高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算
五年级奥数余数的性质与运用：学习...
五年级奥数余数的性质与运用：学习...
五年级奥数余数的性质与运用：
学习和生活都离不开转化，转化就是学有所用！
转化：遇到新的问题，尝试各种手段把新问题和已经学过或已经研究过的知识体系联系起来，甚至直接把新问题变成自己熟悉的或熟练的问题！
根据余数的性质，有2种方法可以简化求余数的运算：
⑴特性求余法：除以特殊数的余数的简便方法；
⑵替换求余法：余数的可加性、可减性、可乘方性来简化求余的运算.
最重要的是适应和熟练同余的符号语言的推理，可以这么说，同余是奥数的真正门槛，跨过这个门槛的学生可以称之为开窍！。
五年级奥数题及答案-求余数问题
五年级奥数题及答案-求余数问题
编者小语：奥数教学不能单纯是传授数学知识，更重要的是培养学生数学意识、数学思想、独立获得和运用数学知识的能力和良好的数学学习习惯的过程。
让学生具备在未来的工作中科学地提出数学问题、探索数学问题、创造性地解决数学问题的能力。
为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：求余数问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!
求余数：
求437×319×2010+2010被7除的余数。
解答：437≡3(mod7)，319≡5(mod7)，2010≡1(mod7)
由"同余性质"可知：
437×319×2010≡3×5×1(mod7)=15(mod7)≡1(mod7)
所以：437×319×2010+2010≡1+1(mod7)=2(mod7)
即：437×319×2010+2010被7除的余数是2.这道题主要考察了同余性质。
必须注意的是同余性质只能用在加、减、乘。
五年级高斯奥数之余数含答案
第16讲余数内容概述掌握余数酌概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．(1)220除以7的余数是多少？(2)1414除以11的余数是多少？(3)28121除以13的余数是多少？7．8+8⨯8+ +8⨯8⨯ ⨯810个8除以5的余数是多少？8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？9．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？10．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最 后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的 数是 11.请问：一共有多少名小朋友？拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．21个421 21个8083．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？2 ⨯ 2 ⨯ 67个2 5．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？6．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？7．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？7 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 78．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一 个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？123个12310．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．12．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数 是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？超越篇1．从 l 依次写到 99，可以组成一个多位数 12345…979899.这个多位数除以 11 的余数是多少？2．算式 7 + 7 ⨯ 7 + +计算结果的末两位数字是多少？ 2008个73．算式1⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 2007 计算结果的末两位数字是多少？4．有 5000 多根牙签，按以下 6 种规格分成小包：如果 10 根一包，最后还剩 9 根；如果 9 根一包，最后还剩 8 根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩 7、6、5、4 根．原 来一共有牙签多少根？5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？6．请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．7．已知21!AB0909421717094CD000.那么四位数ABCD是多少？8．有一些自然数n，满足：2n-n是3的倍数，3n-n是5的倍数，5n-n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？第12讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或16 3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8，808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25，8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11，2+0+0+0=2，0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】168 ⨯ 8 ⨯ ⨯ 8 【解析】余数问题，求 128×23×300÷17 的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220 除以 7 的余数是多少？(2) 1414 除以 11 的余数是多少？(3) 28121 除以 13 的余数是 多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2【解析】因为 23 除以 7 的余数是 1，20=3×6+2，所以 220 除以 7 的余数就是 22 除以 7 的余 数 即为 4；同理，1414 除以 11 的余数是 4；28121 除以 13 的余数是 27． 8 + 8 ⨯ 8 + +除以 5 的余数是多少？ 10个8【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以 5 的余数是 28．一个三位数除以 21 余 17，除以 20 也余 17.这个数最小是多少？【答案】437【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上 17，这个数最小是 4379．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？【答案】5【解析】除以 3 的余数是 2 的数是 5，而 5 恰好除以 4 余 1，5 除以 12 余数是 510．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最 后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的 数是 11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个 100 多的数除以 11 余 9，除以 3 余 11，所以先求 11 和 13 的最小公倍数，再减去 2 就是所求，一共有 141 名小朋友拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．