高考数学题型全归纳：如何由递推公式求通项公式典型例题(含答案)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解15 递推公式求通项(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点15 递推公式求通项一．公式法求通项1. 使用特征：前n 项和与项数或项的关系2. 公式为：通项=前n 项和-前n-1项和3. 解题思路n n-1n 1S S 123=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩求通项相关的：求首项、列两式、作差、化简有首项，此步略求首项：无首项，令进行求解一式含有，此式题目已给列两式：一式含有，根据题目的式子把n 变n-1作差：将上面两式相减（）得到通项公式，检验n=1是否满足条件化简：（）得到等差或等比数列（）得到数列两项的关系式二．累加法求通项1.使用特征：a a f (n)n -=后前表示含的式子2.解题思路n 12132n 1n 2n n 1a a (a a )(a a )+...(a a )(a a ) ===----=-+-+-+-1根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果 观察f(n)的特征选择合适的求和方法 计算化简注意：记得最后a 进行移项三．累乘法求通项1.使用特征：a =f (n)n a 后前含有的式子 2.解题思路n n n 1n 2321n 1n 2n 3211a a a a a a .....a a a a a a =f(n)n =a -----=根据中的与前后项下标的关系列式整理化简注意：将进行移项四．构造法求通项{}+2,=k +3=p,λλλ-λλ-λλλλλλλn+1n n+1n n+1n n+1n n 1.通项特征：两项放两边，系数则不同，相差常数项.形如a =pa +k 解题思路：待定系数法（1）设方程：设a =p （a +）（）移项解：a =pa +p 令p 解a （）代入：将代入（1）中，再移项构成等比数列a +a +{}+(n 1)a n a k2)n pa a ,bpa a =b+(n 1)a 3b =p,n a n aλ++λ+λ-λ=λ-λ+--λλ--λλ++λλλ+λ+⎧⎪⎨⎪⎩n+1n n+1n n+1n n+1n n 2.通项特征：两项放两边，系数则不同，相差一次函数.形如a =pa +kn+b 解题思路：待定系数法（1）设方程：设a =p （a +）p （）移项解：a =pa +(p 对比得解得和a （）、代入：将代入（1）移项构成等比数列a +a +{}n n 1n n n 1nn+b b 2,b)=k +b 3=p b b ++λλλ-λλλλλλλn+1n n+1n n+1n n+1nn 通项3.特征：两项放两边，系数不同，相差指数函数且底数与项的系数不同.形如a =pa +kb 解题思路：待定系数法（1）设方程：设a =p （a +）（）移项解：a =pa +(p-b)b 令(p 解a （）代入：将代入（1）中，再移项，构成等比数列a +a +n n 1n n+1n n 1n n 1n n 1n 1n 1n 1nn 1n 4.a pa kp (p 1/0p a pa kp a a k =+=+p p p p p pa a k p p p +++++++=+≠⇒⇒⎧⎫⎨⎬⎩⎭指数的底数与项数的系数相同）解法：同时除以（注意指数的次数是由后一项的下标决定）即是首项，公差是的等差数列五．倒数法求通项n 1n n n+1n 1n n 1n n 1n-1n n-1n n+1n1nn+1n n 1pa pa a a ka pka p 1ka p k 111k -=a pa p a a a p1ka p k 111k 11k-=,a pa pa a a p a a p----==+++==++==+∴⎧⎫⎨⎬⎩⎭1.分式:或解法：两边同时取倒数，即即或即是以首项公差的等差数列n n 1n n 1n n 1n +1n nn 1n n 1n n 1n n 1n n 1n n 1n nn 1n n 1n n +1n n 1n n 1n 1n n a -a ka a a -a ka a a a ka a 111-k a a a a a a a a a a a ka a 111-k a a a a a a a a a --+------+++++===⇒-=-⇒=⇒-=⇒⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎨⎬⎩⎭2.整式：或两项相减相乘解法：两边同时除以乘的部分，即等差数列等差数列考点题型分析考点题型一公式法求通项【例1】(1)(2022·广西民族高中)数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-+，则它的通项公式是n a =__________.(2)(2022·广东深圳市·明德学校高三月考)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n n S a n =+，则{}n a 的通项公式为n a =__________．(3)(2022·榆林市第十中学高三月考)已知数列{}n a 满足*12323(21)3,n n a a a na n n ++++=-⋅∈N ，则1a =________，=n a ________．【答案】(1)()22n a n n N +=-+∈(2)()*12nn N -∈(3)3 13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ 【解析】(1)1n =时，11110a S ==-+=；2n ≥且n ∈+N 时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-+---+-=⎣⎦-，易见，1n =也适合该式.故()22n a n n N +=-+∈.故答案为：()22n a n n N +=-+∈. (2)当1n =时，11121,1a a a =+=-当1n >时，122(1)n n n a a n a n -=+---，∴121n n a a -=-，∴()1121n n a a --=-，∵112a -=-，∴12nn a -=-，∴12n n a =-．故答案为：12()n n N *-∈.(3)当1n =时，()12133a =-⨯=，当2n ≥时，由题意可得：()12323213n n a a a na n ++++=-⋅，()()11231231233n n a a a n a n --++++-=-⋅，两式作差可得：()()1121323343n n n nna n n n --=-⋅--⋅=⋅，故143n n a -=⨯()2n ≥，因为13a =，不满足143n n a -=⨯，所以13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩. 故答案为：3；13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩.【举一反三】1．(2022·西藏昌都市第一高级中学)已知数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，则n a ＝________.【答案】65n -【解析】由于数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-.当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.11a =满足65n a n =-.因此，对任意的n *∈N ，65n a n =-.故答案为：65n -.2．(2022·全国高三专题练习)数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =-+，则n a =_________________.【答案】2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩ 【解析】当2n ≥时，()()()221=23121323n n n a S S n n n n n -⎡⎤=--+----+=-⎣⎦;而112a S ==不适合上式，2,123,2nn a n n =⎧∴=⎨-≥⎩.