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上海市奉贤区高考数学二模试卷解析版

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.在等差数列{a n}中，设k，l，p，r∈N*，则k+l＞p+r是a k+a l＞a p+a r的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件2.如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，如图为鼎足近似模型的三视图（单位：cm），经该鼎青铜密度为a（单位：kg/cm3），则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量=体积×密度，单位：kg）（）A. 1250aπB. 5000aπC. 3750aπD. 15000aπ3.已知△ABC的周长为12，B（0，-2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（）A. （x≠0）B. （y≠0）C. （x≠0）D. （y≠0）4.设有△A0B0C0，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△A1B1C1，再作△A1B1C1的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△A2B2C2，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△A n B n C n（n=1，2，3，…），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 与原三角形相似D. 以上均不对二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.计算行列式=______．6.在的展开式中常数项为______．7.设函数y=f（x）=log2x+c的图象经过点（2，5），则y=f（x）的反函数f-1（x）=______．8.参数方程（θ为参数，θ∈[0，2π））表示的普通方程为______．9.若关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵是，该方程组的解为，则a+c=______．10.若x、y满足约束条件，则x+3y的最小值为______．11.设等比数列{a n}中，首项a1＜0，若{a n}是递增数列，则公比q的取值范围是______．12.双曲线的右焦点恰好是y2=4x的焦点，它的两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为______．13.已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递减，当x+y=2019时，恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，则x的取值范围是______．14.随机选取集合{地铁5号线，BRT，莘南线}的非空子集A和B且A∩B≠∅的概率是______．15.实系数一元二次方程ax2+bx+1=0（ab≠0）的两个虚根z1、z2，z1的实部Re（z1）＜0，则的模等于1，则实数m=______．16.设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含B、C两个端点），，且，x+y+xy的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知sinθ、sinα、co sθ成等差数列，sinθ、sinβ、cosθ成等比数列．（1）若，求θ；（2）求的值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD，PA=PD，AD的中点是E，PE⊥面ABCD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，．（1）求异面直线PC与AB所成角的大小；（2）求面PDC与平面PAB所成二面角的大小．19.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，该函数近似模型如下：，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）20.已知两点F1（-2，0），F2（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且，（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线PF1、PF2的两个斜率存在，分别记为k1、k2，若k1k2=1，求点P的坐标；（3）若经过点N（-1，0）的直线l与动点P的轨迹有两个交点为T、Q，当时，求直线l的方程21.统计学中将n（n≥2，n∈N*）个数x1、x2、…、x n的和记作，（1）设b n=|3n-13|（n∈N*），求；（2）是否存在互不相等的非负整数a1，a2，a3，…，a n，0≤a1＜a2＜a3…＜a n，使得=2019成立，若存在，请写出推理过程；若不存在请证明；（3）设x1，x2，x3，…，x n（n≥3）是不同的正实数，x1=a，对任意的n∈N*（n≥3），都有，判断x1，x2，x3，…，x n是否为一个等比数列，请说明理由答案和解析1.【答案】D【解析】解：在等差数列0，0，0，……中，3+4＞1+2，则a3+a4＞a1+a2不成立，即充分性不成立，在等差数列中，a k+a l=2a1+（k+l-2）d，a p+a r=2a1+（p+r-2）d，由a k+a l＞a p+a r得2a1+（k+l-2）d＞2a1+（p+r-2）d，即（k+l-2）d＞（p+r-2）d，当d＜0时，k+l-2＜p+r-2，即k+l＜p+r，即必要性不成立，即k+l＞p+r是a k+a l＞a p+a r的既不充分也不必要条件，故选：D．根据等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：由三视图可知，鼎足可看成一个中空圆柱体，外半径为10cm，内半径为5cm，则其重量为：（100π-25π）×50a=3750a，故选：C．根据三视图得到中空圆柱体，容易计算．此题考查了三视图，圆柱体体积等，属容易题．3.【答案】A【解析】解：∵△ABC的周长为12，顶点B（0，-2），C（0，2），∴BC=4，AB+AC=12-4=8，∵8＞4，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=4，c=2∴b2=12，∴椭圆的方程：（x≠0）故选：A．根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．4.【答案】A【解析】解：设第n个内切圆的圆心为O n，第n个三角形的内角，∠B n A n C n=a n，∠A n B n C n=b n，∠A n C n B n=c n，在四边形O n A n+1B n C n+1中，∵A n+1C n+1⊥O n B n，O n A n+1⊥B n C n，∴∠O n A n+1C n+1=∠A n+1B n O n=，同理∠O n A n+1B n+1=，所以a n+1=∠B n+1A n+1C n+1=∠O n A n+1C n+1+∠O n A n+1B n+1==，∴，设，令k=-2k-π，得，k=-，即，所以{}是以为首项，以-为公比的等比数列．∴，所以==，同理当n→+∞时，b n，c n都→，故三角形的极限为等边三角形．故选：A．根据相等的圆周角所对的弦长相等，将三角形边的问题转换为内角的问题．解决本题需要用的圆的性质：相同的圆周角所对的弦长相等，从而把判断边的关系转化为判断交的关系，在利用构造数列的方法解决问题，本题综合性较强，计算能力的要求较高，属于难题．5.【答案】0【解析】解：行列式=cos cos-sin=0．故答案为：0．利用二阶行列式展形法则和三角函数的性质直接求解．本题考查二阶行列式求值，考查二阶行列式展形法则和三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】160【解析】解：在的展开式中的通项公式为T r+1=•2r•x6-2r，令6-2r=0，求得r=3，可得常数项为•23=160，故答案为：160．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.【答案】2x-4，x∈R【解析】解：因为函数y=f（x）=log2x+c的图象经过点（2，5），代入得c=4，则f（x）=y=log2x+4，则y-4=log2x，x=2y-4，互换位置，则y=f（x）的反函数f-1（x）=2x-4．故答案为f-1（x）=2x-4．由函数y=f（x）=log2x+c的图象经过点（2，5），代入得c=4，得f（x）解析式，再反解得反函数．本题考查了反函数的性质属于简单题．8.【答案】（x-2）2+y2=1【解析】解：根据题意，参数方程，则有，变形可得：（x-2）2+y2=1；故答案为：（x-2）2+y2=1．根据题意，将参数方程变形可得，结合同角三角函数的基本关系式分析可得答案．本题考查圆的参数方程，关键是掌握圆的参数方程的形式．9.【答案】5【解析】解：由题意，可将增广矩阵还原成二元一次线性方程组的形式为：，且方程的解为：．将方程的解代入二元一次线性方程组，可得：，解得：．∴a+c=5．故答案为：5．本题可根据增广矩阵的定义将线性方程组还原，然后通过将方程的解代入方程组，可得到参数的值，即可得到结果．本题主要考查增广矩阵的定义以及与线性方程组的关系、互相转化等知识，本题属基础题．10.【答案】-2【解析】解：画出x、y满足约束条件可行域如下图，由z=x+3y得y=-x+；平移直线y=-x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，由解得，A（4，-2）；故此时z=4-3×2=-2；故答案为：-2．作出x、y满足约束条件可行域，再由z=x+3y得y=-x+，从而求z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．属于中档题．11.【答案】0＜q＜1【解析】解：由题意可得，∴，解得0＜q＜1，故答案为：（0，1）．由题意可得，即，由此解得公比q的取值范围．本题主要考查等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．12.【答案】．【解析】解：双曲线的右焦点恰好是y2=4x的焦点，可得c=1，双曲线的两条渐近线的夹角为，可得a=b，所以a=b=，可得双曲线方程为：．故答案为：．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的半焦距，利用双曲线的渐近线的夹角，可得ab 关系，然后求解即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查．13.【答案】（-∞，0）【解析】解：根据题意，函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，又由f（x）在[0，+∞）单调递减，则f（x）在（-∞，0]上也为减函数，则f（x）在R上为减函数，则f（2019）＜0，当x＜0时，y=2019-x＞2019，即f（x）＞f（2019）＞f（y），则恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，当x=0时，y=2019，此时f（x）+f（2019）=f（2019）=f（y），f（x）+f（2019）＞f（y）不成立，当x＞0时，y=2019-x＜2019，此时不能满足f（x）+f（2019）＞f（y）恒成立，故x的取值范围为（-∞，0）；故答案为：（-∞，0）．根据题意，由奇函数的性质可得f（x）在R上为减函数且f（0）=0，据此对x进行分情况讨论，分析f（x）+f（2019）＞f（y）是否成立，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意奇函数的性质，属于综合题．14.【答案】【解析】解：集合{地铁5号线，BRT，莘南线}的非空子集有23-1=7个，故A，B都有7种选择，∴基本事件的总数为7×7=49个，其中A∩B=∅，包含①当A为单元素集合时，B可以是A的补集或B为单元素集合（不取A的元素）共有3×（1+2）=9．②当A为双元素集合时，B只能是它的补集，故A∩B=∅，包含12个基本事件．∴A∩B≠∅包含49-12=37个基本事件．故p=，故填：．分类讨论，计算出A∩B≠∅包含的基本事件的个数，再计算出基本事件的总数，即可求出概率本题考查古典概型的概率计算，计算A∩B≠∅包含的基本事件个数时需要分类讨论，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：设z1=c+di，z2=c-di（c＜0且c，d∈R），∵的模等于1，∴|20m+21m-2020z1|=|29m-2020z2|，∴|20m+21m-2020（c+di）|=|29m-2020（c-di）|，∴，∵c＞0，且c，d∈R，∴20m+21m=29m，解方程得：m=2．故答案为：2．设z1=c+di，z2=c-di，根据的模等于1，得到方程20m+21m=29m，解方程即可．本题考查本题考查复数的基本概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】[1，3]【解析】解：建立以点A为直角坐标系为原点，AB为x轴，AB为y轴的直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（-，），P（cosθ，sinθ），（0），又，所以，即，所以x+y+xy=cosθ+sinθ+sinθcosθ+sin2θ=2sin（θ+）+，又y1=2sin（θ+），y2=都在[0，]为增函数，在[，]为减函数，则当θ=0或时，x+y+xy取最小值1，当θ=时，x+y+xy取最大值3，即x+y+xy的取值范围为：[1，3]，故答案为：[1，3]由平面向量的坐标运算得：，所以，即，由三角函数求值及辅助角公式问题得：x+y+xy=cosθ+sinθ+sinθcosθ+sin2θ=2sin（θ+）+，又y1=2sin（θ+），y2=都在[0，]为增函数，在[，]为减函数，则当θ=0或时，x+y+xy取最小值1，当θ=时，x+y+xy取最大值3，即x+y+xy的取值范围为：[1，3]，得解本题考查了平面向量的坐标运算、三角函数求值及辅助角公式问题，属中档题17.【答案】解：（1）若，由sinθ、sinα、cosθ成等差数列，得sinθ+cosθ=2sinα=，即，∴=，由sinθ、sinβ、cosθ成等比数列，则sinθcosθ=sin2β＞0，则或，k∈Z．则∈（，）∪（，），k∈Z．此时∈[-1，）∪（，1]．∴θ∈空集；（2）依题意可知2sinα=sinθ+cosθ，sin2β=sinθcosθ，∵cos2α-cos2β=1-2sin2α-（1-2sin2β）=1-2-（1-sin2θ）=1--sin2θ-+sin2θ=0．【解析】（1）由，结合sinθ、sinα、cosθ成等差数列，得到∴=．由sinθ、sinβ、cosθ成等比数列，则sinθcosθ=sin2β＞0，求得θ的范围，可得sin（）的范围，说明θ∈∅；（2）利用等差中项和等比中项的性质求得sinα，sinβ与sinθ与cosθ的关系，进而利用同角三角函数的基本关系构造出等式，利用二倍角公式整理，即可得解．本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，考查了同角三角函数基本关系的运用，等差中项和等比中项的性质，属于中档题．18.【答案】解：由PA=PD，AD的中点是E，得PE⊥AD，∵，连接CE，则CE⊥AD，又PE⊥面ABCD，∴PE⊥EC．以E为坐标原点，分别以EC，EA，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知可得：A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1），（1），，∵cos＜＞==，∴异面直线PC与AB所成角的大小为；（2），，，．设平面PAB的一个法向量为，由，取z=1，得；设平面PCD的一个法向量为，由，取c=1，得．∵，∴面PDC与平面PAB所成二面角的大小为．【解析】首先证明EP，EC，EA两两互相垂直．（1）分别求出，的坐标，由数量积求夹角公式求解异面直线PC与AB所成角的大小；（2）分别求出面PDC与平面PAB一个法向量，由两法向量所成角求解面PDC与平面PAB所成二面角的大小．本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2；此时，………………（1分）又f（1）=44.42，所以a+47.42=44.42，解得a=-12；……………………………………（2分）所以，当时，函数f（x）取得最大值为y max=47.42，故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值47.42毫克/百毫升；……………（4分）（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x ＞2；由54.27•e-0.3x+10.18＜20，得，………………………（7分）两边取自然对数，得，………………………（8分）即-0.3x＜ln9.82-ln54.27，所以x＞==5.7；……………………（11分）故喝啤酒后需5小时42分钟后才可以合法驾车．………………（12分）注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分（2分）．【解析】（1）由图知函数f（x）取得最大值时对应的解析式，代入（1，44.42）求得f （x）的解析式，再计算f（x）的最大值；（2）由题意列不等式求出x的取值范围，即可得出结论（注：如果根据图象猜出正确答案，可给结果分）．本题考查了分段函数模型应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）设P（x，y），∵，∴（x+2）（x-2）+y2=，整理为：．（2）设p（x，y），则，=1．联立解得，x=，y=±．∴或或或；（3）设直线l的方程为：，（α为直线l的倾斜角，t为参数）．把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：（1+sin2α）t2-2t cosα-7=0，∴t1+t2=，t1t2=，，不妨设=t1＞0，=-t2＞0．∴=-=t1+t2=±，化为：2cos2α±7cosα-4=0，解得cosα=，可得α=或．∴直线l的方程为．【解析】（1）设P（x，y），由，可得（x+2）（x-2）+y2=，即可得出．（2）设p（x，y），则，=1．联立解出．（3）设直线l的方程为：，（α为直线l的倾斜角，t为参数）．把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：（1+sin2α）t2-2t cosα-7=0，可得t1+t2=，t1t2=，由，不妨设=t1＞0，=-t2＞0．可得=-=t1+t2，即可得出．本题考查了椭圆点标准方程及其性质、一元二次方程点根与系数点关系、直线参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）当n≤4时b n=13-3n，当n＞4时，b n=3n-13，则=10+…+1+2+…+17=79，（2）20+21+22+…+210=211-1=2047，2047-2019=28，22+23+24=28，则a1=0，a2=1，a3=5，a4=6，a5=7，a6=8，a7=9，a8=10时成立．（3）令q=＞0且q≠1，下面证明对任意的正整数k，a k=aq k-1：①当k=1，2时，显然成立；②假设对任意的k≤n-1，a k=aq k-1，下面证明a n=aq n-1：令x n=p•x n-1=apq n-2，=q-1，=p+=p+•=p+qp2•=p+qp2•，=，所以=⇔+•p2=⇔（q2-1）p+q（q2n-4-1）p2=q（q2n-4p2-1）⇔-qp2+（q2-1）p+q=0；解得q=p或q=-（舍）所以，a n=aq n-1．由归纳法，x1，x2，x3，…，x n是一个等比数列．【解析】（1）代值计算结果．（2）距离2019最近的2的幂次为211=2048，而2019小于2048，所以a n≤10，但是2048和2019的差不大，所以可以研究他们的差如何表示．（3）用一般的方法证明x1，x2，x3，…，x n是一个等比数列基本很难做到，所以我们采用数学归纳法，要归纳的结论并不困难，只需要把公比找到即可．（2）与二进制有关，（3）因为已知要证明的结论是等比数列，所以在用数学归纳法时结论比较明确，如果没有这个条件，则需要先算出数列的第三项，对数列的通项合理猜测．在用数学归纳法时，计算较为复杂，最好分成若干部分分别化简．。

