【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.1等比数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5
2．用函数的观点看等比数列的通项公式 ． － 等比数列{a 的通项公式 等比数列 n}的通项公式 an＝a1qn 1， 还可以改写 a1 n 当 ＞ ， ≠ ＝ 为 an＝ q q .当 q＞0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指 a1 n 数函数， 数函数，而 y＝ q ·q 是一个不为 0 的常数与指数 ＝ 函数的积．因此等比数列{a 的图象是函数 ＝ 函数的积．因此等比数列 n}的图象是函数 y＝ a1 x ·q 图象上的一些孤立的点． 图象上的一些孤立的点． q
例3
已知数列{a 满足 满足a 已知数列 n}满足 1＝1，an＋1＝2an＋1. ， ＋
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列； 求证：数列 是等比数列； 求证 是等比数列 (2)求数列 n}的通项公式． 求数列{a 的通项公式 的通项公式． 求数列 【思路点拨】 思路点拨】 将递推公式变形， 将递推公式变形，然后利用等比 数列的定义判定． 数列的定义判定． 证明： 【解】 (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 证明 ， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)． ＝ ． ， ≠ ， ≠ 由 a1＝1，知 a1＋1≠0，可得 an＋1≠0. an＋1＋1 * 所以 ＝2(n∈N )． ∈ ． an＋1 所以数列{a 是等比数列． 所以数列 n＋1}是等比数列． 是等比数列
2. 4.1 等 比 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．如果一个数列从__________起，每一项与它 ．如果一个数列从 第二项 起 的前一项的差都等于__________， 的前一项的差都等于 同一常数 ，那么这个数列 叫做等差数列． 叫做等差数列． a1＋(n－1)d 是关 － 2．等差数列的通项公式：an＝___________是关 ．等差数列的通项公式： 的一次函数式(或常函数 于n的一次函数式 或常函数 ． 的一次函数式 或常函数)．
1 已知数列{a 的前 变式训练 已知数列 n}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈N*)． ∈ ． (1)求 a1，a2； 求 (2)求证：数列 n}是等比数列． 求证： 是等比数列． 求证 数列{a 是等比数列 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 由 ， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . ， 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， ， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . ， 3 4
(2)证明：当 n≥2 时， 证明： 证明 ≥ 1 1 由 an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)， － ， 3 3 an 1 a2 1 得 ＝－ ，又 ＝－ ， 2 a1 2 an － 1 1 1 所以{a 是首项为 是首项为－ 公比为－ 所以 n}是首项为－ ， 公比为－ 的等 2 2 比数列． 比数列．
等比数列的判定与证明
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法 定义法 an＋1 q(q 为常数且不为零 ⇔{an}为等比数列． 为常数且不为零)⇔ 为等比数列． 为等比数列 an ＝ (2)等比中项法 等比中项法 a2 ＋1＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)⇔{an}为等比数列． 为等比数列． ∈ ⇔ 为等比数列 n (3)通项公式法 通项公式法 n－1 an＝a1q (a1≠0 且 q≠0)⇔{an}为等比数列． 为等比数列． ≠ ⇔ 为等比数列
例2
【 解】 (1)由题意得 a2＝2×8， 由题意得 × ， ＝－4. ∴a＝4 或 a＝－ ＝ ＝－ b2＝－ ＝－4c b＝2 b＝0 ＝ ＝ (2)由题意得 2 1 由题意得 ，解得 或 ＝－1 ＝－ ＝ c ＝ b c＝－ c＝0 2
b＝2 ＝ (舍去 ．∴ 舍去)． . 舍去 ＝－1 ＝－ c＝－
课堂互动讲练
考点突破 等比数列的通项公式
－ (1)在已知 1和q的前提下，利用公式 n＝a1qn－1， 在已知a 的前提下， 在已知 的前提下 利用公式a
可求出等比数列中的任意一项． 可求出等比数列中的任意一项． (2)在通项公式中知道 1、q、n、an四个量中的任 在通项公式中知道a 在通项公式中知道 、 、 意三个，可求得另一个量． 意三个，可求得另一个量．
递推公式 an ＝ an－1 q(n≥2) ≥
通项公 式 an＝ － a1·qn－1 _______
3.等比中项 等比中项 如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数G， 如果在 与b中间插入一个数 ，使a，G，b成 ， ， 成 等比数列，那么 叫做 ________，那么G叫做 ，b的等比中项，这三个 叫做a， 的等比中项 的等比中项， 数满足关系式_________ 数满足关系式 G2＝ab. 思考感悟 2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ ． 一定成等比数列吗？ ， ， ， 一定成等比数列吗 提示：不一定， 提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足． ＝ ＝ ＝ 时 不满足．
