八年级数学下册第十六章二次根式知识点归纳及题型总结新版新人教版
二次根式知识点归纳和题型归类
一、知识框图
二、知识要点梳理
知识点一、二次根式的主要性质：
1.；
2.；
3.；
4.积的算术平方根的性质：；
5.商的算术平方根的性质：.
6.若，则.
知识点二、二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广：
2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，
3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）
1
21+-x （3）45++x x
（4）
（5）121
3-+
-x x
(6)
.
（7）若1)1(-=
-x x x x ，
则x 的取值范围是 （8）若1
31
3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2
2004a -=_____________；若433+-+-=
x x y ，则=+y x
6．设m 、n 满足3
2
9922-+-+-=
m m m n ，则mn = 。
7．若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，求m 的值． 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △为（ ）
10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< ⎪ ⎨⎧<-=>)0()0(0) (a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a 3.若化简|1-x|-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤4 4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 5. 当-3 ③已知21915-=+-+x x ，求x x +++1519 ④已知a a x 1-=，求 2 2 4242x x x x x x +-++++ （2）变结论： ①设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。②y - 211,y m y y +=则 的结果为（ ） ③.已知12,12+=-=y x ，求 xy y x x y y x 33++++ ④若315,35-=-=+xy y x ，求y x +的值。 ⑤已知5=+y x ，3=xy ，（1）求x y y x + 的值 （2）求y x y x +-的值 （3）同时变条件与结论 ： 已知： ，求 的值． 五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题 1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值 4.若a ，b 为有理数，且8+18+8 1=a+b 2，则b a = . 六．二次根式的比较大小（1）322005 1 和 （2）－5566-和 （3）13151517--和 （4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >> 七．实数范围内因式分解： 1. 9x 2－5y 2 2. 4x 4－4x 2＋1 3. x 4+x 2－6 19. 已知：11a a +=+221 a a +的值。 20. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 21. 已知()1 1 039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 第16章二次根式小结与复习 教学目标： 1、了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则； 2、用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算； 3、会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。 教学重难点： 重点：二次根式的性质和运算. 难点：整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用 教学过程： 一、回顾与思考 本章在数的开方知识的基础上，学习了二次根式的概念、运算法则和加减乘除运算. 对于二次根式，要注意被开方数必须是非负数.在二次根式的运算和化简中，要利用运算法则.二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化为最简二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了。二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都可以运用，二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去。 至此，我们已经学习了整式(单项式、多项式)、分式、二次根式等代数式的概念和运算，因为字母表示数，所以代数式的运算也就是含有字母符号的算式之间的运算，实际上就是用实数的运算律对这些符号进行运算. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1.什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？ 2.二次根式运算的结果必须是最简二次根式.什么是最简二次根式？试举两例. 3.二次根式的乘、除法法则是什么？ 4.积的算术平方根、商的算术平方根等于什么？ 5.怎样进行二次根式的加减法？ 6.怎样进行二次根式的混合运算？ 二、本章知识结构图 三、知识点梳理 1、二次根式的概念：一般地，形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式。对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a ≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 2、二次根式的性质 3、最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式． 4.二次根式的乘除法则： 5、二次根式的加减：可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次平方根 化简（最简二次根式） 二次根式 算术平方根 基本性质 乘除法则 乘除运算 混合运算 加减运算 字母表示数 分配律 第十六章二次根式 思维导图 【二次根式】 (1)二次根式的概念 一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号,“a”称为被开方数. (2)二次根式概念的理解 ①“2”中一般把根指数2省略,写作“”,但不要误认为根指数是1或没有. ②二次根式a中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等。 ③a≥0是a为二次根式的前提条件,如2，9，a2+b2，x-y (x>y)是二次根式， 而-2，-(x+1) (负数没有算术平方根)不是二次根式。 ④形如b a (a≥0)的式子都是二次根式，如56是二次根式. 【二次根式有意义的条件】 (1)对于二次根式a 来说,被开方数a 必须是一个非负数,即a≥0,当a 是一个代数式时，可根据二次根式的概念来确定a 中字母的取值范围，如2-x 是一个二次根式，则2-x≥0，∴x≤2. (2)①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是使各个二次根式中的被开 方数都必须为非负数。例如:要使x-1 +3-x 有意义,则x-1≥0且3-x≥0, ∴1≤x≤3 ②如果所给的式子中含有分母,那么式子有意义的条件是除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不能为零。 典例1 (中考)二次根式x-3中,x 的取值范围为 。 解析: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.则x-3≥0,解得x≥3 答案: x≥3 典例2 (中考)使代数式2x-1 3-x 有意义的x 的取值范围是 。 解析: 若要使代数式2x-1有意义,则x 需要满足2x-1≥0且3-x≠0,解得x≥1 2且x≠3 答案: x≥1 2且x≠3 【二次根式的性质】 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） 1 21+-x （3）45++x x （4） （5）121 3-+ -x x (6) . （7）若1)1(-= -x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 31 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-= x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 2 9922-+-+-= m m m n ，则mn = 。 7．若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 第16章二次根式 一、二次根式的概念 核心提要 1．二次根式的定义：形如________(其中a≥0)的式子叫做二次根式． 2．与二次根式相关的概念： (1)若x2＝a，则________是________的平方根； (2)a(a≥0)表示________的算术平方根． 知识点1：平方根与算术平方根 1．填空： (1)9的平方根是________； (2)25的算术平方根是________； (3)0的算术平方根是________； (4)a(a≥0)的算术平方根是________． 知识点2：二次根式的定义 2．下列式子中是二次根式的是() A．7B．