【答案】95【解析】先从 1111 里减去余数 66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数 66，所以是2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？ 9521个42121个808 【答案】（1）1，46；（2）3，5【解析】（1）21÷4=5…1；421÷125=3…46；（2）（8+8）×21÷9=37…3；808808÷11 余 0，最后还剩一个 808，8+8=16，16÷11 余 53．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包 的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以 19 余数为 152 ⨯ 2 ⨯ 67个2【答案】7【解析】找出 2 的 n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看 67 除以 4 的余数是 3， 所以个位数字是 8－1＝75．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是 4，2007 除以 4 余 3，所以原式就与 1 到 2006 的 3 次方的个位数字是一样的，以 10 个数为一个周期列出为 1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…， 2006 除以 10 余数为 6，所以前 6 个的和即是所求 1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是 16．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被 14 除余 97．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？【答案】237【解析】7+23k -9 能被 19 整除，最小为 2378．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一 个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个 400 多的数除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 5，最后所求的数 是 404123个123【答案】90【解析】6 个 123 能被 99 整除，123 里有 20 个 6 余 3，所以 123123123 除以 99 余数是 9010．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分 出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是 25，可以把这三个数相加，根据余数 的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水 果剩下 20 个11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求（38，57）＝1912．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数 是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。
高斯小学奥数五年级上册含答案_列方程解应用题
第二十四讲 列方程解应用题章 童童s 章章章足e 章 田米分广功输不程股 方粟裒少商均盈方勾 **■■¥«■♦■-12 34 5 6 7 89T5L T R1]^^W45«扎HJfJmSE 帀有带野学口u 播寸为n 大 H ， ^jfis方三氐覃工皐.負井氐少广韋-貝期章.更*章、屋宀足瓠丹匹“.爼应星.吾：J1s W 11*厅□■!1F咅WIDW!"申祁T TV・0t£n 11■理.J1■昭时■求A 晰歼皈于"而•方*曲事• i . 4：：刊"-31 .. e ■w UWBM 干中氏于 (S1 -#■ I ffi K3JB. ■方■"在古话中炉 冬曲星H 力艸母.中6:I Taf l■■1+#o m— K u<JCW M—+A o IWtO NII W頁O B1I中打c w o n£_n D£f f w11 so w —«■生产中的很多实际问题•其思想如图所示:列方程解应用题的方法和步骤步骤要求要注意的问题审题读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系，分清已知数和未知数审题是分析解题的过程，解题程序中不用体现出来设元①设未知数②把所求的量用未知数表示③把各个量用含未知数的式子表示出来①设未知数一般是冋什么，就直接设什么，即直接设元②直接设兀有困难，可以间接设兀③设未知数时，必须写清未知数的单位列方程根据等量关系列出方程方程两边所用的单位需一致解方程解出这个方程的解，求出未知数的值如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量检验把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验检验的步骤在解题程序中不用写出来方程的解要符合实际情况，否则无解作答写出答案，作出结论这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具, 利用方程我们可以解决生活、学习和练一练F来我们就来看看如何用一元一次方程解应用题.例题1.一次考试，小高比萱萱高6分，但是比卡莉娅低3分，他们3人的平均分为91分.请问: 小高考了多少分？「分析」列方程的第一步是设未知数，本题中应该设什么为x?练习1.甲数比乙数的3倍还少6,两数的平均数是43.那么乙数是多少？例题2.阿范和阿统吃饺子，阿范一共要吃90个，而阿统一共要吃100个.如果阿范每分钟吃3个饺子，阿统每分钟吃5 个饺子，经过若干分钟后，阿范剩下的饺子数比阿统剩下的饺子数的2 倍少5 个.请问:这时阿范和阿统各吃了多少个饺子？「分析」如果设吃的饺子数为x，方程就会很不好列.不妨换个角度，设经过的时间为x分钟.练习2.箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3 倍多2 只.每次从箱子里取出7 只白球和1 5只红球.经过若干次以后，箱子里剩下3只白球和53只红球.那么箱子里原有红、白球各多少个？例题3.给某班分苹果，第一组每人3 个，第二组每人4 个，第三组每人5个，第四组每人6 个.已知第二组和第三组共有22 人，第一组人数是第二组的2 倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果.问该班一共有多少人？「分析」刚开始看这道题目，会觉得条件非常多，有些乱.不过稍加分析就会发现，本题的数量关系并不复杂. 题目中虽然有四个组，但这四组人数之间有很多联系. 如果某一组的人数知道了，其他各组的人数也就知道了. 根据这一点，我们可以设出其中一组的人数，列方程求解.练习3.司机小王身上带有1 元、2 元、5 元、10 元四种面值的纸币共82 元，其中1 元与2 元纸币共22张，5 元和10元纸币共7张，2元纸币的张数是5元纸币张数的2.5倍.问:小王身上有多少张10元纸币？看过前面这些一元一次方程解应用题的题目，大家是否有这样的体会: 原本这些题目都属于不同的类型，算术方法迥异，难度差别也很大，但如果我们利用方程进行求解，那么解题方法就变得统一起来，而且难度也降低了不少. 只要找到等量关系，列出方程，就可以得到答案——这就是方程的妙处，看上去只是一种简单的套路，却有着四两拨千斤的功效，轻描淡写就能化解难题.有些应用题中，如果只设一个未知数，有些未知量要表示出来就会比较困难. 这时就需要设两个未知数，列二元一次方程组来解题.例题4.墨莫去超市里买了一些士力架和德芙，共重266克，共花了30元•已知士力架每块3元,德芙每块2元.每块士力架35克，每块德芙14克.那么墨莫各买了多少块士力架和德芙？「分析」假设买了x块士力架，y块德芙，那么这两个未知数满足哪些等量关系？练习4.王老师抓了一群外星人，其中火星人有2个头3个脚，金星人有3个头5个脚，王老师数了数，发现总共有34个头、54个脚.