2017学年数学必修三：1.3 算法案例3
人教课标版高中数学必修三《算法案例（第3课时）》教案（1）-新版
⼈教课标版⾼中数学必修三《算法案例（第3课时）》教案（1）-新版1.3 算法案例第3课时⼀、教学⽬标 1．核⼼素养在学习古代数学家解决数学问题的⽅法的过程中培养严谨的逻辑思维能⼒，在利⽤算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动⼿实践的能⼒． 2．学习⽬标（1）1.3.3.1理解进位制的概念，掌握各种进位制与⼗进制之间的转换规律．（2）1.3.3.2掌握⼗进位制转化为各种进位制的除k 余法. 3．学习重点各种进位制与⼗进制之间的转换规律． 4．学习难点不同进位制之间的转化规律及其思想⼆、教学设计（⼀）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P40－P45，思考：各种进位制与⼗进制之间转换的规律是什么？任务2你可以熟练的进⾏各进位制之间的转换吗？ 2．预习⾃测1．在2进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？【解析】：分别是0，1，1，10 2．把⼆进制数()2110011化为⼗进制数【解析】：()=?+?+?+?+?+?=+++=543210211001112120202121232162151（⼆）课堂设计1．知识回顾（1）⽣活中常见的进位制有哪些（例如时间、钱等）（2）计算机中的2进制和通常的10进制怎么进⾏转换（3）⾮10的两种不同进制之间怎么进⾏转换 2．问题探究问题探究⼀认识进位制，将⼗进制数转化为k 进制数●活动⼀什么是n 进位制？我们常见的数字都是⼗进制的，但是并不是⽣活中的每⼀种数字都是⼗进制的.⽐如时间和⾓度的单位⽤六⼗进位制，电⼦计算机⽤的是⼆进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间⼜⼜什么联系呢？进位制是⼀种记数⽅式，⽤有限的数字在不同的位置表⽰不同的数值.可使⽤数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制.现在最常⽤的是⼗进制，通常使⽤10个阿拉伯数字0-9进⾏记数.对于任何⼀个数，我们可以⽤不同的进位制来表⽰.⽐如：⼗进制数57，可以⽤⼆进制表⽰为111001，也可以⽤⼋进制表⽰为71、⽤⼗六进制表⽰为39，它们所代表的数值都是⼀样的.表⽰各种进位制数⼀般在数字右下脚加注来表⽰,如()2110011表⽰⼆进制数,(5)34表⽰5进制数.●活动⼆如何将10进制数转化为2进制数？解:根据⼆进制数满⼆进⼀的原则,可以⽤2连续去除89或所得商,然后去余数. 具体的计算⽅法如下:=?+=?+=?+=?+=?+892441442220222110112515221()(((())))=+++++=?+?+?+?+?+?+?=654321028922222211001120212120202121011001 这种算法叫做除2取余法,还可以⽤下⾯的除法算式表⽰:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)●活动三如何将10进制数转化为k进制数？上述⽅法可以推⼴为把⼗进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法. ⼗进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：1.除：把⼗进制数连续去除以k，直到商为0为⽌，同时将各步的余数写出2.取余：将各步所得的余数倒叙写出，即为所求的k进制数3.标基数：写出k进制数后将基数k⽤括号括起来标在右下⾓例1.将⼗进制数458分别转化为四进制数和六进制数.解：算式如下图，则458＝13022(4)＝2042(6)问题探究⼆不同进制数相互转换●活动⼀如何将10进制数与k进制数进⾏相互转换？⼆进制数110 011(2)化为⼗进制数是什么数？110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.那么如何将⼀个k进制数转换为⼗进制数？将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为⼗进制的⽅法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的⼗进制数.这样我们就可以进⾏10进制数与k进制数进⾏相互转换●活动⼆如何将⾮10的不同进制数进⾏相互转换？进制的数转化为10进制数后再把10进制的⼗进制是连接其他进制的桥梁.把k1进制数，各个进制数之间就能实现互相转换.数转化为k2例2.1 011 001(2)＝______(10)＝______(5).解：89，324 ⾸先将1011001(2) 化为⼗进制数为1×26＋0＋1×24＋1×23＋0＋0＋1×20＝89，再将89化成五进制数：89除以5的商是17，余数为4,17除以5的商是3，余数为2，所以五进制数为324.3．