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上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]【答案】C 【解析】 【分析】求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x ≥时，()()()'12xf x x e =---，令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(],2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即1x ln22e-≤<， ∴1e22m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.2．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG，1DQ 则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C 【解析】 【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251． 故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 3．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A B ．3C ．1D ．5【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.4．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 【答案】B 【解析】 【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==，所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B 【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.5．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅u u u r u u u u r的取值范围为（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,9 C ．[]1,8 D ．[]1,9【答案】A 【解析】 【分析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得()()212121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -⎡⎤⋅=++⎡⎤⋅=⎣⎦-⎣⎦++u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u u u u r u u u u r u v u u u r u u u v u ，结合12AO O B +u u u u v u u u u v的范围即可求解【详解】 如图，()()()()1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ⎡⎤⎡⎤⋅⎣⎦⎣⎦⋅=++⋅++=++-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r 2221212129O O AO O B AO O B =-+=-+u u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v 其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=u u u u v u u u u v ，所以[]2293,910,8AB MN ⋅∈-⎡⎤⎣-=⎦u u u r u u u u r .故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题 6．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ． 7．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ） A ．43π B ．4π C ．323πD ．43π【答案】A 【解析】 【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】 由题,因为2,1,AC BC AC BC ==⊥,所以223AB AC BC =+=,设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.8．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在()0,+?上单调递增,则()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1ex axx -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1eaxh x =-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111mf m m m '=-=++（0m >），所以()f m 在()0,+?上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得()1e 1e x ax x -≤-成立，设()()1e x g x x =-，()1eax h x =-，则()e x g x x '=，当0x >时()0g x ¢>，()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e2a +≥.故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 10．已知命题p:直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q:直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m.下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出p 为假命题、q 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项. 【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题:p 若直线//a b ，直线b ⊂平面α，则直线//a 平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题:q 若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题.故:A 命题“p q ∧”为假命题；B 命题“()p q ∨⌝”为假命题；C 命题“()p q ⌝∧”为真命题；D 命题“()p q ∧⌝”为假命题. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.11．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 【答案】C 【解析】 【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D 正确.故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.12．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =；当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学二模试卷Word版含解析

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上海市奉贤区高考数学二模试卷一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数f（x）=cos（﹣x）的最小正周期是．2．若关于x，y的方程组无解，则a= ．3．已知{a n}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{a n}的通项公式为．4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是．5．设点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= ．6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为，则圆心C到直线l的距离为．8．双曲线=1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是．9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为．10．已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．11．已知实数x、y满足方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为．12．设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，则这样的排列有个．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 14．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+115．矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于B．等于C．大于D．大于1.616．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．（1）若，求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．21．已知椭圆E：，左焦点是F1．（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．求椭圆E的方程；（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设，，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数f（x）=cos（﹣x）的最小正周期是2π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】化函数f（x）=cos（﹣x）=sinx，写出它的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=cos（﹣x）=sinx∴f（x）的最小正周期是2π．故答案为：2π．2．若关于x，y的方程组无解，则a= 1 ．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据题意，分析可得：若方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得=≠，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，则有=≠，解可得a=1，故答案为：1．3．已知{a n}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{a n}的通项公式为a n=8﹣2n ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=6，a3+a5=0，∴2×6+6d=0，解得d=﹣2．∴a n=6﹣2（n﹣1）=8﹣2n．故答案为：a n=8﹣2n．4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出关于A的不等式，根据集合的关系求出t的范围即可．【解答】解：A={x||x﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范是：t≤﹣1；故答案为：（﹣∞，﹣1]．5．设点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= 2x+1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，求解出a，把x用y表示出来，把x与y互换可得f（x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，∴log a（9﹣1）=3，可得：a=2，则函数f（x）=y=log2（x﹣1）那么：x=2y+1．把x与y互换可得：y=2x+1∴f（x）的反函数f﹣1（x）=2x+1．故答案为：2x+1．6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为，则圆心C到直线l的距离为．【考点】QK：圆的参数方程．【分析】求出圆的普通方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：圆C的参数方程为，普通方程为x2+（y﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径为2，∴圆心C到直线l的距离为=，故答案为．8．双曲线=1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是（，+∞）∪（﹣∞，﹣）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠F1PF2为直角时P的坐标，可得∠F1PF2为锐角时点P的横坐标的取值范围【解答】解：不妨以P在双曲线右支为例由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，∴|PF1||PF2|=6，②联立①②解得：|PF2|=，由焦半径公式得|PF2|==ex﹣a，即可得点P的横坐标为，根据对称性，则点P的横坐标的取值范围是（））．故答案为：是（））9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为28π．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分．【解答】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积．圆锥S侧=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr2=16π+4π=20π，∴该几何体的表面积为28π．故答案为28π．10．已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= 70 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，即可求出极限．【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，∴==70，故答案为70．11．已知实数x、y满足方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为．【考点】K8：抛物线的简单性质；3J：偶函数；IR：两点间的距离公式．【分析】由题设条件当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），可知方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，关于y轴成轴对称，故有﹣a+1=0，又由圆的几何特征及确定一个偶函数y=f（x）知，y的取值范围是，由此可以求出b的取值范围，由此点（a，b）的轨迹求知，再由抛物线的性质求得其焦点坐标为（0，﹣），最大距离可求【解答】解：由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由﹣a+1=0，求得a=1由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1由此知点（a，b）的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于（0，1]又抛物线故其焦点坐标为（0，﹣）由此可以判断出焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大距离是=故答案为12．设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，则这样的排列有9 个．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】利用和值为6，分解为4个非负数的和，最大值为3，最小值为0，列出所有情况即可．【解答】解：x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，可得4个数的和为6，共有，0+0+3+3=6；1+1+1+3=6；0+1+2+3=6；1+1+2+2=6；所有x1、x2、x3、x4分别为：0+0+3+3=6；类型有：4，2，3，1；1+1+1+3=6；类型有：2，3，4，1；4，1，2，3；0+1+2+3=6；类型有：4，1，3，2；4，2，1，3；3，2，4，1；2，4，3，1；1+1+2+2=6；类型有：2，4，1，3；3，1，4，2；共9种．故答案为：9．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【考点】71：不等关系与不等式．【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．14．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+1【考点】52：函数零点的判定定理；3L：函数奇偶性的性质．【分析】由x0是y=f（x）﹣e x的一个零点知f（x0）﹣=0，再结合f（x）为奇函数知f （﹣x0）+=0，从而可得f（﹣x0）+1==0．【解答】解：∵x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣=0，又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x0）=﹣f（x0），∴﹣f（﹣x0）﹣=0，即f（﹣x0）+=0，故f（﹣x0）+1==0；故﹣x0一定是y=f（x）e x+1的零点，故选：A．15．矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于B．等于C．大于D．大于1.6【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，即可得出结论．【解答】解：将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°．故选C．16．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B=∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得到它们的比例关系．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选D．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）方法（1）根据中点条件可以证明OE∥AC，∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；解△PCA可得异面直线PC与OE所成的角方法（2）如图，建立空间直角坐标系，，E（1，1，0）利用向量的夹角公式可得异面直线PC与OE所成的角（2）、方法（1）、求出平面APC的法向量，平面ACE的法向量，利用向量法求解．方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，可得二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO解Rt△PDO，可得二面角P﹣AC﹣E的大小【解答】解：（1）证明：方法（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，根据中点条件可以证明OE∥AC，得∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；所以异面直线PC与OE所成的角是（1）方法（2）如图，建立空间直角坐标系，，E（1，1，0）∴，，，设与夹角θ，异面直线PC与OE所成的角．（2）、方法（1）、设平面APC的法向量，∴，平面ACE的法向量，设两平面的夹角α，则，所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，又圆锥母线PA=AC，∴PD⊥AC，∵底面圆O上OA=OC∴OD⊥AC，又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O，∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO，∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°又直径，∴，∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD，又∴△Rt△PDO中，，∴所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．19．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．（1）若，求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）若，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，可得，利用余弦定理，即可求线段AC的长．【解答】解：（1）设∠AOC=θ，，∴=4+1×2×cos（π﹣2θ）+1×2×cos（π﹣θ）+cosθ=﹣4cos2θ﹣cosθ+6∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3，∴（舍去）（2）A，B，C三点共线，所以∴∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）利用已知条件推出a n+1=2a n，数列{a n}为等比数列，公比q=2，求出通项公式．（2）推出，方法一：通过T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞推出结果．方法二利用错位相减法求和，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n．（3）利用裂项求和，通过对任意n∈N*均有成立，求解即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．21．已知椭圆E：，左焦点是F1．（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．求椭圆E的方程；（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设，，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．列出方程组求解a，b可得椭圆方程．（2）设直线l1的方程y=tx，联立，求解，，，推出四边形A1GB1H的面积，求出最大值，然后求解直线方程．（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合题设，，求解λ+μ即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．∴，所以椭圆方程（2）设直线l1的方程y=tx联立，可以计算，，∴，∴，所以直线l1的方程是（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，根据题设，，得到（x1+p，y p）=λ（﹣c﹣x1，0﹣y1），（x1+p，y p）=λ（﹣c﹣x2，0﹣y2），得，==﹣=﹣==λ+μ的值为：结论2017年5月23日。