那么请问王老师分别抓了多少个火星人和金星人？例题5.一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母都减去19,得到的分数约简后是1，那5么原分数是多少？「分析」设原来的分子是x，那原来的分母就是122 x •再由另外一个已知条件，不难列出方程求解.例题6.如下图的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1,第二次所得的商被8除后余7,最后得到的商是a.同时这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15,最后得到的商是a的2倍.求这个自然数.「分析」所求的自然数8 .. 、山-•、、/ 第一次商这是一个带余除法的问题，蕴含着等量关系:所求的自然数……余417 入第次商——……余152a被除数=除数商+余数.利用这一等量关系以及图中的两个短除式, 式）. 不难用字母a表示出原来的自然数（有两种不同表示方多送几份牛奶最近，动物们流行喝鲜奶，都在鲜奶公司定了份牛奶，鲜奶公司每天派小狗早早和巧巧送鲜奶到东西大街，早早负责送东边的住户，巧巧负责送西边的住户，两边住户数目一样多。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步
第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论.什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” ?整除的定义如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除,也可以说b 能整除a,记作b | a .「丁M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2.鼻、4. $、隔一亍？貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停!* w<?帀的T/如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a.整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除.从中我们可以总结出如下规律:和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a|能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除.||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.1数字求和法能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除.|(1) (2) (3)2.整除.例题2. 17石是一个四位数?文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题?下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上?但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除?我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除?你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“ 1234 口6口8 ”的号码可以申请?也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数?想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被 4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289?其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 ?其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数?王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除? ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 ?要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8?要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填 6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 ?先来看最小的数?要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 ?要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 ?再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 ?要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或 6.要想被 5 整除,空格中可填0或 5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。
高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余
第二十二讲物不知数与同余- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢：（2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习1．（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？例题2．（1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是81296⨯=吗？练习2．一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？例题3．（1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”．我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，19515180-=则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，则1135351100-=是4的倍数．也就是说：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？被除数除数商余数，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要满「分析」（1）由÷=足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题．练习4．（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？例题5．刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家——节选自《怎样解题》乔治·波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的．在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目．对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用．和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习．他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛．