4.第四章因式分解
第四章因式分解
4.1 因式分解
专题利用因式分解解决整除问题
1．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？
为什么？
2．利用因式分解说明257-512能被60整除．
3．817-279-913必能被45整除吗？试说明理由．
参考答案
1．解：设该两位数个位是b，十位是a，且a≠b，则这个两位数是10a+b，将十位与个位对调后的数是10b+a.
则这两个两位数的差是|10a+b-（10b+a）|=9|a-b| ，
所以这两个两位数的差一定能被9整除．
2．解：∵原式=514-512=512（52-1）=24×512=120×511，
∴257-512能被60整除．
3．解：能. 理由：817-279-913
=328-327-326
=324（34-33-32）
=324×45，
∴817-279-913必能被45整除．
4.2 提公因式法
专题提公因式法的探究题
1．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
(1)上述因式分解的方法是法，共应用了次；
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2014，则需要应用上述方法次，因式分
解后的结果是；
(3)请用以上的方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数)，必须有简要
的过程.
2．阅读下面的因式分解并回答问题：
提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法，怎么办呢？
由于am+an=a(m+n)，bm+bn=b(m+n)，而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
这样就有：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.
请利用上面提供的方法因式分解：2a+6b-3am-9bm.
参考答案1．解：（1）提公因式 2
（2）2014 (1+x)2015
（3）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n
=（1+x）[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n-1]
=（1+x）2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n-2]
…
=（1+x）n+1.
2．解：2a+6b-3am-9bm
=（2a+6b）-（3am+9bm）
=2（a+3b）-3m（a+3b）
=（a+3b）（2-3m）.
4.3 公式法
专题创新探究题
1．设a1=32-12，a2=52-32，…，a n=（2n+1）2-（2n-1）2（n为大于0的自然数）.
（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．
2．观察下列等式：12+（1×2）2+22=9=（12+1+1）2，22+（2×3）2+32=49=（22+2+1）2，32+（3×4）2+42=169=（32+3+1）2，42+（4×5）2+52=441=（42+4+1）2，52+（5×6）2+62=961=（52+5+1）2，…
（1）根据以上运算，你发现了什么规律，用含有n（n为正整数）的等式表示该规律；
（2）请用因式分解的知识说明你发现的规律的正确性．
3．观察：22－12=)1
2
)(
1
2(-
+=
22
)2
1(⨯
+=3，
42－32＋22－12=)3
4
)(
3
4(-
+＋)1
2
)(
1
2(-
+=（4+3+2+1）=
24
)4
1(⨯
+=10，62－52＋42－32＋22－12=)5
6
)(
5
6(-
+＋)3
4
)(
3
4(-
+＋)1
2
)(
1
2(-
+
=（6+5+4+3+2+1）=
26
)6
1(⨯
+=21.
探究：(1) 82－72＋62－52＋42－32＋22－12=_______________（直接写答案）；
(2)（2n）2－(2n-1)2＋(2n-2)2－(2n-3)2＋…＋22－12=______________（直接写答案）；应用：（3）如图，2013个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最里面一层画阴影，最外面的圆的半径为2013 cm，向里依次为2012 cm，2011 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少（结果保留π）？
参考答案
1．解：（1）∵a n=（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，n为非零的自然数，
∴a n是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为两个连续奇数的平方差是8的倍数.
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数.
2．解：（1）规律：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=（n2+n+1）2.
（2）说明：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+（n+1）2
=n2（1+n2+2n+1）+（n+1）2
=n2[n2+2（n+1）]+（n+1）2
=n4+2n2（n+1）+（n+1）2
=（n2+n+1）2．
3．解：（1）36
（2）n(2n+1)
（3）π×20132－π×20122＋…＋π×32－π×22＋π
=π（20132－20122＋…＋32－22＋1）
=π（2013＋2012＋…＋3＋2＋1）
=2027091π.
