离散数学(软件)课程第16章
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离散数学(第16讲)
1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 3 (1 2 4 3), 3 2 4 1 ( 3 4 1), (1 2 4 3)(3 4 1) ( 2 4)
2018/11/12 计算机学院 15
例6.3
设
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 3 6 5 4 2 , 2 2 1 3 5 6 4
2018/11/12
f2＝{<a,1>,<b,2>}； f4＝{<a,2>,<b,2>}。
计算机学院 6
常将从A到B的一切函数构成的集合记为BA：BA＝｛f|f：A→B}
函数相等
定义6.2 f=g。 设 f和g ：X→Y是两个函数，如果对
xX ,都有f(x)=g(x), 则称f与g相等，记为
2018/11/12
2018/11/12 计算机学院 14
循环的积
一个置换可能由一个单一的循环表示出来， 也可能由多个循环连接在一起表示，称之为循 环的积（置换的复合）。 当两个循环没有公共元素时，它们的积仍是 原来的两个循环；当两个循环有公共元素时， 它们的积按照复合的意义变成了新的循环的积。 例如
1 2 3 4 5 6 0 3 1 6 4 2 5 (1 3 6 5 2)
2018/11/12 计算机学院 3ຫໍສະໝຸດ §6.1 一般集合的函数概念
定义6.1 设f是集合A到B的关系，如果对每个x∈A，都 存在惟一的y∈B，使得<x,y>∈f，则称关系f为A到B 的函数（或映射、变换），记为f：A→B。当 <x,y>∈f时，通常记为y=f(x)，这时称x为函数的自 变量，称y为x在f下的函数值（或映像）。 由函数的定义显然有： 1) domf=A，称为函数f的定义域； 2) ranf=B，称为函数f的值域，并称f(A)为A在f下的像； 3) <x,y>∈f∧<x,z>∈f y=z； 4) |f|=|A|。
离散数学sec16-17 群
整数加群<Z,+>， 由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈Z } = 2Z
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
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14.4+16离散数学
13
有向图关联矩阵的性质： 有向图关联矩阵的性质：
14
有向图关联矩阵的性质： 有向图关联矩阵的性质：
（1）∑ m ij = 0( j = 1,2,⋯, m ) ，从而 ∑ ∑ m ij = 0 ，这说明 j=1 i =1 i =1 有向图关联矩阵中所有元素之和为0。
n
m
n
0 0 0 − 1 1 1 −1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 − 1 − 1 − 1
(1 ) i = 1 j= 1
n
n
长度为1的通路的总数。 长度为1的通路的总数。 而 中环的个数， 中长度为1的回路总数。 ∑ a ii 为D中环的个数，即D中长度为1的回路总数。
(1 ) i =1 n
24
问下图中有多少条长度为2、3、4…. 的通路？
25
0 0 0 ' A = 0 0 0 0
0 0 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
∑a
j= 1
n
(1 ) ij
，于是 n n a (1) = n d + ( v ) = m = d ( v i )(i = 1,2,⋯, n ) ∑ ∑ ij ∑ i
+
i =1 j=1 i =1
∑a
i =1
4
强连通图和单向连通图的判别定理 定理14 14. 定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中 存在经过每个顶点至少一次的回路。 定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D 定理14.9 中存在经过每个顶点至少一次的通路。
5
例
（1）
（2）
（3）
（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
离散数学(第16-17章)陈瑜
2019/1/16 计算机学院 8/128
定理16.1(移项法则)设<R,+, *>是一个环， θ是加法幺元，对任意a，b，c R有: a+b=c a+b-c=θ
2019/1/16
计算机学院
9/128
定理16.2设<R,+, *>是一个环，θ是加法幺 元，对任意a，b，c R有: ① a*θ=θ*a=θ(加法幺元是乘法零元) ② (-a)*b=a*(-b)=-(a*b) ③ (-a) *(-b)=a*b ④ (b-c) *a=b*a-c*a ⑤ a* (b-c）=a*b-a*c
2019/1/16 计算机学院 7/128
例 16.2 设 Zk 表示整数集 Z 上的模 k 剩余类集 合，即: Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]} <Zk ，>是群（剩余类加群）， <Zk ，>是半群（剩余类乘半群）， ∵ 对 [i]，[j]，[k] Zk 有[i]（[j][k]）=[i(j+k)]=[ij+ik] =[ij][ik] =([i][j])([i][k]） ∴ <Zk ，，>是环，称为（模k）剩余类环。 特别， k=2时，称为布尔环。
