六年级数学下《完全平方公式》第二课时导学案
《完全平方公式》第二课时参考教案
《完全平方公式》第二课时参考教案第一篇：《完全平方公式》第二课时参考教案1.8 完全平方公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系.2.运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.3.进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式.(二)能力训练要求1.在进一步巩固完全平方公式同时，体会符号运算对解决问题的作用.2.进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理.(三)情感与价值观要求1.鼓励学生算法多样化，提高学生合作交流意识和创新精神.2.从有趣的分糖游戏中，提高学习数学的兴趣.●教学重点1.巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学难点1.区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学方法活动探究法.●教具准备投影片四张第一张：提出问题，记作(§1.8.2 A)第二张：分糖游戏，记作(§1.8.2 B)第三张：例2，记作(§1.8.2 C)第四张：例3，记作(§1.8.2 D)●教学过程/ 7Ⅰ.创设情景，引入新课［师］上节课我们推导出了完全平方公式，现在我们来看一个问题：出示投影片(§1.8.2 A)一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少厘米2？［生］原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a －2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面积减少了(4a－4)平方厘米.［师］很好！这节课我们继续巩固完全平方公式.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来做一个“分糖游戏”.出示投影片(§1.8.2 B)一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？［生］根据题意，可知第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所以一共发了a2块糖.第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖.第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖.［生］前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab.由于a>0,b>0,所以2ab>0.2 / 7由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果.［师］为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因.(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花)［生］对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块.因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块.［师］不错！而这个游戏又充分说明了(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2≠a2+b2.下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现.出示投影片(§1.8.2 C)［例2］利用完全平方公式计算：(1)1022；(2)1972.如果直接计算1022，1972会很繁.根据题目的提示使我们想到1022可以写成(100+2)2，1972可以写成(200－3)2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试.［生］解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200－3)2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809 ［师］我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用.下面我们再来看一个例题(出示投影片§1.8.2 D)［例3］计算：(1)(x+3)2－x2;(2)(a+b+3)(a+b－3);(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).分析：(1)题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；(2)题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；(3)题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以避免符号上面出错.注意要为学生提供充分交流的机/ 7会.解：(1)方法一：(x+3)2－x2 =x2+6x+9－x2——运用完全平方公式 =6x+9 方法二：(x+3)2－x2=［(x+3)+x］［(x+3)－x］——逆用平方差公式=(2x+3)×3 =6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=［(a+b)+3］［(a+b)－3］=(a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6 =15x+19 ［例4］已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值.分析：由完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=(x+y)2－2xy,故可将x+y=8,xy=12整体代入求值.解：x2+y2=(x+y)2－2xy 把x+y=8,xy=12代入上式，原式=82－2×12=64－24=40 Ⅲ.随堂练习1.(课本P45)利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(a－b－3)(a－b+3)解：(1)962=(100－4)2 =10000－800+16=9216(2)(a－b－3)(a－b+3)=［(a－b)－3］［(a－b)+3］/ 7=(a－b)2－32=a2－2ab+b2－9 2.试一试，计算：(a+b)3分析：利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得(a+b)3=(a+b)2·(a+b),可以使运算简便.