故答案为：2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩. 3．(2022·河北保定市·高碑店一中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()122n n a S n -=≥，则n a =______.【答案】()()211232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩【解析】因为()122n n a S n -=≥，故12n n a S +=，故12n n n a a a +=-即()132n n a a n +=≥.又2122a a ==，故当2n ≥时，223n n a -=⨯，故21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩.故答案为：()()211232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩. 4．(2022·全国高三专题练习)若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a =________． 【答案】1(2)n --【解析】当1n =时，112133a a =+，11a =， 当2n ≥时，112133n n S a --=+，112332n n n n n a S a a S --=-=-，∴12n n a a -=-，{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，1(2)n n a -=-．故答案为：1(2)n --5．(2022·安徽省舒城中学)若数列}{n a 2*3()n n n N =+∈，则n a =_______．【答案】()241n +【解析】数列}{n a 是正项数列，2*3()n n n N =+∈4=，即116a =2n ≥()()2*131()n n n N =-+-∈22n =+，所以()241n a n =+(2n ≥)当1n =时，116a =适合上式，所以()241n a n =+考点题型二 累加法求通项【例2】(2022·成都市·四川电子科大实验中学)设数列{}n a 满足11a =，()*112n n na a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 【答案】()*2112n na n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N 【解析】112n n n a a +-=，所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=， 将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)已知数列{}n a 满足：112a =，*11()2n n n a a n N +=+∈，则=n a【答案】13122n -- 【解析】∵数列{}n a 满足：112a =，()*112n n n a a n N +=+∈，∴112n n n a a +-=， ∴当n ≥2时，a n ＝a 1+a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+…+a n ﹣a n ﹣1＝12111112222n -+++⋯+11111221212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+- =13122n --， 2．(2022·全国高三专题练习)已知在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1112,21n n n a a a -+==++，则=n a _______．【答案】12-+n n【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒23122211n n n a n a --=+++++-+.111212212n n n n ---=+-+=+-. 3．(2022·通榆县第一中学校高三期中)已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则=n a 。
由递推关系求通项(含答案)
递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以na a n 111-=-211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，na n 32=∴类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
利用递推关系式求数列的通项公式(有答案绝对好精品)
利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,………2、2,6,12,20,30,………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0……… ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.②已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。
（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。
考点23 高中数学-已知递推公式求同通项公式求数列的通项公式-考点总结及练习题
考点23已知递推公式求同通项公式求数列的通项公式【命题趋势】等差与等比数列的综合应用是高考的常考题型，解决问题时，要能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.【重要考向】一、累加法（叠加法）二、累乘法（叠乘法）三、由数列的前n 项和n S 与n a 的关系求通项公式四、构造新数列累加法（叠加法）若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a n n ∈=-+，则称数列{}n a 为“变差数列”，求变差数列{}n a 的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121≥-+⋅⋅⋅++++=-+⋅⋅⋅+-+-+=-n n f f f f a a a a a a a a a n n n 求通项公式的方法称为累加法。
1.数列{}n a 满足12a =，122n n a a n +=++，则n a =。
【答案】(1)n a n n =+【解析】122n n a a n +=++ ，()121n n a a n +∴-=+，则当2n ≥时，12n n a a n --=，()()()()121321222222322n n n n n a a a a a a a a n -+∴=+-+-++-=+⨯+⨯++= ()1n n =+。
2.数列{}n a 满足14a =，12nn n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】22n +【解析】数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12nn n a a +∴-=，因此，()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++ ()121242212n n --=+=+-.故答案为：22n +.3.在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a =。
专题;由递推关系求数列的通项公式(答案)_202008
可得
a1
1 2
由 an1 sn1 sn =1
n 1
an1 1 nan
可得
an1 an
n n2
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
=
1 2
1 2 3 n2
345
n
n 1 n 1
=
1
n n 1
当
n=1
时也成立。故有
an
=
n
1 n
1
2-3 设数列{ an }是首项为 1 的正项数列，且 (n 1)an12 nan 2 an1an 0 （n=1,2,3…），则它的通项
.