课堂总结【知识梳理】（1）k进制化成⼗进制，幂积求和法（2）⼗进制化成k进制，除k取余法进制的数转化为10进制数后再把10进制的数转（3）不同进制之间转换：把k1化为k进制数2【重难点突破】（1）进位制之间的转换⽅法：k进制化成⼗进制，幂积求和法；⼗进制化成k 进制，除k取余法．（2）把⼀个⾮⼗进制数转化为另⼀种⾮⼗进制数，通常是把这个数先转化为⼗进制数，然后再利⽤除k取余法，把⼗进制数转化为k进制数．⽽在使⽤除k 取余法时要注意以下⼏点：1.必须除到所得的商是0为⽌；2.各步所得的余数必须从下到上排列；3.切记在所求数的右下⾓标明基数4．随堂检测1．下列各进制数中值最⼩的是( )A．85(9)B．210(6)C．1 000(4)D．111 111(2)【解析】：D 由进位制的知识易得，故选D.2．把189化为三进制数，则末位数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】：A将189除以3得余数为0，所以189化为三进制数的末位数为0. 故选A.3．已知⼀个k进制的数132与⼗进制的数30相等，那么k等于( )A．7或4 B．－7C．4 D．都不对【解析】：C132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．故选C.4．四位⼆进制数能表⽰的最⼤⼗进制数是( )A．4 B．64 C．255 D．15【解析】：D由⼆进制数化为⼗进制数的过程可知，当四位⼆进制数为1 111时表⽰的⼗进制数最⼤，此时，1 111(2)＝15.故选D5．七进制数中各个数位上的数字只能是______中的⼀个．【解析】：0、1、2、3、4、5、6“满⼏进⼀”就是⼏进制．∵是七进制．∴满七进⼀，根本不可能出现7或⽐7⼤的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的⼀个．6．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由⼩到⼤的顺序排列为________．【解析】：33(4)<12(16)<25(7)将三个数都化为⼗进制数.12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．（三）课后作业基础型⾃主突破1.⼆进制数111.11(2)转换成⼗进制数是( )A．7.3 B．7.5 C．7.75 D．7.125【解析】：C 由题意知⼆进制对应的⼗进制是：1×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2＝4＋2＋1＋0.5＋0.25＝7.75. 故选A2.将⼆进制110 101(2)转化为⼗进制为( )A．106 B．53 C．55 D．108【解析】：B110 101(2)＝1＋1×22＋1×24＋1×25＝53. 故选B3.下列与⼆进制数1 001 101(2)相等的是( )A．115(8)B．113(8)C．114(8)D．116(8)【解析】：A 先化为⼗进制数：1 001 101(2)＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为⼋进制数．所以77＝115(8)，1 001 101(2)＝115(8)故选A．4.下列各数中，与1 010(4)相等的数是( )A．76(9)B．103(8)C．2 111(3)D．1 000 100(2)【解析】：D 1 010(4)＝1×43＋1×4＝68.因为76(9)＝7×9＋6＝69；103(8)＝1×82＋3＝67；2111(3)＝2×33＋1×32＋1×3＋1＝67；1000100(2)＝1×26＋1×22＝68，所以1 010(4)＝1 000 100(2)故选D.．5.⼀个k进制的三位数与某六进制的⼆位数等值，则k不可能是( )A．3 B．4 C．5 D．7【解析】：D k进制的最⼩三位数为k2，六进制的最⼤⼆位数为5×6＋5＝35，由k2≤35得0…a1a0(k)表⽰⼀个k进制数，若21(k)＝9，则321(k)在⼗进制中所表⽰的6.记anan－1数为( )A．86 B．57 C．34 D．17【解析】：B 由已知中21(k)＝9，求出k值，进⽽利⽤累加权重法，可得答案．若21(k)＝9，则2k＋1＝9，解得k＝4，故321(k)＝321(4)在＋进制中所表⽰的数为：3×42＋2×4＋1＝57. 故选B能⼒型师⽣共研7.已知1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值．【解析】：a＝1，b＝1 ∵1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1，2}，b∈{0，1}，∴当a＝1时，b＝1符合题意，当a＝2时，b＝112不合题意，∴a＝1，b＝1.8.已知44(k)＝36，把67(k)转化为⼗进制数为( )A．