山东省德州市高考数学二模试卷(理科)解析版
A. （0， ）
B. （
） C. （ ，4）
D. （4，+∞）
11. 已知椭圆
的左右焦点分别为 F1、F2，过点 F1 的直线与椭圆交
于 P，Q 两点．若△PF2Q 的内切圆与线段 PF2 在其中点处相切，与 PQ 相切于点 F1 ，则椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 已知△ABC 中，|
（[x]表示不超过 x 的最大整数），若 f（x）-ax=0 有且
仅有 3 个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. （ ]
B. [ ）
C. [ ）
D. （ ]
10. 已知定义在 R 上的函数 f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且 y=f（x-1）的图象关 于 x=1 对称，若实数 a 满足 f（log2a）＜f（2），则 a 的取值范围是（ ）
第 2 页，共 16 页
16. 已知函数 f（x）=2a（lnx-x）+x2（a＞0）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），则 f（x1） +f（x2）的取值范围为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-2．数列{bn}满足 bn=log2an，其前 n 项和为 Tn
19. 2020 年，山东省高考将全面实行“3+[6 选 3]”的模式（即：语文、数学、外语为 必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试） ．为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取 200 人 做调查．统计显示，男生喜欢物理的有 64 人，不喜欢物理的有 56 人；女生喜欢物 理的有 36 人，不喜欢物理的有 44 人． （1）据此资料判断是否有 75%的把握认为“喜欢物理与性别有关” （2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会．现从 5 名男同学和 4 名女同学（其中 3 男 2 女喜欢物理）中，选取 3 名男同学和 2 名女同学参加座谈会 ，记参加座谈会的 5 人中喜欢物理的人数为 X，求 X 的分布列及期望 E（X）．
21. 已知函数
．
（1）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线， （2）用 max{m，n}表示 m，n 中的最大值，设函数 h（x）=max{xf（x），xg（x） }（x＞0），当 0＜a＜3 时，讨论 h（x）零点的个数．
22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（t 为参数，α∈[0，π））
B. -12
C. 12
6. 已知△ABC 的面积是 ，AB=1，
，则 AC=（ ）
A. 5
B. 或 1
C. 5 或 1
7. 如图，在且角坐标系 xOy 中，过原点 O 作曲线 y=x2+1（x≥0）的切线，切点为 P，过点 P 分别作 x，y
轴的垂线，垂足分别为 A，B，在矩形 OAPB 中随机选
取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）
A.
D. 60 D.
B.
C.
第 1 页，共 16 页
D.
8. 设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“loga2＜logb2”是“2a＞2b＞2”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数 f（x）=
．
P（K2≥k） k
0.25 1.323
0.10 2.706
0.05 3.841
第 3 页，共 16 页
20. 已知点 P 在抛物线 C：x2=2py（p＞0）上，且点 P 的横坐标为 2，以 P 为圆心，|PO| 为半径的圆（O 为原点），与抛物线 C 的准线交于 M，N 两点，且|MN|=2． （l）求抛物线 C 的方程； （2）若抛物线的准线与 y 轴的交点为 H．过抛物线焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交 于 A，B，且 AB⊥HB，求|AF|-|BF|的值．
A. .300，0.25
B. 300，0.35
C. 60，0.25
D. 60，0.35
4. 已知椭圆
=1（a＞b＞0）与双曲线
（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双
曲线渐进线方程为（ ）
A. y=± x
B. y=± x
C. y=± x
D. y=± x
5.
的展开式中，含 x3 项的系数为（ ）
A. -60
A. -2
B. 2Βιβλιοθήκη C. -D.3. 港珠澳大桥于 2018 年 10 月 2 刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和 澳门的桥隧工程，桥隧全长 5 多千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速 100km/h，现对大桥某路段上 1000 辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布 直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车 辆数和行驶速度超过 90km/h 的频率分别为（ ）
．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设
，求数列{cn}的前项和 Cn．
18. 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2，E，F 分别为 AB，B1C1 的中点． （1）求证：B1E∥平面 ACF； （2）求平面 CEB1 与平面 ACF 所成二面角（锐角）的 余弦值．
高考数学二模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设全集 U=R，集合 M={x|x2≤x}，N={x|2x≤1}，则 M∩∁UN=（ ）
A. [0，1]
B. （0，1]
C. [0，1）
D. （-∞，1]
2. 已知复数 z1=l+ai（a∈R），z2=1+2i（i 为虚数单位），若 为纯虚数，则 a=（ ）
=-2．点 P 为 BC 边上的动点，则
的最小值为（ ）
A. 2
B. -
C. -2
D. -
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 设 x、y 满足约束条件
的最小值是-1，则 m 的值为
______．
14. 若
，则 sin2α=______．
15. 如图．网络纸上小正方形的边长为 1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几 何体的体积为______．
．以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标 方程为 ρ2=2ρcosθ+3． （l）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程： （2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB|=2 ．求直线 l 的方程．
2020年山东省德州市高考数学二模试卷(理科)
2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）设全集U＝R，集合M＝{x|x2≤x}，N＝{x|2x≤1}，则M∩∁U N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．（5分）已知复数z1＝l+ai（a∈R），z2＝1+2i（i为虚数单位），若为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．3．（5分）港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长5多千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．.300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.354．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐进线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x5．（5分）的展开式中，含x3项的系数为（）A．﹣60B．﹣12C．12D．606．（5分）已知△ABC的面积是，AB＝1，，则AC＝（）A．5B．或1C．5或1D．7．（5分）如图，在且角坐标系xOy中，过原点O作曲线y＝x2+1（x≥0）的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A，B，在矩形OAPB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设a，b都是不等于1的正数，则“log a2＜log b2”是“2a＞2b＞2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知函数f（x）＝（[x]表示不超过x的最大整数），若f（x）﹣ax ＝0有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（）A．（]B．[）C．[）D．（]10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，若实数a满足f（log2a）＜f（2），则a的取值范围是（）A．（0，）B．（）C．（，4）D．（4，+∞）11．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点．若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知△ABC中，|＝﹣2．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2B．﹣C．﹣2D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设x、y满足约束条件的最小值是﹣1，则m的值为．14．（5分）若，则sin2α＝．15．（5分）如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．16．（5分）已知函数f（x）＝2a（lnx﹣x）+x2（a＞0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则f（x1）+f（x2）的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．数列{b n}满足b n＝log2a n，其前n 项和为T n．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前项和∁n．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，E，F分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：B1E∥平面ACF；（2）求平面CEB1与平面ACF所成二面角（锐角）的余弦值．19．（12分）2020年，山东省高考将全面实行“3+[6选3]”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）．为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查．统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人．（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会．现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X，求X的分布列及期望E （X）．．P（K2≥k）0.250.100.05k 1.323 2.706 3.84120．（12分）已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．21．（12分）已知函数．（1）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线，（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h（x）＝max{xf（x），xg（x）}（x＞0），当0＜a＜3时，讨论h（x）零点的个数．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ+3．（l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝2．求直线l的方程．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x+|x+l|的解集；（2）若函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的定义域为R．求实数a的取值范围．2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）设全集U＝R，集合M＝{x|x2≤x}，N＝{x|2x≤1}，则M∩∁U N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]【解答】解：M＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}，则∁U N＝{x|x＞0}，M∩∁U N＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]，故选：B．2．（5分）已知复数z1＝l+ai（a∈R），z2＝1+2i（i为虚数单位），若为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．【解答】解：∵z1＝l+ai（a∈R），z2＝1+2i，∴＝，∵为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：C．3．（5分）港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长5多千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．.300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.35【解答】解：由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的频率为0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数为：0.3×1000＝300，行驶速度超过90km/h的频率为：（0.05+0.02）×5＝0.35．故选：B．4．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐进线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：依题意椭圆＝1（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，可得：a2﹣b2＝a2+b2，即a2＝3b2，∴，可得∴双曲线的渐近线方程为：y＝±x故选：A．5．（5分）的展开式中，含x3项的系数为（）A．﹣60B．﹣12C．12D．60【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝3，求得r＝1，可得含x3项的系数为﹣12，故选：B．6．（5分）已知△ABC的面积是，AB＝1，，则AC＝（）A．5B．或1C．5或1D．【解答】解：∵△ABC的面积是，AB＝1，BC＝，∴•AB•BC•sin B＝，解得sin B＝，∴B＝，或，当B＝时，由余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B＝1+2﹣2×1××（﹣）＝5，则AC＝，当B＝时，由余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B＝1+2﹣2×1××＝1，解得AC＝1．故选：B．7．（5分）如图，在且角坐标系xOy中，过原点O作曲线y＝x2+1（x≥0）的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A，B，在矩形OAPB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，m2+1），则切线的斜率k＝＝，又由y＝x2+1，其导数y′＝2x，则点P处切线的斜率k＝y′|x＝m＝2m，则有＝2m，解可得m＝±1，又由m＞0，则m＝1，即P（1，2），故切线的方程为y＝2x，矩形OAPB的面积S＝2×1＝2，阴影部分的面积S′＝[（x2+1）﹣2x]dx＝（﹣x2+x）＝，则点在阴影部分的概率P＝＝＝；故选：A．8．（5分）设a，b都是不等于1的正数，则“log a2＜log b2”是“2a＞2b＞2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“”，得＜，得：或log2a＞log2b＞0或0＞log2a＞log2b，即或a＞b＞1或0＜b＜a＜1，由2a＞2b＞2，得：a＞b＞1，故“”是“2a＞2b＞2”的必要不充分条件，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝（[x]表示不超过x的最大整数），若f（x）﹣ax ＝0有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（）A．