专题练习 由递推关系求数列的通项公式
求递推数列通项公式是数列知识的一个重难点，四大考点之一。高考也往往通过考查递推数列来考查学生对 知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项 的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。
可构造等比数列（以下略）
3 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an (1)n , n 1 ．求数列 an 的通项公式。
解：由 a1 S1 2a1 1 a1 1 当 n 2 时，有 an S nSn1 2(an an1 ) 2 (1)n , an 2an1 2 (1)n1, an1 2an2 2 (1)n2 , ……， a2 2a1 2.
an1 an +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。
评注 此类问题关键累加可消中间项，而 f (n）可求和则易得 an
.
.
1-1 在数列{an}中, a1 2, an1 an 2n 1, 求an.
高中数学选择性必修二 4 1 2数列的递推公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。
高考数学题型全归纳：如何由递推公式求通项公式典型例题(含答案)
如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。
找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。
类型一：1()nna a f n 或1()n na g n a 分析：利用迭加或迭乘方法。
即：112211()()+()nnnnna a a a a a a a ……或121121n n n nna a a a a a a a ……例1.(1)已知数列na 满足11211,2nna a a nn，求数列n a 的通项公式。
（2）已知数列n a 满足1(1)1,2nn n a a s ，求数列n a 的通项公式。
解：（1）由题知：121111(1)1nna a nnn n nn 112211()())n n n n na a a a a +(a -a a (1)111111()()()121122n n nn ……312n（2）2(1)n n s n a 112(2)nn s na n两式相减得：12(1)(2)n nna n a na n 即：1(2)1n na n n a n 121121n n nn n a a a a a a a a (121)121nn n n……n类型二：1(,(1)0)nn a pa q p q pq p 其中为常数，分析：把原递推公式转为：1(),1nnq a tp a t p其中t=，再利用换元法转化为等比数列求解。
例2.已知数列n a 中，11,123n n a a a ，求n a 的通项公式。
解：由123nn a a 可转化为：132(3)n na a 令3,nn b a 11n+1n则b =a +3=4且b =2b n b 1是以b =4为首项，公比为q=2的等比数列11422n n bn即123n na 类型三：1()(nn a pa f n 其中p 为常数)分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()f x 是多项式或指数幂的形式。
(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法
求数列通项公式的方法｛a n ｝的通项公式。
二、累加法解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a ? aj a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。
、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n i 2a n 3 2n， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2，得鱼 2n 以|1 2 1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 212 2 故数列｛》｝是 1(n 1)1，3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2a n 2n 转化为開｛|讣是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出a n1)3，进而求出数列-，说明数列2[2( n 1) 1] [2( n 2) 1] L (2 2 1) (2 1 1) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 -(n 1)n(n 1) 1 2 -2(n 1)( n 1) 12na n (a n a n 1)(a n 1 a n 2) L(a3 a 2) (a 2 a 1 ) a 1例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1，1，求数列｛a n ｝的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求例3已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1, a “ 3，求数列｛务｝的通项公式。
解：由 a n 1 a n 2 3n 1 得 a n 1所以 a n 3n n 1.a n 1 a n 2 3n 1 转化为 a n 1 a n 2 3n 1，已知数列｛a n ｝满足a n 1 3a n 2 3n 1，a 1解：a n 1 3a n 2 3 1两边除以3 1，得一^4 n n3 3 3 3则旦L 丄旦L Z 丄故 3n 1 3n 3 3n 1，故an 1)a nan2(n 1) 3 存1 1 3n 1) 1 3 2n 1 13n32 2 3n' 则a n2 n 3n 13n132 2(a n a n 1 ) (a n 1 a n 2) L(a 3 a ?)(a 2 a 1 ) a 1n (2 3 1 1)(2 n 231) L(2 3211) (2 31) 312(33n2 L 3 3 ) (n 1) 33(13n 1) (n 1) 321 3n33 n 133 n 1a na n 2 3n 1 则评注：本题解题的关键是把递推关系式 进而求出 a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L 项公式。