3 7 C．x D．－7知识点3：二次根式有意义的条件 3．式子 1 x－1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A．x＜1B．x≤1 C．x＞1D．x≥1 4．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)x＋1；(2)2x； 变式1填空： (1)5的平方根是________； (2)11的算术平方根是________； (3)－3________平方根是(填“有”或“没有”)； (4)a(a≥0)的平方根是________． 变式2下列式子：①1 2；②－3； ③－x2＋1；④3 27；⑤（－3）2是二次根式的有() A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤ 变式3式子 x－1 x－2 在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A．x≥1B．x≥1且x≠2 C．x＞1D．x≤1且x≠2变式4当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)3－x；(2)－4x； 基础巩固 1.下列各式①1 2；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤ 3 5，其中 二次根式的个数有() A．1个B．2个 C．3个D．4个 2．下列式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3的是() A．2 x－3B． 1 x－3 C．x－3D．x－3 3．若使二次根式2x－6有意义，则x的取值范围是________ 4．若|3－a|＋2＋b＝0，则a＋b的值是________． 5．若式子4－x－x－3有意义，求x的取值范围． 6．若式子 1 1－3a有意义，求a的取值范围． 人教版八年级下册数学知识点归纳 第十六章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2） ???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：)0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥= ； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因 式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第16章 二次根式知识点复习 一、定义： 1、二次根式的定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，a 表示a 的算术平方根当a 小于0时。 2、最简二次根式的定义：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含开方开的尽的因数或因式。 注：在二次根式被开方数中，不能含有分数或者小数，幂的指数不能大于或等于2，分母中不含根式。 3、同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。 注：判断是否是同类二次根式，首先要把它们化简为二次根式，然后看被开方数是否相同。 二、二次根式a 的简单性质 1、双重非负性：二次根式a ≥0（被开方数a≥0） 2、()()02 ≥=a a a 3、 三、二次根式的有无意义的条件 1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 四、二次根式的乘法和除法 1、二次根式的乘法运算法则：(0,0)a b ab a b ?=≥≥ 2、二次根式的除法运算法则：(0,0)a a a b b b =≥ 五、二次根式的加法和减法 1、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 2、合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 注：在二次根式加减运算时，根号外的系数因式须保留假分数形式，如4037，不能写成5537 。 六、二次根式的混合运算 1、确定运算顺序 2、灵活运用运算定律 3、正确使用乘法公式 4、大多数分母有理化要及时 5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。 七、分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:当0,0a b ≥ 时，那么()2a b a b ab ab a b b b b b ?÷= ===? II.分母是多项式 如：当0,0,a b a b ≥≥≠时，那么 1()()a b a b a b a b a b a b --==-++- 一、选择题 1．下列说法：①带根号的数是无理数；②2(7)-与337-是互为相反数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a ＝2＋3，b ＝2－3，则a 、b 是互为倒数．其中错误的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（3+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x 不可能是（ ） A ．3+1 B ．53﹣1 C ．3﹣2 D ．1﹣3 3．已知x ，y 为实数，y x 323x 2= -+-+，则y x 的值等于（ ） A ．6 B ．5 C ．9 D ．8 4．下列式子中是二次根式的是（ ） A ．a B ．x 1+ C ．2x 2x 1++ D ．2- 5．下列计算正确的是（ ） A ．42=± B ．22423x x x += C ．()326328a b a b -=- D ．()235 x x x -=÷ 6．下列算式中，正确的是( ) A ．3223-= B ．4913+= C ．822-= D ．824÷= 7．下列各式中，错误的是（ ） A ．2(3)3-= B ．233-=- C ．2(3)3= D ．2(3)3-=- 8．下列二次根式中，能与2合并的是（ ） A ．23 B ．48 C ．20 D ．18 9．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+= B ．2236=（） C ．824+= D ．236⨯= 10．如图为实数a ，b 在数轴上的位置，则222()()()b a a b +---=( ) A ．-a B ．b C ．0 D ．a-b 11．下列二次根式能与22 ） A 12 B 24 C 18 D 6 12．下列计算正确的是（ ） A ．336a a a += B ．2331= 新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习 一、 第十六章 二次根式 知识回顾 ： 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含 开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式; 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相 同,则这几个二次根式就是同类二次根式; 4.二次根式的性质： 11a 2=a a ≥0； 2 ==a a 2 5.二次根式的运算： 1因式的外移和内移：如果被开方数中有的 因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,•变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 2二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 3二次根式的乘除法：二次根式相乘除,将被开方数相乘除,所得的积商仍作积商的被开方数并将运算结果化为最简二次 a a ＞0 a -a ＜0 0 a =0； ≥0,b ≥0；=≥0,a>0．4有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式,都适用于二次根式的运算 二、第十七章 勾股定理 归纳总结 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为 c,那么c b a 222=+ 应用： 1已知直角三角形的两边求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则 c =,b =,a = 2已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边; 2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足c b a 222=+那么 这个三角形是直角三角形; 应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一 种重要方法; 定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如 若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形 是直角三角形,但是b 为斜边 3、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 人教版八年级数学下册第十六章 二次根式小结与复习 知识点1：二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 知识点2：二次根式的性质： 1.=2)(a （a ≥0）, 2. a ≥0) 3. ⎪⎩ ⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a 知识点3：二次根式的乘除： 公式：⎪⎩ ⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b a b a b a 知识点4：二次根式的加减： 1.