检验平面与平面的位置关系
8.5 检验平面与平面的位置关系
上海师范大学第三附属中学吴珍英教学目的：1、掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法；会用合适的工具进行简单的检验操作；能从长方体中找到现成检验的工具。
2、从直线与平面的位置关系检验到平面与平面的位置关系检验的学习，体验观
察、比较和归纳，初步培养学生运用类比的思想。
3、通过学生动手进行简单的实践操作，提高学习兴趣，学会团队合作的精神，同时也深刻
体会到“学以致用”的道理。
教学重点：掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法并会进行简单地检验操作。
教学难点：在学习新知的过程中能够培养学生实验操作的意识，学会从实践中去掌握新知识，从旧知识中类比得到新知识。
教学用具：多媒体、铅垂线、长方形纸片、合页型折纸
教学过程：一、新课引入吴老师家新买了一个书柜，但是摆放好之后，总觉得书柜左右倾斜，连放书的搁板都是左高右低的，你作为售后服务员知道问题出在哪里吗？能不能消除吴老师的顾虑呢？
（现实问题的提出引发学生学习的兴趣。
）引导学生指出，其实问题的关键就在
于“书柜的左右倾斜” 只要能检验出书柜的左右两个面都与地面是垂直的，那么就不可能倾
斜；而“搁板的左高右低”只要检验两块板是平行的，就不会出现这样的情况。
那么怎么去检
验呢？这就是我们今天所要学的内容。
二、新课展开怎么去检验面与面的垂直、平行关系呢？整节都是带着这样一个问题展开。
为了
和检验直线与平面的垂直和平行关系相类比提出了以下的问题：
1、我们学过检验的方法吗？（有，直线和平面垂直、平行关系的检验。
）
2、那么直线和平面垂直、平行关系是如何检验的？
（一）复习直线和平面垂直检验方法：铅垂线、一副三角尺、合页型折纸过程描述：铅垂
线——如果铅垂线与被检测的直线紧贴，那么直线与水平面垂直；一副三角尺——两把三角
尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能紧贴直线则直线与平面
垂直；合页型折纸——合页型折纸直立于平面，如果折痕与直线紧贴，则直线与平面垂直。
（二）平面与平面垂直的检验那么平面与平面的垂直检验可能用什么方法呢？可能用以上的
三种方法。
1、铅垂线实践操作：观察可得课桌的侧面是垂直于地面的，接着用自制的铅垂线检验，观
察铅垂线与课桌侧面的情况；继续观察相邻的两个墙面；老师准备的两个不垂直的平面。
（四人一小组，一人操作，两人观察，一人记录。
观察铅垂线是否紧贴课桌侧
面。
）
实验记录如下表
试验次数
铅垂线与待测面的情况
选择的面与面的位置情况（观
察）
1
2
3
4
操作结果：面与面垂直，检验观察的结果都是铅垂线与面紧贴。
动画演示铅垂线检验的过程（更准确的检验操作，强调操作的严密性。
）
过程描述：如果铅垂线与待测的平面紧贴，那么待测的平面与水平面垂直；
与直线和平面垂直的检验过程类比，非常相似。
2、一副三角尺
根据直线与平面垂直的过程描述，类比联想平面与平面的垂直过程描述；请同学讲台上演
示；动画演示一副三角尺检验的过程。
过程描述：两把三角尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能
紧贴另一平面，则平面与平面垂直。
3、合页型折纸
根据直线与平面垂直的过程描述，类比联想平面与平面的垂直过程描述；请同学讲台上演
示；动画演示一副三角尺检验的过程。
过程描述：合页型折纸直立于平面，如果折痕与平面紧贴，则直线与平面垂直。
垂直检验小结：1、三种检验方式依然适用于平面与平面垂直的检验，只要注意这里观察的
是“铅垂线”、“三角尺的公共边”以及“折痕” 与平面紧贴。
2、因为铅垂线检验的局限性一一只能检验平面与水平面，所以出现了后
两种检验的方法。
3、检验平面与平面垂直的实质：检验平面是否过另一平面的一条垂线
练习：下图的长方体中，怎样检验面ABCD与面BCGF是否垂直呢?
哪两个面构成了合页型折纸?