方法感悟 1．对等比数列定义的理解应注意 ． (1)注意定义中 从第2项起 这一条件的两层含 注意定义中“从第 项起”这一条件的两层含 注意定义中 从第 项起 其一， 项前面没有项， 义．其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中 项前面没有项 与前一项的比”相吻合 的“与前一项的比 相吻合；其二，等比数列的定 与前一项的比 相吻合；其二， 义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数 义包括了首项这一基本量，且必须从第 项起使数 列中各项均与其前面一项作商． 列中各项均与其前面一项作商． (2)注意定义中 每一项与它的前一项的比”这一运 注意定义中“每一项与它的前一项的比 这一运 注意定义中 每一项与它的前一项的比 算要求，它的含义也有两个．其一， 算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的 顺序，即后面的项比前面的项；第二， 顺序，即后面的项比前面的项；第二，强调这两 项必须相邻． 项必须相邻． (3)注意定义中的 同一常数 这一要求，否则这个 注意定义中的“同一常数 这一要求， 注意定义中的 同一常数”这一要求 数列不能称为等比数列． 数列不能称为等比数列．
(2)由(1)知， 由 知 {an＋1}是以 1＋1为首项，2为公比的等比数列． 是以a 为首项， 为公比的等比数列 为公比的等比数列． 是以 为首项
－ 所以a 所以 n＋1＝2·2n－1＝2n， ＝
即an＝2n－1. 【名师点评】 已知数列的递推关系求通项公式 名师点评】 时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列， 要先判断该数列是否为等差数列或等比数列， 若是等差或等比数列， 若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通 项公式求解；若不是等差或等比数列， 项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将 递推公式变形，构造一个等差或等比数列， 递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而 求出通项公式． 求出通项公式．
2
b ，即 a，G，b 成等比数列．所以 a，G，b 成等 ， ， 成等比数列． ， ， G 比数列⇔ 比数列⇔G2＝ab(ab≠0)． ≠ ．
求出下列等比数列中的未知项： 求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a,8；(2)－4，b，c， . ， ； － ， ， ， 2 思路点拨】 利用等1．常数列一定为等比数列吗？ ．常数列一定为等比数列吗？ 提示：不一定，当常数列为非零数列时， 提示：不一定，当常数列为非零数列时，此数列 为等比数列，否则不是． 为等比数列，否则不是．
2．等比数列的递推公式与通项公式 ． 已知等比数列{a 的首项为 的首项为a 公比为q(q≠0)，填 已知等比数列 n}的首项为 1，公比为 ， 表：
知新盖能 1．等比数列的定义 ． 如果一个数列从______起 如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一项 项 的比都等于___________， 的比都等于 同一常数 ，那么这个数列叫做等 比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ， 比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比 通常用字母q(q≠0)表示． 表示． 通常用字母 表示
an＋1 (2)由题意知 由题意知 ＝2(n≥1)． ≥ ． an 数列{a 是公比为 的等比数列， ∴数列 n}是公比为 2 的等比数列，且首项为 a1＝1. － － － ∴通项公式为 an＝a1qn 1＝1×2n 1＝2n 1. ×
等比中项
G b 由等比中项的定义可知： 由等比中项的定义可知 ： a ＝ G ⇒ G2 ＝ ab⇒ G＝ ⇒ ＝ 这表明：只有同号的两项才有等比中项， ± ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并 这表明 且这两项的等比中项有两个， 它们互为相反数． 且这两项的等比中项有两个， 它们互为相反数． 异 G 号的两数没有等比中项 反之， 有等比中项． 号的两数没有等比中项．反之，若 G ＝ab，则 a ＝ ，
2．4 等比数列 ． 2．4.1 等比数列的概念及通项公式 ．
学习目标 1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 掌握等比数列的定义 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． ．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题． ．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
例1
下列各等比数列的通项公式： 求 下列各等比数列的通项公式： 关键是确定等比数列的首项和公比． 关键是确定等比数列的首项和公比．
(1)a1＝3，a3＝27；(2)a1＝1，an＋1＝2an(n≥1)． ， ； ， ＋ ． 【思路点拨】 思路点拨】 【解】 (1)a3＝a1q2，∴q2＝9，∴q＝±3. ， ＝ － ∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n × － － 或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n. ×－ － － － ∴an＝3n或(－1)n－13n. － －
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【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5
例1 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通
项公式． 项公式． 1 1 1 1 (1) ， ， ， ； 2×4 3×5 4×6 5×7 × × × × (2)－3,7，－ ，－15,31； － ，－ ； (3)2,6,2,6.