法则： 2.概念：⎩⎨⎧同类二次根式： 最简二次根式：.2.1 知识点5：二次根式化简求值步骤： 1．“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）； 2.“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； 3.“三化”：化去被开方数中的分母． 知识点6：二次根式的加减步骤： 1.化简； 2.判断；3分类；4.合并． 当堂小测： 1．下式中不是二次根式的为（ ） A ．12+b B ． ()0x x 且 3. a -5 4. 32 2 5. 2 17 6. (1)5579335 - (2)1521+ 7. 8 8. 2212- 9. －3 第十六章二次根式 【知识要点】 知识点一二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式是一个非负数。 3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a≥0）就表示a的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 二次根式的性质： 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 知识点二二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√a)^2=a（a≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。 二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： 二次根式的特点： 1.被开方数不含分母，例：； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 【二次根式运算中的注意事项】 一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若，则有； 第十六章 二次根式 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。定义包含三个内容: Ⅰ必需含有二次根号 “”；Ⅱ被开方数a ≥0；Ⅲ a 可以是数，也可以是含有字母的式子。 例1.下列式子中,是二次根式的有 _______(填序号) （1）32 （2）6 （3）12- （4）m -（m ＞0） （5）xy （6）12+a （7） 3 5 2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。 例2.当x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ ※二次根式中字母的取值范围的基本依据： （1）开方数不小于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。 例3.已知x 、y 为实数，且1y = ，求x y +的值． 3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a 例 4.若,x y 为实数，且20x ++ =，则2009 x y ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 4.二次根式的性质：（1）)0()(2 ≥=a a a （2）⎩ ⎨⎧≤-≥==)0() 0(2 a a a a a a 例5.利用算术平方根的意义填空 （1）从运算顺序来看；（2）从取值范围来看；（3）从运算结果来看 例6. 1、填空：（1）2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_______.（2）2)4(-π= 2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2 -+-x x 5.二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a ≥0，b ≥0）； a ≥0， b >0） 例7.计算：（1）9×27 （2）25×32 （3）a 5· ab 51 （4）5·a 3·b 3 1 例8.计算：①54 ②2212b a ③4925⨯ ④64100⨯ 例9.计算：（1 （2 （3 （4 6.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 例10.下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A ．18 B ．b a 2 C ．22b a + D ． 3 2 例11.计算：(1) 5 2 1312321⨯÷ (2) 2 1 5 41)74181(2133÷-⨯ 7.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 例12. 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8.二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 例13.计算： （1 ）2） x x x x 1246932-+（3）505 1 1221832++- 9.有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式， 都适用于二次根式的运算． 例14.计算： （1）（38+ ）×6 （2）22)6324(÷- （3）)52)(32(++ （4）2 )232(- （5） ）（ ） （6）12)3 2 3242731( ⋅-- 1)5(31)4(3 1)3(238)2(2)1(2+--+---x x x x x x x =2)4(=2)01.0(=2)31(=2)0(=24=201.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛2 31=20=-2)4(=-2)01.0(=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-2 31?)(22有区别吗与a a 八年级数学（下册）知识点总结 第十六章二次根式 1.二次根式概念：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）；=a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． △比较数值的方法 （1）、根式变形法 当0,0 a b >>时，①如果a b >>a b <<。 （2）、平方法 当0,0 a b >>时，①如果22 a b >，则a b >；②如果22 a b <，则a b <。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）； 二次根式（基础） 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：a≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们 进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二 次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3， 这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。 2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x为实数时，下列各式 ()2 223 --，x x x x x ,1,,,, ，， 属二次根式的有____ 个. 【答案】 3. 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于零. 【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3 -；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B. 新人教版八年级数学下册知识点归纳总结 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 八年级数学（下册）知识点总结 第十六章二次根式 1.二次根式概念：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）；=a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． △比较数值的方法 （1）、根式变形法 当0,0 a b >>时，①如果a b >>a b <<。 （2）、平方法 当0,0 a b >>时，①如果22 a b >，则a b >；②如果22 a b <，则a b <。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 a（a＞ 0） a -（a＜ 0） （a=0）； 八年级数学（下册）知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式概念：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． △ 比较数值的方法 （1）、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。 （2）、平方法 当0,0a b >>时，①如果2 2 a b >，则a b >；②如果2 2 a b <，则a b <。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较 231-与1 21 -的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；第16章 二次根式小结与复习(教案)八年级数学下册(人教版)
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