解：(a+b)3=(a+b)2·(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2ab2+2a2b+ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3 3.已知x+1=2,求x2+xx1x2x的值.解：由x+1=2,得(x+1)2=4.x2+2+1x2=4.所以x2+1x2=4－2=2.Ⅳ.课时小结［师］一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了，你有何收获和体会，不妨和大家共享.［生］在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系.［生］通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a,b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.…… Ⅴ.课后作业1.课本P45，习题1.14.Ⅵ.活动与探究Λ9×999Λ9+199Λ9 化简9991424314243123n个n个n个［过程］当n=1时，9×9+19=102 当n=2时，99×99+199=104 当n=3时，999×999+1999=106 ……于是猜想：原式=102n/ 7［结果］原式=(10n－1)(10n－1)+(2×10n－1)=(10n－1)2+2×10n－1 =102n－2×10n+1+2×10n－1 =102n ●板书设计§1.8.2 完全平方公式(二)一、糖果游戏(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2的总数较多，多2ab.结果：(a+b)2≠a2+b2二、例题讲解例2.利用完全平方公式计算(1)1022(2)1972 例3.计算：(1)(x+3)2－x2(2)(a+b+3)(a+b－3)(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)●备课资料参考练习1.选择题(1)下列等式成立的是()A、(a－b)2=a2－ab+b2 B、(a+3b)2=a2+9b2 C、(a+b)2=a2+2ab+b2 D、(x+9)(x－9)=x2－9(2)(a+3b)－(3a+b)计算结果是()A.8(a－b)2 B.8(a+b)2 C.8b2－8a2 D.8a2－8b2(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是()A.－25x4－16y4 B.－25x4+40x2y2－16y4 C.25x4－16y2 D.25x4－40x2y2+16y4(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是()/ 72A.(x2y2－1)2 B.(x2y+1)2 C.(x2y－1)2 D.(－x2y－1)2 2.填空题(1)(4a－b2)2=.(2)(－1m－1)22=.(3)(m+n+1)(1－m－n)=.(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B,则A= ,B=.(5)(a+2b)2－=(a－2b)2.3.用乘法公式计算：(1)9992;(2)20022－4004×2003+20032.4.已知,a+b=8,ab=24.求12(a2+b2)的值.5.已知x+1=4,求证x2+ 1xx2.6.已知：x2－2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.答案：1.(1)C(2)C(3)B(4)C 2.(1)16a2－8ab2+b4(2)1m24+m+1(3)1－m2－2mn－n2(4)－b2 b4(5)8ab 3.(1)998001(2)1 4.8 5.14 6.－2 7 / 7 第二篇：完全平方公式教案学习周报专业辅导学生学习完全平方公式在代数、几何中的两点运用完全平方公式是中学阶段运用较为广泛的一个公式.除了在一般计算过程中直接运用完全平方公式外，在一些代数、几何问题中，还会利用其进行解题，这也是各年中考中的一个必考知识点.另外，在公式的一些使用过程中，还结合了整体思考的数学思想，同时还对学生的逆向思维提出一定要求.主要体现在以下两个方面.一、利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值.有一类例1 已知a2+b2=1,a-b=分析：要求(a+b)4，直接求12，求(a+b)4的值.a,的值有一定的困难，因而可利用整体思想，设法求出(a+b)2，结合题目条件a2+b2=1，只需求出ab值.解：把a-b=a-2ab+b2212=两边同时平方，得34又因为a2+b2=1，所以2ab=a+2ab+b4222=1+491634 即(a+b)=74所以(a+b)=.22例3 已知x-3x+1=0，求（1）x+1x2；（2）x+1x41x4.分析：观察所求代数式的特征，x+21x2可由x+1x平方后整理得到.因而解题的关2键在于利用题目条件x-3x+1=0求出代数式x+的值.此处，再次利用了整体思考的数学思想.解：把x-3x+1=0两边同时除以x，得x-3+1x=0，即x+1x=3.2把x+21x=3两边同时平方，得1x+1x2x+2⋅x⋅=9，即 x+21x2=7学习周报专业辅导学生学习再把x2+421x2=7两边同时平方，得1x2x+2⋅x⋅+1x21x4=49，即x+441x144=47.=47.所以（1）x2+（2）x+=7；x二、利用完全平方式判断三角形形状例4 已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请你判断这个三角形是什么三角形.分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形.结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明.解：由a2+b2+c2-ab-ac-bc=0两边同时乘以2，整理可得(a2-2ab+b22)+(a2-2ac+c22)+(b2-2bc+c2)=0所以(a-b)+(a-c)+(b-c)=02因为(a-b)≥0，(a-c)≥0，(b-c)≥0 222所以(a-b)=0，(a-c)=0，(b-c)=0 222所以a=b,a=c,b=c 即a=b=c.所以这个三角形是等边三角形.例5 已知a,b,c是∆ABC的三边长，且a+2b+c-2b(a+c)=0，判断∆ABC222的形状.分析：与例4相类似，也是利用完全平方公式将条件进行变形，从而得出三角形三边的关系.解：由a+2b+c-2b(a+c)=0变形，得 222(a2-2ab+b22)+(b2-2bc+c2)=02所以(a-b)+(b-c)=0因为(a-b)≥0，(b-c)≥0 学习周报专业辅导学生学习所以(a-b)=0，(b-c)=0 22所以a=b,b=c 即a=b=c 所以∆ABC是等边三角形第三篇：完全平方公式教案人教新课标八年级上15.2完全平方公式表格式教案一、复习旧知探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．二、探究新知1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。
《完全平方公式》(第2课时)导学案
已知x+=4,求x2+的值.