【解】 (1)均是分式且分子均为 1，分母均是两 均是分式且分子均为 ， 因数的积， 因数的积，第一个因数是项数加上 1，第二个因 ， 数比第一个因数大 ， 数比第一个因数大 2， 1 . ∴an＝ )(n＋ ) (n＋1)( ＋3) ＋ )(
2，n是奇数 ， 是奇数 . an＝4＋(－1) ·2 或 an＝ ＋－ ， 是偶数 6，n是偶数
n
n
2．公式法 ． 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列， 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列， 所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否 符合等差、等比数列的定义，然后用等差、 符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比 数列的通项公式表示它． 数列的通项公式表示它．
知识方法：在解题时，根据题目所给条件的不同， 知识方法：在解题时，根据题目所给条件的不同， 可以采用不同的方法求数列的通项公式， 可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方 法有如下几种： 法有如下几种： 1．观察归纳法 ． 观察归纳法就是观察数列特征， 观察归纳法就是观察数列特征，找出各项共同的 构成规律，横向看各项之间的关系， 构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各项 与项数n的内在联系， 与项数 的内在联系，从而归纳出数列的通项公 的内在联系 式．
例8
设数列{a 为等比数列 为等比数列， 设数列 n}为等比数列，Tn＝na1＋(n－ －
1)a2＋…＋2an－1＋an，且T1＝1，T2＝4. ＋ ， － (1)求数列 n}的首项和公比； 求数列{a 的首项和公比 的首项和公比； 求数列 (2)求数列 n}的通项公式． 求数列{T 的通项公式 的通项公式． 求数列
高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5-推荐ppt版本
由②得a1＝2q，代入①得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2，或q＝12.当q＝2时，a1＝1，an＝2n－1；当q＝12时，a1＝4，an＝23－n.
解法二：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2.
从而
a1＋a3＝5 a1a3＝4
，解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝
– 第二级 ∴aa21aa32＝q2＝16，
∴q＝±•4.第三级
又∵a1a2＝–a21q第＝四16级>0，∴q>0，∴q＝4. » 第五级
互动探究学案
命•题单方向例击题1 此1⇨等处比数编列辑的通母项公版式文本样式
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
[解析] 解法一：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得， aa11＋·a1aq1·qa＋1q2a＝1q82＝7，即aa311q13＝＋8q＋q2＝7，∴aa11q1＝＋2q②＋q2＝7①.
• 第三级
– 第四级 » 第五级
• 单击－2n此或(－处2)n编辑母版文本样式
– 第二级 [解析] 设公比为q，则a3＝a1q2，∴q2＝－ －82＝4，∴q＝±2.
∴an＝•(－第2)三×2级n－1＝－2n
或an＝(－2–)×第(－四2级)n－1＝(－2)n. » 第五级
• 单击此处编辑母版文本样式 [解析] 由anan＋1＝16n，得a1a2＝16，a2a3＝162，
2；当a1＝4时，q＝12.故an＝2n－1，或an＝23－n.