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例 16.2 设 Zk 表示整数集 Z 上的模 k 剩余类集 合，即: Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]} <Zk ，>是群（剩余类加群）， <Zk ，>是半群（剩余类乘半群）， ∵ 对 [i]，[j]，[k] Zk 有[i]（[j][k]）=[i(j+k)]=[ij+ik] =[ij][ik] =([i][j])([i][k]） ∴ <Zk ，，>是环，称为（模k）剩余类环。 特别， k=2时，称为布尔环。
定理16.1(移项法则)设<R,+, *>是一个环， θ是加法幺元，对任意a，b，c R有: a+b=c a+b-c=θ
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定理16.2设<R,+, *>是一个环，θ是加法幺 元，对任意a，b，c R有: ① a*θ=θ*a=θ(加法幺元是乘法零元) ② (-a)*b=a*(-b)=-(a*b) ③ (-a) *(-b)=a*b ④ (b-c) *a=b*a-c*a ⑤ a* (b-c）=a*b-a*c
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例 16.2 设 Zk 表示整数集 Z 上的模 k 剩余类集 合，即: Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]} <Zk ，>是群（剩余类加群）， <Zk ，>是半群（剩余类乘半群）， ∵ 对 [i]，[j]，[k] Zk 有[i]（[j][k]）=[i(j+k)]=[ij+ik] =[ij][ik] =([i][j])([i][k]） ∴ <Zk ，，>是环，称为（模k）剩余类环。 特别， k=2时，称为布尔环。
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例 16.2 设 Zk 表示整数集 Z 上的模 k 剩余类集 合，即: Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]} <Zk ，>是群（剩余类加群）， <Zk ，>是半群（剩余类乘半群）， ∵ 对 [i]，[j]，[k] Zk 有[i]（[j][k]）=[i(j+k)]=[ij+ik] =[ij][ik] =([i][j])([i][k]） ∴ <Zk ，，>是环，称为（模k）剩余类环。 特别， k=2时，称为布尔环。
离散数学课件16.1-2无向树和生成树
由定理9.1可知m＝n-1,将此结果代入 上式经过整理得k≥2,这说明T至少有 2片树叶.
生成树
❖ 设G＝<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生 成树.
❖ G在T中的边称为T的树枝, ❖ G不在T中的边称为T的弦. ❖ T的所有弦的集合的导出子图称为T
的余树.
(2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T 的余树,注意余树不一定是树.
定理 任何连通图G至少存在一棵生成 树.
推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1.
推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T 是G的生成树,T'是T的余树,则T'中有 m-n+1条边.
图
基本回路
在图中,实边所示的子图是图G的一 棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦 c,产生G的一个初级回路cef.这3 个回路中每一个回路都只含一条 弦,其余的边都是树枝,这样的回 路称为基本回路.
定义 设T是n阶连通图G=<V,E>的 一棵生成树,称T的n-1个树枝对应的 G的n-1个割集(每个割集只含一个 树枝,其余的边都是弦)S1,S2,···,Sn-1 为对应生成树T的G的基本割集,称 {S1,S2,···,Sn-1}为对应生成树T的基 本割集系统.
对一个n阶连通图G来说,对应 不同的生成树的基本割集可能 不一样,但基本割集的个数必为 n-1个,这也是G的固有特性.
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割 集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
生成树
❖ 设G＝<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生 成树.
❖ G在T中的边称为T的树枝, ❖ G不在T中的边称为T的弦. ❖ T的所有弦的集合的导出子图称为T
的余树.
(2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T 的余树,注意余树不一定是树.
定理 任何连通图G至少存在一棵生成 树.
推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1.
推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T 是G的生成树,T'是T的余树,则T'中有 m-n+1条边.