[变式训练]若已知x2-3x+1=0,能否求出x2+的值?
问题探究一 添括号法则
阅读教材本课时“例5”前内容,解决下列问题:
1.去括号法则中,如果括号前面是正号,去掉括号 后原括号内各项的符号都 不变号 ;如果括号前面是负 号,去掉括号后原括号内各项的符号 . 都变号
2.你能用式子表示添括号法则吗?如a+b+c与 a-b-c添括号试一试. 能.a+b+c=a+(b+c), a-b-c=a-(b+c).
【预习自测】运用乘法公式计算:
(1)(a+2b-1)2;
(3)(a+b-c)(a-b+c).
(2)(x-3y-1)(x+3y-1);
解:(1)原式=[(a+2b)-1]2=(a+2b)2-2(a+2b)+1 =a2+4ab+4b2-2a-4b+1.
(2)原式=[(x-1)-3y][(x-1)+3y]
【归纳总结】添括号时,如果括号前面是正号,
不变号 ;如果括号前面是负号 括到括号里的各项都
,括到括号里的各项都 【预习自测】填空: (b-d) (1)a+b-d=a+______; (b+d) (2)a-b-d=a-______; (c-d) (3)a-c+d=a-______. . 改变符号
问题探究二
第十四章 整式的乘法 与因式分解
14.2 14.2.2
乘法公式 完全平方公式 第2课时
14.2.2 完全平方公式 第2课时
1.知道添括号的法则,能灵活应用添括号的法则对式子进 行变形,并能够综合利用乘法公式进行运算. 2.通过添括号法则的探究和乘法公式的综合运用,增强计
14.2.2 完全平方公式 导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校完全平方公式导学案【学习目标】：1．掌握完全平方公式的推导及其运用．2．理解完全平方公式的几何解释．【学习重点】：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．【学习难点】：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．【学习过程】：一.温故知新：1.平方差公式：（a+b）(a-b)= ；2.运用平方差公式计算：(1))3)(3(yxyx+-= ；（2）)1)(1(xx---= .二.合作探究，发现新知：1.计算下列各式,你能发现什么规律?(1)(p+1)²=(p+1)(p+1) = _________ ；(2)(m+2)²= _________ ；(3)(p-1)² = (p-1)(p-1)=________ ；(4)(m-2)²= __________ .(5)(a+b)²= , (a-b)²= .2.语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的 .3.完全平方公式的特点：（1）积为二次三项式；（2）其中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.（4）公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.三.自学例题：【课本P154例3】运用完全平方公式计算：（1）（4m﹢n）2；（2）（y－12）2解：（1）原式= （2）原式= = = （3）（－a－b）2；（4）（b－a）2（3）原式= （4）原式== =运用完全平方公式计算：（1）1022 ； （2）992解：（1）原式= （2）原式= = = = = = =四.跟踪训练：1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）(a+b)²=a ²+b ²（ ）；(3)(x -y)²=x ²+2xy +y ²（ ）(2)(x -y)²=x ²-y ²( )；(4)(x+y)²=x ²+xy +y ²（ ）2、下列各式计算正确的是 ( )A 、(a +b )²=a ²+b ²B 、(2a -b )²=4a ²-2ab +b ²C 、(a +2b )²=a ²+4b ²D 、(a +3)²=a ²+6a +93.运用完全平方公式计算:(1) (x+6)²； (2) (y-5)²；(3) (-2x+5)²； (4)(-2m-1)²；(5)(y x 3243-)²； (6) 103².4.（宁波·中考）若x+y=3,xy=1,则5.（福州·中考）化简（x+1)²+2(1-x)-x ²= .6、已知x +y =7,xy =10,则(x -y )²= .7、先化简，再求值：y (x +y )+(x -y )²-x ²-2y ²，其中x = ，y =3.五.课堂小结：通过本课时的学习，需要我们掌握：完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.22x y _____.+=13-。
15.2.2完全平方公式导学案(新部编)(1)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校15.2.2《完全平方公式》导学案(1)【学习目标】1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单的运算。
2、会用几何拼图方式验证完全平方公式。
3、培养数学语言表达能力和运算能力。
【学习重点】完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释、灵活运用。
【学习难点】完全平方公式的结构特点、灵活运用。
