奥数讲义数论专题：6 进位制

华杯赛数论专题|：6 进位制

我们平常熟悉的十进制：

（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2

其他进制转化为十进制：

（a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e

例题：

例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？

【答案】24

【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。

又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。

所以A＋B最小值是9＋15＝24。

例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？

【答案】50、150，或者55，165

【解答】设A在十进制中表示是（），

由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，

可见m是5的倍数，因此m＝0或5。

相应的计算出R＝30或32。

所以A和B分别是50、150，或者55，165。

例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？

【答案】212

【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。

则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。

（1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。

所以，a＝0。但是a在首位，a又不能等于0。所以，这样的数字不存在。

（2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。

所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。

例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和，我们就称这样的数为“双子数”，比如9＝＋，36＝＋，它们都是双子数。现有一个双子数

是1040。

（1）把1040写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和。这样的写法唯一吗？

（2）比1040小的双子数共有多少个?

【答案】（1）＋，写法是唯一的。（2） 49

【解答】

（1）1040＝1024＋16＝＋，写法是唯一的。

（2）若某个双子数可以表示成的样子（k＞m），

而且小于1040，则k＜10或者k＝10，m＜4。

当k＜10：则m也小于10，也就是k、m在0到9之间取值，

且不相同，利用排列组合，有=45种。

当k＝10：m＜4：m＝0、1、2或3，4种情况。

因此共有45＋4＝49个。

例5.一副双色牌中，红、黑两种颜色各有10张，分别写着1、2、4、8、16、……、512.小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和.

（1）若算出的和为183，那么小梁最多可能抽取了多少张牌？

（2）小梁有多少种抽取牌的方法，使得算出的和为23？

【答案】（1） 10 （2） 24

【解答】

（1）183＝27＋25＋24＋22＋21＋20，其中 26、22、21、20是恰有一个颜色选择，

25、24、23是两种颜色都可以选择的。所以，最多可能抽取10张。

（2）23＝0＋23＝1＋22＝2＋21＝……＝23＋0。所以，总共有24种。

例6.有些正整数可以表示成496的不同约数之和，例如36符合条件，因为36可以表示成1＋4＋31；而62本身就是496的约数，那么认为62也符合条件.

（1）请把104写成496的不同约数之和；

（2）不能写成496的不同约数之和的最小正整数是多少？

【答案】（1） 104＝62＋31＋8＋2＋1 （2） 993

【解答】（1） 496＝31×16，所以，104＝62＋31＋8＋2＋1

（2）496＝31×16，因此496的约数有1，2，4，8，16，1×31，2×31，

4×31，8×31，16×31。

其所有约数的和为：

1＋2＋4＋8＋16＋1×31＋2×31＋4×31＋8×31＋16×31＝31＋31×31＝992。

对于小于992的任何一个正整数，都可以表示成n＝31×k＋r，其中0≤k，r≤31，将k和r分别用二进制表示，可知31×k可以表示成1×31，2×31，4×31，8×31，16×31中若干个数之和，r可以表示成1，2，4，8，16中若干个数之和。

因此n＝31×k＋r一定可以表示成496的若干个互不相同的约数之和。

又993比496的所有约数之和还要大，因此它不能写成496的不同约数之和，

故所求最小正整数就是993。

例7.用a、b、c、d、e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果（ade）5、（adc）5、（aab）5是由小到大排列的连续正整数，那么（cde）5所表示的整数写成十进制的表示是多少？

【答案】108

【解答】通过分析，得到c＝4，d＝1，e＝3。（413）5＝4×52＋1×5＋3＝108。

例8.三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的.那么符合这样要求的等差数列有多少个？

【答案】6

【解答】将6化成五进制数，就是11.因为这3个数的数字和是依次减少的，这就是说要找到1个五进制数，它加上1个11后有进位，再加1个11后还有进位.

，说明每一个两位数化成五进制数后最多只有3位.那么进位只可能在

个位和十位.

由此我们可以找到两种符合要求的数：a24、a43.在这两种数中，a都有3种选择0、1、2.所以一共有6个符合要求的等差数论。