图
基本回路
在图中,实边所示的子图是图G的一 棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦 c,产生G的一个初级回路cef.这3 个回路中每一个回路都只含一条 弦,其余的边都是树枝,这样的回 路称为基本回路.
定义 设T是n阶连通图G=<V,E>的 一棵生成树,称T的n-1个树枝对应的 G的n-1个割集(每个割集只含一个 树枝,其余的边都是弦)S1,S2,···,Sn-1 为对应生成树T的G的基本割集,称 {S1,S2,···,Sn-1}为对应生成树T的基 本割集系统.
对一个n阶连通图G来说,对应 不同的生成树的基本割集可能 不一样,但基本割集的个数必为 n-1个,这也是G的固有特性.
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割 集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
《离散数学》课件-第16章树
解：易见所求为该图的一棵最小生成树，如图所示 总造价为57
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散数学——树ppt课件
11
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
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例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
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例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
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(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
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最小生成树：G的所有生成树中权最小的生成树。
例3 求最小生成树。
4 21 3
21 3
解：n=8，执行7次，12 11 5 6
8
56 8
9
79
10
W(T)=1+2+3+5+6+8+9=34
11
求最小生成树的算法——避圈法 (Kruskal) 设G=<V,E,W>, 将非环边按权从小到大排序：e1,
e2, …, em. (1) 取e1在T中 (2) 检查e2, 若e2与e1不构成回路, 则将e2加入T中, 否
则弃去e2. (3) 检查e3,…, 重复进行直至得到生成树为止.
12
例4 求图的一棵最小生成树
W(T)=38
13
16.3 根树及其应用
有向树及有关概念 家族树 根树的分类 最优2元树与Huffman算法 前缀码 遍历
14
1、有向树与根树的定义
有向树：基图为无向树的有向图。 根树：有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的非
平凡的有向树。 树根：有向树中入度为0的顶点。 树叶：有向树中入度为1, 出度为0的顶点。 内点：有向树中入度为1, 出度大于0的顶点。 分支点：树根与内点的总称。 顶点v的层数：从树根到v的通路长度。 树高：有向树中顶点的最大层数。
15
例如下图，有向树
T1
T2
T3
T4
16
根树的画法：树根放上方,省去所有有向边的箭头。 如右图所示
G1
G2
G3
G4
3
2、无向树的性质
定理16.1 设G=<V, E>是n阶m条边的无向图，则下 面各命题是等价的：
（1）G是树(连通无回路); （2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径; （3）G中无回路且m=n1; （4）G是连通的且m=n1; （5）G是连通的且G中任何边均为桥; （6）G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间
加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.
4
定理16.2 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少 有两片树叶.
例2 设树T有1个3度顶点，2个2度顶点，其余均为树 叶，求树叶数，画出非同构的无向树。
解：用树的性质m=n1和握手定理. 设有x片树叶，于是 n=1+2+x=3+x, 2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x 解出x=3，故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3
6
16.2 生成树
生成树 性质 最小生成树
7
1、生成树
设G为无向连通图 G的生成树：G的生成子图并且是树。 生成树T的树枝：G在T中的边。 生成树T的弦：G不在T中的边。
生成树T的余树 T ：所有弦的集合的导出子图。 注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
右图黑边构成生成树 红边构成余树
解： (1) {2, 3, 4, 4, 5, 5, 7}
5
8
10
(2) {4, 4, 5, 5, 5, 7} (3) {5, 5, 5, 7, 8} (4) {5, 7, 8, 10} (5) {8, 10, 12}
2 34 45 5 (1) (2) (3) 30
12
18
12 18
(6) {12, 18}
有2棵非同构的无向树，如图所示。
5
例3 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其 余顶点的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要 求的所有非同构的无向树.
解：设T的阶数为n，则边数为n1，4度顶点的个数 为n7。由握手定理得 2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解出n=8，4度顶点为1个。 T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 有3棵非同构的无向树。
a是树根
0层
b, e, f, h, i是树叶
1层
c, d, g是内点
2层
a, c, d, g是分支点
a为0层；1层有b,c；
3层
2层有d, e, f ；
3层有g, h；4层有i.