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如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。
找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。
类型一：1()n n a a f n +-= 或 1()n n
a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。
即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或121121
n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n
+=
=++，求数列{}n a 的通项公式。
（2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s +==，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）由题知：121111(1)1
n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n =
- （2）2(1)n n s n a =+
112(2)n n s na n --∴=≥
两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：
1(2)1
n n a n n a n -=≥- 121121
n n n n n a a a a a a a a ---∴=⋅⋅ (121121)
n n n n -=⋅⋅--…… n = 类型二：1(,(1)0)n n a pa q p q pq p +=+-≠其中为常数，
分析：把原递推公式转为：1(),1n n q a t p a t p
+-=--其中t=
，再利用换元法转化为等比数列求解。
例2.已知数列{}n a 中，11,123n n a a a =+=+，求{}n a 的通项公式。
解：由123n n a a +=+ 可转化为：
132(3)n n a a ++=+
令3,n n b a =+11n+1n 则b =a +3=4且b =2b
{}n b ∴1是以b =4为首项，公比为q=2的等比数列
11422n n bn -+∴=⋅=
即 123n n a +=-
类型三：1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)
分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()f x 是多项式或指数幂的形式。
（1）()f x 是多项式时转为1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，再利用换元法转为等比数列
（2）()f x 是指数幂：11(0)n n n a pa rq
pqr ++=+≠ 若p q =时则转化为11n n n n a a r q q
++=+，再利用换元法转化为等差数列 若p q ≠时则转化为11(),n n n n qr a tq p a tq t p q
+++=+=-其中 例3.（1）设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。
（2）设数列{}n a 中，111,32n
n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式。
解：（1）设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++
1322n n a a An B A +∴=++-
与原式比较系数得：221211
A A
B A B ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩
即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++
令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3
{}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列
133331
n n
n n n b a n -∴=⋅==--即: (2)设1123(2)n n n n a t a t +++=+
展开后得：132n n n a a +=+
对比得：1t =
1123(2)n n n n a a ++∴+=+
令1
1,12,323n n n n n b a b b a +=+=+=1则且b = {}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列
133332
n n
n n n n b a -∴=⋅==-即: 类型四：1(0,0)r n n n a pa p a +=>>
分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：1lg lg lg n n a r a p +=+，再采用类型二进行求解。
例4.设数列{}n a 中，21111,(0)n n a a a a a +==
⋅>，求{}n a 的通项公式。
解：由211n n a a a
+=⋅，两边取对数得: 11lg 2lg lg n n a a a
+=+ 设1lg 2(lg )n n a t a t ++=+展开后与上式对比得：1lg t a
= 112(lg lg )n a a a a
∴=+n+1原式可转化为lg +lg
令1(lg lg )n n b a a =+，则1,1n n b b a
+=且b1=lg {}1n b a ∴1是b =lg 为首项，公比q=2的等比数列
112lg n bn a -∴=⋅，即111lg lg 2lg n n a a a
-+=⋅ 也即112n n a a
--= 类型五：1()()()
n n n f n a a g n a h n +=+ 分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。
例5.已知数列{}n a 满足：1111,31
n n n a a a a --==
+，求{}n a 的通项公式。
解：原式两边取倒数得：111
13113n n n n a a a a ---+==+ 1,1n
a n n n-11设
b =则b -b =3,且b = {}13n b ∴1是b =为首项，公差d=2的等差数列 1(1)332bn n n ∴=+-⋅=-
即132
n a n =
-。