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题（二模）一、填空题1．已知复数z 满足()1i 1i z -=+，则复数z 的虚部为__________.【正确答案】1-【分析】由题意知，求复数z 的虚部可转化为先求z ，从而解得．【详解】因为()1i 1i z -=+，所以()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+，故i z =-，故复数z 的虚部为1-.故答案为.1-2．已知{}{}2|01x x mx n -+==，则m n +=__________.【正确答案】3【分析】由二次方程的根只有一个，则Δ0=，且根为1，代入即可求解.【详解】因为{}{}2|01x x mx n -+==，所以二次方程20x mx n -+=有两个相等的实数根，则240m n ∆=-=①，且方程的根为1，所以10m n -+=②，联立①②解得：2, 1.m n ==所以 3.m n +=故答案为.33．分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是__________．【正确答案】8【分析】根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑3枚硬币的所有情况数．【详解】每枚硬币都有2种情况，即正面和反面，则分别抛掷3枚硬币，{Ω=（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，所有8Ω=，故8．4．已知向量(),1a x =，()2,3b =- ,若a b ⊥ ，则实数x =__________．【正确答案】32/1.5【分析】直接由向量垂直的坐标运算公式计算即可．【详解】因为a b ⊥，所以230a b x ⋅=-+= ，解得32x =，故32．5．已知,,A B C 是同一直线上三个不同的点，O 为直线外一点，在等差数列{}n a 中，26OA a OB a OC =+，则数列{}n a 的前7项和7S =__________.【正确答案】72/3.5【分析】由题意261a a +=，然后利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的性质求解.【详解】因为,,A B C 是同一直线上三个不同的点，O 为直线外一点，且26OA a OB a OC =+，所以261a a +=，则()()2776172227a a a a S +⨯⨯+===.故答案为.726．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【正确答案】y =【分析】根据离心率求得ba，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则2=b a =故双曲线的渐近线方程为y =.故答案为.y =7．珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是__________．【正确答案】①【分析】由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答案．【详解】数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆拉玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量结果影响很小，故假设①最不重要，故①．8．安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为__________．【正确答案】216【分析】首先根据捆绑法将男生分为3组，然后男生与女生分别全排列，根据分步计数乘法原理计算即可．【详解】由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2人一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有2343C A 36=，女生的安排方法共有33A 6=，故不同的安排共有233433C A A 366216=⨯=种．9．若3030(21)kk k x a x =+=∑，则30k k a =∑被10除所得的余数为__________.【正确答案】9【分析】令1x =，可得30301515039(101)k k a ====-∑，结合二项展开式，即可求解.【详解】令1x =，可得30301515015114141151515151539(101)C 10C 10C 10C kk a====-=-+⋅⋅⋅+-∑015114141151515C 10C 10C 101=-+⋅⋅⋅+-，所以30k k a =∑被10除所得的余数为9.故答案为.910．已知函数()2ln f x x x =-，直线l ：40x y +-=，若直线0x y m -+=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，则A ，B 之间的最短距离是__________.【正确答案】【分析】根据题意两直线垂直所以A ，B 之间的距离即为A 到直线l 的距离，即为与l 平行且与()f x 相切的直线的切点到直线l 的距离.【详解】因为函数()2ln f x x x =-，直线l ：40x y +-=，若直线0x y m -+=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，直线0x y m -+=的斜率为1，直线l ：40x y +-=的斜率为1k =-，所以两直线垂直，所以函数()f x 图象上的点A 到直线l 的最短距离，即为,A B 之间的最短距离由题意可得()12f x x x'=-，0x >.令()121f x x x'=-=-，解得1x =（12x =-舍去）.因为()11f =-，取点()1,1A -，所以点A 到直线40x y +-=的距离d =则A ，B 之间的最短距离是故11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，114，AB AA ==，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为_____.【分析】过1C 做与直线1B E 垂直的平面α，则点P 的轨迹的长即为平面α与正四棱柱的交线长.【详解】如图，连接11B D ，11AC ，由题可知，1111AC B D ⊥，1ED ⊥平面1111D C B A .因11AC ⊂平面1111D C B A ，则111ED AC ⊥.又11B D ⊂平面11EB D ，1ED ⊂平11EB D ，1111∩ED B D D =，则11A C ⊥平面11EB D .又1B E ⊂平面11EB D ，则111C A B E ⊥；如图，过E 做11D C 平行线，交1CC 于F ，则F 为1CC 中点.连接1，EF B F ，过1C 做1B F 垂线，交1BB 于G .由题可得，11D C ⊥平面11BCC B ，又11EF D C ∥，则EF ⊥平面11BCC B .因1C G ⊂平面11BCC B ，则1C G EF ⊥.又1B F ⊂平面1B FE ，FE ⊂平面1B FE ，1∩FE B F F =，则1C G ⊥平面1B FE .因1B E ⊂平面1B FE ，则11C G B E ⊥；因1C G ⊂平面11C GA ，11C A ⊂平面11C GA ，1111∩C A C G C =，则1B E ⊥平面11C GA .连接1A G ，则点P 轨迹为平面11C GA 与四棱柱的交线，即11AC G △.注意到1111111111B C G GC F GC F B FC B C G B FC ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，1111C B G FC B ∠=∠，则1111C B F FC B ，故1111111122C B FC B G B G C B ==⇒=.则点P的轨迹的长为1111AG C G AC ++=+=故答案为+关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂线.12．数列{}n a 共有M 项（常数M 为大于5的正整数），对任意正整数k M ≤，有10k M k a a +-+=，且当2Mn ≤时，12n n a =．记{}n a 的前n 项和为n S ，若10231024n S ≤对任意1,2,3,,n M =⋅⋅⋅⋅⋅⋅都成立，则M 的最大值是__________．【正确答案】21【分析】根据已知得出数列{}n a 的性质，再分类讨论当M 为偶数和M 为奇数的情况即可得出答案．【详解】根据条件可知，数列{}n a 具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0．下面对M 讨论：当M 为偶数（数列{}n a 各个数非零），()2max 21112210231102412Mn MS S ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==≤-，解得20M ≤；当M 为奇数（数列{}n a 中120M a +=），()1211max 2211023121024M n M M S S S -+-⎛⎫===-≤⎪⎝⎭，解得21M ≤，故M 最大值为21，故21．二、单选题13．已知集合{}21A x x =<，202x a B x x ⎧⎫-⎪⎪=<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >C ．11a -<<D ．01a <<【正确答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，依题意可得A B ，即可得到0a >，再求出集合B ，即可求出参数的取值范围.【详解】由21x <，解得11x -<<，所以{}{}21|11A x x x x =<=-<<，因为222x ≥+，所以不等式202x ax -<+，等价于0x a -<，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，所以AB ，所以B ≠∅，则0a >，所以不等式0x a -<，即x a <，解得a x a -<<，所以{}20|,02x a B x x a x a a x ⎧⎫-⎪⎪=<=-<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，又A B ，所以1a >.故选：B14．已知,,x y z 是空间的直线或平面，要使命题“若,x z y z ⊥⊥，则//x y ”是真命题，,,x y z 可以是（）A ．,,x y z 是三个不同的平面B ．,x z 是两条不同的直线，y 是平面C ．,,x y z 是三条不同的直线D ．,x y 是两条不同的直线，z 是平面【正确答案】D【分析】根据线面、面面的、线线的垂直关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A ：若,,x y z 是空间中三个不同的平面，且,x z y z ⊥⊥，则平面x 和平面y 的位置不确定，故A 错误；对于C ：若,,x y z 是空间中三条不同的直线，且,x z y z ⊥⊥，则直线x 和直线y 的位置不确定，故C 错误；对于B ：,x z 是空间中两条不同的直线，y 是空间的平面，且,x z y z ⊥⊥，则直线x 和平面y 的关系为直线x//平面y 或直线x ⊂平面y ，故B 错误；对于D ：,x y 是空间中两条不同的直线，z 是空间的平面，且,x z y z ⊥⊥，则//x y ，故D 正确，故选：D.15．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()23sin 12x xf x x =+B ．()22sin 1x xf x x =+C ．()223cos 12x xf x x =+D ．()22cos 1x xf x x =+【正确答案】D【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可.【详解】由图可知，()f x 在[]π,π-上的图象关于y 轴对称，所以()f x 在[]π,π-上为偶函数，故应先判断各选项中函数()f x 的奇偶性.对A ，()()223()sin()3sin 12()12x x x x f x f x x x ---===+-+，()23sin 12x xf x x ∴=+为偶函数，故A 选项的函数()f x 为其定义域内的偶函数.同理：对C 、D 选项的()f x 均为其定义域内的偶函数，只有B 选项的()f x 为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.又π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对A 选项：22ππ3π3sin π2220ππ212()12()22f ⨯⋅⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭++，所以排除A.而由图可知()1f >-π，对C 选项：22212ππ2π+>+ ，()22222223πcos π3π2πππ1121π12π2πf +∴-+===-<-++，故排除C.故选：D.16．如图所示，已知()()010,0,4,0A A ，对任何n N ∈，点2n A +按照如下方式生成：121211,32n n n n n n n A A A A A A A π+++++∠==，且12,,,n n n A A A ++按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),n n a b n N ∈，则(lim ,lim )n n n n a b →∞→∞为A．2077⎛ ⎝⎭，B．37，⎛ ⎝⎭C．38⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D．2078⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，【正确答案】A【分析】利用向量的定义，推导知112231n n n OA OA A A A A A A -=+++的向量坐标，然后求出an ，bn 的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，1,4731,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.25832,,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.36933,,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又112231n n n OA OA A A A A A A -=+++，所以123n a a a a =+++ =4-11112cos 601cos 60cos 60cos 6024816-⋅+--+ =344111111421222222-⨯-⨯+--++=3691113222⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ =3-11112088317718n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪=-= ⎪- ⎪⎝⎭123n b b b b =+++ =1102sin 601sin 600sin 60sin 60048+-⋅++-+ +L=11112148326411186411181188277n ⎫-+-+-⎪⎝⎭⎫=+++⎪⎝⎭⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎪- ⎪⎝⎭== 所以选A.本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三、解答题17．如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP.(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.【正确答案】(1)(2)(π2sin 20,23S θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；（2）由正弦定理求出AP ，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.【详解】（1）由π3θ=，且ABC 是边长为2的正三角形，则2π3PAB ∠=，且2PA CP CA ===，所以在PAB 中，由余弦定理得22212cos 448122PB PA AB PA AB PAB ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以PB =（2）由CP CA =，则CAP CPA θ∠=∠=，则π2PCA θ∠=-，在PAC △中，由正弦定理有()2sin π2sin sin AP BC θθθ==-，得()2sin π24cos sin AP θθθ-==，所以1ππsin 4cos sin 233S PA AB θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23θθθθθθ⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，又0πθ<<，且0π2πθ<-<，则π02θ<<，所以ππ4π2333θ<+<，所以πsin 23θ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(π2sin 20,23θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故S 的取值范围为(0,2⎤+⎦.18．如图，线段1AA 是圆柱1OO 的母线，BC 是圆柱下底面O 的直径.(1)若D 是弦AB 的中点，且112AE AA =，求证：DE //平面1A BC ；(2)若2,30BC ABC =∠=︒，直线1AC 与平面ABC 所成的角为π3，求异面直线1AO 与AB 所成角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明1//DE A B ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）取线段AC 的中点F ，连接1,A F OF ，证明//OF AB ，则1AOF ∠即为异面直线AB 与1AO 所成角，证明OF ⊥平面1AAC ，再解1Rt AOF △即可.【详解】（1）因为D 是弦AB 的中点，且112AE AA =，可知E 是线段1AA 的中点，故在1AA B 中，DE 为边1A B 的中位线，则1//DE A B ，又1A B ⊂面1A BC ，且直线DE 不在面1A BC ，则DE //平面1A BC ；（2）取线段AC 的中点F ，连接1,A F OF ，在ABC 中，线段OF 是AB 的中位线，故//OF AB ，则1AOF ∠即为异面直线AB 与1AO 所成角，由题意知，111,,222AC AF AB OF AB =====，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，因为BC 是圆柱下底面O 的直径，所以AB AC ⊥，又11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AAC ，所以AB ⊥平面1AAC ，所以OF ⊥平面1AAC ，又因1A F ⊂平面1AAC ，所以1OF A F ⊥，在1Rt AOF △中，1π3ACA ∠=，故1AA =12AO ==，故11cos 4OF AOF OA ∠==，则异面直线1AO 与AB所成角的大小为19．某学校有,A B 两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晩餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天为了吸引学生就餐，A 餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为13，而B 餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张.假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)A 餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去A 餐厅就餐的概率为23，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在A 餐厅就餐的概率为p ，若A 餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去A 餐厅就餐的概率是59，求p .【正确答案】(1)0.3，0.4(2)() 1.2E X =，分布列见解析(3)12p =【分析】（1）根据古典概型公式计算即可.（2）求得X 的可能取值及对应概率完成分布列，根据离散型随机变量的期望公式求解即可.（3）根据全概率和条件概率公式求解即可.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐”，事件D 为“乙员工午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐的天数为40，所以()()30400.3,0.4100100P C P D ====.（2）由题意知，X 可以取的值为：0，1，2()00.2P X ==，()10.4P X ==，()20.4P X ==，故X 的分布为：X012P0.20.40.4()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设M 表示事件“去A 餐厅就餐获奖”，N 表示事件“学生甲午餐去A 餐厅就餐”，由题知，()13P M =，()23P M =，()23P N M =，()59P N =，则()()()()()P N P N M P M P N M P M =+，解得()12p P N M ==.即如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在A 餐厅就餐的概率12p =.20．已知A 是椭圆22:14x C y +=的左顶点，P Q 、是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆C 的焦距和离心率；(2)设()()()0,,0,,1,0E t F s M ，若MF ME ⊥，且A 、P 、E 和A 、Q 、F 分别共线，求证：P O Q 、、三点共线；(3)若H 是椭圆C 上的点，且0OP OQ OH ++=，求PQH 的面积．【正确答案】(1)焦距为(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接由椭圆的方程得出a 和b ，再由c =c ，即可得出焦距和离心率；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，首先由MF ME ⊥得出1st =-，方法一：由A P E 、、三点共线和A Q F 、、三点共线，得出()()1212224x x y y ++=-，再将,P Q 代入椭圆方程，联合整理得120x x +=，12y y =-，即可证明结论；方法二：写出直线AE 的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点P 和Q 的坐标，进而得出120x x +=，120y y +=，即可证明结论；（3）设()()()1122,,,,,H H P x y Q x y H x y ，由0OP OQ OH ++=，得出H x 和H y ，①当直线PQ的斜率不存在时，得出111,2x y PQ =±==即可得出PQH 的面积；②当直线PQ 的斜率存在时，设:PQ l y kx m =+，与椭圆方程联立，得出H x 和H y ，结合点H 在椭圆C 上，得出21,2H H k x y m m==-，再根据弦长公式得出PQ ，根据点到直线距离公式得出点(),H H H x y 到直线PQ 的距离，根据12PQH S PQ d =△即可得出面积．【详解】（1）由22:14x C y +=可知，2a =，1b =，故c ==所以焦距2c =2c e a ==．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由题意，(2,0)A -，()1,MF s =- ，()1,ME t =- ，11(2,)AP x y =+ ，(2,)AE t =，22(2,)AQ x y =+ ，(2,)AF s =，又MF ME ⊥，所以0MF ME ⋅=，得1st =-，方法一：由A P E 、、三点共线，则AP AE∥，即11(2)2x t y +=，同理可得，A Q F 、、三点共线，则AQ AF∥，即()2222s x y +=，故()()1212224ts x x y y ++=，即()()1212224x x y y ++=-，又221114x y =-，222214x y =-，所以22222212121(1)(1)44()y y x x y y ==--22114444x x --=⋅1122(2)(2)(2)(2)16x x x x -+-+=，所以()()2212112222(2)(2)(2)(2)1166x x x x x x ++-+-+=，由12,[2,2]x x ∈-，整理得120x x +=，所以有2212y y =，又()()121220,20,0x x y y +≥+≥≤，故12y y =-，所以()()1122,,OP x y x y OQ ==--=- ，所以P O Q 、、三点共线．方法二：因为1st =-，()0,F s ，则10,F t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由(2,0),(0,)A E t -得直线AE 的方程为2ty x t =+，与椭圆C 联立22214t y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222214440t x t x t +++-=，则2124421t x t --=+，所以222222,11t t P t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理得222222,11t t Q t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以120x x +=，120y y +=，即P O Q 、、三点共线．（3）设()()()1122,,,,,H H P x y Q x y H x y ，因为0OP OQ OH ++=，()12H x x x =-+，()12H y y y =-+，①当直线PQ 的斜率不存在时，则1212x x y y =⎧⎨=-⎩，所以12H x x =-，0H y =，又H 是椭圆C 上的点，此时1131,32x y PQ =±==，故1333322PQH S ==△，②当直线PQ 的斜率存在时，可设:PQ l y kx m =+，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，所以2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++，()121222214m y y k x x m k +=++=+，所以2282,1414H Hkm mx y k k ==-++，又点H 在椭圆C 上，代入整理得，22414k m +=，从而21,2H H k x y m m==-，于是()22222212122284431414411414km m PQ kx x x x kk k k m -⎛⎫=++-=+--⨯=+ ⎪++⎝⎭，点(),H H H x y 到直线PQ 的距离22311H H kx y mm d k k -+==++所以13322PQH S PQ d ==△．21．已知函数()()()()2e e 2,,,x xf x b xg x ax b a b -=++-=+∈R .(1)()()()()10,10g f g f '==，求实数,a b 的值；(2)若1,2a b ==，且不等式()()e 22xf x kg -+'≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围；(3)设2b =，试利用结论2e e 2x x x -+≥+，证明：若12π,,,0,2n θθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭L ，其中*2,n n ≥∈N ，则()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅++⋅ ()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.【正确答案】(1)1,1a b ==(2)12k ≤(3)证明见解析【分析】（1）求得()2g x ax '=，根据题意得到方程组222a a b =⎧⎨+=⎩，即可求解；（2）把()()e 22xf x kg -+'≥-转化为即22e e 2e 2e 12e 44e 2x x x xx x k --++++≤=++对任意x ∈R 恒成立，设e xt =，设()22142t t h t t ++=+，利用导数求得函数()h t 在单调性，结合()()0h t h >，即可求解；（3）解法1：由不等式2e e 2x x x -+≥+，推得()()221212224f x f x x x ⋅≥++，进而利用累加法，即可得证；解法2：由2e e 2x x x -+≥+，得到()()()()222212121222224f x f x x x x x ≥++≥++，结合累加法，即可得证.【详解】（1）由函数()2g x ax b =+，可得()2g x ax '=，所以()1g a b =+，()12g a '=.又由()02f =，所以222a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==.（2）若1,2a b ==，可得()()2e e ,2x xf xg x x -=+=+，则()2g x x '=，则不等式()()e 22x f x kg -+'≥-可化为()e e 2e 22x x xk --+≥+-，即22e e 2e 2e 12e 44e 2x x x x x x k --++++≤=++对任意x ∈R 恒成立，令e xt =，则0t >，设函数()22142t t h t t ++=+，可得()22(21)t t h t t '+=+，因为0t >，所以()0h t '>恒成立，所以函数()y h t =在()0,∞+上严格递增，所以()()102h t h >=，故12k ≤，即实数k 的取值范围为1(,]2-∞.（3）解法1：由()()()()()12112212122112e e e e e e e ex x x x x x x x x x x xf x f x -+--+--⋅=++=+++，因为2e e 2x x x -+≥+，可得()()1212212e e2x x x x x x -+++≥++，当且仅当120x x +=时，等号成立；所以()1221212e e 2x x x x x x --+≥-+，当且仅当120x x -=时，等号成立，故()()()()22221212121222224f x f x x x x x x x ⋅≥+++-+=++，当且仅当120x x ==时等号成立.因此有()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++，()()222121sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ-->++，，()()2211sin cos 2sin 2cos 4,n n f f θθθθ>++以上n 个式子相加得：()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.解法2：由2e e 2x x x -+≥+，可得()()()()22222222121212121222224224f x f x x x x x x x x x ≥++=+++≥++，当且仅当120x x ==时等号同时成立.故()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++，()()222121sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ-->++，，()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++以上n 个式子相加得：()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