北师大数学八年级下册第四章-因式分解经典讲义
第01讲_因式分解知识图谱 因式分解 知识精讲 概念（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样 的式子变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式， （2）因式分解与整式乘法是互逆过程 2 222 () 2() a a b a a b x yx y x y -=- ++=+ （√） （√） 注意事 项（1）分解的对象必须是多项式； （2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式； （3）要分解到不能分解为止 2323 623 x y x y =⋅（×） 2 (1)(2)2 x x x x +-=--（×） 322 9633(32) a a a a a a -+=-（×） 概念（1）多项式() am bm cm m a b c ++=++，其中m叫 做这个多项式各项的公因式 （2）m既可以是一个单项式，也可以是一个多项 式 （1）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3 的公因式是5m2n （2）m(n-2) -m2(2-n) 可化简为m(n-2)＋m2(n-2)， 公因式是m (n-2) 分解因式得m(n-2) (m＋1)
步骤 （1）公因式的系数——找各因式系数的最大公约 数 （2）公因式的字母——各因式中相同的字母 （3）相同字母指数——取各字母指数的最低次幂 平方差公式 （1）()()22a b a b a b -=+- 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积 ()()() 2 2249232323x x x x -=-=+- 完全平方公式 （1）()2 222a ab b a b ±+=±其中，222a ab b ±+叫做完全 平方式 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于 这两个数的和(或差)的平方 ()()() 22 2 2 2 41292223323x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=- 三点剖析 一．考点：1．概念；2．提公因式法；3．公式法． 二．重难点：提公因式法；公式法 三．易错点：没有分解彻底，一定要分解到每一项都不能再分解为止． 概念 例题1、 下列各等式从左到右的变形是因式分解，且分解正确的是（ ） A.ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ） B.a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1 C.（x ＋5）（x －1）＝x 2－4x －5 D.2211 ()42 x x x -+=- 【答案】 D 【解析】 A 、公因式是x ，应为ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ＋1），故本选项错误； B 、a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b －1），分解不彻底，故本选项错误； C 、右边不是积的形式，故本选项错误； D 、完全平方公式分解因式，故本选项正确． 例题2、 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ） （1）2 (1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323 623x y x y =⋅ （4）2 4(2)(2)x x x -=+-
第四章 因式分解
第四章 因式分解 1.因式分解 一、基本知识点 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。 （1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。 2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用 1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ） 22221 (a+3)(3)9;1(1) ();2x 3)(32) A a a B x x x C a b a b D y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。 (2)求m 的值。 3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形， 根据图形，写出一个因式分解的等式。 4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置， 则原数与新数之差能被99整除。 5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5） 6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。 7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。 8、试说明817－279－９１３ 能被４５整除。 ２．提起公因式法 一、基本知识点 １、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。 ２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。 ３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。 二、知识拓展与应用 １、把下列各式分解因式 （１）8x 3y 2－12xy 3z; (2) 9x n+1－27x n (3) 6(a －ｂ）３ －9b(a －b)2 (4) －4m 3+16m 2－26m （5）6a(b －a)2－3(a －b)3 2、利用因式分解简化计算 4111 (1)67923937191919? ????、－－；（）、－133 20142014 20142015 2342014992015122?+-+-（）、；（）、（） 3、探讨32014－4×32013+8×32012 能被10以内的哪几个整数整除？ 4、分解因式：1+x+x （x+1)+x(x+1)2+……x （x+1)2014 m n n 4.1.1图
第四章 因式分解 公式法(第二课时)优秀教案
