小学六年级奥数 余数综合之余数问题解题技巧
小学六年级奥数 余数综合之余数问题解题技巧
【例6】 (★ ★) 今天是星期四，101000天之后将是星期几？
2
【例7】(★ ★ ★)
若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除， 所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______。
【例8】 (★ ★ ★)
甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数 是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余 数的2倍。求A等于多少？
二、本讲经典例题 例2，例3，例4，例6 3
余数综合之余数问题解题技巧
余数的性质 1. 余数小于除数 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数 3. 余数的运算：
（1）和的余数等于余数的和 （2）积的余数等于余数的积
4. 同余 （1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b关于m同余， 用式子表示为：a≡b (modm) （2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b(modm)， 那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商 与余数之和为2113，则被除数是多少？
1
【例3】 （★ ★ ★ ）
一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余 数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三 位数中最大数是多少，最小数是多少？
【例4】 (★ ★ ★) 全国小学数学奥林匹克试题
5. ★）我爱数学少年数学夏令营试题
有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不 够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本， 书不够。问：第二组有多少人?
小学生六年级奥数数论考点：余数问题
小学生六年级奥数数论考点：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：
如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
【奥数】六年级下册数学奥数课件-第2讲《余数问题综合》全国通用
例题5：三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为多少?分析：能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样的特点呢?答案：627
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极限挑战
例题6：有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少? 分析：如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点?答案：41
练习1：20132013的个位数字是多少？除以7的余数是多少？答案：3；1
mathematics
例题讲解
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例题讲解
例题2： 除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？分析：截断求和法.答案：7；1；34
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例题讲解
例题1：（1）418×814×1616除以7、8、9、11的余数分别是多少？（2）289除以7的余数是多少？（3）14389的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以11和13的余数呢？分析：对于第一问，我们可以把特性求余法和替换求余法结合使用，第二问和第三问可以用周期求余法.答案：（1）4，0，8，0；（2）4；（3）3，5，0，0
练习2： 除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？答案：0；0；0
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例题讲解
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例题讲解
例题3：有一种三位数，它除以9所得的余数等于它的各位数字的平方和，这样的三位数可能是多少?请写出所有可能答案.分析：想一下每个数位上的数字最大能是多少?答案：100；101；110；111
练习4：（1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少?（2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少?（3）一个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少?答案：（1）122；（2）104；（3）56
学而思小升初余数综合之余数问题解题技巧
【例6】(★★★) 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a， a+2，a+5，则这个自然数是多少？
3
知识要点屋 韩信点兵 1. 减同余、加同补. 如果A满足被K整除,加上n个K，仍然被K整除. 2. 逐级满足法. 按照难易程度，逐一满足.
【小练习】一个数除以5余数是4，这个数除以7余数是5， 那么100以内这样的数有：_______________.
【例7】(★★★) 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么 这个数的最小可能值是_______。
知识大总结 1. 带余除法 ⑴ 一般地，A÷B＝c…d ⑵ 变整除：A－d，可以被B，或c整除. 2. 余数的三大性质 ⑴ 余数的和、差、积. ⑵ 大数变小数，转化求解. 3. 同余问题 ⑴ A、B对C同余，则A、B差值可以被C整除 ⑵ C为差值的约数.(检验)
【拓展】(★★★) 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。 如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人 5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本， 有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人?
【例3】(★★) 今天是星期四，101000天之后将是星期几？
2
知识要点屋 4、同余问题： 若a，b除以c的余数相同，那么， (a－b)能被c整除 称a，b对于模c同余 用“同余式”表示为a≡b(modc) 例如，23、13除以5的余数都是3 那么，(23－13)可以被5整除.
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【小练习】 1013除以一个两位数，余数是12003年全国小学数学奥林匹克试题(★) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除 数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
【例2】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数 是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的 和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
余数问题的解题方法
余数问题的解题方法
解题方法：
1. 除法互换律：将被除数和除数互换，得到的结果是余数。
例如：1÷3=0...1，则3÷1=3...0，即余数为零。
2. 同余定理：如果a÷b=c...d（c为商，d为余数），则a-d÷b=c...0，即余数为零。
例如：7÷3=2...1，则7-1÷3=2...0，余数为零。
3. 分解质因数法：将被除数和除数分解质因数，列出所有的可能组合，直到得到能够整除的结果则余数为零。
例如：6÷3=2...0，则2×3=6，余数为零。
4. 模运算：使用模运算，即a mod b=d，其中d为余数。
5. 对于除法不可整除的情况，可以使用乘除法，即a×b=c+d（c大于等于a，d为余数），其中d为余数。
例如：7×3=21，则21-7=14，余数为7。
6. 开平方法：将被除数平方，或者除数平方，直到得到整除的结果则余数为零。
例如：64÷8=8...0，则8×8=64，余数为零。
7. 拆分成多项式：将被除数和除数拆分成多项式，例如
a=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n，b=b_1x_1+b_2x_2+…+b_nx_n，则a÷b=c...d（其中d为余数）。
小学奥数余数问题口诀及解题方法
【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。
”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。
因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。
【篇⼀】 【⼝诀】： 余数有(N-1)个，最⼩的是1，的是(N-1)。
周期性变化时，不要看商，只要看余。
例： 如果时钟现在表⽰的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是⼏点钟? 分针旋转⼀圈是1⼩时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。
1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈， 分针向前旋转22个圈相当于时针向前⾛22个⼩时， 时针向前⾛22⼩时，也相当于向后24-22=2个⼩时，即相当于时针向后拔了2⼩时。
即时针相当于是18-2=16(点)。
【篇⼆】 除法运算中，被除数和除数之间的关系有两种：⼀种是整除，即被除数÷除数=商，这个商就叫做完全商;另⼀种是有余数的除法，即被除数÷除数=商……余数(余数 同余，是指a，b两个⾃然数，除以⾃然数n所得的余数如果相同，我们就称a、b对于除数n同余，在同余问题中常⽤的结论有： (1)如果a，b除以n的余数相同，那么a与b的差能被n整除; (2)如果a与b除以m的余数相同，那么a+b与a×b除以m的余数也相同。
求⼀个算式的结果除以⼀个数的余数有以下⽅法： (1)a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数); (2)a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数); (3)a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差(或这个差除以c的余数); 不同余，⼜称为“中国剩余定理”，也叫“孙⼦定理”，解题时常⽤列举法。
【篇三】 余数问题 ⼏个数相乘求余数时，把每个因数分别除以除数，然后将所得的余数相乘的积再除以余数，所得的余数就是原来的余数;当求⼏个乘积的和或差除以某⼀个数的余数时，先分别求出每个乘积除以某⼀个数，再将所得的余数相加减，然后除以某⼀个数，所得余数就是原来的余数。
小学数学解题策略--余数问题
解8. 丁
• 根据小朋友报数顺序列表如下:
甲乙丙丁
1234
5
6
7 8 9 10
可知每6个数号为一组的报数的规律.由 1990÷6=331…4，根据余数是4可知报1990的小朋
精品课件
解：4. 4; 11,35,55,77 393减8,那么差一定能被两位数整除.