4层
树高为4
17
2、家族树
定义 把根树看作一棵家族树: (1) 若顶点 a 邻接到顶点 b, 则称 b 是 a 的儿子, a 是
19
(a)2叉树
(b)3叉树
(c)3叉正则树
O
A
D
B CE
G
F
HI J
(d)2叉正则树 (e)2叉完全正则树 (f)3叉有序树
20
4、最优2叉树
t
定义 树T的权：WW((Tt) wil(vi )
i1
其中 l(vi)是vi的层数。
最优 2叉树： —— Haffman算法 P314
21
例1 构造关于权{2, 3, 4, 4, 5, 5, 7}的最优2叉树。
8
例1 画生成树
一般地，图G的生成树不唯一。
9
2、性质
定理 任何无向连通图都有生成树. 推论 设n阶无向连通图有m条边, 则mn1.
例2 某地要兴建5个工厂，拟修筑道路连接这5处， 经勘测其道路可依上图的无向边铺设，为使这5 处都相通，问至少要铺几条路？
10
3、最小生成树
T的权：T是无向连通带权图G=<V, E, W>的一棵生 成树，T的各边权之和。
第十六章 树 16.1 无向树
无向树及相关概念 性质
1
1、无向树
无向树：连通无回路的无向图，用T表示 平凡树：平凡图 森林：每个连通分支都是树的非连通的无向图 树叶：树中度数为1的顶点(悬挂顶点) 分支点：树中度数2的顶点
如右图，
图(a)是森林，
图(b)为一棵12阶树。 (a)
(b)
2
例1 判断下列各图是否为树？
5
8 10 5
8 10
7
7
23 (4)
4455 2 3 4455
(5)
(6)
22
最优2叉树如前图。 wi 2 3 7 4 4 5 5 l(vi) 3 3 2 3 3 3 3
∴ W(T)=2×3+3×3+7×2+4×3+4×3 +5×3+5×3=83
最优2叉树不是唯一的，但Huffman算法 得到的树一定是最优2叉树。
b 的父亲; (2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是兄弟; (3) 若ab且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的后代.
设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其所有后 代的导出子图为以v为根的根子树.
18
3、根树的分类
有序树：将根树同层上的顶点规定次序。 r叉树：根树的每个分支点至多有r个儿子。 r叉正则树：根树的每个分支点恰有r个儿子。 r叉完全正则树：树叶层数相同的r元正则树。 r叉有序树：有序的r元树。 r叉正则有序树：有序的r元正则树。 r叉完全正则有序树：有序的r元完全正则树。
例3 求最小生成树。
4 21 3
21 3
解：n=8，执行7次，12 11 5 6
8
56 8
9
79
10
W(T)=1+2+3+5+6+8+9=34
11
求最小生成树的算法——避圈法 (Kruskal) 设G=<V,E,W>, 将非环边按权从小到大排序：e1,
e2, …, em. (1) 取e1在T中 (2) 检查e2, 若e2与e1不构成回路, 则将e2加入T中, 否
则弃去e2. (3) 检查e3,…, 重复进行直至得到生成树为止.
12
例4 求图的一棵最小生成树
W(T)=38
13
16.3 根树及其应用
有向树及有关概念 家族树 根树的分类 最优2元树与Huffman算法 前缀码 遍历
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1、有向树与根树的定义
有向树：基图为无向树的有向图。 根树：有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的非
平凡的有向树。 树根：有向树中入度为0的顶点。 树叶：有向树中入度为1, 出度为0的顶点。 内点：有向树中入度为1, 出度大于0的顶点。 分支点：树根与内点的总称。 顶点v的层数：从树根到v的通路长度。 树高：有向树中顶点的最大层数。
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例如下图，有向树
T1
T2
T3
T4
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根树的画法：树根放上方,省去所有有向边的箭头。 如右图所示
G1
G2
G3
G4
3
2、无向树的性质
定理16.1 设G=<V, E>是n阶m条边的无向图，则下 面各命题是等价的：
（1）G是树(连通无回路); （2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径; （3）G中无回路且m=n1; （4）G是连通的且m=n1; （5）G是连通的且G中任何边均为桥; （6）G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间
加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.
