k ）·
＋（4 k －2 m －2）·
＋8 m ＝0.整理，得
−
−
（1－ m ）（2 k ＋ m －1）＝0.当2 k ＋ m －1＝0时，直线 l ： y ＝ kx ＋1
－2 k 恒过点 A （2，1），不符合题意；当1－ m ＝0时，直线 l ： y ＝ kx
＝0.设 P （ x 1， y 1）， Q （ x 2， y 2），则
− ≠ ，
− ≠ ，
即
所
= + （ − )( + ） > ，
− + > .
− −
以 x 1＋ x 2＝
， x 1 x 2＝
.
（2） 若轨迹 C 上存在两点 A ， B 满足 kOA ＋ kOB ＝－1（ kOA ， kOB 分别为直线
OA ， OB 的斜率），求直线 AB 的斜率的取值范围.
解：（2） 根据题意可知，直线 AB 的斜率存在.设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ b ，
＋
经过 x 轴上的两个定点（1，0）和（－3，0）.
2.
2
2
（2023·武汉期中）已知椭圆 E ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的上顶点和
右顶点分别是 A （0，1）和 B ，离心率 e ＝
动点，且 CD ∥ AB .
（1） 求椭圆 E 的标准方程.
解：（1）
椭圆 E 的标准方程为 ＋ y 2＝1.
易知直线 AB 的方程为 x ＋2 y －2＝0，｜ AB ｜＝ ，
年高考数学一轮复习精品课件圆锥曲线
第46讲 │ 能力提升
2020/8/1
第46讲 │ 规律总结 规律总结
2020/8/1
第46讲 │ 规律总结
2020/8/1
第46讲 │ 规律总结
2020/8/1
2020/8/1
Hale Waihona Puke 第45讲 │ 双基固化2020/8/1
第45讲 │ 双基固化
2020/8/1
第45讲 │ 双基固化
2020/8/1
第45讲 │ 能力提升 能力提升
2020/8/1
第45讲 │ 能力提升
2020/8/1
第45讲 │ 能力提升
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第45讲 │ 双基固化
2020/8/1
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理科数学第一轮复习圆锥曲线含教案和课件 第一节 椭 圆
第一节 椭 圆一.基本知识概要1 椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④ 准线方程：ca x 2±=；或ca y 2±=⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
高考数学一轮复习 8.6 圆锥曲线的应用教案
8.6 圆锥曲线的应用●知识梳理解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.●点击双基1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m 时，水面宽4 m ，若水面下降1 m 时，则水面宽为A.6mB.26mC.4.5 mD.9 m解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x 2=－2Py （P >0），由题意知，抛物线过点（2，－2），∴4=2p ×2.∴p =1.∴x 2=－2y .当y 0=－3时，得x 02=6.∴水面宽为2|x 0|=26.答案：B2.某抛物线形拱桥的跨度是20 m ，拱高是4 m ，在建桥时每隔4 m 需用一柱支撑，其中最长的支柱是A.4 mB.3.84 mC.1.48 mD.2.92 m解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x 2=－2py （p >0），由题意知其过定点（10， －4），代入x 2=－2py ，得p =225. ∴x 2=－25y .当x 0=2时，y 0=254-，∴最长支柱长为4－|y 0|=4－254=3.84（m ）. 答案：B3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.抛物线解析：设旗杆高为m ，华表高为n ，m ＞n .旗杆与华表的距离为2a ，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x 轴、垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M （x ，y ），由题意2222)()(y a x y a x +-++=nm ，即（m 2－n 2）x 2+（m 2－n 2）y 2－2a （m 2－n 2）x + （m 2－n 2）a 2=0.答案：B4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是____________ cm.解析：设抛物线方程为y 2=2px （p >0），点（40，30）在抛物线y 2=2px 上，∴900=2p ×40.∴p =445.∴2p =845.因此，光源到反射镜顶点的距离为845cm. 答案：8455.在相距1400 m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s ，已知声速340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________.解析：设M （x ，y ）为曲线上任一点，则|MA |－|MB |=340×3=1020<1400.∴M 点轨迹为双曲线，且a =21020=510，c =21400=700. ∴b 2=c 2－a 2=（c +a ）（c －a ）=1210×190.∴M 点轨迹方程为22510x －19012102⨯y =1.答案：22510x －19012102⨯y =1 ●典例剖析【例1】 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m 万千米和34m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该彗星与地球的最近距离. 剖析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样把问题就转化为求a ，c 或a －c .解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为22a x +22by =1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足∠xFA =3π（或∠xFA ′=3π）.作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜FA ｜=32m ， 故由椭圆的第二定义可得m =a c （c a 2－c ）， ① 34m =a c （ca 2－c +32m ）.②两式相减得31m =a c ·32m ，∴a =2c .代入①，得m =21（4c －c ）=23c ， ∴c =32m .∴a －c =c =32m .答：彗星与地球的最近距离为32m 万千米.评述： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c .（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质.思考讨论椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？ 提示：利用焦半径易求得最大值为a +c ，最小值为a －c.【例2】 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP 、BP 运到P 处（如下图所示）.已知PA =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°，试说明怎样运土最省工.剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP 到P 较近；（2）沿BP 到P 较近；（3）沿AP 、BP 到P 同样远.显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M 是分界线上的任意一点.则有｜MA ｜+｜PA ｜=｜MB ｜+｜PB ｜.于是｜MA ｜－｜MB ｜=｜PB ｜－｜PA ｜=150－100=50.从而发现第三类点M 满足性质：点M 到点A 与点B 的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系xOy ，设M （x ，y ）是沿AP 、BP 运土同样远的点，则｜MA ｜+｜PA ｜=｜MB ｜+｜PB ｜，∴｜MA ｜－｜MB ｜=｜PB ｜－｜PA ｜=50. 在△PAB 中，由余弦定理得｜AB ｜2=｜PA ｜2+｜PB ｜2－2｜PA ｜｜PB ｜cos60°=17500，且50＜｜AB ｜.由双曲线定义知M 点在以A 、B 为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为22a x －22by =1（a ＞0，b＞0）.2a =50， 4c 2=17500，c 2=a 2+b 2，a 2=625， ∵ 解之得b 2=3750.∴M 点轨迹是6252x －37502y =1（x ≥25）在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工.评述：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域.（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果.【例3】 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m ，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m 的距离行驶.已知拱口AB 宽恰好是拱高OC 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车安全通过的a 的最小整数值.剖析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m 到2 m 间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m （即在横断面上距拱口中点2 m ）处隧道的高度是否够3 m ，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.解：如下图，以拱口AB 所在直线为x 轴，以拱高OC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x 2=－2p （y －4a ），∵点A （－2a ，0）在抛物线上，∴（－2a ）2=－2p （0－4a ），得p =2a . ∴抛物线方程为x 2=－a （y －4a ）.取x =1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得22=－a （y －4a ），y =aa 4162-.由题意，令y ＞3，得aa 4162-＞3，∵a ＞0，∴a 2－12a －16＞0.∴a ＞6+213.又∵a ∈Z ，∴a 应取14，15，16，….答：满足本题条件使卡车安全通过的a 的最小正整数为14 m.评述： 本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m 处y 的值；二是由y ＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a 的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.●闯关训练 夯实基础1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为 n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于A.2))((R n R m ++B. ))((R n R m ++C.2mnD.mn22Rn m ++－c =m +R ， ① 22Rn m +++c =n +R ，②∴c =2mn -， 2b =222)2()22(m n R n m --++=2))((R n R m ++. 答案：A2.如下图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP =1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是A.2.5 mB.4 mC.5 mD.6 m解析：以O 为原点，OP 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为y =a （x －1）2+2，P 点坐标为（0，1），∴1=a +2.∴a =－1.∴y =－（x －1）2+2.令y =0，得（x －1）2=2，∴x =1±2.∴水池半径OM =2+1≈2.414（m ）.因此水池直径约为2×|OM |=4.828（m ）.答案：C3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2=2y （0≤y ≤20）.在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的范围为____________.解析：由题意解析：玻璃球的轴截面的方程为x 2+（y －r ）2=r 2，由 x 2=2y ，x 2+（y －r ）2=r 2， 答案：0＜r ≤14.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高43m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m 时，小船不能通航.解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=－2py （p >0）.将点（4，－5）代入求得p =58.∴x 2=－516y . 将点（2，y 1）代入方程求得y 1=－45.∴43+|y 1|=43+45=2（m ）.答案：25.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m ，镜深2 m ，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度. 解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x 轴垂直于镜口直径.由已知，得A 点坐标是（2，6），设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0）， 则36=2p ×2，p =9.所以所求抛物线的标准方程是y 2=18x ，焦点坐标是F （29，0）. （2）∵盛水的容器在焦点处，∴A 、F 两点间的距离即为每根铁筋长. |AF |=226)292(+-=213（或|AF |=29+2=213）. 故每根铁筋的长度是6.5 m.6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且得y 2+2（1－r ）y =0，由Δ=4（1－r ）2=0，得r =1.这两物体间距离为4.5 cm ，灯丝距顶面距离为2.8 cm ，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC 是椭圆的一部分，设其方程为22a x +22by =1，灯丝距顶面距离为p ，由于△BF 1F 2为直角三角形，因而，|F 2B |2=|F 1B |2+|F 1F 2|2=p 2+4c 2，由椭圆性质有|F 1B |+|F 2B |=2a ，所以a =21（p +224c p +），a = 21（2.8+225.48.2+）≈4.05 cm ，b =22c a -≈3.37 m.