矢量函数的导数
矢量函数的导数
矢量函数的导数矢量函数的导数是矢量函数在某一点处的变化率，它是矢量函数的重要性质之一。
在物理学、工程学、数学等领域中，矢量函数的导数被广泛应用于描述物理量的变化、求解最优化问题等方面。
矢量函数的导数可以通过极限的定义来求解。
设矢量函数f(t)在t 点处的导数为f'(t)，则有：f'(t) = lim┬(h→0)〖(f(t+h)-f(t))/h〗其中，h为自变量t的增量。
这个定义可以理解为，当自变量t在t点处发生微小变化h时，矢量函数f(t)在该点处的变化量与h的比值，即为该点处的导数。
矢量函数的导数具有一些特殊的性质。
首先，矢量函数的导数是一个矢量，它的方向与函数在该点处的切线方向相同，大小等于函数在该点处的切线斜率。
其次，矢量函数的导数满足线性性质，即对于任意实数a和b，有：(f(t) + g(t))' = f'(t) + g'(t)(af(t))' = af'(t)其中，f(t)和g(t)分别为两个矢量函数。
矢量函数的导数在求解最优化问题中有着广泛的应用。
例如，在机器学习中，我们需要求解一个目标函数的最小值，这个目标函数通常是一个多元函数，可以表示为一个矢量函数。
通过求解矢量函数的导数，我们可以找到目标函数的最小值点，从而得到最优解。
矢量函数的导数还可以用于描述物理量的变化。
例如，在运动学中，我们可以用速度矢量函数的导数来描述物体的加速度，从而求解物体的运动轨迹。
矢量函数的导数是矢量函数的重要性质之一，它具有线性性质和方向性质，可以用于求解最优化问题和描述物理量的变化。
在实际应用中，我们需要灵活运用矢量函数的导数，以解决各种问题。
矢量函数的导数
d u u 0 u
u 0 u u 0 u u 0 u
当u0 时，上式右端第三项趋向于零。因此
dfF
f
dFFdf
du du du
（1-31）
❖ f 和F 之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导 数运算法则相同。
❖ 如果 F 是多变量(如)的函数，则对一个变量的偏导数 的定义是
F u 1 ,u 2 ,u 3 lim F u 1 u 1 ,u 2 ,u 3 F u 1 ,u 2 ,u 3
（1-5）
❖ ❖ 直角坐标系中以坐标原点为起点，引向空间任一 点的矢量，称为点的矢径，如图1-2。有
rxexyey+zez
（1-6）
r r x2y2z
（1-7）
err rexcoseycosezcos
（1-8）
空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等于
点 M 的坐标值。
空间一点对应着一个矢径；反之，与每一矢径对应
❖ (2) 矢量的标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义，标量积（点乘）和矢量积 （叉乘）。
❖ ◆ 标量积: AB 是一标量，其大小等于两个矢量模值 相乘，再乘以它们夹角（取小角，即）的余弦：
ABABcosAB
（1-19）
是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的乘 积。符合交换律：
ABBA
（1-20）
E q r
40r3
求E 的矢量方程的通解。
【解】
E 4q 0 r3(x e x y e y z e z) E x e x E y e y E ze z
由式（1-17）化简后得矢量线微分方程
dx x
dy y
d
y
dz
y
z
矢性函数
2
2
2.矢端函数
将矢量(向量)r ( t )的起点放在原点o， 终点为M , 则r ( t ) OM , 由此可见, 向量 函数 r r ( t )在几何上表示空间曲线, 它 是向量 r r ( t )终端运动的轨迹, 所以又 叫矢端曲线(向量又称矢量 ).
图6-7
例2 当空间中的一质点M 沿着以Z 轴为中心, 底面半径 为a的圆柱面以角速度绕z轴旋转,同时又以速度v沿平 行于z轴的方向上升(其中和v都是常数), 则M 点的运 动轨迹是一条螺旋线, 它的参数方程是 x a cos t , y a sin t , z vt ,
定义 设G是数集，如果对每个变量t G , 都有唯一 确定的矢量(向量) A和它对应，则称A为t的矢性(矢量 或向量)函数，记为 A A( t ).