2023年上海市奉贤区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市奉贤区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市奉贤区高考数学二模试卷1. 已知集合，，若，则______ .2.已知，，且，i是虚数单位，则______ .3. 的二项展开式中项的系数为______ 用数值回答4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为______.5. 某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量X服从正态分布统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为______ 人.6. 已知两个正数a，b的几何平均值为1，则的最小值为______ .7. 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为，活到25岁的概率为，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是______.8. 已知随机变量X的分布为，且，若，则实数______ .9. 设圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为______ .10. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若的面积为，则的度数为______.11. 在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是______ .12. 已知为R上的奇函数，且当时，，则的驻点为______ .13. “”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )A. B. C. D.15. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据…，得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是( )A. B. C. D.16. 设是一个无穷数列的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有，则为和谐数列；②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.以上3个命题中真命题的个数有个.( )A. 0B. 1C. 2D. 317. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列.求的通项公式；计算18. 如图，在四棱锥中，，且证明：平面平面PAD；若，，且四棱锥的体积为，求PB与平面ABCD所成的线面角的大小.19. 设函数的定义域是R，它的导数是若存在常数，使得对一切x恒成立，那么称函数具有性质求证：函数不具有性质；判别函数是否具有性质若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由.20. 某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道.为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示.图图3中的相关边、角满足以下条件：直线BA与DE的交点是O，，米.小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭.根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米.假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示.求QC的长；假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作交BC于M，作交DC于沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示.求修建的总路长的最小值；请你对和涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价.21. 已知椭圆C：，，椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于、N是不同的两点.若椭圆C的离心率是，求b的值；设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；若点，满足且，则称点U在点V的左上方.求证：当时，点N在点M的左上方.答案和解析1.【答案】2【解析】解：，，故答案为：根据题意可得出，然后即可求出a的值．本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】2【解析】解：，且，，，故答案为：根据可求出x，y的值，进而得出的值．本题考查了时，，，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】40【解析】解：的二项展开式中的系数为：故答案为：根据的二项展开式即可求出的二项展开式中的系数．本题考查了二项展开式公式及二项式定理，组合数公式，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，则高为，所以该圆柱的轴截面面积为，解得，该圆柱的侧面积为故答案为：根据题意求出圆柱的底面圆半径r和高h，再计算圆柱的侧面积．本题考查了圆柱侧面积和轴截面的应用问题，是基础题．5.【答案】200【解析】解：因为数学考试成绩服从正态分布，又，所以，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为故答案为：利用正态分布的参数的含义和正态分布曲线的对称性，计算此次统考中成绩不低于120分的概率即可得到答案．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，属于基础题．6.【答案】2【解析】解：由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立．故答案为：由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：设“能活到20岁”，“能活到25岁”，则，，而所求概率为，由于，故，于是，所以这个动物能活到25岁的概率是故答案为：根据事件间的保函关系，结合条件概率公式，可得结论．本题考点是条件概率，考查利用条件概率的公式建立方程求概率的能力，对于条件概率的问题，要弄清楚谁在谁的条件下发生，即要清楚了解事件之间的关系，再利用公式建立相关的方程正确求解．8.【答案】【解析】解：随机变量X的分布为，则，，则，解得故答案为：根据已知条件，结合离散型随机变量期望公式，以及期望的线性公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望公式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：圆，即圆，表示圆心为，半径为1的圆．设双曲线的渐近线为，即则由圆与双曲线的渐近线相切，可得，求得，故双曲线的渐近线方程为，即故答案为：由题意，求出双曲线的渐近线方程，根据直线和圆相切的性质，点利用到直线的距离公式，求得的值，可得结论．本题主要考查双曲线的渐近线方程，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．10.【答案】【解析】解：由余弦定理可知故答案为：先由余弦定理求得，代入题设三角形面积的表达式，进而利用三角形面积公式建立等式求得和的关系求得本题主要考查了余弦定理的应用．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．11.【答案】3【解析】解：由题可得满足题意的向量有，，，，以向量为邻边的平行四边形的面积为：，以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：，综上可知面积不超过4的平行四边形个数是故答案为：可得出满足题意的向量为：，，，，然后根据三角形面积公式及向量夹角的余弦公式可得出以为邻边的平行四边形的面积为：，然后可分别求出以：，，，中的两个向量为邻边的平行四边形面积，从而可得出答案．本题考查了三角形的面积公式，向量夹角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：根据题意可得：当时，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，在上单调递增，且，又为R上的奇函数，的驻点为故答案为：先求当时的导函数，再设，利用导数可求出，从而可得，从而得在上单调递增，又，从而再根据驻点的概念与函数的性质，即可得解．本题考查利用导数研究函数的驻点，化归转化思想，属中档题．13.【答案】A【解析】解：当时直线的斜率是，直线的斜率是2，满足时直线与垂直，直线与垂直，则，解得，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件．故选：当时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．14.【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．【解答】解：由于的周期为，故A不满足条件；由于的周期为，故B不满足条件；由于的最小正周期为，在区间上，单调递增，故C满足条件；由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故D不满足条件，故选：15.【答案】D【解析】【分析】本题考查回归方程，考查学生的读图识图能力，是基础题．直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】解：由散点图可知，在至之间，发芽率y和温度x所对应的点在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：16.【答案】D【解析】解：对于①，由，可得，则，即，若，则，故①正确；对于②，设等差数列的公差为d，则，则，即为公差为的等差数列，若为和谐数列，即，则，所以关于n的二次函数开口向上，则在上一定存在最小值，故②正确；对于③，取，则，，下面证明，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，即证，即证，即证，当，时，上式左边为负数，显然成立；当，时，即证，即证，设，则，即式成立，故③正确．故选：对于①，由，可得，若，易知，即可判断①正确；对于②，由等差数列的性质可知为公差为的等差数列，再结合题意可知关于n的二次函数开口向上，由二次函数的性质可判断②正确；对于③，取，证明，即可判断③正确．本题以新定义为载体，考查数列通项公式与前n项和的综合运用，涉及了利用导数以及函数知识的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题目．17.【答案】解：设等差数列的公差为，则，因为，，成等比数列，所以，即，代入，解得舍去所以，所以的通项公式为；因为，所以数列正整数是以25为首项，为公差的等差数列，所以【解析】设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；在的基础上，得到，即数列正整数为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解．本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】证明：在四棱锥中，，，，又，，，平面PAD，平面PAB，平面平面PAD；解：取AD中点O，连结PO，，O为AD的中点，，平面PAD，平面PAD，，，底面ABCD，设，则，，四棱锥的体积为，底面ABCD，，解得，，，底面ABCD，为PB与平面ABCD所成的角，在中，，，故PB与平面ABCD所成的线面角为【解析】根据已知条件，结合线面垂直的判定，推出平面PAD，再结合平面PAB，即可求证；取AD中点O，结合线面垂直的判定，推出底面ABCD，再结合四棱锥的体积公式，推得PA，即可求出PB，再结合为PB与平面ABCD所成的角，即可求解．本题主要考查平面与平面垂直的证明，以及直线与平面所成角的求解，属于中档题．19.【答案】证明：假设具有性质，即对一切x恒成立，，解得，显然不存在实数m使得成立，故假设错误，原命题成立；解：假设具有性质，即对一切x恒成立，即对一切x恒成立，故，即，解得，综上所述，当时，具有性质【解析】根据已知条件，结合假设法，以及性质的定义，即可求解；根据已知条件，结合正弦函数的求导法则，以及性质的定义，即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：如图，以O原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点Q为弧的中点，，即，又可以计算得，米，的长约为346米；设，则，，，设修建的总路长为，则，，令，则，，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，的最小值为米，修建的总路长的最小值约为651米；涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优短路径；涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷不利于AB段附近居民前往【解析】建系，根据三角函数的定义，两点间距离公式，即可求解；设，从而可构建修建的总路长为y关于的函数模型，再利用导数研究函数的单调性，从而可求出函数的最值；根据比较设计方案总路径的大小，即可作答．本题考查坐标法的应用，两点间距离公式的应用，函数模型的建立，函数思想的应用，属中档题．21.【答案】解：因为椭圆C的离心率是，当时，，得；当时，，得；所以b的值为1或4；由题意，直线AM的斜率存在，直线BN的斜率存在，，直线AM 的方程，设则，直线BN的方程，设，则，由图，，注意到，则又，同理可得，则证明：由题意，直线AM的斜率存在，直线BN的斜率存在，，直线AM的方程，设则，，直线BN的方程，设，则，则，又在椭圆内部，则，故，又根据题意知，所以，所以当时，点N在点M的左上方．【解析】分，两种情况结合离心率计算式可得答案；联立直线AM的方程与椭圆方程可得，联立直线BN的方程与椭圆方程可得结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得，大小，又由题意可得，大小，即可证明结论．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．。

