小学奥数数论讲义 1-奇偶数的性质与应用强化篇

奇偶数的性质与应用

一、基本概念和知识

1.奇数与偶数

整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2（为整数）表示，奇数则可以用2+1（为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质

对于两个数：

⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；

注：加减运算符号不改变结果的奇偶性

⑵奇⨯偶=偶数，奇⨯奇=奇数，偶⨯偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数

对于多个数：

⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数

⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶）

【例1】1+3+5+…+2009的和是奇数？还是偶数？

【巩固】7+9+11+…+2017的和是奇数？还是偶数？

【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？

【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？

【例3】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。

【巩固】已知a、b、c是三个连续自然数，其中a是偶数。

根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是哪一位同学？

巩固图

【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3⨯3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？

【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４⨯４的方格表中（每个小方格只填一个数），使得每一行中的四个数之和都是偶数？

【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？

【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请

说明理由。

【例6】下表中有18个数，选出5个数，使它们的和为28，你能否做到？为什么？

例6图

【巩固】能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=38

〖答案〗

【例1】奇数

【巩固】偶数

【例2】 75

【巩固】150

【例3】证明：∵a、b、c中有两个奇数、一个偶数，

∴a、c中至少有一个是奇数，

∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。

又∵偶数×整数=偶数，

∴(a-1)⨯(b-2)⨯(c-3)是偶数。

【巩固】小红

【例4】不能

【巩固】能

【例5】此题初看似乎缺总人数

但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关

由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记一次

那么互赠一次总数就要加2

所以贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数

送贺年卡的人可以分为两种：

⑴一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数

⑵另一种是送出了奇数张贺年卡的人

送出了奇数张贺年卡的总数=送出的贺年卡总数-送出了偶数张贺年卡的总数

=偶数-偶数

=偶数

由此式子看出送出奇数张贺卡的人数必须是偶数时，才使他们送出的贺年卡总数为偶数所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

【巩固】握手是两个人共同的事情，当两个同学握手时，相对于两位同学都是握了一次手所以每次握手次数总和总是2

因此无论总人数为多少，握手的总次数是若干个2相加为偶数。

现在我们把握手的同学分为两类：

⑴握手次数为偶数：无论人数是多少，握手总次数一定为偶；

⑵握手次数为奇数：

由于最终的握手次数为偶

⑴的握手次数也为偶

所以⑵中的握手次数和也应为偶

于是握手次数为奇数次的同学应该有偶数个

【例6】图中18个数全为奇数，我们从中任取5个数

根据“奇数个奇数之和为奇数”可知无论哪5个数的和总为奇数而28为一偶数，所以是不可能的

【巩固】不能