8 B．55 C．56 D．62【解析】：B 由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55. 故选B9.古时候，当边境有敌⼈来犯时，守边的官兵通过在烽⽕台上举⽕向国内报告，如图，烽⽕台上点⽕，表⽰数字1，不点⽕表⽰数字0，约定⼆进制数对应的⼗进制的单位是1 000，请你计算⼀下，这组烽⽕台表⽰约有多少敌⼈⼊侵？【解析】：27 000 由图可知从左到右的五个烽⽕台，表⽰⼆进制数的⾃左到右五个数位，依题意知这组烽⽕台表⽰的⼆进制数是11 011，改写为⼗进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．⼜27×1 000＝27 000，所以这组烽⽕台表⽰边境约有27 000个敌⼈来犯．探究型多维突破10.分别⽤算法步骤、程序框图、程序语句表⽰把k进制数a(共有n位数)转化成⼗进制数b.【解析】：算法步骤：第⼀步，输⼊a，k，n的值.第⼆步，赋值b＝0，i＝1.第三步，b＝b＋a i·k i－1，i＝i＋1.第四步，判断i>n是否成⽴.若是，则执⾏第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图：程序语句：11.若10y1(2)＝x02(3)，求数字x，y的值及与此两数等值的⼗进制数．【解析】：x＝y＝1，11∵10y1(2)＝x02(3)，∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，将上式整理得9x－2y＝7，由进位制的性质知，x∈{1，2}，y∈{0，1}，当y＝0时，x＝(舍)，当y＝1时，x＝1.∴x＝y＝1，已知数为102(3)＝1 011(2)，与它们相等的⼗进制数为1×32＋0×3＋2＝11.⾃助餐1.在什么进位制中，⼗进位制数71记为47( )A．17 B．16 C．8 D．12【解析】：B 设为k进制，有：4k＋7＝71，从⽽可解得k＝16.因此是16进制．故选B.2.把⼗进制数20化为⼆进制数为( )A．10 000(2)B．10 100(2)C．11 001(2)D．10 001(2)【解析】：B 利⽤除2取余数可得．故选B3.在⼋进制中12(8)＋7(8)＝21(8)，则12(8)×7(8)的值为( )A．104(8)B．106(8)C．70(8)D．74(8)【解析】：B 12(8)＝1×81＋2×80＝10(10)，7(8)＝7×80＝7(10)，12(8)×7(8)＝70(10)．故70(10)＝106(8)．即12(8)×7(8)＝106(8)．故选B4.将四位⼋进制数中的最⼩数转化为六进制数为( )A．2 120 B．3 120 C．2 212 D．4 212【解析】：C 四位⼋进制中的最⼩数为1 000(8)．所以1 000(8)＝1×83＝512.再将512除以6取余得512＝2 212(6)．故选C5.两个⼆进制数101(2)与110(2)的和⽤⼗进制数表⽰为( )A．12 B．11 C．10 D．9【解析】：B101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5，110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6，5+6=11.故选B6.在计算机的运⾏过程中，常常要进⾏⼆进制数与⼗进制数的转换与计算．如⼗进制数8转换成⼆进制数是1 000，记作8(10)＝1 000(2)；⼆进制数111转换成⼗请进制数是7，记作111(2)＝7(10)等．⼆进制的四则运算，如11(2)＋101(2)＝1 000(2)．计算：11(2)×111(2)＝________，10 101(2)＋1 111(2)＝________.【解析】：10 101(2)，100 100(2)由题可知，在⼆进制数中的运算规律是“满⼆进⼀”，∴11(2)×111(2)＝10 101(2)，10 101(2)＋1 111(2)＝100 100(2)．7.1 101(2)＋1 011(2)＝__________(⽤⼆进制数表⽰)．【解析】：11 000(2)1 101(2)＝1×23＋1×22＋1＝13；1 011(2)＝1×23＋1×2＋1＝11，则1101(2)＋1011(2)＝24.即24＝11 000(2)．。
高中数学必修3课件：1.3 算法案例
程序框图和程序如下：
INPUT “n＝”；n INPUT “an＝”；a INPUT “x＝”；x v＝a i＝n－1 WHILE i>＝0
PRINT “i＝”；i INPUT “ai＝”；a v＝v*x＋a i＝i－1 WEND PRINT v END
