五年级奥数教程 第四讲 尾数和余数
五年级奥数：余数问题
五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
五年级尾数与余数111
(2)、9 × 9 × 9 × 9 × …… × 9积的个位数字是几？
61个9 解析：有简单的开始分析找规律： 1个9的个位是9， 2个9的积的个位是1， 3个9的积的个位数字是9， 4个9的积的个位数字是1， 5个9的积的个位数字是9， 6个9的积的个位数字是1， …… 依次这样类推我们不难发现尾数是9,1不断重复 出现的，因此： 61÷2=30……1，余数是1，说明61个9相乘的积 的个位是9.
1个23的个位数字为3， 2个23的积的个位数字为9， 3个23的积的个位数字为7， 4个23的积的个位数字为1， 5个23的积的个位数字为3， 6个23的积的个位数字为9， …… 故我们可以发现末尾数字是以3,9,7,1循环出 现的， 即2000÷4=500 即2000个23的积的个位 数字为1. 故前后两部分的积为8.
100个125 解析： 125的末位数字是5； 125×125的末位数字是5； 125×125×125的末位数字仍是5； 125×125×125×125的末位数字仍是5； …… 故不管多少个125相乘，积的末位数字都是5.
（2）1 ×16）积的尾数是
几？
200个（11 ×16）
每个括号里11×16积的个位是6， 那每个括号里相乘的积的末位数字是6， 200个个位数字都是6的数相乘个位数仍是6.
1、61×61×61×……×61积的尾数是几？
2、1.5×1.5×1.5×……1.5×1.5积的尾数是几？
1000个（12×53）
3、（12×53）×（12×53）×（12×53）×……×（12×53） 积的尾数是几？
例3：写出除213后余3的全部两位数。
213=210+3 210=2 2 2 3 3
×5 ×7 ×5 ×7 × 被除数=商×除数+余数 被除数-余数=商×除数
五级下册数学课件奥数问题 尾数和余数西师大版ppt(精选文档)
自然数末位的数字称为自然 数的尾数；除法中，被除数减 去商与除数积的差叫做余数。 尾数和余数在运算时是有规律 可寻的，利用这种规律能解决 一些看起来无从下手的问题。
例题1
写出除333后余3的全部两位数。 以此类推，个位数字按“9,1”两个数字不断重复，那么共有51÷2＝25……1，共有25个循环，余1.
例题3
444…4÷6，当商是整数时，余数是几？
［100个4］
【思路导航】如果用除法硬除，显然太麻烦。我们可以先用竖式除法一除， 看一看余数在按怎样的规律变化。从竖式中可以看出：每3个4组成的数被 6整除，这样可以把100个4组成的数划分为3个4一组，共分成100÷3＝33 （组）……1，即有33组还多1个4。这多下来的4除以6后，余数应该是4， 所以444…4÷6商是整数时，余数是4。
多少？
【思路导航】因为1/7≈……，化成的小数是一个无限循 环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于 100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个 循环节的第4个数字，是8。
举一反三4
1.把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2.5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？ 把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
3、写出除1095后余3的全部三位数。
2、写出除349后余4的全部两位数。 ［50个6］
［80个8］
［50个（31×36）］
［2001个5］
四个3相乘，积的个位数是1。
① 666…66÷4
②888…8÷7
三个9相乘，积个位数字是9；
两个3相乘，积的个位数是9；
3、写出除1095后余3的全部三位数。 2×11=22 3×11=33
五年级奥数.数论.余数的性质
余数的性质知识结构三大余数定理：（1）余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2）余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3）余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．例题精讲【例1】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【例3】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例4】求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】求4373091993⨯⨯被7除的余数．【例5】求12÷的余数644319【巩固】 求89143除以7的余数．【例 6】 20102009200920092009⨯⨯⨯L 14444244443个的个位数字是________．【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是 。
五年级奥数__尾数和余数之欧阳引擎创编
第6讲尾数和余数欧阳引擎（2021.01.01）一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练【例题1】写出除213后余3的全部两位数【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。
练习1：1.写出除109后余4的全部两位数。
2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？3.写出除1290后余3的全部三位数。
【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习2：1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
5下-尾数和余数
五年级春季 尾数和余数姓名：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾213后余3的全部两位数。
【思路导航】 因为213＝210＋3，把210分解质因数：210＝2×3×5×7，根据质因数我们就可以找出全部的两位数的因数有哪些了。
做一做写出除109后余4的全部部两位数。
【例2】 （1） 125100125125125125个⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？（2）1820012320001818181823232323个个⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的个位数字是几？ 【思路导航】 积的个位是多少主要是取决于因数的个位是多少。
（1）因为个位5乘以5，积的个位仍是5，所以不管多少个125相乘，个位都是5。
（2）积的尾数由2000个23相乘的积的尾数和2001个18个相乘积的尾数决定。
首先可以找出因数尾数是3的尾数变化规律，发现积的尾数（3,9,7,1,3,9,7,1……），因为2000÷4＝500，所以2000个23积的尾数即个位数字是1。
同理，因为2001÷4＝500……1，所以，2001个18的积的个位数字是8。
用尾数1和尾数8相乘可以得到所求个位数字是8。
进而可以找出整个算是积的末尾是多少了。