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
• 单击此处编辑母版文本样式
[解–析第] 二(1)设级公比为q，由题意，得
第二章 2.4 第1课时 等比数列的概念和通项公式(优秀经典公开课比赛课件)
方法技巧 在已知等比数列中任意两项的前提下，利用 an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比 数列中的任意一项．
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跟踪探究 2.在等比数列{an}中，已知 a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则 a5＝( )
A．12
B．18
C．24
D．36
解析：设公比为 q，∵a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，∴a3＋a3q2＋a3q4＝78，即 6＋6q2＋6q4 ＝78，解得 q2＝3，∴a5＝a3q2＝6×3＝18，故选 B.
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2．等比数列通项公式及变形的应用
[例 2] (1)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 a1，12a3，2a2 成等差数列，则aa97＋＋aa180
等于( )
A．1＋ 2
B．1－ 2
C．3＋2 2
D．3－2 2
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[解析] 设等比数列{an}的公比为 q， ∵a1，12a3,2a2 成等差数列， ∴a3＝a1＋2a2， ∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0， ∴q＝1± 2. ∵an＞0，∴q＞0，则 q＝1＋ 2. ∴aa97＋＋aa180＝q2＝(1＋ 2)2＝3＋2 2.
提示：同一常数．
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(2)对于数列，1,20,202,203，…从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于________．
提示：20. (3)对于数列 1，12，14，18，…从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于________． 提示：同一个常数．
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高中数学 2.4.1等比数列的概念与同项公式课件 新人教A版必修5
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10
②式与①式相除，得 q(1－q)＝14⇒q＝12. ∴a1＝q－42q4＝12－42124＝96. 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a12q10＝962×2110＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
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栏 目 链 接
11
栏 目
链
同理，当 b＝－287时，a＝－23，c＝－237.
接
综上所述，a，b，c 的值分别为32，287，327或－32，－287，－327.
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14
题型3 等比数列的判定与证明
已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)． 由 a1＝1 知 a1＋1≠0.
2．4 等比数列 2．4.1 等比数列的概念与通项公式
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1
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栏 目 链 接
2
1.通过实例，理解等比数列的概念． 2．探索并掌握等比数列的通项公式． 3．能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用 有关知识解决相应的问题． 4．体会等比数列与指数函数的关系．
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3
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12
2．已知数列 a，－32，b，－23423，c 五个数成等比数列，求 a，b，
c 的值．
栏
目
解析：∵b2＝－32－23423＝326.
链 接
∴b＝±287.
当 b＝287时，ab＝－322，∴a＝23.
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等比数列的概念和通项公式 课件
所以a2－b2 a1＝－22＝－1.
[答案] －1
[误区] 忽视等比数列中 b2 与－4 同号而出现 b2＝2 或 b2＝±2 的错误． [防范措施] 1．注意等比数列中三种常见隐含条件的挖掘 (1)定义中隐含等比数列中每一项和公比都不为 0. (2)若两个数有等比中项，则这两个数同号． (3)若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数，则所有奇数项的 符号相同，所有偶数项的符号相同．如本例中，无论公比是正数还是 负数，b2 与－4 一定同号．
等比数列的概念和通项公式
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 文字 前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫 语言 作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公
比通常用字母 q 表示(q≠0)．
数学 符号
在数列{an}中，如果aan－n 1＝q(n≥2， n∈N*)或aan＋n 1＝qn∈N*(q≠0)成立，则称数列{an}为
等比数列，常数 q 称为等比数列的公比．
递推 an＝an－1·q(q≠0，n∈N*，n≥2)或 an＋1＝an·q(n∈N*，
关系 q≠0)
2.通项公式 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则通项公式为 an＝ a1qn－1 (a1≠0， q≠0)． 3．等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项．
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基 本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公 式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求 得另一个量．求解时，要注意应用 q≠0 验证求得的结果．
1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
2-4-1等比数列的概念与通项公式
[答案] A
第二章
2.4
第1课时
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[分析]
∵{an}是等比数列，∴a3 是 a2 与 a4 的等比中项，
a5 是 a4 与 a6 的等比中项，因此条件式可以转化为 a3 与 a5 的关 系式．
第二章
2.4
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
[解析]
利用等比数列的概念判断．
由 Sn＝pn(n∈N*)，有 a1＝S1＝p，并且当 n≥2 时，an＝Sn －Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1.故 a2＝(p－1)p， 因此数列{an}成等比数列
第二章
2.4
第1课时
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p≠0， p－1≠0， ⇔ an an－1＝pn≥2. a2 p－1p 而 ＝ ＝p－1. a1 p 故满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D.
