小学奥数数论讲义 2-有趣余数之性质与周期强化篇

小学六年级奥数 余数综合之余数问题解题技巧

余数综合之余数问题解题技巧 4. 同余 （1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b关于m同余， 用式子表示为：a≡b (modm) 余 数的性质 1. 余数小于除数（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数用式子表示为：如果有a≡b(modm)， 那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b 3. 余数的运算： （1）和的余数等于余数的和 5. 中国剩余定理 逐级满足法 【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题【例2】(★★) （全国小学数学奥林匹克试题） 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 1

【例3】（★★★）【例4】(★★★)全国小学数学奥林匹克试题 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六 个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。 【例5】(★★)【例6】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3 除所得的余数是多少？ 今天是星期四，101000天之后将是星期几？ 2

奥数赠品数论50题

数论50题 1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为14 为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位为1 该数最大为875413。 2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 【分析】 75=3×25 若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32 所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8 先任给一个去掉8的，17925即满足要求 1）若去掉8 则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法 因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数 2）若去掉2 则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法 所以有6个满足要求 综上所述，满足要求的五位数有18个。 3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？ 【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8 □中的数字是1 4．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除 因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。 111考了优秀，一次考试中，某班同学有考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知该5．723班同学的人数不超过50，求有多少人不及格？ 【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，111--）×42=1人 1-所以只能是42人，因此不及格的人数为（7326．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ （2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？ （第14届迎春杯考题） 【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的

(完整版)三年级奥数有余数的除法练习

把一些书平均分给几个小朋友，要使小朋友分得的本数最多，这本书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小。 解决这类应用题的关键是先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。 在有余数的除法中，要记住： 1、余数必须小于除数； 2、被除数＝商×除数＋余数

练习题：（整数范围内） 1、（）÷6＝8……（），被除数最大是几？ 2、（）÷（）＝8……1中，被除数最小是几？ 3、（）÷4＝7……（），被除数最大是几？ 4、（）÷（）＝3……2中，被除数最小是几？ 5、（）÷8＝3……（），被除数最小是几？ 6、（）÷（）＝4……4中，被除数最小是几？ 7、28÷（）＝（）……4中，除数最大是几？ 8、（）÷7＝（）……（）中，商和余数相等，被除数最大是几？ 9、（）÷（）＝（）……4中，商和余数相等，被除数最小是几？ 10、149除以一个两位数，余数是5，这个两位数是多少？ 11、一个三位数除以15，商和余数相等，请写出符合条件的最小的三位数。 12、有一个除法算式，它的余数是9，除数和商相等，被除数最小是几？ ★例2：算式□÷6＝□……□中，不告诉你被除数，商是多少，你能写出它的余数有哪几个吗？ ◇我试试： 1、算式□÷7＝□……□中，你能写出它的余数有哪几个吗？ 2、算式□÷9＝5……□中，被除数最大是几？最小是几？ 3、算式□÷□＝13……8中，除数最小是几？被除数最小是几？ ★例3：23÷□＝□……5中，除数和商各是多少？ 1、27÷□＝□……3中，除数和商各是多少？

奥数讲义数论专题：6 进位制

华杯赛数论专题|：6 进位制 我们平常熟悉的十进制： （2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2 其他进制转化为十进制： （a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e 例题： 例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？ 【答案】24 【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。 又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。 所以A＋B最小值是9＋15＝24。 例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？ 【答案】50、150，或者55，165 【解答】设A在十进制中表示是（）， 由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m， 可见m是5的倍数，因此m＝0或5。 相应的计算出R＝30或32。 所以A和B分别是50、150，或者55，165。 例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？ 【答案】212 【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。 则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。 （1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。 所以，a＝0。但是a在首位，a又不能等于0。所以，这样的数字不存在。 （2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。 所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。 例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和，我们就称这样的数为“双子数”，比如9＝＋，36＝＋，它们都是双子数。现有一个双子数

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

四年级奥数有余数的除法

补充：有余数的除法讲义 知识点拨： 一、定义回顾： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r， 也就是： a＝b×q＋r,（ 0≤r＜b） 我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。 二、定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 例题精讲： 【模块一：带余除法的定义和性质】 【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r． 【变式】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【变式】两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,

除数是多少？ 【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 【变式】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________． 【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【变式】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数． 【模块二：定理的应用】 【例 5】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【变式1】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab abba 【变式2】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将 这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？ 【变式3】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________． 【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________． 【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，

小学奥数数论讲义 1-奇偶数的性质与应用强化篇

奇偶数的性质与应用 一、基本概念和知识 1.奇数与偶数 整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 偶数通常可以用2（为整数）表示，奇数则可以用2+1（为整数）表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质 对于两个数： ⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数； 注：加减运算符号不改变结果的奇偶性 ⑵奇?偶=偶数，奇?奇=奇数，偶?偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数 对于多个数： ⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数 ⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶） 【例1】1+3+5+…+2009的和是奇数？还是偶数？ 【巩固】7+9+11+…+2017的和是奇数？还是偶数？ 【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？ 【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？