第四章因式分解 3．公式法（二） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。 学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验． 二、教学任务分析 学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。 本节课的具体教学目标为： 1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式． 2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。 3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——自主小结——作业布置． 第一环节 复习回顾 活动内容： 活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法． 注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容． 第二环节 学习新知 活动内容： 活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222b ab a +±的多项式称为完全平方式． 注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互
八年级下册数学第四章因式分解教案
八年级下册数学第四章因式分解 §1、因式分解 一、因式分解的概念 1、 下列有左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？ (1)ab+ac+d=a(b+c)+d (2)a 2-1=(a-1)(a+1) (3)(a+1)(a-1)=a 2 -1 （4）（x+2y ）（x-2y ）=x 2-4y 2 （5） x 2y-xy 2-1=xy （x-y ）-1 （6） a 2-4ab+4b 2=（a-2b ）2 （7）ax+ay+a=a （x+y ）（8） （9） （10） （11） （12）a （x ＋y ）＝ax ＋ay （13） X 2－4x ＋4＝x （x －4）＋4 （14）10x 2－5x ＝5x （2x －1） （15）X 2－16＋3x ＝（x ＋4）（x －4）＋3x （16）、mx+nx+k=（m+n ）x +k ； （17）14x 2y 3=2x 2•7y 3； （18）（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2； （19）4x 2-12xy+9y 2=（2x-3y ）2 二、因式分解与整式乘法的关系 1、根据乘法运算的算式，把下列多项式因式分解 (1) 36–25x 2 ; (2) 16a 2 –9b 2 ; 1.36-x 2 （3）a 2- b 2 （4）x 2-16y 2 （5）x 2y 2-z 2 （6） 9(a+b)2 –4(a –b)2 . （7）(x -2)2 -9 (8)(x +a )2 -(y -b )2 (10)814-a ； (9)-25(a +b )2 +4(a -b ) (11)xy xy 09.0413+- ；(12)()()a y a x -+-1122； （13）222 1 2y x -. 2、根据乘法运算的算式，把下列多项式分解因式．分解因式： （1）15a 2－25a b 2＝________； （2）4x 6－1＝________； （3）2x 2＋x y －y 2＝________； （4）9m 2＋6m n ＋n 2＝________． 三、因式分解与整式乘法关系的应用 1、若ax+A 能分解为a （x-2y+3）,则A= 2、若x^2+ax+a -3因式分解结果为(x+b)(x -1),分别求a 、b 的值 3、如果x m -1因式分解的结果是（x 2+1）(x+1)(x -1)，则m 的值为 4、如果多项式x 的平方+ax+b(a,b 都是常数)因式分解的结果是(x -1)(x+3) 那么ab= 5、若x 2+5x+c 因式分解的结果为（x+b ）(x+3),则b= ,c= 6、把x 2+5x+c 分解因式，得（x+2）（x+3），则c 的值=______． 7．如果把多项式x 2 —8x+m 分解因式得（x —10）（x+n ）,那么m=_________,n=_________． 8．若4a 2 +kab+9b 2可以因式分解为（2a —3b ）2,则k 的值为_________． 9．若x —1是x 2 —5x+c 的一个因式,则c=_________． 10．将关于x 的二次式2x 2 +4x+k 分解因式,若有一因式为（x+3）,则实数k=________． 11．9x 3y 2 +12x 2y 2 —6xy 3 中各项的公因式是_________． 12因式分解：（x+y ）2—3（x+y ）=_________．13将x+x 3 —x 2 分解因式的结果是_________． 四、利用因式分解解决整除问题 1、试探究817 -279 -913 能否被45整除 6、利用因式分解说明:36^7-6^12能被140整除
8年级数学北师大版下册教案第4章《因 式 分 解》
教学设计 因式分解 1 课标分析 一、内容标准：课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。对于本节，在内容标准上没有具体的要求。 二、数学思想方法,核心概念：教材从因数分解的例子入手，让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化，发展从特殊到一般的思考问题的方法；通过类比数的分解体会因式分解的意义，体会数学知识之间的相互联系，发展学生的类比思想；经历借助拼图解释整式变形的过程，帮助学生从几何的角度理解代数，渗透数形结合思想，体会几何直观的作用；给出因式分解的概念后，再由一般回归特殊，设计一组特例，通过对整式乘法运算与因式分解的对比，充分感受两者之间互为逆过程的关系，发展学生的逆向思维，进一步体会数学知识间的联系；为体会因式分解的意义，在应用环节，借助因式分解将问题转化，简便运算，渗透转化、最优化思想。十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的运算能力、几何直观、应用意识。 2 教材分析 一、教材地位： 本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。属于“数与代数”领域中（一）数与式中的“整式与分式”。因式分解是代数