然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的．他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西．他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目．他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路．陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者．13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主．20岁获得普林斯顿大学博士学位．24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授．2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖．目前已发表超过230篇学术论文．作业1.在小于50的数中，与67除以11同余的数有哪些？作业2.一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？作业3.2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？作业4.1986和2011这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？作业5.韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1.答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20]17437+=．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]110=，因此这个数最小为1104106⨯-=．-=．第二小的是11024216例题2.答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12]3⨯+，其中n为自然n数．要求满足条件的最小三位数，应令n为5，即[8,12]53123⨯+=．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10]5⨯-，其中n为自然数．要求满足条件的最n小三位数，应令n为4，即[6,10]45115⨯-=．例题3.答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为1，12，23，……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．例题4.答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024231001-=，可知除数是1001的约数．其中大于23的有77和91；（2）-=，可知除数是16的约数，可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，1008416只能是16和8．例题5.答案：467详解：兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2[3,5]n+⨯，其中n为自然数，即2，17，32，47，……其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47[3,5,7]n+⨯，其中n为自然数．n取4时满足条件，为467．例题6.答案：20详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数．639013025258++-=，258的约数有1、2、3、6、43、86、129、258，其中43满足条件．苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20个．练习1.答案：（1）3．（2）31简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3；（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．练习2.答案：999这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[4,6]3⨯+，其中n为自然数．要求满n足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]833999⨯+=．练习3.答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17正好除以7余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4.（1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）15015135-=，除数是135的约数．其中大于15的有135、45和27；（2）-=，除数是24的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数805624不为0，除数只能是3、6、12和24．作业1.答案：1，12，23，34，45简答：除以11的余数都是1．作业2.答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59．作业3.答案：78简答：这个两位数是2025751950-=的约数，其中比75大的只有78．作业4.答案：25简答：这个两位数是2011198625-=的约数，只能是25．作业5.答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．。
高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余
第二十二讲物不知数与同余农孙子算经〉是南北朝时一邮董要的数 学苕诈，为我国古代 伸经十书》之一• 三人阳行七十稀 五树梅花廿一枝 七子团圆正半月 除百零五便得知除以3余N 除以5余汝除以7定2CP 2书中右一道暑皂的題目、我们称之 为“物不知数冋题“ •这過题的实质圧一个余数问翹, 我国古代的学者很早就研究这个 问题的斛注.我国明朝的数学 家程人位柱抱暑的 农算法统宗》中' 就用了四旬很通倍 的口诀暗承了竝且 的解法.IWWL 你能知道程大位先 生口诀里的盍思叫？故事中的余数问题就是我们今天要研究的 “物不知数” 问题，也称为中国古余数问题． 简 单来说，这类问题就是先知道了除数和余数， 反求被除数的问题． 通常在不同的题目中，余 数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．例题 1．（1）一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17．这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以 11 余 7，除以 10 余 6．这个数最小是多少？第二小是多少？ 「分析」（1）这个数除以 21和20都余 17，那么减去 17以后得到的差跟 21和 20有什么关 系呢：（2）除以 11和 10 的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习 1．4余 3，除以 5也余 3，这个自然数最小是多少？5余 1，除以 7余3，这个自然数最小是多少？例题 2．（1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？「分析」 看起来和例题 1没有太多区别．不过要小心哦， 8和12 的最小公倍数是 8 12 96 吗？练习 2．一个三位数除以 4 余 3，除以 6 也余 3．这个三位数最大是多少？例题 3．（1）一个数除以 7余2，除以 11余 1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士， 人数在 150 人到 200 人之间， 从第一个开始依次按 1，2，3， L ，9 的顺序报数，最后一名战士报的数是 3；如果按 1，2，3，L ，7 的顺序报数，最后一名 战士报的数是 4．