4．进位制 (1)进位制的概述 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定 满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进 一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也 就是说，“__满__几__进__一___”就是几进制，几进制的基数(大于1 的整数)就是几． 一般地，k进制数的原理是满k进一，k进制数一般在右下角处 标注基数(k)，以示区别．例如，270(8)表示270是一个八进制 数．十进制数一般不标注基数．
(3)不同进位制数之间的转化 ①k进制数转化为十进制数 把k进制数转化为十进制数，写成不同位上数字与基数幂的 乘积之和即可(简称幂积求和)，即anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋ an－1×kn－1＋…＋a1×k＋a0.例如，将二进制数11 001(2)化为 十进制数：11 001(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝16 ＋8＋1＝25.
• 法二：由更相减损术，得 • 108－45＝63， • 63－45＝18， • 45－18＝27， • 27－18＝9， • 18－9＝9， • 故108与45的最大公约数是9.
题型二 秦九韶算法及应用 例2 (2013·福州高一检测)用秦九韶算法写出当x＝3时
f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
②十进制数转化为 k 进制数 一般方法是除 k 取余法，即先把十进制数 a 除以 k，商为 a1，余数为 r1，再把 a1 除以 k，商为 a2，余数为 r2…反 复进行这种除法，直到商 an 小于 k 为止，此时将 an 和所 有余数按反向排列就得到所要的 k 进制数 anrnrn－1…r1(k)． 例如，将十进制数 139 化为八进制数的过程为：
(人教a版)必修三同步课件：1.3算法案例
故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
要点三 进位制
例3 (1)把二进制数1110011(2)化为十进制数．
(2)将8进制数314706(8)化为十进制数．
解
(1)1110011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋
1×21＋1＝115. (2)314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80 ＝104902.所以，化为十进制数是104902.
所以80与36的最大公约数为4.
要点二
例2
秦九韶算法
已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个
多项式当x＝5时的值．
解
将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－
0.8， 由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值： v0＝4；
2．注意：当多项ห้องสมุดไป่ตู้中n次项不存在时，可将第n次项看作0· xn.
跟踪演练2
用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算 ( )
的次数分别为
A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5 答案 D
解析
n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进
行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，
v2x＋an－3
vn－1x＋a0 n个一次多项式
4．进位制
运算方便 进位制是人们为了_____和_________ k进一”就是k进制，k进 计数 而约定的记数系统，“满
制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
人教A版高中数学必修三课件1.3.3算法案例(三)——进位制
故a=1，b=1.
4、阅读下面两个程序，并填空：
(2) 程序（2）中若输入
（1）程序（1）中若输入 a 78 ， k 9 ，
n 2，则输出的 b _７___１__ ；
a 78 ， k 9 ，
则输出的 b ８___６_ .
INPUT“a，k，n=”；a，k，n b=0 i=1 t=aMOD10 DO b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=aMOD10 i=i+1
【课内探究】
展示：
例1、（1）比较110011（2）、324（5）、123（4）、55（6） 四个数的大小；
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等，求 k的值.
例2、把89化为三进制数.