式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。 二、重点、难点分析： 了解因式分解的意义及其本质属性是学习整章因式分解的关键，由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在七年级整式乘法的较长时间的学习，学生容易造成思维定势，产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。 所以确定： 重点：体会因式分解的意义及因式分解与整式乘法的相互关系 难点：因式分解与整式乘法的相互关系 3 学情分析 一、学习条件和起点能力分析： 1.学习条件分析： （1）必要条件：因数分解，用字母表示数，整式的乘法运算，借助拼图验证关系式，类比、转化的学习方法，初步的逆向思维能力。（2）支持性条件：七年级学生已经掌握了整式的乘法运算，已经熟
第四章 分解因式
第四讲 分解因式 考点综述： 分解因式在中考中要求学生了解分解因式的意义及其与整式乘法之间的关系，并体会两者之间可以相互转化的辩证思想，要会用提公因式法以及公式法进行因式分解。此类考题多以选择、填空方式出现，探究性、开放性的问题也是考查的热点。 中考课标要求 考点精析： 考点7：因式分解 （1）因式公解的概念 把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。 注意：①分解结果一定是积的形式； ②每个因式必须为整式 ③每个多项式分解到不能再分解为止 （2）因式分解的方法 ①公式法：用乘法公式进行因式分解的方法 常用公式：2 2 2 2 2 )(2),)((b a b ab a b a b a b a ±=+±-+=-。 注意：检验因式分解是否正确，只需把结果用乘法公式计算出来与原式相对照即可。 ②提取公因式法： 公因式：多项式中每一项都含有的相同的因式 公因式的找法：取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因数。各项中相同的字母（或相同的多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们最低次幂。 提取公因式法：把一个多项式各项的公因式提出来进行因式分解的方法。 注意：平时解题时，应先考虑用提取公因式法，再用公式法。 典型例题： 例1：填空： （1）（2007盐城）分解因式：2x －9＝ . （2）(2008龙岩)分解因式：=+ab a 2 . （3）（2007浙江金华）分解因式：2218x -= ． （4）(2008年宁波市)分解因式221218x x -+= ． 例2：分解因式： （1）（2007义乌）2xy 9x - （2）（2008株洲）3269x x x -+ 例3：（2007烟台）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 ． 例4：（2006临安）阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为?ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断?ABC 的形状。 解： a c b c a b A 222244 -=-() 22 2 2 2 2 2 2 22 ()()()() ()ABC c a b a b a b B c a b C ?∴-=+-∴=+∴是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： . 实战演练： 1.（2007晋江）下列因式分解正确的是（ ） A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432 -+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(2 32y x y xy x y x xy y x +-=+- 2．(2008安徽)下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A ．2 x xy - B ．2 x xy + C ．22x y - D ．22 x y + 3.（2008赤峰）把2 3x x c ++分解因式得：2 3(1)(2)x x c x x ++=++，则c 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3- 4.（2008宁夏）下列分解因式正确的是（ ）
数学北师大版八年级下册北师大版数学八年级下册第四章第一节《因式分解》
北师大版数学教材八年级下册第四章《因式分解》 1．因式分解 陕西省南郑县濂水镇初级中学杜锐 总体说明 因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系。通过对因式分的学习，不但可以培养学生的逆向思维能力，而且为后面学习分式的化简与运算、解一元二次方程奠定了重要基础。学生已有的因数分解和整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础。 这节课是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 一、教学任务 1.教学目标 （1）经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法。 （2）经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观。 （3）了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。 （4）感受因式分解在解决相关问题中的作用。 2.教学重点：因式分解的概念 3.教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法 二、教学过程 第一环节复习回顾： 问题（1）24能被6整除吗？ 问题（2）24还能被哪些正整数整除？ 设计意图：回顾因数分解的方法，为后面向因式分解过渡做铺垫。 第二环节比较探究：
1、思考交流 问题（1）993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，除了直接计算外，你还有其他 方法吗？把你的想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除 问题（2）993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1） = 99（99+1）（99-1） = 99×98×100 所以993-99能被100整除 设计意图：从对数字的因数分解到把一个算式因数分解，问题设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义，有助于学生对因式分解概念的理解。 2.想一想 （1）993-99还能被哪些正整数整除？ （2）我们解决这一问题的关键是什么？ 小结：关键是把993-99进行了分解因数变形，即化成了几个因数乘积的形式。 3.议一议 若a 表示一个大于1的整数，那么 （1）a 3-a 是整数吗？ （2）a 3-a 能被哪些数整除？ 类比研究993-99的方法研究a 3-a 所以a 3-a 能被a 、（a+1）或（a-1）整除 设计意图：通过这个过程，让学生思维体验从特殊到一般，从个体到一般事物规律的认知，提升学生的思维能力，从因数分解到因式分解自然过渡。 4、做一做 ) ()())(()(11111223+⨯⨯-=-+⨯=-⨯=-⨯=-a a a a a a a a a a a a a