第二章
2.4
第1课时
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[点评]
(1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟
悉数列{an}成等比数列的条件： n≠0(n∈N*)， a 还要注意对任意 an n∈N ，n≥2， 都为同一常数． a n －1
*
第二章
2.4
第1课时
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第二章
2.4
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
a2 a3 a4 2．在定义式中，依次令 n＝1,2,3„„得到 ＝q， ＝q， a1 a2 a3 an an － ＝q，„„ ＝q，将这些式子相乘得到 ＝qn 1，∴an＝a1qn a1 an－1
高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念与通项公式课件 a必修5a高二必修5数学课件
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2．若{an}为等比数列，且 2a4＝a6－a5，则公比是( )
A．0
B．1 或－2
C．－1 或 2 D．－1 或－2
解析：由已知得 2a1q3＝a1q5－a1q4，得 2＝q2－q， 所以 q＝－1 或 q＝2. 答案：C
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3. 82是等比数列 4 2，4,2 2，…的( ) A．第 10 项 B．第 11 项 C．第 12 项 D．第 13 项
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状元随笔 (1)a1＝13(a1－1)⇒a1， a1＋a2＝13(a2－1)⇒a2； (2)要证aan＋n 1或aan－n 1(n≥2)为常数，须先将题设 Sn 与 an 的关系转 化为 an 与 an－1 的关系，这当然要用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
第二十三页，共三十四页。
第一页，共三十四页。
课标要求 1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关 系． 3．能在具体问题的情境中发现等比关系．
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知识导图
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学法指导 1.类比等差数列的定义、通项公式的学习，掌握等比数列的定 义、通项公式及应用． 2．理解了等比数列的定义即可掌握等比中项的概念及应用． 3．把握等比数列通项公式中各量的关系及等比数列的性质是 应用的基础． 4．能够利用指数型函数的性质处理等比数列的单调性等问题． 5．重视整体思想在解题中的应用．
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第一 课时 (dìyī) 等比数列的概念与通项公式
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知识点一 等比数列的定义
文字 表示
一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项 的_比___等于同__一__常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的_公__比_，公比通常用字母 q(q≠0)表示
2．若{an}为等比数列，且 2a4＝a6－a5，则公比是( )
A．0
B．1 或－2
C．－1 或 2 D．－1 或－2
解析：由已知得 2a1q3＝a1q5－a1q4，得 2＝q2－q， 所以 q＝－1 或 q＝2. 答案：C
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3. 82是等比数列 4 2，4,2 2，…的( ) A．第 10 项 B．第 11 项 C．第 12 项 D．第 13 项
第二十二页，共三十四页。
状元随笔 (1)a1＝13(a1－1)⇒a1， a1＋a2＝13(a2－1)⇒a2； (2)要证aan＋n 1或aan－n 1(n≥2)为常数，须先将题设 Sn 与 an 的关系转 化为 an 与 an－1 的关系，这当然要用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
第二十三页，共三十四页。
第一页，共三十四页。
课标要求 1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关 系． 3．能在具体问题的情境中发现等比关系．
第二页，共三十四页。
知识导图
第三页，共三十四页。
学法指导 1.类比等差数列的定义、通项公式的学习，掌握等比数列的定 义、通项公式及应用． 2．理解了等比数列的定义即可掌握等比中项的概念及应用． 3．把握等比数列通项公式中各量的关系及等比数列的性质是 应用的基础． 4．能够利用指数型函数的性质处理等比数列的单调性等问题． 5．重视整体思想在解题中的应用．
第四页，共三十四页。
第一 课时 (dìyī) 等比数列的概念与通项公式
第五页，共三十四页。
知识点一 等比数列的定义
文字 表示
一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项 的_比___等于同__一__常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的_公__比_，公比通常用字母 q(q≠0)表示
高中数学课件：第二章-2.4《-等比数列-第一课时-等比数列的概念及通项公》式优秀课件(公开课)
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
第一 课时
2.4
等比 数列
等比 数列 的概 念及 通项 公式
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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[读教材·填要点] 1．等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 等于 同一常数 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母q表示(设这四个数依次为：q，a，aq，aq2， ① ②
4 2 10 a · q ＝ 2 根据题目条件可得 a＋aq＝4
1 解得 q＝－2 或－2，
返回
当 q＝－2 时，a＝－4， 所求四个数依次为 2，－4,8，－16， 1 当 q＝－2时，a＝8， 所求四个数依次为：－16,8，－4,2， 综上这四个数依次为 2，－4,8，－16 或－16,8，－4,2.