矢性函数A( t )在三维空间中， 写成 A( t ) ( Ax ( t ), Ay ( t ), Az ( t ))
例1 矢性函数A( t ) (sin t , cos t , t ) sin t i cos t j A1 ( t )i A2 ( t ) j A3 ( t )k , 则
dAy dAz dA dA x A (t ) i j k dt dt dt dt
例1 设A( t ) (sin t 2 , 1 5t , 3t ), 求A( t ).
i 解 B C cos t 2
j sin t 3
k 3 1
(9 sin t , cos t 6, 3cos t 2sin t ) i j k A ( B C ) sin t cos t t 9 sin t cos t 6 3cos t 2sin t
矢量函数的导数
矢量函数的导数矢量函数是指由一个自变量产生一组有序的矢量。
矢量函数有时也称为向量函数，常常用符号 r(t) 表示，其中 r 是矢量函数，t 是自变量。
矢量函数的导数是指矢量函数每个分量的导数所组成的矢量。
矢量函数的导数可以用微积分的方法求解。
下面将对矢量函数的导数进行详细介绍。
矢量函数 r(t) 的导数定义如下：如果极限存在，那么矢量函数 r(t) 在点 t 处可导，其导数就是该极限，即：矢量函数的导数也可以写成分量的形式，即：其中，i,j,k 分别表示三维空间中的 x、y、z 轴，分别对应于矢量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。
1、常数倍法则设常向量 k 为常数，矢量函数 r(t) 可导，则有：2、和法则3、点积法则其中，× 表示向量的叉积，r'×s' 表示矢量函数 r(t) 和 s(t) 的导数的叉积。
对于矢量函数 r(t) 的导数来说，它描述了在矢量函数曲线上的切向量。
具体来说，在 t 点处的矢量函数导数是矢量 r(t) 在该点处的切线方向所对应的单位向量。
举个例子来说，考虑一个三维空间中的矢量函数 r(t)=(cos(t),sin(t),t)。
这个矢量函数定义了一个以单位圆为底面、以 t 轴为高度的圆锥。
在 t=0 点处，由于 r'(t) = (-sin(t),cos(t),1)，所以有 r'(0) = (0,1,1)。
因此，在 t=0 点处，矢量函数的导数表示了圆锥在底面上的切向量和在垂直于底面的方向的变化速率。
对于二维曲线，曲率描述的是曲线的弯曲程度。
类似地，在三维空间中，曲率表示的是矢量函数曲线的弯曲程度。
其中，T(t)、N(t) 和 B(t) 分别为单位切向量、单位法向量和单位副法向量。
T(t) 表示着在矢量函数曲线上的切向量，N(t) 表示在曲线上的单位法向量，B(t) 则是切向量和法向量的叉积所得的单位向量。
因此，这三个矢量分别描述了曲线在该点处的切线、法线和副法线方向。
学习大学物理必备数学知识
r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ，CBr，则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB
Ar，
则有：dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c
矢量的运算
这时 r 是矢量的模，括号中的量是单位矢量。 cosα，cosβ,cosγ也称为该矢量的方向余弦。
矢量与数量相乘时，各分量也相应扩大同样的倍数。
如
F ma maxi may j mazk
9
矢量的乘法
物矢理量学的中 点用 乘到 ：的F矢• 量S的 乘FS法c还os有点乘和叉F乘。
sin
j)
其中r是该矢量的模，而括号中的 项是r方向上的单位
矢量。
r0
cos
i sin
j
在已知x及y的情况下
r x2 y2
tg y
x
例1、设矢量
r
(6i
8
j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
6
Y
y r2
y2 y1
0 x2
利用矢量的解析表示法，设两矢量
dt t0
t
当上述极限存在时 r 的导数存在。对直角坐标系来说:
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
15
如果
r rr0
问这时
d r dt
?