例1、（1）比较110011（2）、324（5）、123（4）、55（6） 四个数的大小； 方法：化为十进制再比较大小
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等，
求k的值. 拓展：若已知132(k) =30(7)呢？
解： 132(k) =30
1 k2 3 k1 2=30
即k2 3k 28=0
k=4或k= 7(舍去) 故，k的值为4.
除3取余法 你能看出它的规律吗？ 如
例2、把89化为三进制数
第第三四atiL步==步O=算第iaOa+,,bM判\法一P1=1OUb断步步0DN+i1aT骤,>输0iI·nLk如入是ii->1下a否,ni,=k:成i和+1立n. 的.若值是. ,则
b=b+t·ki-1
执行P第RI五NT步b;否则,返回第三步. EN第D二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1. i=i+1
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
高中数学人教A版必修3《1.3算法案例》教案5
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
四、
课堂检测
用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
五、
小结评价
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：（略）
程序：（当循环结构） 直到型结构见书37面。
INPUT“m=”;m
INPUT“n=”;n
IF m<n THEN x=m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
教学过程
教学内容
备注
一、
自主学习
阅读教材P34-P37请思考以下问题：
（1）辗转相除法的运算原理
（2）更相减损术的运算原理
二、
质疑提问
1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？ 2.我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
高中数学 1.3算法案例精品教案 新人教A版必修3
1.3算法案例第三、四课时 秦九韶算法与排序（1）教学目标（a ）知识与技能1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b ）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。
能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（c ）情态与价值通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
（2）教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计难点：1.秦九韶算法的先进性理解2.排序法的计算机程序设计（3）学法与教学用具学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。
显然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知1.秦九韶计算多项式的方法01210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。
人教版高中数学必修三 第一章 算法初步1.3算法案例
1.3算法案例【预习达标】1．用两数中较大的数减去较小的数，再用 和 构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生 ，这个数就是最大公约数。
2．古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是 ：用较大的数除以较小的数所得的 和 构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。
3．把一个n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 改写成如下形式：0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--＝＝＝…＝ 。
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即1v ＝ 。
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即2v ＝ 。
3v ＝ 。
…=n v 。
这样，求n 次多项式f(x)的值就转化为 。
上述方法称为秦九韶算法：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见k v 的计算要用到1-k v 的值，若令a v =0，我们可以得到下面的公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用 来实现。
【课前达标】1．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，这种算法称为（ ）A.弧田法B.逼近法C.割圆法D.割图法2．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4,12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（ ）A.4B.12C.16D.83．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是（ ）A.2B.3C.4D.54．假设圆的半径为1，面积为S ，圆内接正n 边形面积为n S ，边长为n x ，边心距为n h ，根据勾股定理，n h ＝ 。
5．三个数72,120,168的最大公约数是 。
【典例评析】例1 用更相减损之术求27090, 21672, 8127的最大公约数。
例2 用秦九韶算法求多项式12358)(467++++=x x x x x f 当x ＝2时的值。
高中数学必修三《1.3 算法案例》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
第五页，编活辑于页星规期日范：二训十练三点 四十四分。
名师点睛
1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系
D．4,5
解析 n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n
次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法
次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
答案 D
课前探究学习
课堂讲练互动
第十九页，活编辑页于规星期范日：训二练十三点 四十四分。
误区警示 对秦九韶算法中的运算次数理解错误
【示例】 已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求 这个多项式当x＝2时的值时，做了几次乘法？几次加法？ [错解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式f(x)＝ ((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6. 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的 值：v1＝2＋2＝4；v2＝2v1＋3＝11；v3＝2v2＋4＝26；v4＝ 2v3＋5＝57；v5＝2v4＋6＝120. 显然，在v1中未做乘法，只做了1次加法；在v2，v3，v4，v5 中各做了1次加法，1次乘法．因此，共做了4次乘法，5次 加法．
规律方法 (1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数， 即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不 为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法， 直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大 公约数．
(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤 是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简． 也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．
高中数学教案1.3算法案例3新课标必修三
教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计。
教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计。
这种方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法称为除k取余法.
