小学奥数余数、同余与周期
小学奥数知识点总结之余数同余与周期
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b
对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b
对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则
a≡c(modm)；
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a×c≡b×d(modm)；
⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则
a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或
M≡11-（X-Y）(mod11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被
p整除，则ap-1≡1(modp)。
34个小学奥数核心知识点
34个小学奥数必掌握知识点1、和差倍问题：和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2、年龄问题基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3、归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4、植树问题：基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1棵距×段数棵数=段数－1棵距×段棵数=段数棵距×段数=总长=总长数=总长关键确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系问题5、鸡兔同笼问题：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
小学三年级奥数余数问题
第三讲 余数问题一、知识概要（1） 被除数÷除数＝商……余数余数一定要小于除数被除数＝除数×商＋余数,或被除数－余数÷商＝除数;（2） 一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”或“弃九数”;求一个数的九余数,就是求这个数各个数位上数字之和的九余数;例如：求345÷9的余数,就用3＋4＋5÷9＝12÷9＝1……3,可知345÷9的余数是3;（3） 如果整数a 和b 被几除,得到的余数是相同的,那么,我们僦称a 和b “同余”;同余性质有：⑴若a 和b 同余,c 和d 同余,则a ±c 和b ±d 同余；⑵若a 和b 同余,c和d 同余,则a ×c 和b ×d 同余;二、典型例题精讲1、 △□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环;求出310的余数,找到排列在第“余数”位的那个图形即是;解：310÷6＝51组……4个答：这个图形的第310个图是□;2、 哪些数除以7结果的商和余数都相同识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式,因为“余一定小于除数”,所以,余数有7-1种可能;根据“知识概要”<1>可解答解：如表所示;答：这些数是8、16、24、32、40、48;3、积的个位是数字几？个19933333⨯⨯⨯⨯ 识题技巧：3＝3 1个33×3＝9 2个33×3×3＝27 3个33×3×3×3＝81 4个33×3×3×3×3＝243 5个33×3×3×3×3×3＝729 6个3…………………从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、1”依次循环;因此,这个题是个“余数问题”;解：199÷4＝49组…………3个,3个3相乘积的个位为7;答：积的个位数字是7;4、去年200年的“元旦”是星期二,那么今年2003年的“元旦节”是星期识题技巧：<1>“元旦”即1月1日,从2002年元月1日到2003年元月1日共有365＋1天,即366天;<2>星期是7天为一个周期;<3>按本题的意思,星期的排列规律是：星期二、星期三…………星期一;解：366÷7＝52个周期…………2天排在第2的是星期三答：2003年的“元旦节”是期三;5、计算2731596÷7284,并用“九余数”法验算;识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来,所得的和再除以9而得到的余数;也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后,如果和仍然还是两位以上的数,那么再继续把和的各个数位的数字加起来,直到和是一位数,这个“一位数”即是“九余数”;解： 验算： 6、 幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖,当第三个小朋友拿到7颗糖时,老师已发了多少颗糖 识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗,这说明老师循环发了6次多3人或7次少 1人; 解：6×4＋3＝27颗或7×4－1＝28－1＝27颗 答：老师已经发了27颗糖;三、练习巩固与拓展1、 小英同学有一串五彩珠子,是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排列的,问：<1>第58颗是什么颜色的<2>第8颗蓝珠子是从头数起的第几颗<3>第9颗紫珠子与第13颗丝珠子之间有多少颗珠子2、 2003年的“六·一”儿童节是星期日,这一年的10月1日国庆节是星期几2004年的“元旦节”是星期3、 □÷8＝□……□,余数可能是几96 36420 36516 50988 54639 21852 2731596375 7284 33和 21 15 15 6余数 3 × 66 18 90 6 ＝ 0 ＋ 6 2731596÷7284＝375 (96)4、 □÷□＝□………7,除数最小是几5、 □÷7＝16………□,要使余数最大,被除数是几6、，积的末位数字是几？个1873333⨯⨯⨯⨯ 7、几？，积的末位数字应该是个3002222⨯⨯⨯⨯ 1、 在下面的乘法中,A 、B 表示不同的数字,试问：A 、B 各代表哪一个数字 9、钟面上现在是整点,分钟再转100圈,正好是四点整,钟面上现在是几点钟10、有红、白、黑球具2000个,按“红4个、白3个、黑2个”的顺序循环排列如下图,最后一个是什么颜色的球11、星期四,再过25天,第26天是星期几12、假设所有的自然数排列起来如下图,120应位于哪一个字母下面A B C D E F G1 2 3 47 6 58 9 10 1114 13 1215 16 …………13、在下列这串分数中：14、张江同学计算一个奥数题,由于粗心,把某数除以23等87余12,余数写多于正确答案10;你说“某数”是多少15、某边防部队不分昼夜地轮流站岗,前5天由五个战士每隔2小时依次轮换一次;以第一个战士开始手,100小时该由第几个战士上班16、紧接着2063的后面写一串数字,每个数字都是它前面两个数字之积的个位数字,这串数是这样的：……你算：这串数从头数起第2063个数字是几17、杨军在外婆家玩了9天,回家后,将这9天的日历撕下来,他惊奇地发现：这9天日历上的数相加刚好是81;你想：杨军是几号回家,几号去外婆的他为什么感到“惊奇” 第三讲 练习题答案1、158÷5＝11……3排在第3位的是“蓝”故：第58颗是蓝色;25×8－2＝38颗故：第8颗蓝珠子是第38颗;2、1123÷7＝17……4 排在第4位的是星期三46363302A B A ⨯B故：国庆节那天是星期三;2225÷7＝30……5余数为5,按星期规律排在第五是星期四故：2004元旦是星期四;3、余数可能是7、6、5、4、3、2、1、0这八种情况;4、除数最小是8;5、当余数为6时,被除数是16×7＋6＝118;6、187÷4＝46……3第3个重复出现的是“7”故：积的末位数字是7;7、300÷4＝75余数为0,是排在第四位的重复出现数“6”故：积的末位数字是68、A 代表5；B 代表6;9、<1>100÷12＝8……4小时<2>4－4=0即12点运用倒推法故：钟面上现在是12点;10、2000÷9＝222……2个第2个是“红”故：最后一个是红球;11、26÷7＝3周……5天,第5循环数是“1”故：第26天是星期一;12、提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A －G 七个字母下面120÷7＝17……1第一个字母是A故：120位于A 下面;13、提示：分母和分数的出现规律是：分母是1,有分数1个；分母是2,有分数3个；分母是3,有分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、5、7、9……;分母为6,相对应的分数有11个,66排在分母为6这一组中的第6个; <1>9＋1×5÷2＋6＝31个 故：66是第31个分母数; <2> ∵分数的个数与分母有这样的关系如下表∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个,即64 ; 14、∵□÷23＝87……12中的“12”多3 10,∴□＝23×87＋12－10＝2003故：“某数”是200315、∵A B C D E 5个战士1－2 3－4 5－6 7－8 9－10 时间11－1213－1415－1617－1819－20………………………………………每隔10小时1循环∴100÷10＝10余数为0或9都是轮为“E”故：100小时时该由第五个战士上班;16、提示：这串数从11位开始,每6个为一个周期循环出现,而且每一位上的数字与余数的对应关系是：∵2063÷6＝343 (5)故：这串数从头数起第2063个数字是817、设杨军去的那天是K号,则第二天就是K＋1号,第三天就是K+K+1+K+2+K+3+K+………+K+8=819K＋1＋8×8÷2＝819K＝45K＝5K＋8＝13故：杨军是5号去外婆家的,13号回家;杨军之所的感到惊奇,是因为他发现9天连续日期的和等于9×9；不仅9天这样,凡是3、5、7、11、13………奇数天连续日期的和等于那个奇数和本身的乘积;注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样,而是特定的从某天开始;如本题必须是从5号从6号就不一定了开始,到13号这九天日期才是81;。
奥数五六年级知识点总结第五讲 余数与同余
第五讲余数与同余一、问题引入上一讲我们已经学习了如何判断一个数能否被另一个数整除（主要总结除数为20以内整数的情况），这一讲中我们将会在此基础上，继续探讨如果一个数不能被另一个数整除，那么余数是多少，这是本讲将要讨论的第一个问题——余数问题。
我们知道，自然数（0和所有正整数），按能否被2整除可以分为偶数和奇数两类，即能被2整除（除以2余0）的数为偶数，不被2整除（除以2余1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。
同理，如果我们以除以3的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余0、余1、余2；如果我们以除以4的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余0、余1、余2、余3；以除以n为标准，就可以将自然数划分为n类。
那么除以n余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n余数不同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。
二、知识总结1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
【注】下列方法大家以理解为主，不必死记。
着重掌握除以3、4、8、9、16的余数求法即可。
①求除以2的余数：奇数余1，偶数余0；②求除以3的余数：等于该数的各位数字之和除以3的余数；③求除以4的余数：等于该数末两位组成的数除以4的余数；④求除以5的余数：等于该数个位数除以5的余数；⑤求除以6的余数：该数的各个数字之和除以3得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以6的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以6的余数为a+3；⑥求除以7的余数：等于该数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差除以7的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑦求除以8的余数：等于该数的末三位除以8的余数；⑧求除以9的余数：等于该数的各位数字之和除以9的余数；⑨求除以10的余数：等于该数的个位数；⑩求除以11的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和与偶数的数字之和的差除以11的余数（b）等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以11的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑪求除以13的余数：等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以13的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑫求除以16的余数：等于该数的后四位除以16的余数;⑬求除以17的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，所得到的数字除以17的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑭求除以18的余数：该数的各个数字之和除以9得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以18的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以18的余数为a+3；⑮求除以19的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，所得数字除以19的余数。
小学奥数知识点总结(优选12篇)
小学奥数知识点总结（优选12篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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小学奥数七大模块个知识
小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大板块，其中必须掌握的三十六个知识点，内容从和差倍问题、年龄问题到循环小数，包含了小学奥数七个模块的知识。
以下是小学奥数知识清单：2、年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3、归一问题基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；5、鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
最全小学奥数知识要点
最全小学奥数知识要点同学们，小学奥数可以分为七大板块：计算、计数、数论、几何、应用题、行程和组合。
在这七大板块中，必须掌握的是三十六个知识点。
下面是这些知识点的清单：2、年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3、归一问题基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；5、鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
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余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则M A=M a×b=（M a）b
②若B=c+d则M B=M c+d=M c×M d
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的
和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则a p-1≡1(mod p)。