（]B．[）C．[）D．（]【解答】解：当0≤x＜1时，[x]＝0，当1≤x＜2时，[x]＝1，当2≤x＜3时，[x]＝2，当3≤x＜4时，[x]＝3，若f（x）﹣ax＝0有且仅有3个零点，则等价为f（x）＝ax有且仅有3个根，即f（x）与g（x）＝ax有三个不同的交点，作出函数f（x）和g（x）的图象如图，当a＝1时，g（x）＝x与f（x）有无数多个交点，当直线g（x）经过点A（2，1）时，即g（2）＝2a＝1，a＝时，f（x）与g（x）有两个交点，当直线g（x）经过点B（3，2）时，即g（3）＝3a＝2，a＝时，f（x）与g（x）有三个交点，要使f（x）与g（x）＝ax有三个不同的交点，则直线g（x）处在过y＝x和y＝x 之间，即＜a≤，故选：A．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，若实数a满足f（log2a）＜f（2），则a的取值范围是（）A．（0，）B．（）C．（，4）D．（4，+∞）【解答】解：根据题意，y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，则函数f（x）的图象关于y轴对称，即函数f（x）为偶函数，又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则f（log2a）＜f（2）⇒f（|log2a|）＜f（2）⇒|log2a|＜2，解可得：＜a＜4，即a的取值范围为（，4）；故选：C．11．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点．若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设△PF2Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点，可得△PF2Q为等腰三角形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m+n＝2a，由切线的性质可得m＝n，解得m＝，n＝，设|QF1|＝t，|QF2|＝2a﹣t，由t＝2a﹣t﹣，解得t＝，则△PF2Q为等边三角形，即有2c＝•，即有e＝＝，故选：D．12．（5分）已知△ABC中，|＝﹣2．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2B．﹣C．﹣2D．﹣【解答】解：以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B（﹣1，0），C（1，0），设P（a，0），A（x，y），由•＝﹣2，可得（x+1，y）•（2，0）＝2x+2＝﹣2，即x＝﹣2，y≠0，则＝（1﹣a，0）•（x﹣a﹣1﹣a+1﹣a，y+0+0）＝（1﹣a）（x﹣3a）＝（1﹣a）（﹣2﹣3a）＝3a2﹣a﹣2＝3（a﹣）2﹣，当a＝时，的最小值为﹣．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设x、y满足约束条件的最小值是﹣1，则m的值为﹣1．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（﹣m﹣2，﹣m），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，显然直线过A（﹣m﹣2，﹣m）时，z最小，∴﹣2m﹣4﹣m＝﹣1，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）若，则sin2α＝﹣．【解答】解：∵，∴（sinα﹣cosα）＝，可得：sinα﹣cosα＝，∴两边平方，可得：1﹣sin2α＝，∴sin2α＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为8+．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V＝V三棱柱+V半圆锥＝×2×2×4+××π×12×2＝8+．故答案为：8+．16．（5分）已知函数f（x）＝2a（lnx﹣x）+x2（a＞0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则f（x1）+f（x2）的取值范围为（﹣∞，16ln2﹣24）．【解答】函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2a（+2x＝，依题意，方程2x2﹣2ax+2a＝0有两个不等的正根x1，x2（其中x1＜x2）．故x1+x2＝a＞0，x1x2＝a＞0，△＝4a2﹣16a＞0⇒a＞4，所以f（x1）+f（x2）＝2aln（x1x2）+（x12+x22）﹣2a（x1+x2）＝2alna+[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣2a（x1+x2）＝2alna+a2﹣2a﹣2a2＝2alna﹣2a﹣a2，令h（a）＝2alna﹣a2﹣2a，（a＞4），h′（a）＝2（lna﹣a），h″（a）＝2（）＜0，故h′（a）在（4，+∞）递减，故h′（a）≤h′（4）＜0，故h（a）在（4，+∞）递减，而h（4）＝16ln2﹣24故答案为（﹣∞，16ln2﹣24）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．数列{b n}满足b n＝log2a n，其前n 项和为T n．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前项和∁n．【解答】解：（1）S n＝2a n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣2，可得a1＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，即有a n＝2a n﹣1，可得{a n}的首项和公比均为2的等比数列，可得a n＝2n；b n＝log2a n＝log22n＝n；（2）T n＝n（n+1），则＝2n+＝2n+2（﹣），即有∁n＝+2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2n+1﹣2+2（1﹣）＝2n+1﹣．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，E，F分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：B1E∥平面ACF；（2）求平面CEB1与平面ACF所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）取AC的中点M，连结EM，FM，在△ABC中，∵E为AB的中点，∴EM∥BC，且EM＝BC，又F为B1C1的中点，B1C1∥BC，∴B1F∥BC，且B1F＝，∴EM∥B1F，且EM＝B1F，∴四边形EMFB1为平行四边形，∴B1E∥FM，又MF⊂平面ACF，BE⊄平面ACF，∴B1E∥平面ACF．解：（2）取BC中点O，连结AO，OF，则AO⊥BC，OF⊥平面ABC，以O为原点，分别以OB，AO，OF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（，0），F（0，0，2），B1（1，0，2），＝（，0），＝（1，0，2），＝（1，﹣，0），＝（2，0，2），设平面CEB1的一个法向量＝（x，y，z），则，令x＝1．则＝（1，，﹣1），同理得平面ACF的一个法向量为＝（1，，﹣），则cos＜＞＝＝，∴平面CEB1与平面ACF所成二面角（锐角）的余弦值为．19．（12分）2020年，山东省高考将全面实行“3+[6选3]”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）．为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查．统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人．（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会．现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X，求X的分布列及期望E （X）．．P（K2≥k）0.250.100.05k 1.323 2.706 3.841【解答】解：（1）根据所给的条件得，男女合计喜欢物理6436100不喜欢物理5644100合计12080200K2＝＝＞1.323，所以有75%的把握认为喜欢物理和性别有关．（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m人，女同学有n人，则X＝m+n，由题意可知，X的所以可能取值为1，2，3，4，5．P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝++＝，P（X＝4）＝+＝，p（X＝5）＝＝，所以X的分布列为X12345P所以E（X）＝1×+2×+3×+4×+5×＝，20．（12分）已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．【解答】解：（1）将点P横坐标x P＝2代入x2＝2py中，求得y P＝，∴P（2，），|OP|2＝+4，点P到准线的距离为d＝+，∴|OP|2＝+d2，∴22+＝12+，解得p2＝4，∴p＝2，∴抛物线C的方程为：x2＝4y；（2）抛物线x2＝4y的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，H（0，﹣1）；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，代入抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，…①由AB⊥HB，可得k AB•k HB＝﹣1，又k AB＝k AF＝，k HB＝，∴•＝﹣1，∴（y1﹣1）（y2+1）+x1x2＝0，即（﹣1）（+1）+x1x2＝0，∴+（﹣）﹣1+x1x2＝0，…②把①代入②得，﹣＝16，则|AF|﹣|BF|＝y1+1﹣y2﹣1＝（﹣）＝×16＝4．21．（12分）已知函数．（1）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线，（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h（x）＝max{xf（x），xg（x）}（x＞0），当0＜a＜3时，讨论h（x）零点的个数．【解答】解：（1）设曲线y＝f（x）与x轴相切与点（x0，0），则，即，∴，∴当时，x轴为曲线y＝f（x）的切线．（2）令，g1（x）＝xg（x）＝lnx（x＞0），则h（x）＝max{f1（x），g1（x）}，，由f'1（x）＝0，得，∴当x∈（0，）时，f'1（x）＞0，f1（x）为增函数；当x∈（，+）时，f'1（x）为减函数，∵0＜a＜3，∴0＜，①当，即0＜a＜时，h（x）有一个零点；②当，即a＝时，h（x）有两个零点；③当，即时，h（x）有三个零点；④当，即时，h（x）有两个零点；⑤当，即时，h（x）有一个零点，综上，或时，h（x）有一个零点；当或时，h（x）有两个零点；当，h（x）有三个零点．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ+3．（l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝2．求直线l的方程．【解答】解：（1）由消去参数t得x sinα﹣y cosα+cosα＝0（α∈[0，π），由ρ2＝2ρcosθ+3得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x﹣3＝0（2）由x2+y2﹣2x﹣3＝0得（x﹣1）2+y2＝2，得圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为d＝＝|sinα+cosα|，∴|AB|＝2，即＝，整理得sin2α＝1，∵α∈[0，π），∴2α∈[0，2π），∴2α＝，∴α＝，所以直线l的方程为：x﹣y+1＝0．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x+|x+l|的解集；（2）若函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的定义域为R．求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＜x+|x+l|⇔|x﹣1|＜x+|x+1|⇔或或，解得x＞0，所以原不等式的解集为（0，+∞）．（2）要使函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的定义域为R，只要h（x）＝f（x+3）+f（x）﹣2a的最小值大于0即可．，又h（x）＝|x+3|+|x﹣1|﹣2a≥|（x+2）﹣（x﹣1）|﹣2a＝3﹣2a，当且仅当x∈[﹣2，1]时取等，所以3﹣2a＞a，即a＜．所以实数a的取值范围是（﹣∞，）．。
2019届山东省德州市高三第二次练习数学(理)试题(解析版)
2019届山东省德州市高三第二次练习数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =I ð（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞【答案】A【解析】求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【详解】{}20121{|}|{|}{|}0x M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜， {}|0U N x x =≥ð，则{}011|]0[U M N x x =≤≤=I ，ð， 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．2．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，， ∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数，∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A【解析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b-=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴3b a =3=双曲线的渐近线方程为：3x y x =±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60- B ．12- C ．12 D ．60【答案】B【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-.故选：B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5 B ．5或1C ．5或1D ．5【答案】B 【解析】∵11sin 22ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅=，1AB =,2BC = ∴2sin 22B == ①若B 为钝角，则2cos B =-，由余弦定理得2222cos AC AB BC B AB BC =+-⋅⋅，解得5AC =；②若B 为锐角，则2cos 2B =，同理得1AC =. 故选B.7．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()123210111233S xx dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.8．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选C ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．9．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当01x ≤＜时，[]0x =， 当12x ≤＜时，[]1x =， 当23x ≤＜时，[]2x =， 当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()=f x ax 有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点， 当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点，当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点，要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间， 即1223a ≤＜， 故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.10．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C【解析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案.