例4．设计一个程序，实现“除k取余法”。
算法步骤：
程序框图
程序：
三．巩固练习：
2．P45练习3
四．小结：
(1)进位制的概念及表示方法；
(2)十进制数与k进制数之间转换的方法及程序。
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如上例中：
十进制使用0～9十个数字。计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十，接着依次是百位，千位，万位…。例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，即
二、讲授新课：
1．进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。
如：“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制 。同一个数可以用不同的进位制来表示，比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的
十进制数与其他进位制数之间是怎样转化的呢？下面，我们用例子来说明。
例1：把二进制数110011(2)化为十进制数.
分析：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。
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1.理解进位制的概念.
2.掌握不同进制数之间的转化方法.
3.了解进位制之间转化的程序框图和程序.
1.进位制的概念及其表示 (1)概念:人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.满二进 k进制 一,就是二进制,满十进一,就是十进制,满k进一,就是______, k个 数字. k进制的基数是k,因此k进制需要使用____ (2)表示:一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k anan-1…a1a0(k) 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式_____________ (an,an-1,…,a1,a0∈N,0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k).
【变式训练】
将五进制数30241(5)转化为七进制数.
【解析】30241(5)=3×54+2×52+4×5+1=1946. 再将十进制数化为七进制数.
即30241(5)=5450(7).
2.进位制之间的转化 (1)k进制的数转化为十进制:若anan-1…a1a0(k)表示一个k进制的 数,则转化为十进制数为: an·kn+an-1·kn-1+…+a1·k+a0 anan-1…a1a0(k)=__________________________.
(2)非十进制的k进制数a(共有n位)化为十进制数b的算法步骤: 第一步,输入a,k,n的值. 第二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1.
=3×64+3×16+2×4+1=249.
答案:(1)22 (2)249
2.24005(7)=2×74+4×73+0×72+0×71+5=6 179,
故七进制数24005(7)化成十进制数为6 179.
答案:6 179
【规律总结】将k进制转化为十进制的方法技巧 (1)先将这个k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的 形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.如: anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0. (2)k的幂的最高次数是该k进制数的位数减去1,然后逐个减少1, 最后是零次幂,我们称这种方法为方幂法.
【探究总结】
1.k进制数的性质
(1)在k进制中,具有k个数字符号,例如十进制,有
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字.十六进制有0～9和
A,B,C,D,E,F共十六个数字.
(2)在k进制中,由低位向高位是按满k进一的规则进行记数.例 如十进制,满十进一,二进制满二进一.
2.对k进制数基数的两点说明 (1)若一个数为十进制数,其基数可以省略不写. (2)若是其他进位制的数,在没有特别说明的前提下,其基数必 须写出,常在数的右下角标明基数.
类型三
不同进位制之间的互化 210(6).
1.比较大小:85(9)
2.将五进制数434化为二进制数. 【解题指南】1.解答本题的关键是把它们化成十进制的数,再 比较大小. 2.先将五进制的数化为十进制的数,再化为二进制的数.
【自主解答】1.因为85(9)=5+8×9=77, 因为210(6)=0+1×6+2×62=78, 所以78>77, 也就是210(6)>85(9). 答案:<
;基数
【解析】6进制数由0,1,2,3,4,5组成,所以k=6,基数也为6. 答案:6 6
一、k进制化为十进制 在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人 曾以手指记数有关,爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十 二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个 月、一小时六十分的历法.根据进位制的有关概念,思考下列问 题:
【解题指南】1.按照k进制化十进制的算法可得结果. 2.只需将该数写成其各位上的数字与7的幂的乘积之和的形式, 再计算即可化为十进制数.
【自主解答】1.10110(2)=1×24+
0×23+1×22+1×21+0×20=16+4+2=22.
3321(4)=3×43+ 3×42+ 2×41+ 1×40
【变式训练】 (1)将101101(2)转化为十进制的数. (2)将148(7)转化为十进制的数. 【解析】 (1)101101(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45. (2)148(7)=1×72+4×71+8×70=85.