【例3】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。 【巩固】已知a、b、c是三个连续自然数，其中a是偶数。 根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是哪一位同学？ 巩固图 【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3?3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？ 【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４?４的方格表中（每个小方格只填一个数），使得每一行中的四个数之和都是偶数？ 【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请

小学奥数数论专题

名校真题测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题） 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 （04年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。 第十讲小升初专项训练数论篇（一） 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题

小学奥数数论讲义 4-整数分拆之最值与应用强化篇

整数分拆之最值与应用 一、拆分的基础知识 整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。 二、拆分基本方法 1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。 2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大 应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则： ⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n； ⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)； ⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。 例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？ 2+3+4+5+6+7+8=35 比30大5，故将5去掉 30被拆成2+3+4+6+7+8 【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？ 【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。 【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。 【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。 【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。 【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？ 【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。 这三块中哪一块地最大？面积是多少？

小学奥数----余数问题

余数问题 例1：被除数、除数、商和余数之和是2143，已知商事33，余数是52，求被除数和除数。 拓展1：有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数和是25，这个自然数是多少？ 例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 拓展2：在1~200这200个自然数中，被3除或被7除都余2的数有多少个？ 例3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，a加b的和除以7余几？ 拓展3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a 大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？ 例4：有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个数是多少？ 例5：整数11111----111（2004个1）被6除余数是几？ 1、2100除以一个两位数得到的余数是56，那么这个两位数是（）。 2、在整数除法里，余数比除数小，那么从4到50的各整数除以4，余数是2的整数有（）个。 3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数至少是（）。

4、清照小学鼓号队同学在操场上列队，已知人数在90~110人之间，排成3列没有剩余，排成5列不足2人，排成7列不足4人，共用（）人参加列队。 5、一个四位数2a75除以11后所得余数是1，那么a=（）。 6、用一个整数去除312、231、123、得到的3个余数之和是41，这个数是（）。 7、在1~400整数中，被3、5、7除都余2的数有（）个。 8、100个7组成一个一百位数，被13除后余数是（），商的各位数字之和是（）。 9、71427和19的积被7除余（）。 10、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3，而余数恰好相同，原题中的除数是（）。11、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，这个自然数最大是（）。 12、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别是2和1，那么n最小是（）。 13、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数的差得4289，男孩（）岁，父亲（）岁。 14甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是上5余1，乙数是（）。

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b 的余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 3.除以99,余数是______. 分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19. 4.求下列各式的余数： (1)2461×135×6047÷11 (2)19992000÷7 分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是 4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 . 【第二篇】

(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果 分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) . 【第三篇】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 【第四篇】 1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 2.除以99的余数是______.

小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总

数论专题典型结论汇总 整除 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ， c ︱b ，那么c ︱(a ±b )． 性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ， c ∣b ，那么c ∣a ． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那 么b ∣a ，c ∣a ． 性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b 与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ，那么bm ｜am （m 为 非0整数）； 性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果 b ｜ a ，且d ｜c ，那么bd ｜ac ； 质数合数 一、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即： 312123k a a a a k n p p p p =????

奥数讲义数论专题：3 质数与合数

华杯赛数论专题：3 质数与合数 基础知识： 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）. 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数. 除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9. 2.判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很 大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的 质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数. 3.唯一分解定理 每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式. 例题 例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？ 【答案】23，37，53，73. 【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7， 所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73. 例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数. 【答案】23，37，53，73，373 【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373. 例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？ 【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个 【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质

小学奥数-数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等； 2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数） 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差

小学奥数思维训练-余数通用版

小学奥数思维训练-余数通用版

2014年五年级数学思维训练：余数 1．（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？ 2．（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？ 4．（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？ 5．（4分）某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？ 6．（4分）（1）220除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？ 121

7．（4分）8+8×8+…+除以5的余数是 多少？ 8．（4分）一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？ 9．（4分）有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？10．（4分）100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？ （4分）1111除以一个两位数，余数是66．求11． 这个两位数． 12．（4分）（1）除以4和125的余数分别是多少？ （2）除以9和11的余数分别是多少？13．（4分）一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？ 14．（4分）自然数的个位数字是．

《小学奥数》小学三年级奥数讲义之精讲精练第2讲 有余除法含答案

第2讲有余除法 一、知识要点： 1、解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然 后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。 2、（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。 二、精讲精练 【例题1】[ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 练习1： (1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。 [ ]÷8＝3……[ ] (2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。 [ ]÷4＝7……[ ] (3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12 (4) 【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［］中，被除数最小是几？

练习2： (1)下面算式中，被除数最小是几？ ①[ ]÷[ ]＝4……［］ ②[ ]÷[ ]＝7……［］ ③[ ]÷[ ]＝9……［］ (2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ ①[ ]÷[ ]＝3……［］ ②[ ]÷[ ]＝6……［］ (3)算式[ ]÷8＝[ ]……［］中，商和余数都相等，那么被除数最 大是几？ 【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。 练习3： (1)下面算式中，除数和商各是几？ ①22÷[ ]＝[ ] (4) ②65÷[ ]＝[ ] (2) ③37÷[ ]＝[ ] (7) ④48÷[ ]＝[ ] (6) (2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。