第四章因式分解
第四章因式分解 第一节因式分解 课前预习 一、尝试归纳： 1、分解因式的概念：把一个多项式分解成 的形式，这种变形叫做 把这个多项式分解因式。 2、分解因式与整式乘法的关系： 是积变多， 是 多变积。 二、尝试练习： 1】计算下列各式： ①（m +4）（m －4）=__________; ②（y －3）2=__________; ③3x （x －1）=__________; ④m （a +b +c ）=__________; ⑤a （a +1）（a －1）=__________. （2）根据上面的算式填空： ①3x 2－3x =（ ）（ ）; ②m 2－16=（ ）（ ）; ③ma +mb +mc =（ ）（ ）; ④y 2－6y +9=（ ）2. 2】下列从左到右的变形时错误的是（ ） ()()()()2233.A x y y x B x y y x -=--=-- ()()..C x y x y D a b a b --=-+--=-- 典型题例： 例1：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）4a （a +2b ）=4a 2+8ab ; （2）6ax －3ax 2=3ax （2－x ）; （3）a 2－4=（a +2）（a －2）; （4）x 2－3x +2=x （x －3）+2 .小结特点： 变式练习：下列各式从左到右的变形， 是因式分解为（ ） .62.3A ab a b = ()()2.224 B x x x -+=-
()2 22.2C a ab b a b ++=+ ()2.212D x x x x --=-- 例2、连一连 小结方法： 变式练习：正方形的面积是2296x xy y ++，则正方形的边长是 。 课堂练习： 1、下列分解因式正确的是（ ） ()22.14412A m m m -+=- B 。()()25661x x x x ---=--+ C ．()232a b ab a b a ab b a b -+=-+ D 。()2 3532x x x x x -=-+ 2、把整式22mx mx m -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．2(1)m x - B 。()21m x + C 。()2 2m x - D 。()()11m x x -+ 3、从左边到右边是分解因式的有 ()()()()()()()()()()222211224,2113933,4111x x x x x x x x a a a x y x x y ??-+=-++=++ ??? -=-+-+=-++ 4、若多项式235x mx --分解因式后为()()57x x -+，则m 的值为 。 课堂方反馈：
2019年八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳(新版)北师大版
第四章 因式分解 1. 因式分解 2. 提公因式法 3. 公式法 一. 因式分解 ※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. ※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法 ※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化 成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+ ※2. 概念内涵: (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ ※3. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 公式法 ※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. ※2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((2 2b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- ¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((2 22244y x y x y x -+=-就没有分解到底. ※4. 运用公式法: (1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. ※5. 因式分解的思路与解题步骤:
第四章因式分解复习课教学设计
第四章因式分解 回顾与思考 江西省九江市同文中学钟敏 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力． 3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学
八年级下册第四章因式分解讲义及中考题
八年级下册第四章因式分解 一、因式分解 知识点一因式分解的概念： 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这种变形叫做因式分解。 掌握因式分解的概念注意： 1、因式分解必须是针对多项式而言，单项式不能进行因式分解 2、因式分解的结果必须是整式 3、因式分解要一直分解到不能再分解为止 知识点二、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形式；整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。因式分解与整式乘法正好相反，是互逆运算。 二、提公因式法 知识点一、公因式 定义：把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式 公因式可以是代数式中的常数项、单项式、多项式 确定公因式的方法： 1、找系数：取多项式中各项系数的最大公约数 2、找字母：取各项都含有的字母，并取相同字母的最低次幂 3、它们的积即为公因式 注意：若多项式的第一项的系数是负的，提取的公因式将负号一并提出 知识点二、用提公因式法因式分解 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。 