∵393-8=385
385=5×7×11=(5×7)×11=(5×11)×7=(7×11) ×5
∴385能被两位数11，35，55，77整除.
精品课件
• 5. 31453×68765×987657的积,除以4的余数是 _____.
• 9. 如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序， 将19921992……1992只彩灯依次反复排列，那么 1991个1992 何种颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯少一只.
解：9. 紫 • 考虑通过试除发现规律后求彩灯总数被7除的余数
即可.经试除得:199219921992能被7整除,而1991被
精品课件
同余定理（一） 如果a，b除于c的余数相同，就称a，b对于余 数来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。 （a,b,c均为自然数）
精品课件
同余定理（二）
a与b的和除于c的余数，等于a，b分别除于c的 余数之和（或这个和除于c的余数）
例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（23 ＋16）除于5的余数等于3＋1＝4 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以 （23＋19）除于5的余数等于（3＋4）除于5的 余数，即2
精品课件
• 1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果 得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数 是_____.
奥数余数问题知识点(一)
奥数余数问题知识点(一)奥数余数问题什么是奥数余数问题？奥数余数问题是奥数或数学中常见的一个问题类型，要求计算一个数除以另一个数的余数。
通常给定两个整数，求它们相除的余数。
如何计算余数？余数是一个剩余部分，当一个数不能整除另一个数时，所剩下的部分就是余数。
例如，10除以3的余数是1，因为10可以被3整除3次，余下1。
奥数余数问题的常见类型在奥数中，有一些常见的余数问题类型，包括但不限于：1.除数为2或10的倍数的情况：当除数是2的倍数时，余数只能是0或1；当除数是10的倍数时，余数只能是0。
2.关于两个整数除法结果的关系：例如，给定两个整数a和b，求a和b相除的余数。
如果a除以b的余数是r，那么可以得出结论：(a + n * b)除以b的余数也是r，其中n是任意整数。
3.求余数的特殊方法：例如，假设我们要计算一个较大的数除以10的余数，我们可以观察这个数的个位数是多少，因为一个整数除以10的余数就是它的个位数。
奥数余数问题的解决方法解决奥数余数问题通常需要一些数学技巧和观察力，以下是一些常见的解决方法：1.利用除法原理：根据除法原理，我们可以将一个数的余数变为0，然后再加上余数，得到原问题的答案。
例如，计算123除以7的余数，我们可以先将123减去它除以7的余数，得到116，再加上余数4，得到120，即为所求余数。
2.利用模运算性质：模运算是一种求余数的方法，可以用符号%表示。
利用模运算的一些性质，如(a + b) % n = ((a % n) + (b % n)) % n，我们可以在求余数的过程中简化计算。
3.利用数的性质：例如，当一个数末尾有0时，它必然可以被10整除，所以余数为0；当一个数的各个位上的数字之和能被3整除时，它也能被3整除，所以余数为0。
总结奥数余数问题是奥数或数学中常见的问题类型之一，在解决这类问题时，我们可以利用除法原理、模运算性质和数的性质等方法进行求解。
通过掌握这些解决方法，我们可以更好地应对奥数余数问题的挑战。
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余数综合之余数问题解题技巧
4. 同余
（1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，
那么称a、b关于m同余，
用式子表示为：a≡b (modm) 余
数的性质
1. 余数小于除数（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数用式子表示为：如果有a≡b(modm)，
那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b
3. 余数的运算：
（1）和的余数等于余数的和 5. 中国剩余定理
逐级满足法
【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题【例2】(★★) （全国小学数学奥林匹克试题）
有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。
如果
把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。
如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。
问：第二组有多少人? 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
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【例3】（★★★）【例4】(★★★)全国小学数学奥林匹克试题
一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。
那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六
个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。
【例5】(★★)【例6】(★★)
有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三
个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3
除所得的余数是多少？
今天是星期四，101000天之后将是星期几？
2
【例7】(★★★)【例8】(★★★)
若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______。
甲、乙、丙三数分别为603，939，393。
某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余
数的2倍。
求A等于多少？
【例9】(★★★)
某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小
可能值是_______。
一、本讲重点知识回顾
．
2. 余数运算：和的余数等于余数的和
3. 同余：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，
，
4. 中国剩余定理：逐级满足法
二、本讲经典例题
例2，例3，例4，例6
3。