2020届上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)(有答案)(精品)

2020届上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)(有答案)(精品)

上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．2．函数y=的定义域是______．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=______．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=______cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为______．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=______．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______．12．在（x++1）6展开式中的常数项是______（用数值作答）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取﹣1值范围是______．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数y=的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：2n﹣1≥0，解得n的范围即可．【解答】解：根据题意得：2n﹣1≥0，解得：n≥0．∴函数y=的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC 的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得：=4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的各项和，属基础题．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是（x﹣）2+（y﹣）2=．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先在极坐标方程ρ=sinθ+cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．即（x﹣）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．12．在（x++1）6展开式中的常数项是581（用数值作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2kx r﹣2k，令r﹣2k=0，对k，r分类讨论即可得出．【解答】解：T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2k x r﹣2k，令r﹣2k=0，k=0，r=0时，可得：T1=1．k=1，r=2时，可得：T3=，T′2=，∴=60．k=2，r=4时，可得：T5=，T′3==24，∴×24=360．k=3，r=6时，可得：T7=，T′4==160，∴×160=160．∴（x++1）6展开式中的常数项是1+60+360+160=581．故答案为：581．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件，{a n}单调递增，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2）得S n+S n+1=2（n+1）2+1，两式相减得a n+1+a n=4n+2，故a n+2+a n+1=4n+6，两式再相减得a n+2﹣a n=4，得{a n+2}是公差d=4的等差数列，由n=2得a1+a2+a1=9，a2=9﹣2x，从而a2n=4n+5﹣2x；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=19，a3=1+2x，从而a2n+1=4n﹣3+2x，由条件得，解得2＜x＜3，故x的取值范围为（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题．16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据等差中项，得到2log2y=2+log2x，继而得到y2=4x，x＞0，y＞0，问题得以解决．【解答】解：∵log2x，log2y，2成等差数列，∴2log2y=2+log2x，∴y2=4x，x＞0，y＞0，∴M（x，y）的轨迹的图象为焦点为（1，0）的抛物线的一部分，x＞0，y＞0，故选：A．【点评】本题考查了等差中项和对数的运算性质，以及抛物线的问题，属于基础题．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π【考点】复数求模．【分析】由已知可得： +4=0，解得=i，即可得出．【解答】解：∵，∴+4=0，解得==i，∴|z1|=|z2||1i|=4，∴以|z1|为直径的圆的面积为22π=4π．故选：B．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE 与面ABC所成的锐二面角的大小．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；理由如下：∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴=，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，又B是平面PBE和平面ABC的公共点，∴BC是面PBE与面ABC的交线．（2）∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴V B﹣PADE =S梯形ADEP•AB=（1+2）×1×AB=，解得AB=．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（，0，2），=（0，1，﹣1），设二面角PBE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣，1，1），平面ABC的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞===，∴面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小为arccos．【点评】本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，∴=k2，∴﹣+m2=0，∵m≠0，∴k2=，方向向量=（±2，1）．∴直线l不定向．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．【点评】本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．∴13447＜（n﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n∈Z，∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意可知a n•b n=a n﹣1•b n﹣1=…=a1•b1，故问题得以证明；（2）根据{a n}是递减数列，得到（a1﹣b1）2＞0，a n＞b n，得到a1＞b1恒成立，（3）先判断a n +1＞2，再根据a n +1﹣a n =，得到a n +1﹣a n ＜0，{a n }是递减数列，即可得到a n ﹣a 2＜0，求出a n 的取值范围． 【解答】解：（1）∵，∴2a n +1=a n +b n ， =，∴b n +1=，∴a n +1b n +1=a n •b n ，∴a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，∴{a n •b n }是常数列；（2）{a n }是递减数列，a n +1﹣a n ＜0，∵a 2﹣a 1=（a 1+b 1）﹣a 1=（b 1﹣a 1）＜0∴a 1＞b 1，∵a 3﹣a 2=（b 2﹣a 2）＜0，∴a 2＞b 2，∵（a 1+b 1）＞， ∴（a 1﹣b 1）2＞0，猜想a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）＜0，∴a n ＞b n ，∴a 1＞b 1恒成立，∵a k +2﹣a k +1=（b k +1﹣a k +1）==＜0， ∴a 1＞b 1时，{a n }是递减数列．（3）整理得a n +1=（a n +），a 1=4，∴a 2=，∴a 1＞0⇒a 2＞0⇒a 3＞0⇒…⇒a n ＞0，当n≥2时，a n﹣2=（a n+）﹣2=＞0，+1＞2，∴a n+1﹣a n=（b n﹣a n）==，∴a n+1∵a n＞2，﹣a n＜0，∴a n+1∴{a n}是递减数列，∴a n﹣a2＜0，∴a n∈（2，]【点评】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．。

上海市奉贤区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准

上海市奉贤区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准

崇明区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准一. 填空题 1.323π；2. 2；3. 180±；4. ；5. [0,2]；6. 45；7. (0,]3π；8. 1或5；9.2π；10. (,1)[4,)-∞-+∞U ；11. ；12. 1-+，12-，16-；二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. A三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．解：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立 空间直角坐标系O －xyz ，则D （0，0，0），C （0，2，0），B （2，2，0）， A 1（2，0，4），B 1（2，2，4） 3分 设E （0，2，t ），∵1(2,0,),(2,0,4),BE t BC =-=--u u u r u u u r114040BE BC BE BC t ⊥∴⋅=+-=u u u r u u u rQ ，1,1t EC ∴==（2）设(,,)n u v w =r是平面BED 的一个法向量. 因为n BE ⊥r u u u r ，n BD ⊥r u u u r ，所以20n BE u w ⋅=-+=r u u u r，022=--=⋅v u BD n可以取得其中的一个法向量得(1,1,2)n =-r4由1(0,2,4)A B =-u u u r， 设直线1A B 与平面BED 所成的角为θ63020610sin =⋅==θ，所以sin arc θ= 所以直线1A B 与平面BED 所成的角的大小为sin 6arc . 3分 第1问7分（3+4），第2问7分（4+3）18．解：（1）1,1,sin a b a b x ==⋅=-r r r r2分()x f =()xxx f sin sin 212--+=λλ 2 分21sin ,2sin sin 221=∴-=--=x x x ，λ 2分⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+=Z k k x k x x ,65262ππππ或 2分 不写集合扣2分，不写Z k ∈扣1分 （2）()λλλλ2sin 1sin sin 2122+-+=--+==xxxx f()()λ4=-+∴x f x f 2分()()2,21=-+=∴x f x f λ 所以()f x P ∈ 2分 ()()2,21≠-+≠∴x f x f λ 所以()f x P ∉ 2分（注意集合运算符号错扣1分，例如()x f P 这样的是错的） 第1问8分（4+2+2），第2问6分（2+2+2）不写集合扣2分，不写Z k ∈扣1分19．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v300， 全程运输成本为23003003000001000300y bv bv v v v =⋅+⋅=+ 故所求函数()bv vv f y 300300000+==，定义域(]100,0∈v 5+1分（2）依题意知,b v 都为正数，故有1000y bv v=+≥ 当且仅当bv bv v 1000,1000==即时上式中等号成立 2分 若bv b b 1000,101,1001000=≥≤则当时，全程运输成本y 最小 1分 若]100,0(1010,1001000∈<<>v b b 当时，有300000300,(0,100].y bv v v=+∈ ()()()300000100300300030000f v f bv b v -=+-+)10)(100(300bv v v--= 因为1000,10-0,v bv -≥>故有()bv v v f y 300300000+==在(]100,0∈v 上单调递减，所以当且100=v 时等号成立，全程运输成本y 最小 5分⊂≠第一类3分应用基本不等式并指出什么时候取到得3分（1+2） 第二类5分：只有结论不证单调性扣4分 第1问6分（5+1），第2问8分（3+5） 20．解：（1=2分y =+-=解出Q3分（2）10PF TT⋅=u 所以)F1分 得2216a b =⎪+=⎩，解得2233a b ⎧=⎨=⎩ 2分 所以双曲线的方程是223x y -= 1分 （3）假设存在满足题意的直线l ，设l 为y kx t =+由223y kx t x y =+⎧⎨-=⎩得222(1)230k x ktx t ----=， 此步不得分 ()()222244130k t k t ∆=+-+>得出22330t k +->且21k ≠ 1分 所以22112kktx x -=+ 设11(,)M x y 、22(,)N x y ，线段MN 的中点1212(,)22x x y y H ++， 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--t k tk k kt H 2221,1，得22(,)11kt t H k k -- 2分 因为QN QM =，所以1QH k k ⋅=-， 此步不得分得221111tk k kt k +-⋅=--化简得221k t =+ 2分所以6t >或0t <，所以，213k >或201k <<， 找到一条斜率为k 的直线212-+=k kx y ,()()()()+∞--∞-∈,131,00,113,Y Y Y k.（只回答结论没道理不给分） 2分第1问5分（2+3），第2问4分（1+2+1），第3问7分（1+2+2+2）21．解：（1）在{}n c 中，01012n =时，{}n c 有最大值10112022C ， 2分在{}n d 中，01011n =或时01013n =或，{}n d 有最大值10002022C ， 2分所以{}n c 与{}n d 不具有性质 1分（2）令19823nn b =-，则3(13)3319821982+31322n n n T n n -=-=-⋅- 由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩ 即1133331982+31982(1)+3222233331982+31982(1)+32222n n n n n n n n -+⎧-⋅≥--⋅⎪⎪⎨⎪-⋅≥+-⋅⎪⎩得131********n n +⎧≤⎨≥⎩所以331982log log 19823n ≤≤，又*2,n n N ≥∈， 所以6n =时，6max 331982631080022n T =⨯+-⋅= 3分所以{}n S 与{}n T 具有性质P 所以6n =时，max 10800n S =60,70n a t dn t d t d =-∴->-<n a t dn =-是等差数列，所以()666108002t d t d S -+-⨯== 2分,*27360067t d N t d d t d ∈⎧⎪-=⎨⎪<<⎩解出360636134313,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩L 一共102个数列 2分 （3）因为()11n n n n a a b b λ++-=-，n *∈N ,当*2,n n N ≥∈时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+11221()()()0n n n n b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+1()0n n b b b λλ=-+=n n a b λ= 1分当1n =时，110a b ==，符合上式所以n n a b λ=，*n N ∈ 1分因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大值假设()0max n n a a =，()0max n n b b '= 1分因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以0000,=n n n n a b '=∴ 1分1λ=时显然成立 1分假设1>λ，则显然()0max n n a a =()0max n n b b'=000n n n b b a >=λ产生矛盾，同法1<λ，也产生矛盾所以1=λ 说理唯一性 1分 第1问5分（2+2+1），第2问7分（3+2+2），第3问6分（3+3）。