7
F
D
//
（三）复习直线和平面平行的检验方法：铅垂线、长方形纸片（平行检测用动画表示更精确）过程描述：铅垂线——在直线的两个不同点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么线与水平面平行；长方形纸片——长方形纸片一边贴合平面，如果它的对边能与直线紧贴，那么直线与平面平行。
根据平面与平面垂直检验的经验，我们是否也可以用以上的两种方法来检验平面与平面平行。
（四）平面和平面平行的检验
1、铅垂线让学生展示检验过程。
（老师准备的两个平行平面。
）思考：铅垂线检验两次摆放就足够了吗？举反例证明两次不够。
那么需要几次呢?三次（三点确定一个平面）
动画演示检验过程，强调检验操作的严密性。
检验过程：在平面的三个不同点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这三个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么平面与水平面平行。
2、长方形纸片让学生来检验，通过观察学生检验的过程极有可能出现的问题思考：长方形纸片检验一次摆放就足够了吗？（矛盾出现，学生通过讨论得出正确的方法。
）
举反例证明两次不够（倾斜的平面）。
那么需要几次呢?两次两次同一方向可以吗？不行，要交叉方向。
检验过程：长方形纸片放在两个平面之间，按交叉的方向放两次，使纸片的一边都贴合平面，如果它的对边都能与另一平面紧贴，那么平面与平面平行。
平行检验小结：1、两种方法的检验都是铅垂线需要三个不在一直线上的点，长方形纸片需要交叉放两次。
2、与直线和平面平行检验方法雷同又有区别，其实质是检验两条平行
于同一平面的相交直线能否都在另一个平面内。
练习：下图的长方体中，怎样检验面ABCD 与面EFGH 是否垂直呢？
棱与面的 位置关系 及
检验
丄今天你收获了哪些知识？
丄还存在什么疑问？
吨对长方体的哪部分知识还想进一步了 解？
（收获园中的最后一个问题体现了一节课的结束不是一个句号而是一个问号。
）
教学设想：
1. 这节课对教材做了一些处理，把原本平面与平面的垂直关系和检验第一课时和平面与平
面的平行关系和检验第二课时整理成平面与平面的垂直、 平行关系第一课时，而把两者
的检验合并成一个课时，这样做是想更有利于学生进行比较突出区别。
2. 这节课是对平面与平面位置关系的检验， 因为学生已经学过直线与平面的位置关系的检
哪两个面构成了长方形纸片? 三、课堂小结 棱与面的三个特点 t as
棱与棱的
位置关系 面与面的位置 关系及检验
验，充分运用类比的思想来学习新知比较容易接受。
3. 课程中最后的收获园是本节课的一个点睛之笔， 课的理
解，对课程的后继学习有了更浓厚的兴趣。
4. 课程中动画的演示给学生以充分的感官认识对于检验的操作有了更明确的认识， 验操作的严
密性。
5. 最后的小结把整个章节的内容融会贯通在一起，给同学一个非常清晰的知识脉络。
2006.7 让各个层次的学生充分发挥自己对这节
明确检。
平面与平面位置关系
复习
空间中
1.两直线的位置关系 平行、相交、异面
2.直线和平面的位置关系 平行、相交、在平面内
3.平面间的位置关系
二层楼房示意图
两个平面的位置关系
1. 两个平面相交
————
有一条公共直线
两个平面平行 ——没有公共点； 2. 画法:
l
//
O
（2）不正确画法
a
2. 若 // , a , 则直线a与平面β 的位置关系如何？
a
α
β
3. 若 // , a // , 则直线a与平面β的 位置关系如何？
a
α
β
4. 若α∥β,且α与γ相交,则β与γ的位 置关系如何？
α
β
γ
讨论
建筑师如何检验屋顶平面是否 与水平面平行？
小结 1. 两个平面的位置关系的定义
及画法
2. 两个平面的位置关系的相关 结论.
作业
课本55页练习
习题2.1A组5题,6题,7题.
