完全平方公式优秀教案

完全平方公式【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）知识与技能：理解完全平方公式的本质，并会运用公式进行简单的计算；了解完全平方公式的几何背景。

（二）过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识。

（三）情感与态度：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习的自信心。

【教学重难点】完全平方公式及其应用。

【教学过程】（一）前置诊断，开辟道路师：上一节课，我们学习了平方差公式，知道了应用平方差公式可以进行某些多项式乘法的简便运算。

那位同学能说一下平方差公式是什么？它的结构特征是什么？生：（积极踊跃，争先恐后）生：平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2；公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。

右边是两数的平方差。

师：应用平方差公式要注意什么问题？生1：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。

生2：（补充）把两个因式中相同的部分看作a，互为相反的部分看作b。

师：很好。

还记得我们是怎样用图形解释平方差公式的吗？生：利用图形变化前后的面积相等来解释的。

从一个边长为a大正方形中割掉一个边长为b的小正方形，剩下图形的面积可以用a2－b2表示，也可以用（a+b）（a－b）表示，就可以得到：（a+b）（a－b）=a2－b2师：（出示多媒体投影，使学生数形结合起来，帮助其理解。

）师：平方差公式实质上是特殊的多项式乘法的一种简便运算，是我们由一些特殊的多项式乘法的计算中分析得到的数学规律，应用它可以进行一些数或式乘法的简便计算。

数学中，还有很多规律等待我们去探索、去发现。

（二）设问质疑，探究尝试：请同学们观察屏幕上两个算式及其运算结果，你有什么发现？生：（观察、思考、交流、讨论、争相举手发表自己的发现）。

生1：我发现两个算式都是两个数和的平方，结果是三项，都有这两个数的平方。

师：很好。

生：我发现算式都是两个数和的平方，结果是这两个数的平方和，再加上这两个数的乘积的2倍。

师：太好了。

同学们看一下是这么回事吗？生：（齐声）是。

师：你能再举两例验证你的发现吗？生：（积极动手、动脑，验证结论，派代表发言。

）师：同学们是否都验证了这个发现？生：是。

师：你能用式子表示这个规律吗？生：能。

（举手）生1：（a+b）2=a2+2ab+b2。

师：（板书，进而问）你能验证这个规律吗？生：（用多项式乘法验证了正确性）师：用语言怎样叙述？生：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。

师：（板书）（出示投影）你能用图6－7解释这一公式吗？生：（思考、讨论后，积极举手）生1：和验证平方差公式一样，用两种方法表示图中大正方形的面积为：（a+b）2和a2+2ab+b2，这两个算式相等，就得到（a+b）2=a2+2ab+b2师：太棒了！刚才，我们从数和形两个方面验证了这个规律的正确性，今后遇见形如（a+b）2的式子，就可以用这个公式来计算。

如：（m+3）2=m2+2×3×m+9=m2+6m+9。

比较一下两种做法，哪一种较简单？生：用公式简单。

师：试着用公式计算：（2+3x）2。

生：（动手计算，体会公式可以使运算简便。

）（三）探究规律、形成结论：1．初识完全平方公式。

师：（出示投影）你能计算：（a－b）2吗？生：（思考、积极动脑，在练习本上试着计算。

）师：（巡视，发现两种不同解法，让这两名学生板演。

）生1：（a－b）2=（a－b）（a－b）=a2－2ab+b2生2：（a－b）2=[a+（－b）]2=a2+2a（－b）+b2=a2－2ab+b2师：看这两个同学的做法是否正确？他们是怎样做的？生：一个是利用多项式的乘法，一个是利用公式，把差的形式化成了和的形式，都正确。

师：很好！你能用语言描述一下这个结果吗？生：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

师：我们把这个规律也当成公式，和前面的公式合起来称为完全平方公式。

请你体会一下“完全”的含义。

生：（七嘴八舌，最后形成统一意见）“全部”的意思。

师：我们把（a+b）2=a2+2ab+b2称为和的完全平方公式，（a－b）2=a2－2ab+b2称为差的完全平方公式。

2．再识完全平方公式。

师：你能分析一下完全平方公式的结构特点，并用语言进行完整地描述吗？生：（讨论，争相回答）生1：结构特点：左边是二项式（两数和或差））的平方；右边是两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍。

生2：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。

师：很好。

学的东西多了，有的同学可能会记混，教你一个口诀便于记忆：首平方，尾平方，积的2倍放中央，是加是减看前方。

生：理解口诀，记忆公式。

（四）学以致用、巩固新知：师：完全平方公式和平方差公式一样，也是整式乘法中的重要公式，应用它们可以使运算简便。

（出示多媒体投影）1．用完全平方公式计算：（1）（2x−3）2；（2）（4x+5y ）2；（3）（12m−a ）2 生：分析算式的特点，找准谁相当于公式中的a ，谁相当于公式中的b ，试着用公式解题。