【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象， 由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2f a f <， Q 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题.11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】D【解析】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==， 设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43an =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223aNF MF ==，1QN QF t ==，由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23a t =，43a PQ m t ∴=+=，2243aPF QF ==Q ，所以2PF Q ∆为等边三角形， 所以，3423ac =，解得33c a =. 3故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．12．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________. 【答案】1-【解析】画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由2z x y =+得2y x z =-+，显然直线过()2,A m m ---时，z 最小，代入求出m 的值即可． 【详解】作出不等式组20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立200x y y m -+=⎧⎨+=⎩，解得2x m y m =--⎧⎨=-⎩，则点()2,A m m ---.由2z x y =+得2y x z =-+，显然当直线2y x z =-+过()2,A m m ---时，该直线y 轴上的截距最小，此时z 最小，241m m ∴---=-，解得1m =-.故答案为：1-． 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 14．若4sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【答案】725-【解析】由已知利用两角差的正弦函数公式可得2sin cos 5αα-=，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解． 【详解】)24sin sin cos cos sin sin cos 44425πππααααα⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭Q ，得2sin cos 5αα-=， 在等式42sin cos 5αα-=两边平方得321sin 225α-=，解得7sin 225α=-. 故答案为：725-. 【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.【答案】83π+【解析】根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为21112241282323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故答案为：83π+.【点睛】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题． 16．已知函数()()()202ln f x a x x xa =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【答案】(),16ln 224-∞-【解析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围． 【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <）， 则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>， 所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=， 当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-. 因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-. 故答案为：(),16ln 224-∞-. 【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-.数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设1n n nc a T =+，求数列{}n c 的前n 项和n C . 【答案】（1）2n n a =，n b n =；（2）1221n n C n +=-+.【解析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n S a =-得出1122n n S a --=-，两式相减可推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列{}n b 的通项公式； （2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得n T . 【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，所以12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，即12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2 的等比数列，1222n n n a -∴=⨯=.2log 2n n b n ∴==；（2）由（1）知数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，()1(1)1122n n n n n T n -+∴=⨯+⨯=. ()11212221n n n n n c n n ⎛⎫+- ⎪+=+⎝=+⎭∴，()121111122122221212231121n nn C n n n +-⎛⎫⎛⎫∴=++++-+-++-=+- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭L L 1221n n +=-+. 所以1221n n C n +=-+. 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角(锐角)的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）28619. 【解析】（1）取AC 中点为M ，通过证明FM //1B E ，进而证明线面平行；（2）取BC 中点为O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小. 【详解】（1）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，如下图所示：在ABC ∆中，因为 E 为AB 的中点，//EM BC ∴，且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，1B F BC ∴//，且112B F BC =， 1EM B F ∴//，且1EM B F =，∴四边形1EMFB 为平行四边形，1//B E FM ∴又MF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF ， 1//B E ∴平面ACF ，即证.（2）取BC 中点O ，连结AO ，OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ， 以O 为原点，分别以OB ，AO ，OF 为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示：则()0,3,0A -，()1,0,0B ，()1,0,0C -，13,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2F ，()11,0,2BCE u u u r 33,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，CF uuur (1,0,2)=，CA u u u r ()1,3,0=-，1CB u u u r (2,0,2)= 设平面1CEB 的一个法向量m r(),,x y z =，则100m CE m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，则300x y x z -=+=⎪⎩，令1x =．则m r3,1)=-，同理得平面ACF 的一个法向量为n r3132⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则286,?m n cos m n n m ⋅==r rr rr r ， 故平面1CEB 与平面ACF 286. 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题. 19．2020年，山东省高考将全面实行“[36+选]3”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人.（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X ，求X 的分布列及期望()E X .()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，()145E X =. 【解析】（1）根据题目所给信息，列出22⨯列联表，计算2K 的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m 人，女同学有n 人，则X m n =+，确定X 的所有取值为1、2、3、4、5．根据计数原理计算出每个X 所对应的概率，列出分布列计算期望即可． 【详解】（1）根据所给条件得22⨯列联表如下：()222006444563641.323100100120803K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m 人，女同学有n 人，则X m n =+， 由题意可知，X 的所有可能取值为1、2、3、4、5．()12232232541120C C C P X C C ==⋅=，()12121123223222323254543210C C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，()1212321123223322223232325454547315C C C C C C C C C P X C C C C C C ==⋅+⋅+⋅=，()21321132322232325454146C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，()323232541560C C P X C C ==⋅=.所以X 的分布列为：所以()1371114123452010156605E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．20．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值． 【答案】(1) 24x y = (2)4【解析】（1）将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标，利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可；（2）设A 、B 点坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AF BF -的值即可． 【详解】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =， ∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 21．已知函数()()214f x x a a R x =-+-∈，ln ()xg x x=. （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用{}max ,m n 表示m 、n 中的最大值，设函数()()(){}()max ,0h x xf x xg x x =>，当0<<3a 时，讨论()h x 零点的个数.【答案】（1）34a =；（2）见解析. 【解析】（1）设切点坐标为()0,0x ，然后根据()()000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩可解得实数a 的值；（2）令()()3114f x xf x x ax ==-+-，()()()1ln 0g x xg x x x ==>，然后对实数a进行分类讨论，结合1f 和()11f 的符号来确定函数()y h x =的零点个数.【详解】（1）()214f x x a x =-+-Q ，()2124f x x x'∴=-+， 设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2000201041204x a x x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得01234x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以，当34a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （2）令()()3114f x xf x x ax ==-+-，()()()1ln 0g x xg x x x ==>，则()()(){}11max ,h x f x g x =，()213f x x a '=-+，由()10f x '=，得x =当x ⎛∈ ⎝时，()10f x '>，此时，函数()1y f x =为增函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()10f x '<，此时，函数()1y f x =为减函数.03a <<Q，01∴<<. ①当10f <，即当304a <<时，函数()y h x =有一个零点； ②当10f =，即当34a =时，函数()y h x =有两个零点；③当()11010f f ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即当3544a <<时，函数()y h x =有三个零点； ④当()11010f f ⎧>⎪⎨⎪=⎩，即当54a =时，函数()y h x =有两个零点； ⑤当()11010f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即当534a <<时，函数()y h x =只有一个零点. 综上所述，当304a <<或534a <<时，函数()y h x =只有一个零点； 当34a =或54a =时，函数()y h x =有两个零点； 当3544a <<时，函数()y h x =有三个零点. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，)[0απ∈，）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223cos ρρθ=+．（l ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，且AB =．求直线l 的方程．【答案】(1)见解析(2) 10x y -+=【解析】（1）将1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩消去参数t 可得直线的普通方程，利用x=ρcosθ，222x y ρ=+ 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式AB =【详解】（1）由1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩消去参数t 得0xsin ycos cos ααα-+=（)[0απ∈，）， 由223cos ρρθ=+得曲线C 的直角坐标方程为：22230x y x +--=（2）由22230x y x +--=得()2214x y -+=，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为sin cos d αα=+=，∴AB ===21sin α=，∵)[0απ∈，，∴)2[02απ∈，，∴，4πα=， 所以直线l 的方程为：10x y -+=．【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．23．已知函数()1f x x =-．（1）求不等式()1f x x x ++＜的解集；（2）若函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围．【答案】(1) ()0+∞，(2) 32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 【解析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数()g x 的定义域为R ，只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．【详解】（1）不等式()111f x x x x x x ++⇔-++＜＜111x x x x ≥⎧⎨-<++⎩或1111x x x x -<<⎧⎨-<++⎩或111x x x x ≤-⎧⎨-<--⎩， 解得1x ≥或01x <<，即x>0,所以原不等式的解集为()0+∞，． （2）要使函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ，只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可，又()()()21221232||h x x x a x x a a =++--≥+---=-，当且仅当2[]1x ∈-，时取等，只需最小值32a -＞0，即32a ＜． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．。