注意：1、若多项式的第一项的系数是负的，提取的公因式将负号一并提出2、当多项式的某一项与公因式相同，在提取公因式后应补上1 3、注意一些隐含的公因式存在 三、公式法 利用()()b a b a b a- + = -2 2和()2 2 22b a b ab a± = + ±乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法 【巩固训练】 1、判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？（1）()()y x y x y x2 2 42 2+ - = -（2）()xy x y x x6 2 3 22- = - （3）()1 10 25 1 52 2+ - = -a a a（4）()2 22 4 4+ = + +x x x （5）（a＋3）（a－3）=2a－9 （6）()()2 2 4 2- + = -m m m 2．（2013江西南昌）下列因式分解正确的是（）．A．) ( 2y x x x xy x- = + - B．2 2 2 3) ( 2b a a ab b a a- = + - C．3 )1 ( 4 22 2+ - = + -x x x D．)3 )( 3 ( 9 2- + = -x x a ax 3．（2013河北省）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 A．a(x－y)＝ax－ay B．x2+2x+1＝x(x+2)+1 C．(x+1)(x+3)＝x2+4x+3D．x3－x＝x(x+1)(x －1) 4．（2013年佛山市）分解因式a a- 3的结果是( ) A．)1 (2- a a B．2)1 (- a a C．)1 )( 1 (- +a a a D．)1 )( (2- +a a a 5. （2012青海西宁）下列分解因式正确的是( )
第四章 因式分解1.因式分解
第四章因式分解 1．因式分解 总体说明 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上实行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。所以学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义． 本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 一、学生知识状况分析 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，所以，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础． 学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点． 二、教学任务分析 基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，所以，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学水平，如：类比思想，逆向运算水平等。所以，本课时的教学目标是： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念． 2.理解因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能使用这种关系寻求因式分解的方法． 3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。 4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的水平，培养学生的分析问题水平与综合应用水平．
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解教案新版北师大版20210420238
第四章因式分解 1因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一.情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二.思考探究，获取新知 问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据. （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 【教学说明】 老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 【归纳结论】 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
北师大版初二数学下册第4章《因式分解》
第四章：因式分解 多项式的因式分解 教学目标 （一）教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. （二）能力训练要求 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力. （三）情感与价值观要求 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系. 教学重点 1.理解因式分解的意义. 2.识别分解因式与整式乘法的关系. 教学难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 教学方法 观察讨论法 教学过程 一、讲授新课 1.讨论6等于2乘以哪个整数？你是怎样想的？与同伴交流. ［生］6=2×3 讨论x2－1等于x+1乘以哪个多项式？ ［生］因为（x+1）（x－1）= x2－1 （1） 所以x2－1=（x+1）（x－1）（2） ［师］从上面的过程看，等号左边是一个数或一个多项式，而等号右边是变成了几个数或多项的积的形式. 2、分析 因式：一般地，对于两个式项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么，
把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式。 ［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）. 3、做一做： 例：解方程x2－1=0 把式子左端的多项式因式分解，得： （x+1）（x－1）=0 所以x+1＝0或x－1＝0 即x＝－1或x＝1 因此方程的解是x＝－1或x＝1。 二、课堂练习 P4练习题1、2 三、课时小结 本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形。 四、课后作业： P4习题1.1A组1、2、3.