3. 由两个平面平行的定义可得:
A. 如果两个平面平行,那么在其中一 个平面内的所有直线一定都和另一 个பைடு நூலகம்面平行;
B. 反过来,如果一个平面内的所有直 线都和另一个平面平行,那么这两个 平面平行.
练习
1. 若 // , a , b , 则直线a、 b的位置关系如何？
b
β
α
检验平面与平面垂直的方法
检验平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直是数学中一个重要的概念，常常用于解决几何问题和计算。
为了检验平面与平面垂直，我们可以采用以下方法：
1.点法式判断法：首先确定平面的法向量，然后将法向量与另一个平面的向量进行点乘，如果点乘结果为0，则表示两个平面垂直。
2.向量法判断法：同样先确定平面的法向量，然后将法向量与另一个平面的向量进行叉乘，如果叉乘结果为0，则表示两个平面垂直。
3.坐标表示判断法：将两个平面的方程表示成一般式或者参数式，然后比较两个平面的系数，如果两个平面的法向量相互垂直，则表示两个平面垂直。
4.直线法判断法：找到两个平面的交线，然后看交线是否垂直于两个平面，如果垂直，则两个平面垂直。
以上是常用的几种方法，需要根据具体情况选择合适的方法来检验平面与平面垂直。
- 1 -。
工程制图答案
【7-6】求作一直线IJ垂直于△ABC，与直线DE、FG都相交。
【8-1】求作直线AB的真长和倾角α、β。
【8-2】求作点A与直线BC间的真实距离。
【8-3】求作吸气罩相邻壁面之间夹角的真实大小。
【8-4】求作两平行线AB、CD所确定平面的倾角α和β。
【8-5】求作正垂面平行四边形ABCD的真形
【5-7】求作下列直线与平面的交点，并判别其可见性。
【6-1】求作下列两平面的交线，并判别其可见性。
【6-2】已知平面△ABC和直线DE，求作下列直线或平面。 ⑴过点F作直线FG⊥△ABC；⑵过直线IJ作平面IJK⊥△ABC；⑶过 点P作平面PQR⊥DE。
【6-3】已知平面P、Q，直线AB、CD，求作下列直线或平面。 ⑴过点E作直线EF⊥平面P，直线EG⊥平面Q；⑵过直线IJ作平面 IJK⊥平面P,过直线IJ作平面R⊥平面Q；⑶过点U作平面S⊥AB，作 平面T⊥CD。
【9-1】已知直线DE平行于△ABC平面，与△ABC平面的距离为5mm， 求作DE的水平投影。
【9-2】已知等腰△ABC的底边BC，其对V面的倾角β＝45°，三角 形高为20mm，补全△ABC的两面投影。
【9-3】已知点D与△ABC平面的距离为12mm，BC为水平线，补全 △ABC的正面投影。
【1-1】按照立体图作诸点的三面投影。
【1-2】已知点A、B、C、D的两面投影，作出各点的第三投影， 并写出这些点的空间位置。
A
【1-3】作出诸点的三面投影：点A(25,15,20)；点B距离投影面 W、V、H分别为20mm、10mm、15mm；点C位于点A之左 10mm、之前15mm、之上10mm；点D在点A之下8mm、与 投影面V、H等距，与投影面W的距离是与H面距离的2.5倍。
高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。
直线与平面平面与平面的相对位置
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
2.2.2平面与平面平行的判定教案
1、重点：平面与平面平行的判定定理及应用依据：教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。
学生不应该死背定理内容，而是理解知识发生、发展的过程。
这样，知识就成了一个数学模式，可用来解决具体问题。
2、难点：平面与平面平行的判定定理的探究发现及应用。
依据：因为问题的产生与解决具有一定的隐蔽性，虽然学生了解两个平面平行的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件。
为此，本节的难点是两个平面平行的判定。
重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
3．疑点：正确理解并应用两个平面平行的判定定理时，要注意定理中的关键词：相交．六、教学过程（一）创设问题情景，引入新课基于新课程的理念和本节课的教学目标，使学生体会到数学知识发生在现实背景只需按为此结合一道习题即回归了上节课直线与平面的判定也引出了本节课的内容，自然流畅，更让学生了解到本节课学习的必要性。
教师：上节课我们学习了直线与平面的判定你能利用你所学的知识解决本题吗？实例：如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1求证：B 1D 1 || 平面C 1BD[知识链接：根据空间问题平面化的思想，因此把找空间平行直线问题转化为找平行四边形或三角形中位线问题，这样就自然想到了找中点。
平行问题找中点解决是个好途径好方法。