【高三数学试题精选】2018德州市高考数学理第二次模拟试卷(有答案)
（Ⅱ）当时，，
①当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减；
②当，即时，在上恒成立，此时单调递增；
③当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减．
综上当时，增区间为，，减区间为；
当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为，，减区间为．
（Ⅲ）假设存在实数，对任意的，，且，有恒成立，
不妨设，则由恒成立可得恒成立，
令，则在上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，
∴，即恒成立，又，
∴在时恒成立，
∴，
∴当时，对任意的，，且，有恒成立
21解（Ⅰ）由已知可得圆心到直线的距离为1，即，所以，
又椭圆经过点，所
则的方程为
由得即
所以，
由，得，
2018德州市高考数学理第二次模拟试卷（有答案）
5东省德州市10
二、填空题
116 12 13 14189 15
三、解答题
16解（Ⅰ）
，
∵，∴，
∴，
∴函数的值域为．
（Ⅱ）依题意，，的外接圆半径，，，，，
，
∴．
17解（Ⅰ）∵等比数列满足（），
时，；
时，
∴，时也成立，∴，解得，
∴
（Ⅱ）
当为奇数时，；
当为偶数时，
综上，．
18（Ⅰ）证明在中，∵，．
由余弦定理，，
∵，
∴，
在直平行六面体中，平面，平面，∴，
又，
∴平面．
（Ⅱ）解如图以为原点建立空间直角坐标系，
∵，，
∴，，，，
，，，
设平面的法向量，
令，得，，
∴，
设直线和平面的夹角为，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
(优辅资源)山东省德州市高三下学期4月二模考试数学(理)试题 Word版含答案
山东省德州市2017届高三下学期4月二模考试高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}2|20M x x x =+->，11|()22x N x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()U M N =ð（ ） A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22.若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43.已知平面向量a 和b 的夹角为60︒，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ） A ．20B ．12C．D．4.已知3cos 5α=，cos()10αβ-=，且02πβα<<<，那么β=（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 5.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归方程9.4y x a =+，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（ ）万元 A ．65.5B ．66.6C ．67.7D ．726.下列说法正确的是（ ）A ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，210x x ++>”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12//l l 的充要条件是12a = D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108.已知双曲线22221x y a b-=（a >，0b >）的两条渐进线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB S ∆=e =（ ）A ．32B C ．2 D 9.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403B ．343C．103+D．6+10.已知函数|ln |,0,()(2),2,x x e f x f e x e x e <≤⎧=⎨-<<⎩设方程()2xf x b -=+（b R ∈）的四个实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ） A ．122x x +=B ．2234(21)e x x e <<-C ．340(2)(2)1e x e x <--<D ．2121x x e <<第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.关于x 的不等式|2||8|x x a -+-≥在R 上恒成立，则a 的最大值为 ． 12.已知{}(,)|||1,||1x y x y Ω=≤≤，A 是曲线3y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ．13.设x ，y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为10，则22a b +的最小值为 ．14.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能时同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ．15.若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 到函数()h x 在区间D 上的“任性函数”．已知函数()f x kx =，2()2g x x x =-，()(1)(ln 1)h x x x =++，且()f x 是()g x 到()h x 在区间[]1,e 上的“任性函数”，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知函数()4sin cos()3f x x x π=+0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆的外接圆半径为4，求ABC ∆的面积． 17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163n n S a +=+（a N +∈）．（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ．18.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADG ；（Ⅱ）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．19.来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是2021． （Ⅰ）求清扫卫生岗位恰好一班1人、二班2人的概率；（Ⅱ）设随机变量X 为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求X 分布列及期望． 20.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈． （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当0a <时，讨论函数()f x 单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()f m f n a m n->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(1,3，左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y +=与直线0x y b ++=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，Q 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点． （1）试探究2||||MN OQ 的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．（2）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值．高三数学（理科）试题答案一、选择题1-5:ACDCA 6-10:BDDBB二、填空题11.6 12.548 13.251314.189 15.[]2,2e - 三、解答题16.解：（Ⅰ）1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-+22sin cos x x x =-+sin 22x x =2sin(2)3x π=+，∵06x π≤≤，∴22333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤， ∴函数()f x的值域为2⎤⎦．（Ⅱ）依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径r =，sin 23a A r ===，sin 2b B r ===cos A =1cos 3B =，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， ∴11sin 2223ABC S ab C ∆==⨯=． 17. 解：（Ⅰ）∵等比数列{}n a 满足163n n S a +=+（a N +∈），1n =时，169a a =+；2n ≥时，1166()3(3)23n n n n n n a S S a a +-=-=+-+=⨯.∴13n n a -=，1n =时也成立，∴169a ⨯=+，解得3a =-， ∴13n n a -=.（Ⅱ）122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++1222(1)(221)(1)n n n n n --++=+12211(1)(1)n n n -⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦. 当n 为奇数时，22222221111111()()11223(1)(1)n T n n n ⎡⎤=+-++++=+⎢⎥++⎣⎦…； 当n 为偶数时，n T =22222221111111()()11223(1)(1)n n n ⎡⎤+-++-+=-⎢⎥++⎣⎦…. 综上，1211(1)(1)n n T n -=+-+． 18.（Ⅰ）证明：在BAD ∆中，∵22AB AD ==，60BAD ∠=︒． 由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-⋅︒，BD =，∵222AB AD DB =+， ∴AD DB ⊥，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，∴GD DB ⊥， 又ADGD D =，∴BD ⊥平面ADG ．（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， ∵45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==， ∴(1,0,0)A，B，2)E ，(0,0,1)G ，(2)AE =-，(1,0,1)AG =-，1)GB =-，设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，20,0,n AE x z n AG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，得y =，1z =， ∴3(1,n =-， 设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ， ∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ⋅=<>==⋅ 所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为7．19.解：（Ⅰ）记“至少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A ，则A 的对立事件为“没有一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有一班志愿者x 个，19x ≤<，那么393920()121xC P A C -=-=，解得5x =，即来自一班的志愿者有5人，来自二班志愿者4人；记“清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人”为事件C ，那么1254395()14C C P C C ==， 所有清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率是514． （Ⅱ）X 的所有可能值为0,1，2,3．1254395(1)14C C P X C ===，21543910(1)21C C P X C ===，3054395(3)42C C P X C ===， 所以X 的分布列为()012321142142E X =⨯+⨯+⨯+⨯3=．20.解：（Ⅰ）当1a =-时，21()2ln 32f x x x x =+-，2232(1)(2)'()3x x x x f x x x x x -+--=+-==． 当01x <<或2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当12x <<时，'()f x <，()f x 单调递减， 所以1x =时，5()(1)2f x f ==-极大值； 2x =时，()(2)2ln 24f x f ==-极小值．（Ⅱ）当0a <时，2'()(2)af x x a x =-+-2(2)2x a x a x +--=(2)()x x a x-+=， ①当2a ->，即2a <-时，由'()0f x >可得02x <<或x a >-，此时()f x 单调递增；由'()0f x <可得2x a <<-，此时()f x 单调递减；②当2a -=，即2a =-时，'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 单调递增； ③当2a -<，即20a -<<时，由'()0f x >可得0x a <<-或2x >，此时()f x 单调递增；由'()0f x <可得2a x -<<，此时()f x 单调递减．综上：当2a <-时，()f x 增区间为(0,2)，(,)a -+∞，减区间为(2,)a -； 当2a =-时，()f x 增区间为(0,)+∞，无减区间；当20a -<<时，()f x 增区间为(0,)a -，(2,)+∞，减区间为(,2)a -． （Ⅲ）假设存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成立，不妨设0m n >>，则由()()1f m f n a m ->-恒成立可得：()()f m am f n an ->-恒成立，令()()g x f x ax =-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0g x ≥恒成立， 即'()0f x a -≥恒成立，∴2(2)0ax a a x-+--≥，即2220x x a x --≥恒成立，又0x >， ∴2220x x a --≥在0x >时恒成立， ∴2min11(2)22a x x ⎡⎤≤-=-⎢⎥⎣⎦，∴当12a ≤-时，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成立. 21. 解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线0x y b ++=的距离为1，1=，所以b =， 又椭圆C经过点，所以221413a b+=，得到a = 所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=． （Ⅱ）（1）设00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，OQ 的方程为x my =， 则MN 的方程为1x my =+.由22,1,32x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得222226,236,23m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即22022026,236.23m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以0||||OQ y ==由221,1,32x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(23)440m y my ++-=，所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，优质文档优质文档12|||| MN y y=-====所以222||236(1)||323MN mmOQm+==++．（2）∵//MN OQ，∴2QF M∆的面积2OF M=∆的面积，∴12OMNS S S S∆=+=，∵O到直线MN：1x my=+的距离d=∴11||22S MN d=⋅==t=，则221m t=-（1t≥），2Stt===+，令1()2(1)g t t tt=+≥，21'()20g tt=->，∴()g t在[1,)+∞上为增函数，min()(1)3g t g==，max3S=．。
最新届山东省德州市高三二模(4月)理科数学试题及答案优秀名师资料