_________________________________________________________________ (3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ _________________________________________________________________ 【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 练习4： (1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ ①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ] ③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ] (2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

有余数的除法三年级奥数

第三讲有余数的除法 在有余数的除法中：（1）余数必须小于除数；（2）被除数=商ⅹ除数+余数。 例1.□÷6=8……□，要使余数最大，被除数应填几？ 练习题（1）□÷□=8……15，要使除数最小，被除数应填几？ （2）当余数最大时，被除数是多少？ （）÷4=7……（） 例2.算式 28÷（）=（）……4，除数和商各是多少？ 练习题 （1）下列算式中，除数和商各是多少？（2）下列算式中，除数和商各是多少？37÷（）=（）......7 22÷（）=（） (4) 例3.算式（）÷7=（）……（），商和余数相同，被除数可以是哪些数？ 练习题 （1）下列算式中，商和余数相同，被除数可以是哪些数？ （）÷6=（）……（）

（2）下列算式中，商和余数相同，被除数可以是哪些数？ （）÷5=（）……（） 例4，在（）÷（）=7……（）中，被除数最小是几？ 练习题 （1）在（）÷（）=32……4中，被除数最小是几？ （2）在（）÷（）=17……5中，被除数最小是几？ 例5.有一串珠子，按“1白4黑”的顺序排列，那么第24颗珠子是什么颜色？第81颗呢？ 练习题 （1）有一串珠子，按“2白3黑”的顺序排列，第27颗珠子是什么颜色？第88颗呢？ （2）一列数：3,6,92,3,6,9,2…，第30个数是几？第41个数呢？

家庭作业 1.下面算式中，两个方框内应填什么数才能使这道整数除法题的余数最大？（）÷5=10……（） 2.下列算式中，要使余数最大，被除数是几？ （）÷6=7……（）（）÷12=10……（） 3.下列算式中，除数最小是几？被除数最小是几？ （）÷（）=14......5 （）÷（）=22 (3) 4.一堆梨，其总数不到50个，如果把这堆梨平均分给7个人后还剩余3个，那么这堆梨最多有多少个？ 5.在字母序列ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBA…中，第1992个字母是哪个字母？ 家庭作业 1.下面算式中，两个方框内应填什么数才能使这道整数除法题的余数最大？（）÷5=10……（） 2.下列算式中，要使余数最大，被除数是几？ （）÷6=7……（）（）÷12=10……（） 3.下列算式中，除数最小是几？被除数最小是几？ （）÷（）=14......5 （）÷（）=22 (3) 4.一堆梨，其总数不到50个，如果把这堆梨平均分给7个人后还剩余3个，那么这堆梨最多有多少个？ 5.在字母序列ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBA…中，第1992个字母是哪个字母？ .

奥数讲义数论专题讲义： 数字迷

华杯赛数论专题：数字迷 例1.如图是一个加法竖式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。那么字母O代表的数字最大可能是多少？ 【答案】6 【解答】 要点： 关注首位C＝1（百位肯定进位） 关注十位G＝8（个位肯定进位） 总结：解决数字谜问题最关键是要找好突破口，包括以下方面： 1）首位数字； 2）已知数字较多的数位； 例2.在如图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？ 【答案】17208 【解答】 要点： （1）关注首位：C＝1 （2）关注包含重复数字的千位：K＝9 （3）关注包含重复数字的十位：N＝0 （4）由于三位数I0A能被8整除，且I是偶数，所以A＝ ， G＝。 总结：往往重复数字较多的数位也是突破口。 例3.如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且已知三位数BAD不是3的倍数，四位数GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？

【答案】3810 【解答】 G为1； D为0； A＋A不能进位，所以O为偶数. A＋A＝O B＋B＝10＋O A＝2，O＝4，B＝7不合题意； A＝3，O＝6，B＝8符合题意； A＝4，O＝8，B＝9不合题意. A不能大于等于5. 例4.如图，算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么 “玩中学”代表的三位数是 . 【答案】465 【解答】 从加法的十位运算可以看出“啊”＝0。 因为显然“玩”和“学”都不能是0，所以其中一定有一个是5。 如果“玩”＝5，根据千位特征可看出“快”＝4，并且百位相加有进位，因此“乐”≥5。而“数学”与“玩”相乘大于450，说明“数” ＝9。注意到“学”与“数”相乘的个位数字还是“学”，那么“学” 只能是0或5，必然与“啊”或“玩”相同，不符合条件。 因此“学”＝5。因为只有95×9＝855的末两位数字都是5，所以“数”＝9。 又因为“数学”ד玩”＝“快乐啊”，即95ד玩”＝“快 80”，因此“玩”＝4，进一步可得出整个算式就是95×49＝4655。 总结：在乘法算式中，个位数字也往往作为突破口。 例5.如图，乘法竖式中给出了几个数字，并且已知被盖住的数字都是奇数，那么这个竖式中最后一行的四位数是.

小学奥数—同余问题

数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2