【学习过程】一、知识回顾：1、填空：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 ，即(a +b )(a -b )= ，这个公式叫做 公式.2、用平方差公式计算：(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x -1)(3x +1)(3) (y +3x )(3x -y ) (4) (-2+ab )(2+ab )二、自主探究：1、利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？ (1)()()()=++=+1112p p p __________________________. (2)()____________22=+m ＝_______________________. (3)()()()=--=-1112p p p _____ _______________. (4)()____________22=-m =_________________________. (5)()____________2=+b a =_________________________ . (6)()____________2=-b a =________________________.2、上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？三、合作交流：1、根据大家作出的结果，你能猜想()2b a +和()2b a -的结果是多少吗？2()a b +＝ ，2()a b -＝2、为了验证大家猜想的结果，我们再计算：2()a b +＝ = =2()a b -＝ = =3、图形验证：P154图15.2－2，图15.2－34、得出结论：(1)用文字叙述： （2）用字母表述：()____________2=+b a ()____________2=-b a 这两个公式叫做 公式。
完全平方公式导学案
完全平方公式姓名学习目标：1、探索推导完全平方公式并熟记完全平方公式2、熟练运用完全平方公式进行计算学习重点：对完全平方公式熟记及应用 学习难点：对公式特征的理解 学习过程：22222(1) (1)(1)(1)____________________(2) (1)(1)(1)____________________(3) (4)(_____)(_____)_________________(4) (4)(_____)(_____)_________________(5) ()______________a a a a a a m m a b +=++=-=--=+==-==+=2____________________(6) ()__________________________________a b -=两个数的和（或差）的平方，等于它们的__________，加上（或减去）它们的积的____倍。
即： 22()__________________ ()__________________a b a b +=-= 2、利用数字对完全平方公式进行简单的验证(仿照下面例子举例验证)例如：3、你能根据下面两幅图片中的面积说明完全平方公式吗？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1) 222()a b a b +=+ （2）222()a b a b -=-（3）222(2)22a b a ab b +=++ （4）()222a b a ab b +=++三、巩固提高例题1：运用完全平方公式计算221(1) (y+) (2) (4m-n)22222111()=2()2221_____4y y y y ++⨯⨯+=++解：(1)22222(2)(4)(4)_________168m n m n m mn n -=-⨯⨯+=-+练习1： 222(1) (2) (2) (43) (3) (21)a b x y m +-- ()221t --例题2：运用完全平方公式计算22(1) 102 (2) 9922222222(1) 102(1002) (2) 99(1001)100210022 =100_________110000_____ 4 =100002001______ =+=-=+⨯⨯+-⨯⨯+=++-+=解： =______练习2、22(1) 1001 (2) 59练：1、2213(1)5(1)(1)2(1)2a a a a a +-+-+-=，其中 2、2234x y xy x y +==-+已知 ，，求代数式 的值。
初中数学最新版《完全平方公式 2》精品导学案(2022年版)
完全平方公式一、新课导入 1.导入课题： 一块边长为 a 米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.〔如图〕 用不同的形式表示 实验田的总面积，并进行比拟.你发现了什么呢？2.学习目标： 〔1〕能用符号和文字表述完全平方公式. 〔2〕能运用完全平方公式解题. 〔3〕体验归纳添、去括号法那么. 3.学习重、难点： 重点：完全平方公式及应用及添、去括号法那么. 难点：完全平方公式的几何意义的理解. 二、分层学习 1.自学指导： 〔1〕自学内容：探究完全平方公式. 〔2〕自学时间：8 分钟. 〔3〕自学方法：计算、比拟分析、猜测结论. 〔4〕探究提纲： ①计算以下多项式的积，观察它们的算式形式与运算结果有什么 规律. a.(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1; b.(m+2)2=m2+4m+4; c.(2a+1)2=4a2+4a+1; d.(2x-3)2=4x2-12x+9.②猜测：根据你发现的规律，你能直接写出〔a+b〕2 的计算的结果是 a2+2ab+b2，〔a－b〕2 的结果是 a2-2ab+b2.③以下等式正确吗？假设不对，比照②中发现的规律找出错在什么地方？(x－3)2=x2－9(2m+1)2=4m2+1都不对，都漏掉完全平方公式的“中间项〞.④试用以以下图 1，2 验证(a±b)2 的结果的正确性.请你根据图 1，图 2 说出〔a+b〕2 和〔a-b〕2 的计算结果的几何意义.⑤试用文字表述②中发现的规律.两个数的和〔或差〕的平方，等于它们的平方和，加上〔或减去〕它们的积的 2 倍.2.自学：学生结合探究提纲进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生的探究过程及归纳总结的规律是否正确，收集学习中存在的问题.②差异指导：教师询问个别学生从探究中如何总结规律并表述规律及如何借助图 1、2 验证猜测.〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：〔1〕总结交流：公式的特点.等号左边等号右边符号特征〔2〕先用公式计算以下各题，再用多项式乘法法那么验证.