这种思想方法是解决立几论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要思想方法] 学生上黑板板演，其他同学下面做，师生共同评价点明，对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引入新课作铺垫点明 证明线面平行的方法及思想（转化的思想） 提出课题 思考1：如果将上题中正方体中的AB 1 ， AD 1连接构成了一个新的平面AB 1D 1如何证明：平面AB 1D 1∥平面C 1BD[设计意图：说明面面平行证明的必要性，通过提问引入本节课题，并为探寻平面与平面平行判定定理作好准备。
]（二）判定定理的探求过程1、直观感知思考1：根据同学们日常生活的观察，你们能举出平面与平面平行的具体事例吗？生1：教室的天花板与地面给人平行的感觉。
沪教版六年级下册-第18讲-长方体,带答案
1．理解长方体中棱与面、面与面的位置关系；2．知道检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行的常用方法；3．知道检验平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的常用方法．（此环节设计时间在10-15分钟）➢检验直线与平面垂直的方法（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直；（2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；（3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直．➢检验直线与平面平行的方法：（1）铅垂线；（2）长方形纸片．➢检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线：检验平面与地面（水平面）是否垂直；（2）合页型折纸；（3）三角尺．➢检验平面与平面平行的方法：（1）长方形纸片：按交叉的方向检验两次，两边都于被检验的面紧贴;（2）水准仪：（用于检验平面与水平面的平行）按交叉的方向检验两次，水泡都要在中间．案例：如图：在长方体ABCD-EFGH中，（1）与棱DH平行的面是；（2）与棱BC垂直的面是；（3）与面ABFE平行的棱是；（4）与面BCGF垂直的棱是；（5）与面ABCD平行的面是；（6）与面ABCD垂直的面是；FGHDBAC E（7）在长方体中的每一条棱有个面和它平行，每一个面有条棱和它平行．（8）在长方体中的每一条棱有个面和它垂直，每一个面有条棱和它垂直．参考答案：1、（1）面ABFE，面BCGF；（2）面ABFE，面DCGH；（3）棱DC，棱CG，棱GH，棱HD；（4）棱AB，棱DC，棱HG，棱EF；（5）面EFGH；（6）面ABFE，面BCGF，面DCGH，面ADHE；（7）2，4；（8）2，4．（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：如图，它是一个正方体六个面的展开图，那么原正方体中与平面B互相平行的平面是．（用图中字母表示）参考答案：D试一试：如图是长方体的六面展开图，在原来长方体中，与平面B 垂直的面有_______．参考答案：A、F、C、E例题2：如图，在长方体ABCD-EFGH中，（1）与棱DH垂直的平面是；（2）与平面BCGF垂直的棱是；（3）与棱GC平行的平面是；（4）与平面BFGC平行的棱是．第17题图FEDCBAA B C DEF参考答案：（1）面ABCD 、面EFGH （2）棱AB 、棱EF 、棱HG 、棱DC （3）面ABFE 、面ADHE 、面BDHF （4）棱AD 、棱DH 、棱HE 、棱EA试一试：如图，在长方体ABCD -EFGH 中，分别与△BEG 的边BG 、BE 、EG 一边平行的面有哪些？参考答案：分别与BG 、BE 、EG 平行的面各有一个，它们分别是平面ADHE 、面CDHG 、面ABCD此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
《平面与平面平行的判定(二)》教学课件(北师大版)
P F A D G M B N
E
C
随堂练习
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
证明：（1）连 B1D1,∵E、F分别为棱 C1D1,B1C1的中点, ∴EF∥B1D1∥BD ∴ E、F、B、D四点共面 （2）∵M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.∴ MN ∥ B1D1∥EF ， ∴ MN∥面EFBD， 连EM，则ME ∥ A1D1∥ AD,∴四边形 ADEM为平行四边形，∴AM∥DE, ∴ AM∥面EFBD， 又AM∩MN=M， ∴面AMN∥面EFBD.
A1 D1 E F B1 C1
N
M
D
C B
A
小结：
平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两
个平面平行。
定理的推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行。
知识小结
1．证明平面与平面平行的方法： （1）利用定义；平面与平面没有公共点 （2）利用判定定理． 线线平行 线面平行 面面平行
推论
如果一个平面内有两条相
a α
b
交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，那么这两个平面平 行.