请问：一共有多少名战士？「分析」 所求自然数要满足两个余数条件， 直接处理并不容易， 但我们可以先让它满足其中 一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．练习3.一个三位数除以5余2,除以7余3.这个三位数最小是多少?1）一个自然数除以 2）一个自然数除以如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余•例如195除以9余6, 15除以9也余6,我们就说“ 195和15除以9同余”.我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的•而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，195 15 180则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，贝U 1135 35 1100是4的倍数•也就是说：［如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除•反之亦然.例题4.(1)1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？(2)100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少？「分析」(1 )由被除数除数商L余数，被除数是1024,余数是23,说明除数和商要满足什么条件？ ( 2)利用同余的定义就可以解决这个问题.练习4.(1 )用150除以一个整数，所得余数是15,请问：这个除数可能是多少？(2) 80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少?例题5.刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只; 如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只•请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？例题6．把63 个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家节选自《怎样解题》乔治波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的. 在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答. 通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷.他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他.他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰. 他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用.和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习. 他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛. 然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的.他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西. 他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目. 他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路.陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者. 13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主. 20岁获得普林斯顿大学博士学位. 24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授. 2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖•目前已发表超过230篇学术论文.作业 1. 在小于50的数中,与67 除以11 同余的数有哪些？作业2. 一个自然数除以7余3,除以27余5,这个自然数最小是多少？作业3. 2025除以一个两位数,余数是75,这个两位数是多少？作业4. 1986和2011 这两个数除以同一个两位数,得到相同的余数,这个两位数是多少？作业 5. 韩信点兵：有兵四五百,五五数之余三,七七数之余四,九九数之余五.那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1. 答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20] 17 437 ．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4 即可被11 和10 整除，[11,10] 110 ，因此这个数最小为110 4 106 ．第二小的是110 2 4 216 ．例题2. 答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12] n 3，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为5，即[8,12] 5 3 123 ．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10] n 5，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为4，即[6,10] 4 5 115 ．例题3. 答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法•满足第二个条件的数为1, 12 , 23,……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39,不断加63,直到满足限制条件,最后得到165．例题4. 答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024 23 1001 ,可知除数是1001 的约数．其中大于23的有77和91；（2）100 84 16,可知除数是16的约数,可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0, 只能是16和8．例题5. 答案：467详解：兔子数除以3余2,除以5余2,除以7余5．所有满足前两个条件的数为2 [3,5] n, 其中n为自然数，即2, 17, 32, 47,……其中47同时满足第三个条件•所有满足条件的数为47 [3,5,7] n，其中n为自然数.n取4时满足条件，为467.例题6. 答案：20 详解：从整体的角度出发考虑问题, 水果总数减去没有分出去的水果数, 得到的数应为学生数的倍数.63 90 130 25 258 , 258 的约数有1、2、3、6、43、86、129、258, 其中43满足条件.苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20 个.练习1. 答案：（1）3.（2）31 简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数,所以最小是3；（2）这个自然数加上4 以后是5 和7 的公倍数,所以最小是31.练习2. 答案：999 这是一道余同的问题.满足条件的数可表示为[4,6] n 3,其中n 为自然数.要求满足条件的最大三位数,应令n 为83,即[4,6] 83 3 999.练习3. 答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17 正好除以7 余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4. （1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）150 15 135，除数是135 的约数．其中大于15 的有135、45和27；（2）80 5624 ，除数是24 的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12 和24．但要满足余数不为0，除数只能是3、6、12 和24．作业1. 答案：1，12，23，34，45 简答：除以11 的余数都是1．作业2. 答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59.作业3. 答案：78 简答：这个两位数是2025 75 1950的约数，其中比75 大的只有78.作业4. 答案：25 简答：这个两位数是2011 1986 25 的约数，只能是25.作业5. 答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3 的数.。