2015届山东省德州市高三二模（4月）理科数学试题及答案数学(理科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1-2页，第II卷3-5页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项:选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案涂在答题卡上.2AB,BxZxx,,,,,450A,1,3,4,51.已知集合集合，则的子集个数,,,,为A.2B.4C.8D.16ZZZZ,,,2.如图，复平面上的点到原点的距离都相1234zi,Z等，若复数z所对应的点为，则复数(i是虚数1单位)的共轭复数所对应的点为ZZA. B. 21ZZC. D. 43x,3x,5p:3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条2件;命题q:函数是奇函数，则下列命题是真命题yxx,，,log1，，2?1?的是A. B. pq,pq,，C. D. pq,pq,，4.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是A.91 5.5B.91 5C.92 5.5D.92 5 5.已知关于x的不等式xxa,,，,18的解集不是空集，则的取值范a围是a,,9a,7A. B.,,,97aaa,,,97或C. D.20xy,,,,2xy，,xyz,，,,230,2则xy,6.已知变量满足: 的最,，，,x,0,,大值为222A. B.C.2D.47.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A.5B.6?2?C.7D.8xb,,28.指数函数与二次函数在同一坐标系中yaxbxaRbR,，,,2,，，y,,,a,, 的图象可能的是6a,,29. 展开式的常数项是15，右图阴影部x，,,2x,,222封闭分是由曲线和圆轴围成的yx,xyax，,及图形，则封闭图形的面积为,1,1,1,，A. B. C. D. 466446,,,,sin1,0xx,,,,,2fxaa=01,,，且,,10.已知函数的图象上关于y轴对，，，，,,log,0,,xx，，a,称的点至少有5对，则实数a的取值范围是,,,,,,,,5577A. 0,,10, B. ,1 C. D. ,,,,,,,,,,,,,,,,5775,,,,,,,,第II卷(共100分) 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩?3?2a,0(，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成XNa~100,，，3绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数5学考试成绩不低于120的学生约有___________人. 12.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.uuuruuur,13.已知向量的夹角为，且60ABAC与uuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuur则实数ABAC==2，若，APABACAPBC,，,,,且,的值为___________.22xy,,,,10,0ab14.已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为，，22ab 21的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲ycx,4222线截得的弦长是(e为双曲线的离心率)，则e的值为be3___________.2fxaxx,，,ln11,215.已知函数在区间内任取两个实数，，，，，，fpfq，,，11，，，，，不等式恒成立，则实数a的取值范围pqpq,,且,,1pq, 为___________.三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分),,3,,,,,已知.mxxnxxfxmn,,,,，,,3sin2,cos,sin,cos,，，，，，，，，,,,,2,,,, ?4?(I)求的单调递增区间和对称中心; yfx,，，,ABCabc、、(II)在中，角A、B、C所对应的边分别为，若有1133，. fBb,,,7sinsinACABC，,,，求，，21417. (本小题满分12分)PABCD,如图，已知四棱锥的底面为菱形，,. ，,,,,BCDABPCAPBP=1202,2，ABPC,(1)求证:;BPCD,,(II)求二面角的余弦值.18. (本小题满分12分)交通指数是拥堵的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，010，T,02，T,24，记为T.其范围为，分别有五个级别:畅通;基本，，,,,, T,4，6T,6，8T,8，10畅通;轻度拥堵;中度拥堵;严重拥堵.，，，,,,T,2在晚高峰时段，从某市指挥中心选取了市区20个路段，依据，，其数据绘制的频率分布直方图如图所示.(I)在这20个路段中，随机选取了两个路段，求这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率;(II)从这20个路段中随机抽取3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望.?5?19. (本小题满分12分)n数列的前n项和为，等差数列的各项为正实数，abSSn,2,,,,,,nnnn其前n项和为成等比数列. TTababab,15,,,1且又,，，，,n3112233(I)求数列的通项公式; ab,,,,,nn(II)若时求数列的前n项和. ccabn,,,，当2A,,nnnnn20.(本小题满分13分) 2x2如图，已知椭圆:，,y1，点A，B是它4的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点.uuuruuurEDDFk,6，求(I)若的值;(II)求四边形AEBF面积的最大值.21. (本小题满分14分)2fxxax,,ln已知函数. ，，fx(I)求的单调区间; ，，gxfxxal,,，,,1,ygx,(II)设是曲线的一条切线，证明:曲，，，，，，，，ygx,线上的任意一点都不能在直线l的上方; ，，2a,1212mxfxmx，,,，，(III)当时，方程有唯一实数解，求正数，，，，，，?6?m的值.?7??8??9??10??11??12?。
2024届山东省德州市高考二模数学试题(解析版)
2024年高考适应性练习数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()1i 3i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意求出z ，进而解出z ，判断z 在复平面内对应的点所在象限即可.【详解】由题意知：()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===+--+，所以12i z =-，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.若随机变量()23,N ξσ~，且()40.2P ξ>=，则()23P ξ<<=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】B 【解析】【分析】由正态分布性质可知：()30.5P ξ>=，()()()3434P P P ξξξ<≤=>->，由正态分布曲线的对称性可知：()()2334P P ξξ<<=<<，即可得到答案.【详解】由随机变量()23,N ξσ~，根据正态分布性质可知：()30.5P ξ>=，因为()40.2P ξ>=，可得()()()34340.50.20.3P P P ξξξ<≤=>->=-=，再根据正态分布曲线的对称性可知：()()2334P P ξξ<<=<<，所以()()()2334340.3P P P ξξξ<<=<<=<≤=，故选：B.3.若抛物线()220y px p =>的焦点到直线2x =-的距离为4，则p 的值为（）A.1 B.2 C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则有242p+=，解得4p =.故选：C .4.已知:124x p <<，2:10q x ax --<，若p 是q 的充分不必要条件，则（）A.32a ≥B.302<≤a C.2a > D.02a <≤【答案】A 【解析】【分析】首先化简命题p ，依题意可得当02x <<时210x ax --<恒成立，参变分离可得1a x x>-在02x <<上恒成立，结合函数的单调性计算可得.【详解】命题:124x p <<，即:02p x <<，因为p 是q 的充分不必要条件，显然当0x =时满足2:10q x ax --<，所以当02x <<时210x ax --<恒成立，则1a x x>-在02x <<上恒成立，又函数()1f x x x=-在()0,2上单调递增，且()322f =，所以32a ≥.故选：A5.811x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中22x y -的系数为（）A .840- B.420- C.420 D.840【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解.【详解】现有8个11x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭相乘，从每个11x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的三项11,,x y -各取一项相乘时，若结果为22x y -的常数倍，则所取的8项中有4个1，2个x ，2个1y-.所以，总的选取方法数目就是422842C C C 7061420⋅⋅=⨯⨯=.每个这样选取后相乘的结果都是2422211··x x y y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即给系数的贡献总是1，所以22x y -的系数就是全部的选取数420.故选：C.6.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()g x 的图象，若11π6x =-为()g x 图象的一条对称轴，则ϕ的最小值为（）A.π12B.5π12 C.7π12D.2π3【答案】B 【解析】【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出()g x ，再根据正弦函数的对称轴求出ϕ和整数k 的关系式，再对k 取值即可求解.【详解】由题意得：ππ()sin 2()sin(22)63g x x x ϕϕ=++=++，又因为11π6x =-是()g x 的一条对称轴，所以π11ππ2π2,Z 263k k ϕ⎛⎫+=⋅-++∈ ⎪⎝⎭，即π23π,k Z 212k ϕ=+∈，下面结合选项对整数k 取值（显然k 取负整数）：1k =-时，17π12ϕ=；2k =-时，11π12ϕ=；3k =-时，5π12ϕ=；4k =-时，-π12ϕ=.故选：B.7.在ABC 中，32603AB AC BAC AB AF BE EC AE CF ∠=====,,，，,,交于点D ，则= CD （）A.33B.32C.334D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可由坐标法求解，以A 为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：由图可得：(0,0),(3,0),A B C ，又3(1,0),3(2,)2AB AF BE EC F E =⇒= ，，故直线AE 的方程：34y x =，可得31,4D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以334CD ==，故选：C.8.欧拉函数()()*n n ϕ∈N 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如()42ϕ=.已知()123n n nb ϕ+=，*n ∈N ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若n T M <恒成立，则M 的最小值为（）A.34 B.1C.76D.2【答案】A【分析】由欧拉函数的定义可求出3n nn b =，由错位相减法求出n T ，可得34nT <，即34M ≥，即可求出M 的最小值.【详解】因为3为质数，在不超过3n 的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为13n -，()()1133323n n n n n ϕ--*=-=⨯∈N ，所以()()+1+133323n n nn n ϕ*=-=⨯∈N ，则()122=2333n n n n nn nb ϕ+==⨯，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ，2311231=+++33333n n n n n T --++ ，234111231=+++333333n n n n n T +-++ ，两式相减可得：23111113321111+1333333313nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++⋯⋯-=--11111112332323n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以313343424nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为03n n nb =>，所以n T 在N*n ∈在单调递增，所以n T M <恒成立，所以34M ≥，所以M 的最小值为34.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin cos f x x x =⋅，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 的最小值为12-D.()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【解析】【分析】对于A ，直接用奇函数的定义验证；对于B ，直接说明π不是周期；对于C ，利用正弦二倍角公式证明()12f x ≥-，再由π142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得最小值；对于D ，直接计算得到()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可否定结论.【详解】对于A ，函数()f x 定义域为R ，有()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，所以()f x 是奇函数，A 正确；对于B ，有πππ1sin cos 4442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3π3π3π1sin cos 4442f ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.所以πππ44f f ⎛⎫⎛⎫-+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这表明π不是()f x 的周期，B 错误；对于C ，我们有()11sin cos sin cos sin 222f x x x x x x =⋅≥-=-≥-，而之前已计算得到π142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小值为12-，C 正确；对于D ，由于πππsin cos 0222f ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，()0sin 0cos00f =⋅=，故()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC.10.已知双曲线()2222100x y a b a bΓ-=>>：,的离心率为e ，过其右焦点F 的直线l 与Γ交于点,A B ，下列结论正确的是（）A.若a b =，则e =B.AB 的最小值为2aC.若满足2AB a =的直线l 恰有一条，则e >D.若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则1e <<【答案】ACD 【解析】【分析】由双曲线的性质和离心率可得A 正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径22b a 可得B 错误；若满足2AB a =的直线l 恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得22222b a b a a<Þ>，可判断C 正确；若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l 与双曲线的同一支相交，可得22222b a b a a>Þ<，可推导出D 正确.【详解】A ：当a b =时，因为222c a b =+，所以c e a ==，故A 正确；B ：当过其右焦点F 的直线l 与Γ交于左右两支时，AB 的最小值为2a ，（此时,A B 为双曲线的两顶点）当过其右焦点F 的直线l 与Γ交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为c ，代入双曲线方程为22221c y a b-=，解得2b y a =±，此时弦长为22b a ，由于a 不一定等于b ，故B 错误；C ：若满足2AB a =的直线l 恰有一条，由选项B 可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，所以22222b a b a a <Þ>，此时ce a===>，故C 正确；D ：若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l 与双曲线的同一支相交，所以22222b a b a a >Þ<，所以ce a===又1e >，所以1e <<D 正确；故选：ACD.11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AB BC =⊥,，,P Q 分别为棱11,BC A C 上的动点，且BP BC λ= ，111C Q C A λ=，()0,1λ∈，则（）A.