①〔2x－3〕2；②〔x+y〕2；③〔m+2n〕2；④〔2x－4〕2解：①4x2-12x+9②x2+2xy+y2③m2+4mn+4n2 ④4x2-16x+161.自学指导：〔1〕自学内容：教材第 110 页例 3、例 4.〔2〕自学时间：8 分钟.〔3〕自学方法：认真观察例题中如何运用公式，分清题目中相当于公式中 a、b 的数或式是什么.〔4〕自学参考提纲：①式子〔4m+n〕2 中，4m 看作公式中的 a,n 看作公式中的 b，所以〔4m+n〕2=〔4m+n)(4m+n)=16m2+8mn+n2.②〔y－ 1 〕2=y2－2·y·( 1 )+ 1 =y2-y+ 1 .2244③因为 102=100+2，所以1022=(100+2)2=(100)2+2×100×2+(2)2=10404. ④怎样计算 9982？说说你的想法.用完全平方公式，将 998 写成 1000-2，那么9982=(1000-2〕2=10002-2×1000×2+22=996004.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生是否从例题中学会正确运用公式的思考过程.②差异指导：帮助学困生对照公式怎样确定“a〞、“ b〞.〔2〕生助生：完成自学提纲，同组内互相检查、交流帮助纠错.4.强化：〔1〕应用公式时，先确定公式中的“a〞、“b〞是什么？〔2〕运用完全平方公式计算：①〔－x－y〕2；②〔2y－ 1 〕23解:①x2+2xy+y2;②4y2- 4 y+ 1 .39〔3〕思考：〔a+b〕2 与〔-a－b〕2 相等吗？〔a-b〕2 与〔b-a〕2 相等吗？为什么？相等.相等.因为互为相反数的数或式子平方相等. 1.自学指导： 〔1〕自学内容；教材第 111 页例 5 上面的内容. 〔2〕自学时间：5 分钟. 〔3〕自学方法：认真看课本，并结合自学参考提纲进行学习， 注意添加括号时，括号前面是正号和负号时，括号内各项符号的变化. 〔4〕自学参考提纲： ①整式中添加括号的依据是什么？ ②添括号法那么是怎样的？ ③如何验证你添括号的正确性？ ④在等号右边的括号内填上适当的项. a+b-c=a+〔b-c〕;a+b-c=a-〔c-b〕;a-b+c=a-(b-c) a-b-c=a-〔b+c〕;a+b+c=a-〔-b-c〕;a+2b-6c=a+2(b-3c). 2.自学：学生可结合自学提纲进行自学. 3.助学： 〔1〕师助生： ①明了学情：了解学生对添括号法那么是否学会，会不会检验添 括号的正确性. ②差异指导：对学生进行个别指导：括号前为负号时，添括号后 注意什么. 〔2〕生助生：学生之间相互指导. 4.强化：(1)添括号法那么.〔2〕括到括号内的各项符号的变与不变与什么有关.(3)注意各项都变或都不变的意思.(4)判断以下运算是否正确，假设不正确，请改正过来.①2a-b- c =2a-〔b- c 〕②m-3n+2a-b=m+〔3n+2a-b〕22③2x-3y+2=-〔2x+3y-2〕④a-2b-4c+5=〔a-2b〕-〔4c+5〕解：①不正确，应等于 2a-b+ c2②不正确，应等于 m-(3n-2a+b)③不正确，应等于-〔-2x+3y-2〕④不正确，应等于〔a-2b〕-〔4c-5〕1.自学指导：〔1〕自学内容；教材第 111 页例 5 的内容.〔2〕自学方法：认真看教材，注意观察多项式相乘的特点，以便合理地添括号选用相应的公式.〔3〕自学参考提纲：①计算〔x+2y-3〕〔x-2y+3〕时，第一步将整式变形为［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］，目的是什么？此题计算过程中，先后运用了几个公式？此题对应用公式计算有何启示？②计算(a+b+c)2 时，例题是写成［(a+b)+ c］2，把 a+b 当作完全平方式中的 a，把 c 当作完全平方式中的 b，还有没有其它的添括号的方法计算此题，试试吧！③运用乘法公式计算〔1〕(a+2b-1)2;〔2〕〔2x+y+z〕(2x-y-z).解：〔1〕原式=〔a+2b〕2-2〔a+2b〕+12=a2+4ab+4b2-2a-4b+1; 〔2〕原式=[2x+〔y+z〕][2x-〔y+z〕]=4x2-(y+z)2=4x2-y2-2yz-z2.2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： 〔1〕师助生： ①明了学情：了解学生是否灵活运用添括号的法那么添加括号， 并运用完全平方公式计算. ②差异指导：对学生学习过程中存在的问题予以分类指导. 〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助. 4.强化： 〔1〕总结交流：在乘法运算时，一定要观察多项式的特点，选 用对应的公式进行运算. 〔2〕添括号法那么是去括号法那么反过来得到的，无论是添括 号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用 去括号法那么验证所添括号是否正确. 〔3〕练习：计算 ①(a+b+1)(a+b-1); ②(2x-y-3)2. 解：①原式=a2+2ab+b2-1; ②原式=〔2x〕2-2x·〔y+3〕+(y+3)2=4x2-2xy-6x+y2+6y+9 三、评价 1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：学生代表交流自己的学习 收获和学习体会. 2.教师对学生的评价： 〔1〕表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及缺乏进行 点评. 〔2〕纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价〔教学反思〕：本课时教学重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳评点，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.一、根底稳固〔第 1、2、3、4、5 题每题 8 分，第 6 题 20 分，共 60 分〕1.〔-3x-1〕2=9x2+6x+1; 〔-2x+5〕2=4x2-20x+25;2.