奉贤二模数学高三试卷分析

摘要：2023年上海市奉贤区高三二模数学试卷已于近期揭晓，本次试卷涵盖了高中数学的多个知识点，旨在考察学生对基础知识的掌握程度和应用能力。

本文将从试卷结构、题型分布、难度分析等方面对本次试卷进行详细解析。

一、试卷结构本次奉贤区二模数学试卷共分为两部分，第一部分为选择题，共10题，每题3分，共计30分；第二部分为解答题，共5题，每题15分，共计75分。

试卷总分为105分。

二、题型分布1. 选择题：涉及集合、函数、三角、数列、概率与统计、立体几何、解析几何等知识点。

2. 解答题：包括函数与导数、三角函数与解三角形、数列、概率与统计、立体几何、解析几何等知识点。

三、难度分析1. 选择题：难度适中，考查学生对基础知识的掌握程度。

其中，第1题至第6题较为简单，主要考察学生对基础知识的理解和应用；第7题至第10题难度逐渐提升，需要学生具备一定的逻辑思维和计算能力。

2. 解答题：难度较大，要求学生在掌握基础知识的基础上，具备较强的分析问题和解决问题的能力。

（1）函数与导数：第1题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，要求学生能够熟练运用导数求解函数的极值和最值；第2题考查函数的图像和性质，要求学生具备一定的几何直观能力。

（2）三角函数与解三角形：第3题主要考查三角函数的图像和性质，要求学生能够运用三角恒等变换求解三角方程；第4题考查解三角形，要求学生具备较强的几何直观能力和计算能力。

（3）数列：第5题主要考查数列的通项公式、求和公式等知识点，要求学生能够熟练运用数列的通项公式求解数列的前n项和；第6题考查数列的应用，要求学生具备一定的应用能力。

（4）概率与统计：第7题主要考查离散型随机变量的分布列、期望、方差等知识点，要求学生能够运用概率论的基本公式求解相关概率问题；第8题考查统计的应用，要求学生具备一定的数据分析能力。

（5）立体几何：第9题主要考查空间几何图形的性质、线面关系等知识点，要求学生具备较强的空间想象能力和计算能力。

上海市奉贤区2020年高中数学高考二模卷(逐题详解版)

上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1. 若球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm2. 已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是3. 设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =4. 已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5. 已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围为6. 从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是 （结果用数值表示）7. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是 8. 已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是10. 集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅，则实数a的取值范围是11. 三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n+++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解；丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当x = 时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值12. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ） A . 1.5小时B . 1.0小时C . 0.9小时D . 0.6小时14. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（ ）A .B .C .D .15. 设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ）A. 1B. aC.1aD.1a或a 16. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1，且公比1q ≠，若存在数对(,)k t ，*,N k t ∈，使得k t a b =，称这样的数对(,)k t 为{}n a 与{}n b 相关数对，则这样的数对(,)k t 最多有（ ）对 A. 2 B. 3C. 4D. 5三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.18. 已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，Z k ∈），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.19. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元. （1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*N n ∈. （1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为k a （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n-的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*N n ∈，且110a b ==，是否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷答案解析版一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.球的表面积为216cm π，则球的体积为___________.【答案】323π【解析】【详解】2343242,6331R R V R ππππ=∴===2.已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是________【答案】2 【解析】 【分析】化为直角坐标方程可得其圆心和半径【详解】解：由62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩得，222(6)2x y -+=，所以此圆的圆心为(6,0)，半径为2 故答案为：2【点睛】此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题3.设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =________ 【答案】180±【解析】 【分析】 直接代入化简求解【详解】解：由2021i z b =+和22029z z ⋅=得2(2021)(2021)2029bi bi +-=， 22220212029b +=所以22220292021(20292021)(20292021)b =-=+-，232400b =，解得180b =±，故答案为：180±【点睛】此题考查的是复数的运算，属于基础题4.已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为________【答案】 【解析】 【分析】若设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==，结合椭圆的定义和直角三角形可得，2220242m n a m n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，从而可求出0x ，然后将0x 的值代入椭圆方程中可求出0y 【详解】解：曲线22:1412x y Γ+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中2212,4a b ==，则28c =，得4,a b c ===0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==， 因为12F PF ∠是直角，所以2220242m n am n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得0x =0x 2021412y +=，解得0y =（负根舍去）所以点的坐标为，故答案为：【点睛】此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题5.已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则OA OM⋅=-x+y，设z＝﹣x+y，则y＝x+z，平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大，由22yx y=⎧⎨+=⎩得2xy=⎧⎨=⎩，得A（0，2），此时z＝﹣0+2＝2，故⋅OA OM的最大值是2，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.6.从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）【答案】4 5【解析】【分析】从4男2女六名志愿者中任选三名，其中既有男志愿者又有女志愿者，所以分两种情况：（1）1男2女；（2）2男1女求解【详解】解：从4男2女六名志愿者中任选三名共有3620C =种方法，而所选的3名中既有男志愿者又有女志愿者，分两种情况：第一种1男2女，有21244C C =种；第二种2男1女，有122412C C =种，所以所求的概率为2112242436164205C C C C P C +=== 故答案为：45【点睛】此题考查的是古典概率的求法，属于基础题7.ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______．【答案】0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 变为222bc b c a ≤+-，然后用余弦定理推论可求2221cos 22b c a A bc +-=≥，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A 的取值范围．【详解】因为sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，所以222a b c bc +-≤，即 222bc b c a ≤+-．所以2221cos 22b c a A bc +-=≥ ，因为A 0π∈（，），所以A 0]3π∈（，．【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin ,sin 22a bA B R R==，将角化为边．8.已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或5 【解析】 【分析】由3a 、13a 、63a 成等比数列，列方程找出1,a d ，从而可求出公比 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因3a 、13a 、63a 成等比数列，所以213363a a a =⋅，即2111(12)(2)(62)a d a d a d +=++，化简得，212d a d =0d =或12d a =当0d =时，等差数列的每一项都相等，所以3a 、13a 、63a 成等比数列时的公比为1当12d a =时，311131125,1225a a d a a a d a =+==+=，所以1335a a =， 所以等比数列的公比为1或5 故答案为：1或5【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．【答案】2π【解析】【详解】试题分析：分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2DA =，则()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2A M A M =--， ()()()()1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos ,0A M DN N DN AM DN A M DNA M DN--⋅=∴〈〉===1AM DN ⊥，即异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是2π考点：异面直线所成的角10.集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若AB =∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】(,1)[4,)-∞-+∞【解析】 【分析】先分别求出集合,A B ，再由AB =∅列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：由22024x x -≤-得，(22)(24)0x x --≤且(24)0x -≠，解得12x ≤<，所以集合{}12A x x =≤<，由||2x a -≤得，22a x a -≤≤+，所以集合{}22B x a x a =-≤≤+， 因为AB =∅，所以21a +<或22a -≥， 解得1a <-或4a ≥ 故答案为：(,1)[4,)-∞-+∞【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题 11.三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解； 丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当x =________时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值【解析】【分析】由22(100)100x x +-=得，221001100100x x -+=，然后利用丙的思路求解即可【详解】解：因为22(100)100x x +-=，010x <<，0a >所以221001100100x x -+=所以222221100100100100a x x y x x ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 2222221(100)100100100(100)a x a x x x +-=++-21100a +≥+212100100a a+=+当且仅当22222(100)100100(100)x a x x x -=-时，取等号即当x =221100a a ++【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题12.在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =________【答案】1-+，12-，16-【解析】 【分析】由点(,1)A m -在抛物线22y px =上，所以将点A 坐标代入抛物线方程中，可得到m 与p 的关系，由22y px =可得点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，所以2p AF m =+，而2AB m =-，由2||||6AB AF +=列方程可求出m 的值【详解】解：因为点A 在抛物线22y px =上，所以12pm =，得12p m=， 因为抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-所以124p AF m m m=+=+， 因为(,1)A m -，(2,1)B -，2m <， 所以2AB m =-，因为2||||6AB AF +=，所以12(2)64m m m-++=， 所以12204m m m+=+≥， 所以1224m m m +=+或1224m m m+=--化简得24810m m +-=或212810m m ++=，解得25m -±=或12m =-或16m =-，因为12m -≤<，所以252m -+=，12m =-，16m =-，故答案：512-+，12-，16-【点睛】此题考查抛物线的性质，属于中档题 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A .1.5小时 B. 1.0小时 C. 0.9小时 D. 0.6小时【答案】C 【解析】 【分析】直接利用加权平均数公式求解【详解】解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为1(50200.510 1.010 1.55 2.0)0.950⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故选：C【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题14.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.15.设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*n ∈N ，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ）A. 1B. aC.1aD.1a或a 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得10na ->，得01a <<，所以lim 0n n a →∞=，从而可求出()lim f n n n a a a→∞+的值【详解】解：因为()log (1)xa f x a =-，所以log (1)()1lim lim lim na a f n nn n nn n n a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-==+++， 因为10n a ->，所以01a <<，所以lim 0nn a →∞=， 所以log (1)()11lim lim lim na a f n n n n n n n n a a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-===+++，故选：C【点睛】此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）16.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.【答案】（1）1；（2）30. 【解析】 【分析】（1）由1BE B C ⊥，可得BCE ∆∽11CC B ∆，从而得111CC BC CE C B =，再将已知的数据代入可得EC 的长；（2）如图建立空间直角坐标系，先求出平面BED 的法向量，然后利用向量的夹角公式求出1A B 与平面BED 所成的线面角【详解】解：因为1BE B C ⊥，所以190EBC BCB ∠+∠=， 因为11190C CB BCB ∠+∠=︒，所以11EBC C CB ∠=∠， 因为1190BCE CC B ∠=∠=︒，所以BCE ∆∽11CC B ∆，所以111CC BC CE C B =又因为1112,4BC B C CC ===，所以242CE = 解得1CE =（2）如图，以D 为坐标原点，分别以射线1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,0),(2,2,0),(0,2,1),(2,0,4)D B E A所以1(2,2,0),(0,2,1),(0,2,4)DB DE BA ===-， 设平面BED 的法向量为(,,)m x y z =，则0m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则1,2x z =-=-所以(1,1,2)m =--，设1A B 与平面BED 所成的角为θ，则111sin cos ,66m BA m BA m BA θ⋅=<===所以30arcsin6θ= 所以1A B 与平面BED 所成的线面角为【点睛】此题考查的是几何图形中的计算，利用空间向量求线面角，属于中档题 17.已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，k ∈Z ），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.【答案】（1）()212sin sin xf x xλλ+-=-，26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z ； （2）12λ=时，()f x P ∈，12λ≠时，()f x P ∉ 【解析】 【分析】（1）直接将向量33(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-代入()f x =2()a b a bλ+⋅中化简，可求出()f x 的解析式，再解方程()2f x =-即可； （2）由()()2f x f x +-=化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-， 所以()f x =22233(cos sin )(sin cos )()222233cos sin sin cos 2222x xx x a b x x a b x x λλλ++-+=⋅- 212sin sin()xx λλ+-=-212sin sin xxλλ+-=-，当1λ=时，22sin ()sin x f x x-=-，由()2f x =-得，1sin 2x =解得26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z 所以方程的解集为26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭（2）当()()2f x f x +-=时，2212sin 12sin()2sin sin()xx xx λλλλ+-+--+=---，化简得， 2212sin 12sin 2sin x x x λλλλ--++++=解得12λ=，所以当12λ=时，()f x P ∈，当12λ≠时，()f x P ∉ 【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.18.甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】（1）1000300()y bv v=+，(]0,100v ∈；（2）当110b ≥时，v =，10,10b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，100v =时最小. 【解析】 【分析】(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别表示出来依题意建立起全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的倍数,由题设条件速度不得超过70千米/时,故定义域为(]0,100v ∈; (2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论 【详解】解：（1）由题意得，全程运输成本23001000(1000)300()y bv bv v v=+=+，(]0,100v ∈ （2）因为0,0b v >>所以1000300()y bv v =+≥=当且仅当1000bv v =时取等号，即v =① 100≤时，即110b ≥时v =时，y 最小② 100>时，即1010b <<时，y 在(0,100]上单调递减则100v =时，y 最小【点睛】此题考查建立函数关系、不等式的性质、最大值、最小值等知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决问题的能力，属于中档题19.直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果.【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ，因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍，所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b-=， 由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点， 所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->，化简得22330m k -+>，由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因为||||QM QN =，所以221111mk km k k +-=--，化简得212k m -=， 所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 20.两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*n ∈N .（1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为ka （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由； （2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n -的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N ，且110a b ==，否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.【答案】（1）不具有；见解析（2）102；见解析（3）见解析，1λ=. 【解析】 【分析】（1）2022(1)x +展开式中系数最大项为101110112022C x ，然后再判断20221()x x-展开式中1011x 的系数是否是最大值，即可得结果；（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n nn T n n -=-=+-⋅-，结合11n n nn T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，求得6n =，求得n T 的最大值，由{}n S 与{}n T 具有性质P ，可得6n =时，max ()10800n S =，由n a t dn =-，结合60,70t d t d ->-<求得t 的范围，再由n a t dn =-是等差数列，可得6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，然后联立*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解出数列{}t dn -的个数；（3）由11()n n n n a a b b λ++-=-进行迭代，可得n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ， 所以00n n a b =，从而可1λ=【详解】解：（1）2022(1)x +展开式的通项为12022r r r T C x +=，则数列{}n c 的通项为-12022n n c C =故数列{}n c 中的最大值为101110122022c C =20221()x x -展开式的通项为'2022202221202220221(1)rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，而当202221011r -=时，得10112r N =∉， 所以{}n c 与{}n d 不具有性质P（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，即113333198231982(1)322223333198231982(1)32222n n n n n n n n -+⎧+-⋅≥-+-⋅⎪⎪⎨⎪+-⋅≥++-⋅⎪⎩，解得131********n n +⎧≤⎨≥⎩，因为*2,n n N ≥∈，673729,32187== 所以当6n =时，6max 33()19826+31080022n T =⨯-⋅=, 因为 {}n S 与{}n T 具有性质P ， 所以6n =时，max ()10800n S =，因为n a t dn =-，所以60,70t d t d ->-<， 因n a t dn =-，所以6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，由*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解得360636134313,,,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⋅⋅⋅⎨⎨⎨===⎩⎩⎩共有102个数列； （3）因为11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N 当2n ≥，*n ∈N 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+112211()()()n n n n b b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+所以n n a b λ=当1n =时，110a b ==符合上式所以n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大项， 设00max max (),()n n n n a a b b ==，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，1λ=显然成立，假设1λ>，则显然00max max (),()n n n n a a b b ==，000n n n a b b λ=>矛盾 同理，1λ<也矛盾， 所以1λ=【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.。