存在λ使得1PQ A B ⊥B.存在λ使得//PQ 平面11ABB AC.若111,BB B C 长度为定值，则12λ=时三棱锥1B A PQ -体积最大D.当12λ=时，直线PQ 与1A B 所成角的余弦值的最小值为223【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系1B xyz -，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系1B xyz -，设1,BC a BB b ==，则由题：()()()()()1110,0,0,0,2,0,,0,0,0,2,,0,0,B A C a A b B b ，所以()10,2,A B b =- ，()1,2,0C A a =- ，()11,0,0BC B C a == ，()10,0,B B b =，又BP BC λ= ，111C Q C A λ=，()0,1λ∈，所以()111,0,B P B B BP B B BC a b λλ=+=+=，即(),0,P a b λ，()11111,2,0OQ OC C Q OC C A a a λλλ=+=+=-，即(),2,0Q a a λλ-，所以()2,2,PQ a a b λλ=--，对A ，由上()()21·2,2,·0,2,4<0PQ A B a a b b b λλλ=---=--，故A 错误；对B ，由题意()11,0,0B C a =是平面11ABB A 的一个法向量，()()2211·2,2,·,0,02PQ B C a a b a a a λλλ=--=-，故当12λ=时121220P B Q C a a =-λ=，此时//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对C ，由上()1,2,A P a b λ=- ，()2,2,PQ a a b λλ=-- ，()10,2,A B b =-设平面1A BP 的一个法向量为(),,m x y z = ，则11m A Bm A P⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以11·20·20m A B y bz m A P ax y bz λ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，取2z =，则()0,,2m b = ，设点Q 到平面1A BP 的距离为d ，则由()0,1λ∈得·PQ m d m λ-===，又由题意可知111·422A BPS A B BP λ== ，故()11211·43323B A PQA BP ab a V S d λλλλ---==⨯=- 212312ab ab λ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，因为111,BB B C 长度为定值，所以ab 为定值，故当12λ=时，三棱锥1B A PQ -体积最大，故C 正确；对D ，设直线PQ 与1A B 所成角为θ，由上当12λ=时11·cos PQ A B PQ A Bθ=2==322≥=，当且仅当224b b=即b =时等号成立，故D 对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：遇立体几何复杂问题，如求最值，有垂直条件一般考虑建立空间直角坐标系用向量法解决.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}20,1,2,3,,1A B a a ==-，若A B A ⋃=，则实数a 的值为______．【答案】1或2【解析】【分析】由题意可得B A ⊆，由此可求出a 的值，代入检验即可得出答案.【详解】因为集合{}{}20,1,2,3,,1A B a a ==-，若A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以0a =或1或2或3，或210a -=或1或2或3，解得：0a =或1或2或3或1-或2-，当0a =时，{}0,1B =-，不满足B A ⊆；当1a =时，{}1,0B =，满足B A ⊆；当2a =时，{}2,3B =，满足B A ⊆；当3a =时，{}3,8B =，不满足B A ⊆；当1a =-时，{}1,0B =-，不满足B A ⊆；当a =}2B =，不满足B A ⊆；当a ={}2B =，不满足B A ⊆；当2a =-时，{}2,3B =-，不满足B A ⊆；综上：实数a 的值为1或2.故答案为：1或2.13.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c )222sin a b c ab C +-=，且1c =，则ABC 面积的最大值为______．【答案】24【解析】【分析】先由已知条件结合余弦定理和()22sin cos 1,0,πC C C +=∈求出sin ,cos C C ，再由余弦定理结合基本不等式求出ab 最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.)222sin a b cab C +-=，所以由余弦定理2222cos ab C a b c =+-，得cos sin C ab C =，所以sin C C =，又()22sin cos 1,0,πC C C +=∈，则221sin ,cos 33C C ==，所以由余弦定理以及基本不等式得：222222412cos 2333ab ab aba b ab C a b ab =+=+≥---=，即34ab ≤，当且仅当32a b ==时等号成立，所以41sin 32ABC S C a ab b =≤=，即ABC 面积的最大值为4，故答案为：24.14.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，e sin cos 10ax a x x x +--≥，则实数a 的取值范围为______．【答案】12a ≥【解析】【分析】由令()e sin cos 1axf x a x x x =+--，由()00f =，故有()00f '≥，可得12a ≥，即得其必要条件，再在12a ≥的条件下，借助e 1x x ≥+，sin x x ≥，可得e sin cos 12sin cos ax a x x x a x x x +--≥-，借助导数可得2sin cos 0a x x x -≥，即可得12a ≥是其充分条件，即可得解.【详解】令()e sin cos 1axf x a x x x =+--，则()e cos cos sin axf x a a x x x x =+-+'，由()00e 0010f =+--=，故()00e 10210f a a a =-='++-≥，即12a ≥，即“12a ≥”是“当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，e sin cos 10ax a x x x +--≥”的必要条件，当12a ≥时，令()πe 1,0,2xg x x x ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦，则()e 10xg x ='-≥，故()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，则有e 1ax ax ≥+，令()πsin ,0,2h x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()1cos 0h x x ='-≥，故()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()()00h x h ≥=，即sin x x ≥，则有sin ax a x ≥，即有e sin cos 11sin cos 12sin cos ax a x x x ax a x x x a x x x +--≥++--≥-，令()π2sin cos ,0,2x a x x x x μ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()()2cos cos sin 21cos sin x a x x x x a x x x μ=-+=-+'，由12a ≥，π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，故()()21cos sin 0x a x x x μ=-+≥'，即()x μ在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有()()00x μμ≥=，即e sin cos 12sin cos 0ax a x x x a x x x +--≥-≥，故“12a ≥”是“当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，e sin cos 10ax a x x x +--≥”的充分条件，故实数a 的取值范围为12a ≥.故答案为：12a ≥.【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是借助必要性探路法（端点效应），得到其必要条件12a ≥，二是借助常见不等式e 1x x ≥+，在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，sin x x ≥，在12a ≥，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 的情况下，得到e sin cos 12sin cos ax a x x x a x x x +--≥-，从而可通过导数得到2sin cos 0a x x x -≥.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）21n a n =-（2）41221115201612n n T n +=--+【解析】【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.【小问1详解】设{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意知1234221516a a a a a a a +++=⎧⎨=⎩，即()()1211146164a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，即有112382a d d a +=⎧⎨=⎩，因为0d ≠，可得11a =，2d =，所以21n a n =-；【小问2详解】设数列{}n b 的前2n 项中的奇数项之和为A ，偶数项之和为B ，则()321115432116222222116n n a a a n A ---=+++=+++=- 4141222211615n n ++--==-，2446222111n n B a a a a a a +=+++ 244622211111112n n d a a a a a a +⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭ 2221112n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭111114343121612n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭，所以4141222112111512161215201612n nnT A Bn n++-=+=+-=--++．16.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：（2）将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：()2P kχ≥0.1000.0500.010k2.7063.841 6.635【答案】（1）45（2）（i ）列联表见解析；有；（ii ）1114【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得；（2）（i ）完善22⨯列联表后，计算卡方即可得；（ii ）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知，年龄在40岁以下的居民所占比例为()100.010.0250.030.65⨯++=，年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65100.020.85+⨯=，所以75%分位数位于4050［，）内，由0.750.654010450.850.65-+⨯=-，所以，样本数据的75%分位数为45；【小问2详解】（i ）由题知，22⨯列联表为：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200根据列联表中的数据，可得：()2220090306020 6.061 3.841.1505011090χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以，有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；（ii ）按照分层抽样，青年居民应抽取3864⨯=人，非青年居民应抽取2人．设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X ，()316248C C 43C 7P X ===，()4648C 34C 14P X ===，所以()()()1133414P X P X P X ≥==+==，所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为1114．17.如图，在三棱锥-P ABC 中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC 内部一点且PM ⊥平面ABC．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接CM ，取BC 中点D ，连接,DM DN ，先证明出平面//DMN 平面PAB ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可．【小问1详解】连接CM ，取BC 中点D ，连接,DM DN ．因为N 为PC 的中点，所以//DN PB ，因为PB ⊂平面PAB ，DN ⊄平面PAB ，所以//DN 平面PAB ．又因为PM ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以PM BM ⊥．所以，在Rt PMB 中，222BM PB PM =-，同理222CM PC PM =-，因为PB PC =，所以BM CM =．因为D 为BC 中点，所以DM BC ⊥，因为AB BC ⊥，且,DM AB 在同一平面内，所以AB DM ∥，又因为AB ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，所以//DM 平面PAB ．又因为DM DN D = ，DM DN ⊂,平面DMN ，所以平面//DMN 平面PAB ．因为MN ⊂平面DMN ，所以//MN 平面PAB ．【小问2详解】以B 为坐标原点，分别以,BA BC 以及与,BA BC垂直向上的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -．在直角Rt PMB 中，因为21PB PM ==,，所以BM =，在Rt BDM中，DM ==，所以)M，又())()31000,,0,2,0,,,222B P C N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，所以)()11,0,0,1,,,222BM MP MN ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭．设面BMN 的一个法向量()1111,,n x y z = ，则1100n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102110222y x y z +=⎨-++=⎪⎩，取1x =，则1124y z =-=,，所以)12,4n =-．设面PMN 的一个法向量()2222,,n x y z = ，则2200n MP n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取2x =22y =，所以)22,0n =．设二面角B MN P --为θ，由图可知θ为锐角，则1212cos 33n n n n θ⋅===⋅ ，所以二面角B MN P --．18.已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()112em x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）211e m ≥+【解析】【分析】（1）先求导函数()f x '，再对m 进行分类讨论得()f x '的正负情况，进而得函数单调性.（2）先由题意得出隐性条件()0f x >得m 的限制范围，再对不等式()()112em x f x x x -+≥-两边同时取以e 为底的对数整理得左右两边为同样形式的不等式()()()11ln ln ln ln 1m x mx x x x -++-≥+-，进而将原问题等价简化成研究ln 1mx x x -≥-恒成立即可求解.