β
例题分析
例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面C1BD。
证明：
B1B ∥ A1 A B1B ∥D1D ∥ A1 A D1D
四边形 BB1D1D 是平行四边形
2．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
人教版数学必修二知识点总结归纳
精心整理第一章立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四（2（3表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDAP-CB几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶（7234（1（2hl为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V球=343Rπ；S球面=24Rπ第二章空间点、直线、平面的位置关系1、平面①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC；或用所有字母表示，如平面ABCD。
③点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα∉点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A∉l；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l 不在平面α内，记作l⊄α。
2⇒=∈,A B A B l P l①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交3④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
8.5长方体中平面与平面的位置关系的认识(作业)解析版
8.5长方体中平面与平面的位置关系的认识（作业）一、单选题1．长方体中，与一个面垂直的面有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据长方体的性质解答即可．【详解】∵长方体的任意一个面都和它的对面平行，与其余4个面垂直，∴长方体中，与一个面垂直的面有4个，故选：D．【点睛】本题考查长方体，长方体有6个面，8个顶点，12条楞，相邻的两条楞互相垂直；熟练掌握长方体的性质是解题关键．2．下列方法中，不能用于检验平面与平面是否垂直的是（）A．长方形纸片B．三角尺C．合页型折纸D．铅垂线【答案】A【分析】A. 长方形纸片的长和宽互相垂直，不能判定平面与平面是否垂直；B. 根据三角尺两直角边成直角性质解题即可；C. 根据合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直解题；D. 铅垂线垂直于水平面，据此解题．【详解】A. 长方形纸片的长和宽互相垂直，不能判定平面与平面是否垂直，故A符合题意；B. 将两块三角形的直角边重合，另外两条直角边相交，放在水平面上，可判断重合的直角边垂直于水平面，故B不符合题意；C. 合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把它们放到水平面上，可判断折痕与水平面垂直，故C不符合题意；D. 根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，可检验平面与平面垂直，故D不符合题意．故选：A【点睛】本题考查垂线的性质，是常见基础考点，掌握相关知识、联系生活实际是解题关键．二、填空题3．长方体中相邻的两个面有_______________的关系．【答案】垂直．【分析】根据长方体的性质即可解答．【详解】长方体中相邻的两个面有垂直的关系．故答案为：垂直．【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，熟悉长方体并掌握长方体的性质是解题的关键．4．检验平面与平面平行的方法：（1） ____________：（2） ____________【答案】铅垂线法长方形纸片法【分析】在平面的三个不同点（不共线）放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这三个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么平面与水平面平行；或长方形纸片放在两个平面之间，按交叉的方向检验两次，两遍都与被检验的面紧贴，那么被检验的两个平面平行．【详解】解：检验平面与平面互相平行的方法有铅垂线法，长方形纸片法，铅垂线法：在平面的三个不同点（不共线）放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这三个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么平面与水平面平行；长方形纸片法：长方形纸片放在两个平面之间，按交叉的方向检验两次，两遍都与被检验的面紧贴，那么被检验的两个平面平行．