师：派两名同学板演，师生共同评价。

2．巩固练习。

计算：（1）2)221(y x -； （2）2)512(x xy +； （3）（2x 2－3y 2）2；（4）（n+1）2－n 2。

生：板演，师生共同评价。

师：发现学生有新解法，指名板演。

生：（n+1）2－n 2＝（n+1+n ）（n+1−n ）＝（2n+1）师：给出肯定，建议学生试着用这种解法做一做。

3．纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）（2a−1）2＝2a 2−2a+1；（2）（2a+1）2＝4a 2 +1；（3）（－a−1）2＝－a 2−2a−1。

生：分析错误原因，并改正。

（五）总结串联，纳入系统：师：引导学生从完全平方公式和平方差公式不同和解题过程中要注意的事项两方面总结本节课所学内容。

生：分析。

1．完全平方公式和平方差公式不同：（1）形式不同。

（2）结果不同：完全平方公式的结果是三项，即（a ±b ）2＝a 2±2ab+b 2；平方差公式的结果是两项，即（a+b ）（a−b ）＝a 2−b 22．解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边，做到不丢项、不弄错符号、2ab 时不少乘2。

于表现较差的学生，绝不可轻言放弃，则要适时地进行学法指导，使其领会数学的化归思想，学会用一般方法解决问题，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质。

本节课的不足之处在于，处理达标检测题目的时间有些紧，原因是学生对完全平方式的理解不是很好，变式训练题用的时间稍多一些，建议把变式训练放到课下探究，本节课练好完全平方公式的有关计算即可。

【第二课时】【教学目标】1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

2．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

3．通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固完全平方公式，同时帮助学生进一步理解2)(b a +与22b a +的关系。

【教学重点】1．运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

2．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

3．巩固完全平方公式，区分2)(b a +与22b a +的关系。

【教学难点】灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

【教学过程】（一）引导回顾，搭建桥梁［师］同学们，我们已经学完了完全平方公式，那么什么是完全平方公式？学生默写，找几个学生回答。

1．学生活动：提问学生积极回答问题，下边学生默写。

［生1］首平方，尾平方，2倍乘积加减放中央。

［生2］2222)(b ab a b a ++=+；2222)(b ab a b a +-=-。

［师］很好，利用公式完成下面的题目：（1）2)2(y x +；（2）2)32(y x +-；（3）2)32(y x --；（4）2)31(a -。

学生活动：同学们积极回答问题，学生板演，运用完全平方公式完成4道题。

［生1］答案为（1）224y x +；（2）2294y x +；［生2］答案为（3）229124y xy x ++；（4）2961a a +-。

［师］大家看作的好不好？［生1］第一个学生做错了，他忘了完全平方公式展开的是三项的，他漏掉了中间的二倍的乘积这一项。

［师］很好。

同学们平时做题的时候一定要注意展开的项数。

今天我们来进一步学习完全平方公式的应用。

（导入新课，师板书课题。

）（二）新课讲解1．自主探究：［师］如果没有计算器，我们该怎样计算2102，2197更简单呢？给同学们两分钟时间独立思考。

［生1］可以直接用102102⨯，197197⨯这样算出来。

［生2］可以把2102看作()22100+，运用完全平方公式展开。

同样可以把2197看作()23200-，再运用完全平方公式展开。

［师］很好。

同学们的思维很敏捷。

那同学们观察一下哪个同学的做法简便呀？［生1］第二个学生的做法简便。

［师］那同学们尝试把第二种做法写下来，找两个学生黑板板演。

［生1］2102=()22100+=21002221002+⨯⨯+10404440010000=++=。

［生2］2197=()23200-38809912004000033200220022=+-=+⨯⨯-=。

［师］写得非常好，和你对比一下，看谁写得更好？（教师对每位答案正确的学生都给予积极的评价和鼓励，如：好！很棒！这位同学思维敏捷！很扎实等，进一步调动学生的积极性。

）2．合作探究：［师］你们能不能利用已经学完的平方差公式和完全平方公式来解决下面的几道题？ 例3计算：（1）22)3(x x -+；（2）)3(++b a )3(-+b a ；（3）()()32)5(2---+x x x 。

［师］同学们，你们选一道题老师来解决。

（学生选择了第二题）［师］解：)3(++b a )3(-+b a =()[]3++b a ()[]3-+b a =223)(-+b a =9222-++b ab a 。

［生1］解：22)3(x x -+=2296x x x -++=96+x 。

［生2］()()32)5(2---+x x x =()65251022+--++x x x x=65251022-+-++x x x x =1915+x 。

［师］步骤写得非常好。

大家来观察一下第一题还有别的解题方法吗？学生活动：学生分组讨论，不容易想到借助逆向使用平方差公式来进行计算，教师巡视引导。

［生3］解：22)3(x x -+=)3(x x -+)3(x x ++=()323+x =96+x 。

3．巩固训练：［师］同学们做得很好，我相信下面的题同学们做得会更好，3分钟完成巩固练习。