【小问1详解】由题可知()1f x m x'=-，()1,x ∞∈+，且()f x '在定义域上单调递增，当0m ≤时，()10f x m x=-<'恒成立，此时()f x 在()1,∞+上单调递减，当01m <<时，令()0f x '=，则1x m=，所以11,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，当m 1≥，即101m<≤时，此时()0f x '>在()1,∞+恒成立，()f x 单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()1,∞+上单调递减；当01m <<时，()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；当m 1≥时，()f x 在()1,∞+上单调递增.【小问2详解】因为()1,x ∞∈+，所以20x x ->，又()()112em x f x x x -+⋅≥-，所以()0f x >，即ln 0mx x ->，故()1,x ∞∈+时，ln xm x>恒成立，令()ln x x x ϕ=，()1,x ∞∈+，则()21ln x x xϕ-'=，当()1,e x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为增函数，当()e,x ∞∈+时，()0x ϕ'<，()x ϕ为减函数，所以()()max 1e e x ϕϕ==，从而1em >．将()()112em x f x x x -+≥-两边同时取以e 为底的对数可得()()()11ln ln ln ln 1m x mx x x x -++-≥+-，整理可得()()()()ln ln ln 1ln 1mx x mx x x x -+-≥-+-．令()ln g t t t =+，则()()ln 1g mx x g x -≥-，且()g t 在()0,∞+上单调递增，因为ln 0mx x ->且10x ->，所以ln 1mx x x -≥-在()1,∞+上恒成立，所以ln 1ln 11x x x m x x +--≥=+恒成立，令()ln 1x h x x -=，则()22ln xh x x -'=，当()21,ex ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()2e ,x ∞∈+时，()()0h x h x '<，单调递减，所以()()22max 1e e h x h ==，所以211e m ≥+，又因为2111e e <+，所以211em ≥+．【点睛】方法点睛：对于指、对、幂函数同时出现的复杂不等式问题，如本题()()112eln m x mx x x x -+-≥-，一般考虑用同构思想方法将不等式两边转化成形式一样的式子，再构造函数利用函数单调性来研究.19.已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()1,0F ，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．（1）求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；（2）设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．【答案】（1）证明见解析，4x =（2）12【解析】【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，写出,A B 两点处的切线方程，由对称性得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得Q x ，再代入()()1122=1,=1y k x y k x --即可证明；法二：由点(),Q Q Q x y 在两切线上得直线AB 的方程143Q Q x yx y +=，结合直线AB 过点()1,0F ，即可得出Q x ；（2）由（1）得出直线OQ 的方程，设直线AB 和OQ 交于点P ，得出P 为线段AB 的中点，由弦长公式得出AB 进而得出AP ，由两直线夹角公式得出tan APM ∠，得出243k AM AP k+=⋅，根据基本不等式求解即可．【小问1详解】由题意可知，231a -=，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 可得，()22223484120k x k x k +-+-=，所以221212228412,3434k k x x x x k k-+==++，因为过点A 的切线为11143x x y y +=，过点B 的切线为22143x x y y+=，由对称性可得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：联立1122143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，()2112214Q y y x x y x y -=-，将()()1122=1,=1y k x y k x --代入上式得()()()()212112211244411Q k x x k x x x kx x kx x kx kx --===----+，所以Q 点在直线4x =上．法二：因为点(),Q Q Q x y 在两切线上，所以1122114343Q Q Q Q x x y y x x y y +=+=，，所以直线AB 的方程为143Q Q x y x y +=，又直线AB 过点()1,0F ，所以10143Q Q x y ⨯+⨯=，解得4Q x =．【小问2详解】将4x =代入11143x x y y +=得，()()()1111313131Q x x y y k x k --===--，直线OQ 的方程为34y x k=-，设直线AB 和OQ 交于点P ，联立()134y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得22434P k x k =+，又221222418342342P k k x x x k k +==⋅=++，所以P 为线段AB 的中点，因为()212212134k AB x k +=-==+，所以()226134k AP k +=+，又因为23434tan 314k AM k k APM k AP k k ++∠===⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()2222614343161234k k k AM AP k k k k k +⎛⎫++=⋅=⋅=+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭，k=±时，等号成立，当且仅当1故AM的最小值为12．。
【新结构】(德州二模)山东省德州市2024年高考第二次适应性练习数学试题+答案解析
【新结构】(德州二模)山东省德州市2024年高考第二次适应性练习数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若随机变量，且，则()A. B. C. D.3.若抛物线的焦点到直线的距离为4，则p的值为()A.1B.2C.4D.84.已知，若p是q的充分不必要条件，则()A. B. C. D.5.展开式中的系数为()A. B. C.420 D.8406.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为()A. B. C. D.7.在中，，，，，AE，CF交于点D，则()A. B. C. D.8.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如已知是数列的前n项和，若恒成立则M的最小值为()A. B.1 C. D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.是奇函数B.的最小正周期为C.的最小值为D.在上单调递增10.已知双曲线的离心率为e，过其右焦点F的直线l与交于点A，B，下列结论正确的是()A.若，则B.的最小值为2aC.若满足的直线l恰有一条，则D.若满足的直线l恰有三条，则11.如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，则()A.存在使得B.存在使得平面C.若的长度为定值，则时三棱锥的体积最大D.当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则实数a的值为__________13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则面积的最大值为__________14.当时，，则实数a的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
山东省德州市2021届新高考数学二模考试卷含解析
山东省德州市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=，且42k ππωϕπ+='+，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-，求得12ω②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=，且42k ππωϕπ+='+，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-，12ω∴②．由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=，满足4πx =-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 2．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】 【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】2()626()3af x x ax x x '=-=-，若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03ax f x x f x ''∈<∈+∞>，()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.3．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 4．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =【答案】C 【解析】 【分析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2xy =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 5．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】 解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.6．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 是增函数【答案】C 【解析】 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确； 选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确；对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A．623++B．622+C．442+D．443【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，正方体的棱长为2，该几何体的表面积：11112222222222442⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+2222故选C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．9．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-； ∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题. 11．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-32【答案】A利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 12．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又06ω<<，∴3ω=.本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届山东省德州市高考第二次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
山东省德州市齐河县晏婴学校2017年高考第二次模拟考试理数试题一、选择题1．设全集U R =，集合{}220M x x x =+-， 11|22x N x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()U M N ⋂=ð（ ）A. []2,0-B. []2,1-C. []0,1D. []0,2 【答案】A【解析】{1M x x =或2}x <-， {|21}U C M x x =-≤≤ ， {|11}{|0}N x x x x =-≤-=≤，所以(){|20}U C M N x x ⋂=-≤≤，故选A.2．若复数()()13mi i ++（i 是虚数单位， m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】()()()()13331mi i m m i++=-++，因为是纯虚数，所以3m = ，那么()()()()33133631112i i i ii i i i +++===--+ ，所以模等于3，故选C. 3．已知平面向量a 和b 的夹角为60︒， ()2,0a =， 1b =，则2a b +=（ ）A. 20B. 12C. 43D. 【答案】D【解析】2a = ， ()2222244444a b a ba b ab +=+=++=++⨯= D.4．已知3cos 5α=， ()cos 10αβ-=，且02πβα<<<，那么β=（ ）A.12π B. 6π C. 4π D. 3π【答案】C 【解析】()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦ ，由已知()3cos ,cos 5102πααββα=-=<<<，可知4sin 5α=， ()sin 10αβ-= ，代入上式得34cos 55β===，所以4πβ=，故选C.5．某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归方程9.4ˆyx a =+，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（ ）万元 A. 65.5 B. 66.6 C. 67.7 D. 72【答案】A 【解析】2345 3.54x +++==， 26394954424y +++==，代入回归直线方程， 429.4 3.5a =⨯+，解得9.1a =，所以回归直线方程为9.4.1ˆ9yx =+，当6x =时， 65.5y =，故选A. 6．下列说法正确的是（ ）A. 命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈， 210x x ++>”B. 命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C. 直线1l ： 210ax y ++=， 2l ： 220x ay ++=， 12//l l 的充要条件是12a = D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题 【答案】D【解析】A.不正确，特称命题的否定是：“2,10x R x x ∀∈++≥ ”；B.不正确，否命题是“若2320x x -+≠ ，则1x ≠且2x ≠”；C.不正确，若两直线平行， 211122a a =≠ ，解得： 12a =± ；D.正确.7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】C【解析】初始值S=0,n=1, S=220log 3+,n=2,S>-2 222231log log log 1,3,2342S n S =+==-=>-22421log log ,4,255S n S =-+==>-22log ,5,26S n S ==>-22log ,6,27S n S ==>-22log 2,7,28S n S ==-==-，22log 2,8,29S n S ==-=<-输出n=8，选B 。