做一做)2621(100)2621()2621()2621(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个积的尾数是几？【例3】410064444个÷，当商是整数时，余数是几？【思维导航】 如果用除法硬除，显然太麻烦。
我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。
从竖式中可以看出：每3个4组成的数被6整除，每次除得的余数分别是4、2、0。
这样可以把100个4组成的数划分为3个4一组，共分成100÷3＝33（组）……1，即有33组还多1个4。
这多下来的4除以6余多少也就非常好找了。
做一做520011355555个÷，当商是整数时，余数是几？【例4】 有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前两个数的和。
五年级奥数尾数与余数教案
课题奥数“尾数与余数授课时间：5.29 备课时间： 5.25教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题一.写出除333后余3的全部两位数。
思路导航：因为333=330＋3，把330分解质因数：330=2×3×5×11，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11，一共有8个两位数。
例题二. (1）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？(2）的积的尾数是几？思路导航：(1）我们先列举前几个９相乘的积，看看个位数在怎样变化，1个９个位就是９；９×９的个位是１；９×９×９的个位是９；９×９×９×９的个位是１……由此可见，积的尾数以“１，９”两个数字在不断重复出现。
51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
（2）小数乘法的运算，暂时不考虑小数点。
一个３的积，个位数字是３，两个３相乘，积的个位数字是９，三个３相乘，积的个位数字是７，四个３相乘，积的个位数字是１.以此类推，个位数字出现的规律是按“3、9、7、1”的顺序重复。
那么共有204÷4＝51个循环，最后一个尾数是１.所以前后两部分相乘，尾数应是１×5=5例题三. 444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？思路导航：从竖式中的余数可以看出：每3个4组成的数被6整除。
数学奥数通用版上册五年级带余除法课件完整版
简单应用（2） 利用余数解决排序问题
• 例1、如上图，含有红蓝两种颜色的一串珠 子按规律穿在一条细丝线上，你能告诉大 家第2011个珠子的颜色吗？
• 分析：所穿珠子的规律 • 解：这串珠子的规律是每九个为一个循环，
• 被除数、除数、商、余数之间的关系
被除数=除数×商+余数
简单应用（1） 被除数=除数×商+余数的应用
• 例1、一个数除以26，商为15，余数是12，求这个数
• 解：∵被除数=除数×商+余数
∴被除数=26×15+12= 390+12=402
• 例2、127除以一个数，商和余数分别是6和7，求这个 数
补充作业
• 1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三， 这年的十月一日是星期几？
• 解：十月份有31天，31÷7＝4……3，由题 意知，这一月的31日是星期二，有五天的 是星期日、星期一，星期二，所以这一年 的十月一日是星期日。
• 2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二， 二月一是星期几？
• 分析：如果是平年，二月份有28天，28÷7 ＝4。都是4天，由题意知，这一年是闰年， 有29天，29÷7＝4……1，因此，二月一是 星期一。
15÷3=5 、 15÷5=3、 15=3×5 • 即 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 • 被除数=除数×商
带余除法的意义
• 做除法16÷3你发现它与15÷3有什么不同：
16÷3=5……1 即16=3×5+1 ，此时被除
数除以除数出现了余数，我们把这种除法
叫做
带。余除法
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第四讲尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符合题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一
1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？
3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？
（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？
分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；
（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二
1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？
2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？
例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。
（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
练习三
1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？
2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
3，94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？
例题4 把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
分析因为1/7≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。
由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。
练习四
1，把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2，5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
3，有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
例题5 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
分析如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。
从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。
2001÷6=333……3，所以，当商是整数时，余数是4。
练习五
1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
2，当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]
（2）444…4÷74[200个4]
（3）888…8÷7[200个8]
（4）111…1÷7[50个1]。