小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第15讲 余数定理(含答案)
第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。
余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。
（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。
（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。
答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。
能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。
2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。
初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（）71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
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第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．（1）123 456 789除以111 的余数是多少？（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．例题5．（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。
在回家的路上，猴爸爸买了一筐粽子准备分给孩子们。
回到家，猴爸爸将粽子数了数，一共70多个。
猴爸爸把9个孩子叫到身边说：“孩子们，今天过节，爸爸要将这些粽子分给你们吃。
”说完，就开始分粽子，可猴爸爸怎么分也不能将粽子均分给孩子们。
正在犯愁时，门铃响了，原来是小熊来串门。
小熊是出了名的小精灵，脑瓜特灵活。
猴爸爸一见他就高兴地说：“小熊老弟，你来得正好，我正有问题要找你帮忙呢。
于是，猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。
小熊眼珠一转，计上心头，笑着说：“猴大哥，这件事好办，只要你答应将分剩下的粽子给我，我保证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。
”猴爸爸一听小熊有办法，连想都没想就答应了小熊的要求。
小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们，猴儿们帮分到了同样多的粽子，谁也没有意见，都高高兴兴地吃起了粽子。
这时，猴爸爸却不高兴了，因为他发现，小熊分得的粽子个数最多。
他生气地对小熊说：“熊老弟，这就是你不对了，你明知道你得的粽子会最多，为什么还要骗我上你的当呢？你也太不够朋友了。
”小熊笑着说：“猴大哥，我们可是有言在先，你可是答应了我的条件，我才帮你分粽子的，你难道想反悔吗？那才真是不够朋友呢！”猴爸爸自知理亏，不好再争辩什么，只是埋怨自己不该轻信小熊的话，叹了叹气说：“谁叫我当初不多读点书呢! ”猴爸爸只顾着生气，猴儿们聚在一起吃得正香，谁也没有再理会小熊，小熊见自己不再受欢迎，只好拿着分到的粽子离开了猴子山。
小朋友，请你想一想，猴爸爸一共买了多少个粽子?猴儿们和小熊各分得了多少个粽子?作业1. 1234567除以3、5、9 的余数分别是多少？作业2. 151515151515 除以8、11、7的余数分别是多少？作业3. 算式2009 2009 2010 2010 2011 2011除以31的余数是多少？作业4. 自然数42011除以9 的余数是多少？作业5. 算式188 288 388 L 1988 2088的结果除以9、13 的余数分别是多少？第二十一讲余数的性质与计算例题1. 答案：856；21详解：除数为（877 16）（40 1） 21 ，被除数为877 21 856 ．例题2. 答案：（1）1；5．（2）2；5详解：一个数除以4和8的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以4和8的余数即可．一个数除以3和9的余数，只要分别看这个数数字和除以3和9的余数即可．例题3. 答案：（1）1；5．6；7．．（2）63详解：（1）123 789 456 456 ，456除以7和11的余数分别为1和5，因此123456789 除以7 和11 的余数分别为1 和5．用321 87 654 408 654 ，发现不够减，要求除以7的余数，加上7的倍数即可．比如：408 654 350 104 ，104除以7余6，因此87654321 除以7 余6．求除以11 的余数，可用1 3 5 7 （2 4 6 8） 16 20 ，发现不够减，加上11的倍数即可，16 20 11 7，因此87654321除以11余7．（2）一个数除以99 的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数．容易发现360360 可被99 乘除，因此只要看360 除以99 的余数即可，因此余数为63．例题4. 答案：2详解：就是要求算式365 1234的结果除以6 的余数．利用替换求余法易知结果是2．例题5. 答案：（1）0；2．（2）2；2；2详解：特性求余法和替换求余法结合使用．例题6. 答案：（1）6；9．（2）4详解：（1）2n的个位数字依次是2、4、8、6、…每四个数一个周期.100除以4的余数是0，那么2100的个位数字是周期中的第四个数6. 3n的个位数字依次是3、9、7、1、… 每四个数一个周期．2014 除以4 的余数是2，那么32014的个位数字是周期中的第二个数9（2）3n除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、…每六个数一个周期. 2014除以6的余数是4，所以32014除以7的余数是周期中的第四个数4．练习1. 答案：1994；20简答：设乙数为a,则甲数为99a 14，那么有a 99a 14 2014, a 20 .可求出甲数为1994，乙数为20．练习2. 答案：（1）1；21．（2）2；8简答：（1）利用末位判别法；（2）利用数字和．练习3. 答案：8；0简答：三位截断后，奇段和为420 12 432 ，偶段和为201 132 333 ，432 333 99 ，除以13 的余数是8．两位截断后，所有段的和是20 14 20 13 20 12 99 ，除以99 的余数是0．练习4. 答案：（1）36；（2）12 简答：利用替换求余法计算．作业1. 答案：1，2，1简答：利用特征求余法求解．作业2. 答案：3，2，0简答：利用特征求余法求解．作业3. 答案：15．简答：利用替换求余法求解．作业4. 答案：4．简答：利用周期求余法求解．作业5. 答案：8，10．简答：188 288 388 L 1988 2088 188 2088 10 ，然后利用替换求余法求解．。