∴所求方程为2205.4x +2237.3y =1.培养能力7.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m ，拱顶距水面6 m ，桥墩高出水面4 m ，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m ，目前吃水线上部分中央船体高5 m ，宽16 m ，且该货船在现在状况下还可多装1000 t 货物，但每多装150 t 货物，船体吃水线就要上升0.04 m ，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y =ax 2，则A （10，－2）在抛物线上，∴－2=ax 2，a =－501，方程即为y =－501x 2让货船沿正中央航行. ∵船宽16 m ，而当x =8时，y =－501·82=1.28 m ，∴船体在x =±8之间通过.由B （8，－1.28）， ∴B 点离水面高度为6+（－1.28）=4.72（m ），而船体水面高度为5 m ，∴无法直接通过.又5－4.72=0.28（m ），0.28÷0.04=7，而150×7=1050（t ）， ∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降. 8.（文）（2004年春季北京，文18）2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A 距地面200 km ，远地点B 距地面350 km.已知地球半径R =6371 km.（如下图）（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s ）（注：km/s 即千米/秒）解：（1）设椭圆的方程为22a x +22by =1.由题设条件得a －c =|OA |－|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571，a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B |=6371+350=6721.解得a =6646，c =75，所以a 2=44169316， b 2=a 2－c 2=（a +c ）（a －c ）=6721×6571=44163691.∴所求椭圆的方程为441693162x +441636912y =1.（注：由44163691≈6645.5768得椭圆的方程为226646x +226.6645y =1，也是正确的）（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s. 减去开始的9分50 s ，即9×60+50=590（s ），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s ），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s ），平均速度是74950600000≈8（km/s ）.所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s. （理）（2003年上海）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m ，要求通行车辆限高4.5 m ，隧道全长2.5 km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S =4πlh ，柱体体积为底面积乘以高.本题结果均精确到0.1 m ） （1）解：如下图建立直角坐标系，则点P （11，4.5），椭圆方程为22a x +22by =1.将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得a =7744，此时l =2a =7788≈33.3.因此隧道的拱宽约为33.3 m.（2）解法一：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b=1.因为2211a +225.4b ≥ab 5.4112⨯⨯，即ab ≥99，且l =2a ，h =b ，所以S =4πlh =2πab ≥2π99.当S 取最小值时，有2211a =225.4b=21，得a =112，b =229.此时l =2a =222≈31.1，h =b ≈6.4.故当拱高约为6.4 m 、拱宽约为31.1 m 时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b =1.于是b 2=481·12122-a a .a 2b 2=481（a 2－121+12112122-a +242）≥481（22121+242）=81×121，即ab ≥99，当S 取最小值时，有a 2－121=12112122-a .得a =112，b =229，以下同解法一. 探究创新9.中国跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1032m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时，运动员在距水面高度为5 m 或5 m 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式.（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为353m ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为 y =ax 2+bx +c .由题意知，O 、B 两点的坐标依次为（0，0）、（2，－10），且顶点A 的纵坐标为32， c =0，ab ac 442 =32，4a +2b +c =－10.a =－625，b =310，c =0 a =－23，b =－2，c =0.∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴－ab2＞0. 又∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∴b ＞0，后一组解舍去.∴a =－625，b =310，c =0. ∴抛物线的解析式为y =－625x 2+310x .（2）当运动员在空中距池边的水平距离为353m 时，即x =353－2=58时，y =（－625）×（58）2+310×58=－316，∴此时运动员距水面的高为10－316=314＜5.因此，此次跳水会出现失误.（3）当运动员在x 轴上方，即y ＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.所以有 解之得 或∴当y ＜0时，要使跳水不出现失误，则应有|y |≤10－5，即－y ≤5. ∴有625x 2－310x ≤5， 解得2－34≤x ≤2+34.∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+34=4+34m.●思悟小结解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答.●教师下载中心教学点睛解应用题时涉及到两个基本步骤，即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数学问题，为此要注意以下三点：1.阅读理解.数学应用题给出的方式是材料的陈述，而不是客体的展示.也就是说，所考的应用题通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质.2.数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题.这就要抽象、归纳其中的数量关系，并把这种关系用数学式子表示出来.3.