第四章因式分解基于课程标准的教学设计
科目数学设计者陈永亮学校新村二中 授课班级学生人数 课题____公式法（1）____ 课型新授授课日期 一、课标描述 根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。因此平方差公式是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习重点 二、教材分析 分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。 三、学情分析 学生已经学习了乘法公式中的平方差公式，在上一节课学习了提公因式法分解因式，初步体会了分解因式与整式乘法的互逆关系，为本节课的学习奠定了良好的基础。学生已经建立了较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。 四、学习目标： 1、掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式分解因式 五、评价方案设计 1、针对目标一，采用书面练习的方式进行测评； 六、教学重点和难点
七、教学流程设计 八、作业设计： 一、问题引入： 1．用字母表示乘法公式中的平方差公式为： ， 把该公式反过来，可以得到： ，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ 2．请大家观察式子a 2－b 2 ,找出它的特点：是一个 项式，每项都可以化成整式的 ， 他们的符号 . 如果一个 项式，它能够化成两个整式的平方 ，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 二、基础训练： 1．下列因式分解正确的是（ ） A ．()()y x y x y x -+=+2 2 B ．()()y x y x y x -+=-2 2
浙教版七年级数学下册 第四章 因式分解复习教案
第四章 因式分解 一、提公因式法. 知识点1：分解因式的定义 1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的 乘法互为逆运 算。 分解因式需知； （1）只有多项式才能够分解因式，单项式不能分解因式 （2）结果必须是整式，不能有分式出现 （3）结果必须是积的形式 【经典例题】 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： ①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （ ） ② )49)(49(4922y x y x y x -+=- （ ） ③ 9)3)(3(2-=-+x x x （ ） ④)2(22 2y x xy xy xy y x -=+- （ ） 知识点2：公因式 公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的确定： （1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式； 【经典例题】： 1错误！未指定书签。．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________ 2错误！未指定书签。．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．24ab c - B ．38ab - C ．32ab D ．3324a b c 3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________ 知识点3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
2021年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习知识点分类训练(附答案)
2021年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习知识点分类训练（附答案）1．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（） A．0B．﹣1C．2D．1 2．下列因式分解正确的是（） A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q）B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1） C．2p+2q+1＝2（p+q）+1D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 3．已知a﹣b＝﹣2，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（） A．﹣2B．2C．﹣4D．4 4．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6B．±12C．﹣13或11D．13或﹣11 5．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（） A．2019B．2020C．2021D．2022 6．若＝8×10×12，则k＝（） A．12B．10C．8D．6 7．若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是（）A．﹣4B．4C．﹣2D．±4 8．若多项式x2+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2），则常数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣6D．6 9．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．7 10．已知a＝2022x+2023，b＝2022x+2024，c＝2022x+2025，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（） A．0B．1C．2D．3 11．计算248﹣26的结果更接近（） A．248B．247C．242D．240 12．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c） C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
第4章 因式分解(培优篇)含答案
第4章因式分解（培优篇）含答案 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.下列各式因式分解正确的是（） A∙ X2 - a2=(χ-a)2 B. 4a2 +41+1 = 42Q + l)+1 C. -x1 +4x= -τ(τ + 4) D∙/-4炉= 2.如图，边长为a, b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为（ a A. 15 B. 30 C∙ 60 D∙ 78 3.计算(-2严9+(-2严刈等于( ) A. -23999 B. -2 C. -21999 D. 2,"9 4.把多项式(3a-4b) (7a-8b) + (lla-12b) (8b-7a)分解因式的结果( A. 8 (7a-8b) (a-b) B. 2 (7a-8b) 2 C∙ 8 (7a-8b) (b-a) D. -2 (7a-8b) 5.已知口也c 满足〃+4h= -7,h2-2c= 3,c2+ 2a= -2 ，^f∖a + b-c的值为( A. —4 B. —5 C. —6 D. -7 6.已知a - b=b - C=29 a2+b2+c2= 11,则ab-^-bc+ac=() A. -22 B. - 1 C. 7 D. 11 7.若"- c)(1 - b) (c- 1),则b+c∙的值是() A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 8.下列四个多项式，可能是2χ2+mχ-3(m是整数)的因式的是 A. x — 2 B. 2x+3 C. x+4 D. 2x2—1 9.已知m'-m∙l = 0,,贝∣J计算：m'-rRm+N的结果为( ). A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 10.如果多项式/-七+ 9能用公式法分解因式，那么k的值是( A. 3 B. 6 C∙ ±3 D∙ ±6