故答案为：铅垂线法，长方形纸片法．【点睛】本题主要考查了长方体中平面与平面的位置关系，掌握检验平面与平面互相平行的方法是解题的关键．5．平面a与平面b平行的表示方法：_____________________________【答案】平面a∥平面b【分析】根据平面a与平面b平行的表示方法解答即可．【详解】平面a与平面b平行的表示方法是：平面a∥平面β．故答案为：平面α//平面β．【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系的认识．6．用___________________可以检验墙面是否垂直于水平面，用___________________可以检验橱柜的隔板是否垂直于侧面，用___________________可以检验两个墙面是否垂直．【答案】铅垂线合页型折纸合页型折纸【分析】根据平面与平面垂直的定义和特征进行解答即可求解．【详解】用铅垂线或合页型折纸或三角板都可以检验墙面是否垂直于水平面，用合页型折纸或三角板可以检验橱柜的隔板是否垂直于侧面，用合页型折纸或三角板可以检验两个墙面是否垂直．故答案为：铅垂线；合页型折纸；合页型折纸．【点睛】本题考查了平面与平面的垂直关系，熟悉平面垂直的定义和特征是解题的关键．7．在长方体中（1）棱与棱的的位置关系有_________种，与每条棱平行的棱有_________条，垂直并相交的棱有_________条，异面的棱有_________条．（2）棱与平面的的位置关系有_________种，与每条棱平行的平面有_________个，与每个面平行的棱有_________条，与每条棱垂直的平面有_________个，与每个面垂直的棱有_________条，每个面内有___________条棱．（3）面与面的的位置关系有_________种，与每个面平行的平面有_________个，与每个面垂直的面有_________个．【答案】3 3 4 4 2 2 4 4 4 4 2 1 4【分析】根据长方体棱与棱，棱与面，面与面之间的关系解答即可．【详解】（1）棱与棱的的位置关系有相交，异面，平行3种，与每条棱平行的棱有3条，垂直并相交的棱有4条，异面的棱有4条．故答案为：3，3，4，4；（2）棱与平面的的位置关系有平行和垂直2种，与每条棱平行的平面有2个，与每个面平行的棱有4条，与每条棱垂直的平面有4个，与每个面垂直的棱有4条，每个面内有4条棱．故答案为：2，2，4，4，4，4；（3）面与面的的位置关系有平行和垂直2种，与每个面平行的平面有1个，与每个面垂直的面有4个．故答案为：2，1，4；【点睛】本题主要考查了对长方体的认识，在空间中的平行，垂直关系的判定．8．长方体ABCD-EFGH中：（1）平面ABCD与____________个面平行，是________________（2）平面ABFE与____________个面平行，是________________（3）长方体中每一个面都与___________个面平行．（4）长方体中相对两个面之间的位置关系是怎样的？__________________（5）长方体中一共可以写出多少对面与面的平行关系？________________【答案】一面EFGH 一面DCGH 一平行三【分析】根据长方体的特征，它有6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等且平行，由此解答．【详解】（1）平面ABCD与一个面平行，是：面EFGH；故答案为：一，面EFGH；（2）平面ABFE与一个面平行，是：面DCGH；故答案为：一，面DCGH；（3）长方体中每一个面都与一个面平行；故答案为：一；（4）长方体中相对两个面之间的位置关系是平行的；故答案为：平行；（5）长方体中一共可以写出三对面与面的平行关系；故答案为：三；【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，主要根据长方体的面的特征解决问题．9．如图，在长方体ABCD-EFGH中，1）与面ABFE垂直的面是_________________________，2）与面BCGF垂直的面是_________________________，3）与面EFGH垂直的面是_________________________，4）在长方体中每个面都有___________个平面和它垂直．【答案】面EFGH、面ABCD、面ADHE、面BCGF 面EFGH、面ABCD、面ABFE、面CDHG 面ABFE、面CDHG、面ADHE、面BCGF 四【分析】根据平面垂直的判定定理解答．【详解】1）因为平面ABFE是长方体的前面，所以与它垂直的平面是长方体的上、下、左、右4个侧面，即面EFGH、面ABCD、面ADHE、面BCGF；2）因为平面BCGF是长方体的右面，所以与它垂直的平面是长方体的上、下、前、后4个侧面，即面EFGH、面ABCD、面ABFE、面CDHG；3）因为平面EFGH是长方体的上面，所以与它垂直的平面是长方体的前、后、左、右4个侧面，即面ABFE、面CDHG、面ADHE、面BCGF；4）在长方体中每个面都有四个平面和它垂直．