类型二
十进制化为k进制 .
1.解题指南】1.利用除5取余法. 2.利用除3取余法.
1.下列说法正确的是 A.12(2)是二进制数
(
)
B.十六进制就是满16进一 C.不同进制的数可以直接比较大小 D.十进制的数化为二进制的数采用除10取余法 【解析】选B.A中有数2,不对,B正确,不同进制的数不可以直接 比较大小,化成同进制的数可以比较大小,C错误;D应为除2取余 法.
2.以下各数有可能是五进制数的是 A.15 B.106 C.731
(
)
D.21340
【解析】选D.五进制数中各个数字均是小于5的自然数,则仅有 21 340满足,故选D.
3.计算机使用的是
进制数.
【解析】计算机使用的是二进制数. 答案:二
4.日常所用的时间(时、分、秒)采用的是 满 进一.
进制,
【解析】时间采用六十进制,满六十进一. 答案:六十 六十
5.k进制所用数字为0,1,2,3,4,5,则k= 为 .
第三步,b=b+aiki-1,i=i+1.
i>n 是否成立,若是,则执行第五步;否则,返回第 第四步,判断____
三步.
第五步,输出b的值.
除k取余法 用k连续去除十进制 (3)将十进制化为k进制,用__________,
倒序写出 数所得的商,直到商为零为止,然后将所得的余数_________,
即为相应的k进制数.
探究1:常见的进位制有:二进制,七进制,十进制,十二进制,六 十进制,它们的基数分别是什么? 提示:它们的基数分别是:2,7,10,12,60. 探究2:7进制数12(7)中的1,2分别表示什么? 提示:1表示1个71,2表示2个70.即12(7)=1×71+2×70=9.
探究3:k进制数的组成数字有哪些?如果k=8,那么在八进制中, 组成的数字有哪些?组成规律是什么? 提示:k进制数组成的数字有0,1,2,…,k-1共k个数.在八进制中 一定有:基数是8,一共有0,1,2,3,4,5,6,7这八个不同的数字; 组成规律是:“满八进一”,如:7+1=10(8).
2.先将五进制数化为十进制数. 434(5)=4×52+3×51+4×50=119, 再将十进制数119化为二进制数.
则119=1110111(2), 所以434(5)=1110111(2).
【规律总结】比较不同进位制数之间的大小关系的两个注意点 (1)比较大小一定在同进制下才可以比较,否则大小关系没法确 定. (2)不同进制之间相互转化可以借助十进制作跳板来进行.
二、十进制化k进制 根据十进制数89化为二进制数的竖式表示,思考下列问题:
探究1:如图这种算法一般叫做什么方法? 提示:这种算法叫做除2取余法. 探究2:把十进制数化为k进制数的算法是什么? 提示:把除2取余法推广为十进制数化为k进制数的算法,叫做除 k取余法. 探究3:如何进行两个非十进制数之间的转换? 提示:以十进制数作为桥梁,先将一个进制的数转化为十进制数, 再将十进制数用除k取余法转化为另一进制的数.
【自主解答】1.
故89=324(5) 答案:324(5)
2.用除3取余法可得:
所以22=211(3).
【规律总结】十进制化为k进制的步骤 (1)用k连续去除十进制数或所得的商,直到商为零为止. (2)把各步得到的余数倒写就是相应的k进制数.
【变式训练】
将十进制数25转换为二进制数.
【解析】
把上式中各步所得到的余数从下到上排列,就得到25=11001(2).
【探究总结】除k取余法的两个关注点 (1)要连续除:用k连续去除十进制数或所得的商,直到商为零为 止. (2)倒着写:把各步得到的余数倒写(即从下到上排列)就是相应 的k进制数.
类型一
k进制化为十进制
1.把下列各进制的数化为十进制. (1)10110(2)= (2)3321(4)= . . .
2.把7进制数24005(7)化为十进制数的结果为