2020年山东省德州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈NB．∁R M⊆NC．M∈∁R ND．∁R N⊆∁R M2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z5的虚部是（）A．4B．4iC．﹣4iD．﹣43．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0D．∃x∈R，x2+2x+3=04．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37B．38.5C．39D．40.55．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．x2﹣=1D．﹣y2=18．在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数为，则x2的系数为（）A．B．C．D．9．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．已知||=1，||=，|+2|=，则向量，的夹角为．12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．13．已知变量x，y满足，则的最大值为．14．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为．15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0），若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．17．在一次购物抽奖活动中，假设某l0张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此l0张奖券中任抽2张，求（I）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得奖品总价值X的概率分布列和数学期望．18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求BM与平面PAC所成角的正弦值．20．已知函数f（x）=ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值和谐切线”．当a=2时，函数f（x）是否存在“中值和谐切线”，请说明理由．21．如图，椭圆E：的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈NB．∁R M⊆NC．M∈∁R ND．∁R N⊆∁R M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】化简N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，从而确定M⊊N；从而求得．【解答】解：∵N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，而M={x|0＜x＜2}，∴M⊊N；∴∁R N⊆∁R M，故选D．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z5的虚部是（）A．4B．4iC．﹣4iD．﹣4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足z•（1﹣i）=2，∴z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），∴z=1+i，∴z2=2i，则z5=（2i）2（1+i）=﹣4（1+i）=﹣4﹣4i的虚部是﹣4．故选：D．3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0D．∃x∈R，x2+2x+3=0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．故选：A．4．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37B．38.5C．39D．40.5【考点】线性回归方程．【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．【解答】解：=，∴=9.4×4+9.2=46.8．设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．解得a=39．故选C．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，∴几何体的最长棱为PC==．故选B．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=，即a2+b2=5，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得a=2，b=1，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=，即a2+b2=5，双曲线的渐近线方程为y=±x，将渐近线方程和抛物线y=x2+联立，可得x2±x+=0，由直线和抛物线相切的条件，可得△=﹣4××=0，即有a2=4b2，解得a=2，b=1，可得双曲线的方程为﹣y2=1．故选：D．8．在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数为，则x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数=+…+，可得1﹣=，解得n=4．因此（1+）（1+）的展开式中x2的系数=+×+×+×，即可得出．【解答】解：在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数=+…+==1﹣，∴1﹣=，解得n=4．∴（1+）（1+）的展开式中x2的系数为：+×+×+×=．故选：C．9．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先根据关于x的方程mx2+2x+n=0有实根，推得ac≤1；然后作出图象，求出相应的面积；最后根据几何概型的概率的求法，关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率即可．【解答】解：若关于x的方程mx2+2x+n=0有实根，则△=22﹣4mn≥0，∴mn≤1；∵M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2，m，n∈R}，总事件表示的面积为2×2=4，方程有实根时，表示的面积为2×+2×dm=1+lnm|=1+2ln2，∴关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率为，故选：B．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．已知||=1，||=，|+2|=，则向量，的夹角为\frac{3π}{4}．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】|+2|=，则两边平方，运用向量的数量积的定义和向量的平方等于向量的模的平方，即可得到答案．【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=1，||=，∴|+2|2=||2+4||2+4||•||cosθ=1+4×2+4cosθ=5，∴cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为：．12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．13．已知变量x，y满足，则的最大值为\frac{5}{4}．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求表达式的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：=1+的几何意义为区域内的点到P（﹣2，2）的斜率加1，由图象知，PA的斜率最大，由，得，即A（2，3），故PA的斜率k==．所求表达式的最大值为：1+=故答案为：．14．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为﹣\frac{3}{2}．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=6y=2不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣1，y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0），若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[\frac{5}{2}，\frac{13}{3}]．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据f（x）的解析式求出其值域，再求出g（x）在x∈[0，1]上的值域，由对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵x∈（，1]时，f（x）=，∴f′（x）=，当x∈（，1]时，f′（x）＞0，函数f（x）在（，1]上为增函数，∴f（x）∈（，]；当x∈[0，]时，函数f（x）为减函数，∴f（x）∈[0，]；∴在[0，1]上f（x）∈[0，]；又g（x）=acos﹣2a+5中，当x∈[0，1]时，cos∈[0，1]，∴g（x）∈[﹣2a+5，﹣a+5]；若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则，解得：≤a≤，故答案为：[，]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f（x）═sin2x﹣，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f（x）的值域；（2）f（C+）=﹣，求得C=，由三角形的面积公式求得ab=4，余弦定理求得a2+b2=16，联立求得a、b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）﹣cos2x=sin2x+cos2x﹣（2cos2x﹣1）﹣，=sin2x﹣，f（x）的最小正周期π，x∈[，]，2x∈[，]，f（x）的值域[﹣，﹣]；（2）f（x）=sin2x﹣，f（C+）=sin2（C+）﹣=﹣，∴sin（2C+）=，cos2C=，角C为锐角，C=，S=，S△ABC=，ab=4，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，a2+b2=16，解得b=2，a=2或b=2，a=2，17．在一次购物抽奖活动中，假设某l0张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此l0张奖券中任抽2张，求（I）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得奖品总价值X的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意求出该顾客没有中奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率．（Ⅱ）根据题意可得X的所有可能取值为0，50，100，150（元），分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得该顾客没有中奖的概率为=，∴该顾客中奖的概率为：P=1﹣=，∴该顾客中奖的概率为．（Ⅱ）根据题意可得X的所有可能取值为0，50，100，150（元），∴P（X=0）==，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，∴X的分布列为：X 0 50 100 150P∴X的数学期望为EX==50．18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1与a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1作差，进而计算可知=（n∈N），利用累乘法计算可知数列{a n}的通项公式；（2）通过（1），利用等差数列的求和公式裂项可知b n=2（﹣），进而利用并项相消法可知T n=，从而问题转化为数列{T n}的最大值，计算即得结论．+a n=a n+1﹣1（n∈N），【解答】解：（1）∵a1+a2+a3+…+a n﹣1∴当n≥2时，a1+a2+a3+…+a n=a n﹣1，﹣1两式相减得：a n=a n+1﹣a n，即=，又∵==满足上式，∴=（n∈N），∴当n≥2时，a n=••…••a1=••…•2•1=n，又∵a1=1满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=n；（2）由（1）可知b n===2（﹣），∴T n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，∵随着n的增大而增大，∴不等式T n＜对所有n∈N都成立⇔求数列{T n}的最大值，又∵=2，∴≥2，即m≥20，故满足题意的最小正整数m=20．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求BM与平面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）取BC的中点E，连接AE，则可证AB⊥AC，又PA⊥AB，得出AB⊥平面PAC，从而AB⊥PC；（II）设，以A为原点建立坐标系，求出平面ACM的法向量，令|cos＜，＞|=解出λ，得出的坐标，则|cos＜＞|为BM与平面PAC所成角的正弦值．【解答】证明：（I）取BC的中点E，连接AE，∵AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，∴四边形ADCE是正方形，△ABE是到腰直角三角形，∴∠BAE=45°，∠EAC=45°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC．（II）以A为原点，分别以AE，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，﹣2，0），C（2，2，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（0，2，﹣2）.=（2，2，0），=（0，0，2）．设=（0，2，﹣2λ），则==（0，2，2﹣2λ）．设平面ACM的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=得=（﹣，，）．∵z轴⊥平面ACD，∴=（0，0，1）为平面ACD的一个法向量．∴cos＜＞==．∵二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，∴=．解得．∴=（0，，），∵=（2，﹣2，0），∴==（﹣2，，）．∵AB⊥平面PAC，∴为平面PAC的一个法向量．cos＜，＞===﹣．∴BM与平面PAC所成角的正弦值为．20．已知函数f（x）=ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值和谐切线”．当a=2时，函数f（x）是否存在“中值和谐切线”，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由已知得，f′（x）=，（1）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞1；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，①当﹣＜1时，即a＜﹣1时，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜1；∴函数f（x）在（﹣，1）上单调递增；②当﹣=1时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无增区间；③当﹣＞1时，即﹣1＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得1＜x＜﹣∴函数f（x）在（1，﹣）上单调递增；综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在（﹣，1）上单调递增；（3）当a=﹣1时，函数f（x）无单调递增区间；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（1，﹣）上单调递增；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=﹣x1﹣lnx1，y2=﹣x2﹣lnx2．k AB==x2+x1﹣1﹣，曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率：k=f′（x0）=f′（）=x1+x2﹣1﹣，x2+x1﹣1﹣=x1+x2﹣1﹣，∴=，即ln﹣=0，令t=＞1设h（t）=lnt﹣，则h′（t）=＞0，∴h（t）在（0，+∞）递增，∴h（t）＞h（1）=0，故h（t）=0在（0，+∞）无解，假设不成立，综上所述，假设不成立，所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．21．如图，椭圆E：的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点坐标，从而设出椭圆E的方程，解方程组得C（1，2），D（1，﹣2），根据抛物线、椭圆都关于x轴对称，建立关于参数b的方程，解得b2=1并推得a2=2．最后写出椭圆的方程．（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值取值范围，再结合向量的坐标运算利用点P在椭圆上，建立k与t的关系式，利用函数的单调性求出实数t取值范围，从而解决问题【解答】解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（1，0）．所以椭圆E的方程为：．解方程组得C（1，2），D（1，﹣2）．由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴，，∴．因此，，解得b2=1并推得a2=2．故椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）代入椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，k2＜∴x1x2=，x1+x2=，∵，∴，∴（1+k2）[﹣4×]＜，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴k2＞，∴＜k2＜，∵满足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴x=，y=，∵点P在椭圆上，∴∴16k2=t2（1+2k2）∴t2=，由于＜k2＜，∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2∴实数t取值范围为：﹣2＜t＜﹣或＜t＜2．2020年7月15日第21页（共21页）。