故答案为：面EFGH、面ABCD、面ADHE、面BCGF；面EFGH、面ABCD、面ABFE、面CDHG；面ABFE、面CDHG、面ADHE、面BCGF；四【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，考查学生的观察能力及空间想象能力．三、解答题10．如图：因为平面EFGH和平面ABCD之间有两个长方形（长方形DAEH和长方形CBFG）图中相互平行的面是哪些？【答案】面ADHE和面BCGF；面ABFE和面DCGH【分析】本题判平面与平面平行的问题，直接观察图形，得出平行的平面．【详解】通过观察得知：面ADHE和面BCGF平行；面ABFE和面DCGH平行．【点睛】本题主要考查了平面与平面位置关系，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键．11．如图，三角形ABC与三角形DEF是形状、大小完全相同的直角三角形，其余三个面是长方形，则其中与上下面都垂直的平面有哪几个？与平面ADFC垂直的平面有哪几个？与平面ABC平行的棱有哪几条？与之平行的平面呢？【答案】面ABED、面BCFE、面ACFD；面ABC、面DEF、面BCFE；棱DF、棱DE、棱EF；面DEF【分析】直接观察图形，得出结论即可．【详解】解：由题意知，与上下面都垂直的平面有：面ABED、面BCFE、面ACFD；与平面ADFC 垂直的平面有：面ABC、面DEF、面BCFE；与平面ABC平行的棱有：棱DF、棱DE、棱EF；与平面ABC平行的平面有：面DEF．【点睛】此题主要考查三棱柱的棱、面的位置关系，以及面、面的位置关系，明确垂直、平行的定义是解答本题的关键．12．如图，在桌面上放着一本翻开的书，图中有几个面与桌面垂直？你的判断依据是什么？请把这些写出来．【答案】3个，每两个面组成一个合页型折纸，均可检验每个面与桌面垂直；面ABCF、面CHGF、面CDEF．【分析】根据平面与平面垂直的定义解答即可．【详解】平面ABCF、平面CHGF和平面CDEF都与桌面垂直，共有3个，理由每两个面组成一个合页型折纸，均可检验每个面与桌面垂直．【点睛】本题考查了平面与平面的位置关系，关键是根据垂直的概念解答．13．长方体，长与宽之比为2：1，宽与高之比2：1，长、宽、高共为140厘米，求这块长方体的体积？【答案】64000立方厘米【分析】根据题意可得：长：宽：高=4：2：1，利用棱长总和求出一组长宽高的和分别求出这个长方体的长宽高，再根据长方体的体积公式即可解答．【详解】解：根据题意：长：宽 = 2：1 = 4：2，宽：高 = 2：1，长：宽：高 = 4：2：1∴长4 140807=´=，宽2 140407=´=，高1 140207=´=；∴体积 = 长×宽×高 = 80×40×20 = 64000（立方厘米）【点睛】此题主要考查长方体棱长之和以及体积计算方法，解答关键是根据长宽高的比分别求出长方体的长宽高．14．如图，长方体中，M、N、P、Q分别是棱EH、棱AD、棱BC和棱GF上的中点（1）请找出与平面MNBF平行的棱；（2）请找出与平面HDPQ平行以及垂直的平面．【答案】（1）棱HQ、棱QP、棱PD、棱DH、棱AE、棱CG；（2）平行：面MNBF；垂直：面EFGH、面ABCD．【分析】本题判断直线与平面平行、垂直的问题，直接观察图形，得出平行、垂直的线段．【详解】（1）与平面MNBF平行的棱有：棱HQ、棱QP、棱PD、棱DH、棱AE、棱CG；（2）与平面HDPQ平行的平面有：面MNBF；与平面HDPQ垂直的平面有：面EFGH、面ABCD．【点睛】本题主要考查了认识立体图形，垂直的定义，长方体中平面与平面位置关系，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键．15．在长方体ABCD-EFGH中，1）写出所有与面ABCD垂直的面；2）写出所有与面DCGH垂直的面；3）面DCFE与面BCGF是否垂直？如果垂直，请在图中画出现成的合页型折纸．【答案】（1）面AEFB、面BCGF、面CGHD、面ADHE；（2）面ABCD、面BCGF、面FGHE、面AEHD；（3）垂直，面CDEF和面ABCD，作图见解析．【分析】（1）和平面ABCD相交的面与平面ABCD垂直；（2）和平面DCGH相交的面与平面DCGH垂直；（3）根据平面垂直的判定定理解答．【详解】（1）因为平面ABCD是长方体的左面，所以与它垂直的平面是长方体的前、后、上、下4个侧面，即面AEFB、面CGHD、面BCGF、面ADHE；（2）因为平面DCGH是长方体的后面，所以与它垂直的平面是长方体的上、下、左、右4个侧面，即面BCGF、面AEHD、面ABCD、面FGHE；（3）∵DC⊥CG，DC⊥BC，DC∩CG=C，∴DC⊥平面BCGF，∵DC在平面DCFE内，∴平面DCFE⊥平面BCGF；如图所示，阴影部分是合页型折纸：．【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，熟悉长方体并掌握长方体的性质是解题的关键．。