数学求解.根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答. 本节就是通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养学生解决应用问题的能力.拓展题例【例1】 一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m ，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m ，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是 km/h ，精确到个位）（参考数据：sin12°=0.2079，cos12°=0.9781，t an12°=0.2125）分析：本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t 的函数，故应引入时间t ，通过速度v 的矢量分解来寻找解决问题的途径.解： 摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是 x =vt cos12°，y =vt sin12°－21×9.8t 2. 其中v 是摩托车飞离跑道时的速度，t 是飞行时间，x 是水平飞行距离，y 是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为y =－212)12(cos 1v ⋅︒×9.8x 2+t an12°·x ，即y =－5.121922vx +0.2125x . 当x ≈0.0207v 2时，取得y max ≈0.0022v 2.当x =35时，y 落=－6274.327521v +7.4375.∵y max －y 落=10，0.0022v 2+6274.327521v－17.4375=0，解得v ≈19.44 m/s 或v ≈86.88 m/s. 若v ≈86.88 m/s ，则x =156.246 m ，与题目不符，而v ≈19.44 m/s ，符合题意，为所求解.故v ≈19.44 m/s=69.984 km/h ≈70 km/h.答：骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/h.评述：本题直接构造y 是x 的函数解析式很困难，应引入适当的参数（时间t ）作媒介，再研究x 与y 是怎样随参数变化而变化的，问题往往就容易解决了.这种辅助变量的引入要具体问题具体分析，以解题的简捷为原则.【例2】 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 正北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角.解：如下图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （－3，0）、A （3，0）、C （－5，23）.因为|PB |=|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上.因为k BC =－3，BC 中点D （－4，3），所以直线PD 的方程为y －3=31（x +4）. ①又|PB |－|PA |=4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上.设P （x ，y ），则双曲线方程为42x －52y =1（x ≥0）. ②联立①②，得x =8，y =53， 所以P （8，53）.因此k PA =3835 =3. 故炮击的方位角为北偏东30°.。
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高考数学第一轮圆锥曲线基础知识点复习教案
§8.4 圆锥曲线班级姓名学号
例1：设点A（2，2），F（4，0），点M在椭圆上运动。
（1）求|MA|+|MF|的最小值。
（2）求|MA|+ |MF|的最小值。
例2：已知AB是抛物线y2=2Px的任意一条焦点弦，且A(x¬1, y1)，B(x¬2, y2)，（1）求证y1y2=－p2, x1x2= （2）若弦AB被焦点分成长为m, n的两部分，求证：例3：设A（x1, y1）是椭圆x2+2y2=2上一点，过点A作一条斜率为的直线L，d为原点到L的距离，r1, r2分别为点A到两焦点的距离，求证：是定值。
例4：设椭圆C与双曲线D有共同的焦点F1（－4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴的长的2倍，试求椭圆C与双曲线D交点的轨迹方程。
【基础训练】 1、已知两定点F1(－5,0), F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|=2a，当a=3和5时，P点的轨迹为： A、双曲线和一条直线 B、双曲线和一条射线（） C、双曲线一支和一条射线 D、双曲线一支和一条直线2、若抛物线y2=2px上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点对应的焦点半径的关系是 A、等比数列 B、等差数列 C、常数列 D、以上均不对（） 3、已知两圆C1：(x+4)2+y2=2, C2: (x－4)2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是：（） A、x=0 B、 C、 D、 4、已知两点M（1，），N（），给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0, ②x2+y2=3 ③ ④ ，在曲线上存在点P满足
|MP|=|NP|的所有曲线方程是： A、①③ B、②④ C、①②③ D、②③④ 5、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，AB是过焦点F1的弦，若|AB|=8，则|F2A|+|F2B|的值是。
6、双曲线上一点P到左焦点的距离是14，则P点到右准线的距离为。
【拓展练习】 1、椭圆的右焦点为F，设A )，P是椭圆上一动点，则|AP|+ |PF|取得最小值时点P的坐标为：（） A、（5，0） B、（0，2） C、） D、（0，－2）或(0,2) 2、若椭圆和双曲线 (a>0, b>0)有相同的焦点F1，F2，b是两曲线的一个交点，则|PF1| |PF2|等于：（） A、m2－a2 B、m－a C、 D、 3、以双曲线的一条焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆位置关系为：（） A、相交 B、相离 C、内切 D、外切 4、设P(x0, y0)是椭圆上一动点，F1，F2是椭圆的两焦点，当x0= 时，|PF1||PF2|的积最大
为；当x0= 时，|PF1| |PF2|的积最小为。
5、双曲线16x2－9y2=144的两焦点为F1¬，F2，点P在双曲线上，且|PF1| |PF2|=32，则∠F1PF2的大小为。
6、在双曲线上求一点M，使它到左、右两焦点的距离之比为3：2，并求M点到两准线的距离。
7、过椭圆C：的右焦点作一直线l交椭圆C于M、N两点，且M、N 到直线x= 的距离之和为，求直线l的方程。
8、给定椭圆（a>b>0），求与该椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形的面积最大。
9、已知椭圆（a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P0（x0, 0），证明：。
10、已知抛物线y2=4x与椭圆有共同的焦点F2。
（1）求m的值；（2）若P是两曲线的一个公共点，F2是椭圆的另一个焦点，且
∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求cosα•cosβ的值。
（3）求△PF1F2的面积。
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