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解：设公比为q，
2 a1＋a1q＋a1q ＝168， 由题意得 4 a1q－a1q ＝42， 2 a11＋q＋q ＝168， ∴ 3 a1q1－q ＝42，
① ②
返回
1 ②÷ ①得q(1－q)＝4， 1 42 解得q＝2，∴a1＝ ＝96. q1－q3 设G是a5与a7的等比中项， 则G
提示：不能．等比数列的任何一项均不能为0.
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[研一题] [例1] ＝8，求an. 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3
返回
[自主解答]
2 法一：∵a1a3＝a2 ，
a1＋a3＝5 3 ∴a1a2a3＝a2＝8，∴a2＝2.从而 a1a3＝4
第 二 章 数 列
第一 课时
2.4
等比 数列
等比 数列 的概 念及 通项 公式
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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[读教材·填要点] 1．等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 等于 同一常数 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母q表示(设这四个数依次为：q，a，aq，aq2， ① ②
4 2 10 a · q ＝ 2 根据题目条件可得 a＋aq＝4
1 解得 q＝－2 或－2，
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当 q＝－2 时，a＝－4， 所求四个数依次为 2，－4,8，－16， 1 当 q＝－2时，a＝8， 所求四个数依次为：－16,8，－4,2， 综上这四个数依次为 2，－4,8，－16 或－16,8，－4,2.
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解：设公比为q，
2 a1＋a1q＋a1q ＝168， 由题意得 4 a1q－a1q ＝42， 2 a11＋q＋q ＝168， ∴ 3 a1q1－q ＝42，
① ②
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1 ②÷ ①得q(1－q)＝4， 1 42 解得q＝2，∴a1＝ ＝96. q1－q3 设G是a5与a7的等比中项， 则G
提示：不能．等比数列的任何一项均不能为0.
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[研一题] [例1] ＝8，求an. 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3
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[自主解答]
2 法一：∵a1a3＝a2 ，
a1＋a3＝5 3 ∴a1a2a3＝a2＝8，∴a2＝2.从而 a1a3＝4
人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式课件
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
高中数学《等比数列的定义及通项公式》课件
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 等比数列通项公式的求法
a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量， 问题便迎刃而解．关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1， q 后再求 an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1， 最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
12
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 1】 (1)已知{an}为等比数列，且 a5＝8，
a7＝2，该数列的各项都为正数，求 an；
(2)若等比数列{an}的首项 a1＝98，末项 an＝13，公比 q＝
2，求项数 3
n.
13
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
1
(2)
等
比
数
列
－
1 10
，
－
1 100
，
－
1 1000
，
…
的
公
比
为
___1_0____．
1
(3)在等比数列{an}中，已知 an＝4n－3，则 a1＝___1_6____，
q＝____4____.
(4)(教材改编 P53 习题 2.4A 组 T1(3))已知等比数列{an}中， a1＝1，a3＝9，则 a2＝___±_3____.
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数学 ·必修5
解法二：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4，q＝3 4，an＝a4qn
2n－5
－4＝2 3 .
(2)解法一：因为aa32＋＋aa65＝＝aa11qq＋ 2＋aa11qq4＝ 5＝198，，'④'③