2023-2024学年上海市高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。

上海市奉贤区高三二模数学试题(解析版)

上海市奉贤区高三二模数学试题一、单项选择题1．如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是〔 〕A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与AB D ．PA 与CD【答案】A【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证PB DA ⊥、AB PD ⊥、PA CD ⊥，而BD 不一定与PC 垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.【详解】由PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，A ：AD ⊂面ABCD ，那么PA AD ⊥，而AC 与AD 不一定垂直，不一定有BD ⊥面PAC ，故BD 不一定与PC 垂直，所以PC 与BD 数量积不一定为0，符合题意；B ：由A 知PA AD ⊥，又DA AB ⊥且AB PA A ⋂=，那么DA ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以PB DA ⊥，即PB 与DA 数量积为0，不合题意；C ：由上易知PA AB ⊥，又DA AB ⊥ 且DAPA A =，那么AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAB ，所以AB PD ⊥，即PD 与AB 数量积为0，不合题意；D ：由上知PA AB ⊥，而//AB CD ，所以PA CD ⊥，即PA 与CD 数量积为0，不合题意； 应选：A.2．以下选项中，y 可表示为x 的函数是〔 〕 A ．230yx -=B ．23x y = C ．()sin arcsin sin x y = D ．2ln y x =【答案】D【分析】根据函数的概念判断即可.【详解】选项A ，当3x =时，2y =±，故不正确； 选项B ，当4x =时，8y =±，故不正确； 选项C ，当12x =时，26y k ππ=+等等，故不正确；选项D ，由2ln y x =，可得2x y e =，为指数型函数，所以正确. 应选：D.3．1x ､2x ､1y ､2y 都是非零实数，()()()2222212121122x x y y x y xy +=++成立的充要条件是〔 〕A ．212110100110x x y y = B ．1122101000y x y x =- C ．1122101000y x x y -= D ．211210100110x x y y =- 【答案】C【分析】将条件()()()222221212112212120x x y y x y xy x y y x +=++⇔-=，然后对四个选项逐个验证即可得出结果.【详解】因为1212,,,x x y y 都是非零实数，所以，()()()()()()()()()222221212112222222212121212121212122x x y y x y x y x x x x y y y y x x x y y x y y +=++⇔++=+++()()()22121212122121212122000x y x y y x y x x y y x x y y x ⇔-⋅+=⇔-=⇔-=对于选项A ：11221211221212112211221121010010101001111011000x x x x x x x y y y y y y y y x y x y x y x y y y =⨯-⨯+⨯=+=+⇔=⇔+=故A 错误； 对于选项B ：1111121222221221010010101000xy x y x x y y y x y x x y x =⨯-⨯+⨯=-=---，故B 错误；对于选项C ：1111121222221221010010101000xy x y x y y x x y x y x x y ---=⨯-⨯+⨯=-=，故C 正确；对于选项D ：11221212112121211221122121010010101001111011000x x x x x x x y y y y y y y y x y x y x y x y y y =⨯-⨯+⨯=+=---+⇔=⇔+=故D 错误. 应选：C4．设点A 的坐标为(),a b ，O 是坐标原点，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA '，那么A '的坐标为〔 〕A ．()cos sin sin cos a b a b θθθθ-+，B ．()cos sin cos sin a b b a θθθθ+-，C ．()sin cos cos sin a b a b θθθθ+-，D ．()cos sin sin cos b a b a θθθθ-+，【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得A '的坐标． 【详解】根据题意，设||OA r =，向量OA 与x 轴正方向的夹角为α，又由点A 的坐标为(,)a b ，那么cos a r α=，sin b r α=，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA '，那么(cos()A r αθ'-，sin())r αθ-． 而()cos cos cos sin sin cos sin r r r a b αθαθαθθθ-=+=+， sin()sin cos cos sin cos sin r r r b a αθαθαθθθ-=-=-，故A '的坐标为(cos sin ,cos sin )a b b a θθθθ+-， 应选：B【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属于中档题.二、填空题5．经过点()2,4的抛物线2y ax =焦点坐标是__________. 【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】把点(2, 4)代入抛物线方程可得a ,进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标. 【详解】抛物线2y ax =经过点()2,4，1a ,∴抛物线标准方程为2x y =, ∴抛物线焦点坐标为1(0,)4故答案为: 1(0,)46．把一个外表积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥(假设没有任何损耗)，那么圆锥的高是__________厘米. 【答案】8【分析】由球体的变面积公式求球的半径，再根据实心铁球铸成圆锥前后体积不变，求圆锥的高即可.【详解】假设实心铁球的半径为r ，那么2416r π=π，可得2r ，∴其体积为343233V r ππ==，将其铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥， ∴假设设圆锥的高是h ，且底面积24S r ππ==，由前后体积不变知：3233Sh π=，故答案为：8. 7．11izi(i 是虚数)是方程210x ax -+=()a R ∈的一个根，那么z a -=__________.【答案】1【分析】先利用复数的除法运算求出z ，然后代入方程求出a ,利用共轭复数和模的定义求解即可. 【详解】(1)(1)2(1)(1)211i i ii i i z i i ---===-+--=+， 210i ai ∴++=，解得 0a =，1z a z i ∴-===，故答案为：18．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25760a a a +-=，那么11S =________．【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得62a =，再根据求和公式即可求出． 【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S .由25760a a a +-=得26620a a -=，所以62a =，60a =〔舍〕611111211112222a a a S +=⨯=⨯= 故答案为：22【点睛】此题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于根底题．9．某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元.【分析】将表格中各区间家庭收入的中间值乘以频率，然后加总即可. 【详解】由表格数据知：家庭的平均年收入(4.5 5.5 6.5)0.27.50.26(8.59.5)0.07 6.51++⨯+⨯++⨯=万元.故答案为：6.51.10．某参考辅导书上有这样的一个题：△ABC 中，tan A 与tan B 方程2310x x --=的两个根，那么tan C 的值为〔 〕 A ．32-B ．32C ．12-D ．12你对这个题目的评价是_______________________________________.(用简短语句答复) 【答案】无正确选项，条件与结论有矛盾，是错题，无解【分析】由根与系数关系得tan tan 3A B +=，tan tan 1A B =-，结合两角和正切公式求tan C ，根据三角形内角和性质即可判断条件与结论有矛盾.【详解】由题设知：tan tan 3A B +=，tan tan 1A B =-，而()C A B π=-+，∴tan tan 3tan tan()1tan tan 2A B C A B A B +=-+=-=--，又A B C π++=，由上知：A 、B 必有一个角大于90°，同时C 也大于90°，显然不符合三角形的内角和为180°. ∴无正确选项，条件与结论有矛盾.故答案为：无正确选项，条件与结论有矛盾，是错题，无解.11．用0，1两个数字编码，码长为4〔即为二进制四位数，首位可以是0〕，从所有码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率是_______.【答案】1116【分析】由中用0，1两个数字编码，码长为4，我们可以计算出编码的所有种数，由于所有码中任选一码，那么码中至少有两个1情况复杂，我们可以先计算其对立事件：从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1的概率，进而根据对立事件概率减法公式进行求解．【详解】设从四位编码中任选一码，那么码中至少有两个1为事件A ； 那么它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1互为对立事件； 由于用0，1两个数字编码，码长为4时不同的编码共有4216=种；其中码中至多有一个1包括两种情况：一是不含1，共有1种情况，另一种是只含一个1，共有4种情况 故它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1的概率()516P A =， 那么从四位编码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率511()1()11616P A P A =-=-=， 故答案为1116. 【点睛】此题主要考查的知识点是对立事件的概率以及古典概型概率公式，属于难题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中根本领件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个根本领件m ，然后根据公式mP n=求得概率． 12．设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >，对任意的1n ≥，n N ∈均有+14n n S a ≤，那么q 的取值为__________. 【答案】2【分析】由递推式，结合n a 与n S 的关系及等比数列的定义，可判断{}n a 是公比为q 的正项等比数列，写出n a 、1n S +，根据题设不等式恒成立可得12(2)1n q q --≤恒成立，即可求q 值.【详解】由题设知：当1n =时，221111(1)S a a qS S q a =+=+=+，即21a qa =， 当2n ≥时，111()n n n n n n a S S q S S qa ++-=-=-=， 综上知：{}n a 是公比为q 的正项等比数列，即11n n a a q-=，而()11111(0)1n n a q S aq++-=>-，∴由题设知：对任意的1n ≥，n N ∈有11141n n q q q+--≤-成立，又1q >， ∴1114()n n n q q q +--≤-，整理得：12(2)1n q q --≤恒成立，而n →+∞时1n q -→+∞， ∴2q.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：由n a 与n S 的关系及等比数列的定义求n a 、1n S +，根据数列不等式恒成立求q 值即可.13．函数331xxay =++在0,内单调递增，那么实数a 的取值范围是__________.【答案】(],4-∞【分析】讨论0a <、0a =、0a >：显然根据解析式知0a <、0a =，函数在0,内单调递增；0a >，利用根本不等式(注意等号成立的条件)，结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间，即可求a 的范围. 【详解】当0a <时，在0,上，()3x f x =单调递增，()31xag x =+单调递增，即331x x ay =++单调递增，符合题意； 当0a =时，3x y =在0,内单调递增，符合题意；当0a >时，3111131x x a y =++-≥=+，∴11≤，04a <≤时，等号不成立，此时y 在0,内单调递增，符合题意；11>，4a >时，假设当且仅当3log 1)x =时等号成立，此时y 在()3og ),l 1∞+内单调递增，不符合题意.综上，有(],4a ∈-∞时，函数331xxay =++在0,内单调递增.故答案为：(],4-∞.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，当0a <、0a =时，根据函数解析式直接判断单调性，当0a >时，综合应用根本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间，进而求出参数范围.14．假设1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，那么1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________. 【答案】126x-【分析】由二项展开式通项，结合指定项系数求n ，利用二项式的对称性确定系数最小的项的r 值，即可求系数最小的项. 【详解】由二项式知：211()(1)r n rr r r n r r n n T C xC x x--+=-=-，而3x 项的系数是84-，∴23n r -=时，有2384rr C +=且r 为奇数(0)r >，又由399!98 (1)=843!(93)!(321)(6...1)C ⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯，∴可得3239r n r =⎧⎨=+=⎩.∴9219(1)r r rr T C x -+=-，要使系数最小，r 为奇数，由对称性知：=5r ，∴55169126(1)T C x x-=-=-. 故答案为：126x-. 【点睛】关键点点睛：根据指定项系数求二项式的指数，利用二项式的对称性确定系数最小项的参数r ，即可求项. 15．函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，那么非零整数n 的值是_________.【答案】10±，11±【分析】由题设可得()f x 最小正周期为||T n =，又x ∈Z 且()f x 值域有6个实数组成，即||[0,]2n 上一定存在6个整数点，讨论n 为奇数或偶数，求n 值即可. 【详解】由题设知：()f x 的最小正周期为2||2||T n nππ==，又x ∈Z ， ∴n 为非零整数，在||[0,]2n 上()f x 的值域有6个实数组成，即()f x 的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数， ∴当n 为偶数，有||52n =，即10n =±； 当n 为奇数，有||562n <<，即11n =±； 故答案为：10±，11±【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求()f x 最小正周期为||T n =，结合有||[0,]2n 内有6个整数点，讨论n 的奇偶性求值. 16．如图，P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，假设2AB BC =，那么PC PA ⋅的值域是__________.【答案】5213,0⎡⎤-⎣⎦【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可． 【详解】以圆心为原点，平行AB 的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，那么(3)A -，3)C ，设(2cos ,2sin )P θθ，233ππθ， 那么(22cos PC PA θ⋅=-，32sin )(12cos θθ⋅--，32sin )52cos 43sin θθθ=--5213sin()θα=-+，且330tan α<=<，06πα∴<<，∴536ππθα<+<， sin()y θα=+在(3π，]2π上递增，在[2π，5)6π上递减，∴当2πθα=-时，PC PA ⋅的最小值为5213-当23πθ=时，PC PA ⋅的最大值为2252cos 43sin 033ππ--=，那么[5213PC PA ⋅∈-，0]， 故答案为：[5213-，0]．