〔 1 x-y-1〕2= 1 x2+y2-x-xy+2y+1; ( 3 x- 2 y)2= 9 x2-xy+ 4 y2.244 3 1693.〔x+y〕2-4xy=〔x-y〕2 2=(100-0.2)2=4.〔1〕假设〔x-5〕2=x2+kx+25,那么 k=-10;〔2〕假设 4x2+mx+9 是完全平方式，那么 m=12.5.以下各式中，与〔x-1〕2 相等的是〔B〕2-1 2-2x+1 2-2x-1 2 6.利用乘法公式计算：〔1〕(a－b+2c)2;〔2〕〔-2x-y〕2;〔3〕〔x+y-z〕〔x-y+z〕;〔4〕(a+b+c)2－(a－b－c)2.解：〔1〕原式=a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc;〔2〕原式=4x2+4xy+y2;〔3〕原式=x2-(y-z)2=x2-y2+2yz-z2;〔4〕原式=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c)=2a·〔2b+2c〕=4ab+4ac二、综合应用〔每题 10 分，共 20 分〕7.化简求值：［2x2-〔x+y〕〔x-y〕］［〔-x-y〕〔y-x〕+2y2］,其中 x=1，y=2. 解：原式=〔2x2-x2+y2〕〔x2-y2+2y2〕=(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4 当 x=1,y=2 时，原式=1+8+16=25.8.a+b=-7，ab=12，求 a2+b2-ab 和 (a－b)2 的值.解：a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(-7)2-3×12=13.〔a-b〕2=(a+b)2-4ab=(-7)2-4×12=1.三、拓展延伸〔每题 10 分，共 20 分〕9.a+b-c=5，a-b+c=-3，求 a2-b2+2bc-c2 的值.解：a2-b2+2bc-c2=a2-(b-c)2=〔a+b-c〕〔a-b+c〕=5×〔-3〕=-15.10.x+1 x=2,求x2+1 x2和x-1 x的值.解：(x+1 x)2=x2+1 x2+2=4∴x2+1 x2=2，∴x2+1 x2-2=0，∴(x- 1 )2=0，x∴x- 1 =0.x24.2.1 点和圆的位置关系教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略．(三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展实践能力与创新 精神．2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点 能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A)1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．作法：如以以下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧 2找出两交点 C、D，作直线 CD，那么直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的 任一点到 A 与 B 的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B)(1)作圆，使它经过点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布 有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你 能作出几个这样的圆？[师]根据刚刚我们的分析，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并 作出解答．[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过点 A 作圆，只要圆心确定下来，半 径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为 半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根 据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，那么圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能 满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点 到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无 数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离 相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离 相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点 的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法图示1．连结 AB、BC2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，那么 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等； 连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，那么 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过一点可作无数个圆．过两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆．4．有关定义由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．Ⅲ．课堂练习锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？解：如以以下图．O为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．Ⅳ．课时小结本节课所学内容如下：1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．方法．3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．Ⅴ．课后作业习题3．6Ⅵ．活动与探究如以以下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．。