4
定理16.2 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少 有两片树叶.
例2 设树T有1个3度顶点，2个2度顶点，其余均为树 叶，求树叶数，画出非同构的无向树。
解：用树的性质m=n1和握手定理. 设有x片树叶，于是 n=1+2+x=3+x, 2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x 解出x=3，故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3
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16.2 生成树
生成树 性质 最小生成树
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1、生成树
设G为无向连通图 G的生成树：G的生成子图并且是树。 生成树T的树枝：G在T中的边。 生成树T的弦：G不在T中的边。
生成树T的余树 T ：所有弦的集合的导出子图。 注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
右图黑边构成生成树 红边构成余树
解： (1) {2, 3, 4, 4, 5, 5, 7}
5
8
10
(2) {4, 4, 5, 5, 5, 7} (3) {5, 5, 5, 7, 8} (4) {5, 7, 8, 10} (5) {8, 10, 12}
2 34 45 5 (1) (2) (3) 30
12
18
12 18
(6) {12, 18}
有2棵非同构的无向树，如图所示。
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例3 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其 余顶点的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要 求的所有非同构的无向树.
解：设T的阶数为n，则边数为n1，4度顶点的个数 为n7。由握手定理得 2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解出n=8，4度顶点为1个。 T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 有3棵非同构的无向树。
a是树根
0层
b, e, f, h, i是树叶
1层
c, d, g是内点
2层
a, c, d, g是分支点
a为0层；1层有b,c；
3层
2层有d, e, f ；
3层有g, h；4层有i.
4层
树高为4
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2、家族树
定义 把根树看作一棵家族树: (1) 若顶点 a 邻接到顶点 b, 则称 b 是 a 的儿子, a 是
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(a)2叉树
(b)3叉树
(c)3叉正则树
O
A
D
B CE
G
F
HI J
(d)2叉正则树 (e)2叉完全正则树 (f)3叉有序树
20
4、最优2叉树
t
定义 树T的权：WW((Tt) wil(vi )
i1
其中 l(vi)是vi的层数。
最优 2叉树： —— Haffman算法 P314
21
例1 构造关于权{2, 3, 4, 4, 5, 5, 7}的最优2叉树。
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例1 画生成树
一般地，图G的生成树不唯一。
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2、性质
定理 任何无向连通图都有生成树. 推论 设n阶无向连通图有m条边, 则mn1.
例2 某地要兴建5个工厂，拟修筑道路连接这5处， 经勘测其道路可依上图的无向边铺设，为使这5 处都相通，问至少要铺几条路？
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3、最小生成树
T的权：T是无向连通带权图G=<V, E, W>的一棵生 成树，T的各边权之和。
第十六章 树 16.1 无向树
无向树及相关概念 性质
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1、无向树
无向树：连通无回路的无向图，用T表示 平凡树：平凡图 森林：每个连通分支都是树的非连通的无向图 树叶：树中度数为1的顶点(悬挂顶点) 分支点：树中度数2的顶点
如右图，
图(a)是森林，
图(b)为一棵12阶树。 (a)
(b)
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例1 判断下列各图是否为树？
5
8 10 5
8 10
7
7
23 (4)
4455 2 3 4455
(5)
(6)
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最优2叉树如前图。 wi 2 3 7 4 4 5 5 l(vi) 3 3 2 3 3 3 3
∴ W(T)=2×3+3×3+7×2+4×3+4×3 +5×3+5×3=83
最优2叉树不是唯一的，但Huffman算法 得到的树一定是最优2叉树。
b 的父亲; (2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是兄弟; (3) 若ab且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的后代.
设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其所有后 代的导出子图为以v为根的根子树.
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3、根树的分类
有序树：将根树同层上的顶点规定次序。 r叉树：根树的每个分支点至多有r个儿子。 r叉正则树：根树的每个分支点恰有r个儿子。 r叉完全正则树：树叶层数相同的r元正则树。 r叉有序树：有序的r元树。 r叉正则有序树：有序的r元正则树。 r叉完全正则有序树：有序的r元完全正则树。