【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．M ､N 是正四棱柱1111ABCD A BC D -的棱11B C ､11C D的中点，异面直线MN 与1AB 所成角的大小为10arccos 10〔1〕求证：M ､N ､B ､D 在同一平面上； 〔2〕求二面角1C MN C --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕arctan 42.【分析】〔1〕根据MN //DB 可知四点共线，即可求证；〔2〕先证明1COC ∠是二面角1C MN C --的平面角，解三角形求解即可. 【详解】〔1〕连接MN ､DB ､11D B ，取MN 的中点O ，连接1,CO C O ,如图，M 是棱11B C 的中点.N 是棱的11C D 的中点，那么MN //11D B ，DB //11D B 所以MN //DB ，所以M ､N ､B ､D 确定一个平面， 即M ､N ､B ､D 在同一平面上.〔2〕由〔1〕可知11AB D ∠(或其补角)是异面直线MN 与1AB 所成的角设底面ABCD 的边长为a ，正四棱柱高h1AB =1AD =11B D =，2222211cos AB D ∠==2h a = 取MN 的中点O ，因为CM CN =，11C M C N =，那么CO MN ⊥，1C O MN ⊥，1COC ∠是二面角1C MN C --的平面角14C O a =，1Rt COC中，111tan 4CC COC OC ∠===二面角1C MN C --的大小为arctan 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义，作出或证明二面角，利用直角三角形求解即可，属于中档题.18．设函数()()()lg 1cos2cos f x x x θ=-++，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭〔1〕讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； 〔2〕设0θ>，解关于x 的不等式3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕3352,22,24444k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈. 【分析】〔1〕应用分析法：假设()f x 为偶函数有()()fx f x -=，易得2sin sin 0x θ=恒成立；假设()f x 为奇函数有()()000f x f x +-=0θ=恒成立；再根据θ的取值范围即可确定()f x 分别为奇、偶函数是否能成立. 〔2〕由函数不等式，将自变量代入化简得2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合题设及余弦函数的性质即可求解集.【详解】〔1〕由对数的性质，得1cos 20x ->，∴cos 21x ≠，即()x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称， 1、偶函数，那么有()()f x f x -=，即()()()()lg 1cos 2cos log 1cos 2cos x x x x θθ--+-+=-++⎡⎤⎣⎦，可得()()cos cos x x θθ-+=+，∴整理得：要使2sin sin 0x θ=对一切()x k k Z π≠∈恒成立，在0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭中有0θ=.2、奇函数，那么定义域内，任意0x 有()()000f x f x +-=，如04x π=，∴044f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而lg 1cos()cos cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，lg 1cos cos =cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0θ=，显然在[0,)2πθ∈上不成立，综上，当0θ=时为偶函数；当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时既不是奇函数又不是偶函数.〔2〕由3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得33lg 1cos 2cos lg 1cos 2cos 04444x x x x ππππθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-----+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴()()3lg 1sin 2cos lg 1sin 2cos 044x x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫++++-+--+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简为cos cos 044x x ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开整理得：2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即cos 0θ>， ∴可得1122cos 04,,434x x k k Z k Z x k πππππ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+≠∈∈⎨⎪⎪-≠⎪⎩∴解集为3352,22,24444k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈. 【点睛】关键点点睛：〔1〕利用分析法，假设()f x 为奇或偶函数，将问题转化为说明在θ的范围中是否有使2sin sin 0x θ=、2cos 0θ=成立的区间即可.〔2〕将自变量代入函数式，结合三角恒等变换化简，根据余弦函数的性质求解集. 19．假设在一个以米为的空间直角坐标系O xyz -中，平面xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台A ，A 的位置为()170,200,0.上午10时07分测得飞行机器人T 在()150,80,120P 处，并对飞行机器人T 发出指令：以速度113v =米/秒沿向量131********d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达Q 点，再发出指令让机器人在Q 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿向量2121222d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人T 最终落在平面xOy T 近似看成一个点.〔1〕求从P 点开始出发20秒后飞行机器人T 的位置；〔2〕求在整个飞行过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离(精确到米). 【答案】〔1〕()212,200322,48-；〔2〕73米. 【分析】(1)利用向量的坐标运算性质即可求解；(2) 当Q 点与4点处于同一垂直线上时，与控制台4的距离最近,然后求出两点 间的距离即可求解.【详解】〔1〕设飞行时间为t 秒，T 的位置()x y z ，， 当010t ≤≤时，113v =111,13PT d t λλ==，()3124150,80,12013,,131313x y z t ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭当010t ≤≤时，所以150380121204x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩10t =得()180200,80Q ，当1012t <≤时()180200,80Q ，当1232t <≤时22QT d λ=，()2812t λ=-，()()11180,200,80812,22x y z t ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭所以())()180412132420012200804121284x t ty t z t t ⎧=+-=+⎪=--=+⎨⎪=--=-⎩20t =秒后飞行机器人T的位置()212,200-〔2〕当010t ≤≤时(150AT =169AT =定义域内单调递减∴10t =，min 81AT AQ ==≈ 当1012t <≤时min 81AT AQ ==≈当1232t <≤时()1324200,1284T t t ++-， (132AT =(4AT =64AT =64AT =∴16.375t =，min 73AT ≈答：在整个行驶过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离73米.20．曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=()0a >在第一象限的交点为A .曲线C 是2211x y a -=(1A x x ≤≤)和22149x y a+=(A x x ≥C 与x 轴的左交点为M ､右交点为N .〔1〕设曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=()0a >具有相同的一个焦点F ，求线段AF 的方程；〔2〕在〔1〕的条件下，曲线C 上存在多少个点S ，使得NS NF =，请说明理由. 〔3〕设过原点O 的直线l 与以(),0D t ()0t >为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T .直线l 与曲线C 在第一象限的两个交点为P .Q .当22211+=OT OPOQ对任意直线l 恒成立，求t 的值. 【答案】〔1〕()375545y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤≤；〔2〕一共2个，理由见解析；〔3〕答案见解析.【详解】〔1〕线段AF 的方程42075335y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≤≤ 724,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0F -，线段AF 的方程()375545y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤≤〔2〕方法一：()7,0N ，2NF =假设点S 在曲线221124x y -=上()()()2222277724125145015SN x y x x x x x ⎫=-+-+-=-+⎪⎭≤≤单调递增 ∴6SN ≥所以点S 不可能在曲线221124x y -=上所以点S 只可能在曲线2214924x y +=上，根据NF NS =得()22227414924x y x y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩可以得到16148,2525S ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 当F 左焦点，12NF =，同样这样的S 使得NF NS =不存在 所以这样的点S 一共2个〔3〕设直线方程y kx =，圆方程为()()22201x t y r r -+=<<r =2222221t OT OT OD DT k ==-=+ 22221P y kxa x y a k x a =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩，()()222221111P a k k x k a OP -==++ 22224949149Q y kx a x x y a k a =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，()()2222211491491Q a k k x k a OQ +==++ ()()22222211491491a k a k k a k a OP OQ -++=+++()()222214950491491a k a k a a k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭根据22211+=OTOPOQ得到25049t t =∴= 补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a 的影响，蕴含着如下关系，∵r ==0k << 当2212001117649ar a <+≤，存在T ，否那么不存在T 这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线C 有两个交点的大前提，当共焦点时()0,0,135r ⎛∈⊂ ⎝⎭存在t=135r ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭不存在 21．设数列{}n a 满足，()()111sin cos n n n n n nn n n a k a a a a a k a a a -+-⎧+>⎪=⎨+<⎪⎩，1+≠n n a a ，设1a a =，2a b =.〔1〕设5=6b π，k π=-，假设数列的前四项1a ､2a ､3a ､4a 满足1423a a a a =，求a ； 〔2〕0k >，4n ≥，n N ∈，当02a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，02b π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，a b <时，判断数列{}n a 是否能成等差数列，请说明理由；〔3〕设4a =，=7b ，1k =，求证：对一切的1n ≥，n N ∈，均有72n a π<. 【答案】〔1〕53a π=-；〔2〕数列不可能成等差数列，理由见解析；〔3〕证明见解析. 【分析】〔1〕分a b <和a b >讨论，求出3a ，4a ，根据条件1423a a a a =求得a ； 〔2〕用反证法证明：假设数列{}n a 成等差数列，推得()d l m ππ=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾，即可得到结论；〔3〕先求出3a 、4a ，利用反证法证明，假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4k ≥，k ∈N )，经过推理得到73,2k a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭产生矛盾即可证明.【详解】〔1〕当a b <时，3225sin 623a a a ππππ=-=-=，433cos 326a a a ππππ=-=-=-根据条件得1423a a a a =∴53a π=- 当ab >时，(32255cos 66a a a πππ+=-=+=，43sin 0a a π-=->⎝⎭所以43a a >，∴341a a < 根据条件得1423a a a a =，∴3224a a a a a =⋅<与a b >不符合，舍去所以53a π=-〔2〕假设数列{}n a 成等差数列，设公差为d因为a b <，所以2102d a a b a π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，那么{}n a 是单调递增的正数列因此1sin n n n d a a k a +=-=，211sin n n n d a a k a +++=-= 所以1sin sin n n a a +=得到12n n a a m π+=+0m ≥，m Z ∈(舍去)或者12n n a a m ππ++=+，0m ≥，m Z ∈ 从而122n n a a l ππ+++=+，0l ≥，l Z ∈，l m >推得()2=22n n a a l m d π+--=，∴()d l m ππ=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾所以数列不可能成等差数列. 〔3〕设4a =，=7b ，1k = 得到37=7+sin7<82a π<得到()4337=+sin =7+sin7+sin 7+sin792a a a π<< 假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4k ≥，k ∈N )， 即172k k a a π-<≤. 根据运算性质可以得()()111sin cos n n n n n n n n a a a a a a a a -+-⎧>⎪-=⎨<⎪⎩，即数列中的任何相邻两项的差都不大于1，因此1773122k a πππ-<-<≤，即173,2k a ππ-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 而在这个区间中11sin 0,cos 0k k a a --<<，从而()()1121112sin 0cos k k k k k k k k a a a a a a a a -------⎧>⎪-=<⎨<⎪⎩，得到173,2k k a a ππ-⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭产生矛盾所以对一切的n N ∈，均有72na π<. 【点睛】〔1〕等差〔比〕数列问题解决的根本方法：根本量代换和灵活运用性质；。

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