完全平方公式导学案
学习目标1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展自己的符号感和推理能力。
2.学会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
活动一：一块边长为a米的正方形的试验因需要将边长增长b米，形成四块试验田，以种植不同的新品种，如图要求用两种形式表示试验田的总面积，并进行比较。
（1）看成边长为a+b的正方形直接求：总面积是（a+b）²㎡(2)四块分别加起来间接求：总面积是（a²+ab+ab+b²）㎡=（a²+2ab+b²）㎡你发现了什么？（a+b）²=a²+2ab+b²田，活动二：做一做议一议如果将正方形边长减少b米，那么剩下的面积又是多少呢(a-b)²= a ²-ab-ab+b²= a²-2ab+b²(a-b)² = a²-2ab+b²活动三：验证想一想（a+b）²=a²+2ab+b²（1）你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗？推证（a+b）²= (a+b)(a+b)= a ²+ab+ab+b² =a²+2ab+b²(2)(a-b)²=？（a-b）²=(a-b) (a-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²（a-b）²=[a+(-b) ]²=a²+2a(-b)+(-b²)=a²-2ab+b²认识完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²（a-b）²=a²-2ab+b²结构特征:左边是二项式两数和（或差）的平方右边是两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍针对练习一：利用完全平方公式计算(1).(2x-3) ²(2).(4x+5y) ²(3).(-a-b) ²(4).(b-a) ²对比(3)(4)与（a+b) ²=a²+2ab+b²(a-b) ²=a²-2ab+b ²有何关系？发现：（-a-b）²=(a+b) ²(b-a) ²=(a-b) ²纠错练习：(1).（2a-1）²=2a²-2a+1(2).(2a+1) ²=4a²+1(3).(-a-1) ²=-a²-2a-1强化训练：(1).(-2x+5) ²(2).(a+b-c) ²(3)（x-y+2）（x+y-2）(4)针对练习二：（1）x²+mx+4是一个完全平方公式，那么m的值是（）A.4B.-4C. ±4D. ±8（2）将正方形的边长由a米增加6米,则正方形的面积增加（）A.36㎡B.12a㎡C.(36+12a) ㎡D.以上都不对(3).已知a+b=4,ab=-3,求a²+b²(a-b) ²(4)若m²+n²-6n+4m+13=0,则m-n=(5)已知a²+b²+c²-ab-bc-ca=0，试猜想：a，b, c的大小关系。
《完全平方公式(第二课时)》教案
《完全平方公式(第二课时)》教案得到：(a+b)2+2(a+b)c +c2，下一步我们就需要对(a+b)2再次进行两数和的完全平方公式运算，并利用单项式乘多项式的法则对2(a+b)c进行化简，从而得到答案.当然，我们也可以把b+c看做一个整体，根据添括号法则，将式子变形成：[a+(b+c)]2，再利用两数和的完全平方公式进行运算，从而得到a 2+2a(b+c) +(b+c)2，再利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行计算，得到的结果和方法一是一样的.对于(a+b+c)2这个式子，我们还可以从图形角度再次认识：整个大正方形的面积等于三个小正方形的面积和加上三对长方形的面积和．即，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．【答案】解：(1) 方法一：(a+b+c)2 =[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c +c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2；方法二：(a+b+c)2=[a+( b+c)]2= a 2+2a(b+c) +(b+c)2=a2+2ab+2ac+(b2+2bc+c2)= a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2．【分析】(2)(a−2b−1)2知能演练提升一、能力提升1.计算(2a+1)2(2a-1)2的结果是()A.4a2-1B.4a4-1C.16a4-8a2+1D.4a4+12.已知(a-2b)2=(a+2b)2+N,则N=()A.4abB.-4abC.8abD.-8ab3.将多项式x 2+4加上一个整式,使它成为完全平方式,则下列不满足条件的整式是( ) A.-4xB.4xC.116x 4D.116x 2 4.若ax 2+2x+12=(2x +12)2+m ,则a ,m 的值分别是( )A.2,0B.4,0C.2,14D.4,14 ★5.如图,长方形ABCD 的周长是20 cm,以AB ,AD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH.若正方形ABEF 和正方形ADGH 的面积之和为68 cm 2,则长方形ABCD 的面积是( )A.21 cm 2B.16 cm 2C.24 cm 2D.9 cm 26.计算:(x-2y )2+(x+y )(-x-y )= .7.计算:(m-n )(m+n )(m 2-n 2)= .8.等式(a-b )2+□=(a+b )2中的“□”表示的单项式是 .9.已知a 2+b 2=5,ab=-2,则(a-b )2的值是 .10.计算:(1)(x+3)2-(x+2)(x-1);(2)(a+b+3)(a-b-3).11.解方程:(x +14)2−(x -14)(x +14)=14.二、创新应用★12.如图,已知直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ,斜边长为c.用四个这样的直角三角形拼成一个正方形,但中间却留有一个小正方形.你能利用它们之间的面积关系得到关于a ,b ,c 的等式吗?11知能演练·提升一、能力提升1.C (2a+1)2(2a-1)2=[(2a+1)(2a-1)]2=(4a 2-1)2=16a 4-8a 2+1.2.D3.D4.D5.B6.-6xy+3y 27.m 4-2m 2n 2+n 4 8.4ab9.9 (a-b )2=a 2+b 2-2ab=5-2×(-2)=9.10.解 (1)原式=x 2+6x+9-x 2-x+2=5x+11.(2)原式=[a+(b+3)]·[a-(b+3)]=a 2-(b+3)2=a 2-b 2-6b-9.11.解 原方程即x 2+12x+116−(x 2-116)=14,即x 2+12x+116-x 2+116=14,即12x=18,解得x=14.二、创新应用12.解 因为小正方形的边长为b-a ,所以它的面积为(b-a )2,所以大正方形的面积为4×12ab+(b-a )2.又因为大正方形的面积为c 2,所以4×12ab+(b-a )2=c 2,即2ab+b 2-2ab+a 2=c 2,整理得a 2+b 2=c 2.。
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6.7 完全平方公式（2）
一．学习目标1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算
二．学习重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算
三．学习难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算
四．学习设计
（一）预习准备
（1）预习书p51
（2）思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算?
（3）预习作业：
1．利用完全平方公式计算
（1）298 （2）2203 （3）2102 （4）2197
2．计算：
（1）22(3)x x +- （2）22(1)(1)ab ab +--
（二）学习过程
平方差公式和完全平方公式的逆运用
由()()22b a b a b a -=-+ 反之 ()()b a b a b a -+=-22
()2222b ab a b a +±=± 反之 ()2222b a b ab a ±=+±
1．填空：
（1）24(2)()a a -=+（2）225(5)()x x -=-（3）22()(
)m n -=
（4）264()()x -=（5）2449(27)()m m -=-
（6）442222()()()()()a m a m a m -=+=+
（7）若22)2(4+=++x k x x ，则k =
（8）若92++kx x 是完全平方式，则k =
例1 计算：1．()()42122+--+a a a
2．()()221212+--xy xy
现在我们从几何角度去解释完全平方公式：
从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b ，
它是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以
大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
则S ＝ ＝
即：
如图（2）中，大正方形的边长是a ，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它的面积是 ．从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积．•也就是：（a-b ）2= ．这也正好符合完全平方公式．
例2．计算:
（1）2(3)x y -- （2）2()a b c ++
变式训练：
（1）2)3(-+b a （2）)2)(2(-++-y x y x
（3）)3)(3(+---b a b a （4）（x+5）2–（x-2）（x-3）
（5）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3） （6）（2x-y ）2-4（x-y ）（x+2y ）
拓展：1．（1）已知2,4==+xy y x ，则2)(y x -=
（2）已知3)(,7)(22=-=+b a b a ，求=+22b a ________，=ab ________
（3）不论b a 、为任意有理数，72422++-+b a b a 的值总是（ ）
A.负数
B.零
C.正数
D.不小于2
2．（1）已知0132=+-x x ，求221x x +
和4
41x x +的值．
（2）已知1,3-=-=-c b b a ，求ca bc ab c b a ---++222的值．
（3）.已知0966222=++--+y x xy y x ，求y x -的值．
回顾小结
1． 完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a ．b 表示的意义，它们可以是数．也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号．
2．解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择．。