单位矢量表示方向，是可以随时间变化的，所以求导
时要考虑单位矢量的导数。这时：
dr dt
dr dt
r0
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：
r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
冲刺高考文科数学必看题型归纳
冲刺高考文科数学必看题型归纳随着高中阶段的学习即将结束，文科同学们的高考备战也进入冲刺阶段。
作为高考的一大考试科目，数学在文科生的备考中显得尤其重要。
为此，本篇文章将对文科数学的必看题型进行归纳，帮助同学们在时间紧迫、压力巨大的备考过程中更好地掌握知识点，备战高考。
一、函数1. 函数的奇偶性：（1）$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；（2）$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；（3）$f(x)\ne f(-x)$，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
2. 函数的周期性：（1）对于任意一个实数$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则函数是以$T$（$T>0$）为周期的周期函数，$T$ 称为函数的周期；（2）当$T$ 为最小正周期时，函数是最简周期函数。
3. 函数的单调性：（1）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递增的；（2）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递减的。
4. 函数极值问题：（1）极大值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极大值；（2）极小值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\ge f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极小值；（3）极值：极大值和极小值统称为极值。
二、解析几何1. 点、向量的基本概念：（1）点：在xoy 坐标系中，设坐标轴OX、OY 的交点为坐标原点O，则任意一点$P(x,y)$ 都可表示为向量$\overrightarrow{OP}(x,y)$。
（2）向量：向量是具有大小和方向的几何量，用向量符号$\overrightarrow{a}$ 表示。
基本矢量求导
基本矢量求导在向量微积分中，我们经常需要对向量函数进行求导。
基本矢量的求导主要涉及标量函数对矢量的求导以及矢量函数对矢量的求导。
1.标量函数对矢量的求导：假设我们有一个标量函数f(x, y, z) 和一个矢量(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})。
标量函数对矢量的求导通常指的是梯度。
梯度定义为：(\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\hat{k})这表示函数 f 在点(x, y, z) 处的变化率或斜率。
2.矢量函数对矢量的求导：假设我们有一个矢量函数(\vec{A} = A_x(x, y, z)\hat{i} + A_y(x, y, z)\hat{j} + A_z(x, y, z)\hat{k}) 和另一个矢量(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})。
矢量函数对矢量的求导通常涉及到雅可比矩阵或全导数矩阵。
雅可比矩阵是一个m×n 矩阵，其中m 和n 是矢量函数和自变量的维数。
对于上述的(\vec{A}) 和(\vec{r})，雅可比矩阵为：(\begin{bmatrix}\frac{\partial A_x}{\partial x} & \frac{\partial A_x}{\partial y} & \frac{\partial A_x}{\partial z} \\frac{\partial A_y}{\partial x} & \frac{\partial A_y}{\partial y} & \frac{\partial A_y}{\partial z} \\frac{\partial A_z}{\partial x} & \frac{\partial A_z}{\partial y} & \frac{\partial A_z}{\partial z} \\end{bmatrix})每一行代表(\vec{A}) 的一个分量对(\vec{r}) 的各个分量的偏导数。
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F F (u)
F (u u)
图 1-12 矢量微分示意图
dF lim F lim F u +Δu F u
du u0 u u0
u
（1-30）
❖ 这里假定此极限存在（即极限是单值的和有限的）。
如图1-4所示，在一般情况下，矢量的增量不一定与
矢量的方向相同。如果
dx dy dz Fx Fy Fz
（1-17）
这就是矢量线的微分方程。
❖ 【例1-1】设点电荷位于坐标原点，它在周围空间的 任一点所产生的电场强度矢量
E q r 4 0r 3
求E 的矢量方程的通解。
【解】
q E 40r3 (xex yey zez ) Exex Eyey Ezez
A
分别在坐标单位矢量方向上的投
影，即
Ax Ay
A ex Aey
A cos Acos
Az A ez Acos
（1-3）
式（1-1）可写为
A Acos ex Acos ey Acos ez
（1-4）
❖ 模等于1的矢量叫做单位矢量。
由式（1-12），
F dl 0
dl dx ex dy ey dz ez
式（1-15）简写为
F Fx ex Fy ey Fz ez
（1-16）
❖ 式（1-16）可写为
ex ey ez F dl Fx Fy Fz 0
dx dy dz
展开上式，并根据零矢量的三个分量均为零的性质， 或两矢量平行的基本条件，可得
ห้องสมุดไป่ตู้
（1-18）
❖ (2) 矢量的标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义，标量积（点乘）和矢量积 （叉乘）。
❖ ◆ 标量积: AB 是一标量，其大小等于两个矢量模值 相乘，再乘以它们夹角（取小角，即）的余弦：
A B AB cosAB
（1-19）
是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的乘 积。符合交换律：
A(BC) B(AC) C(A B)
（1-28）
❖ 上式右边为“BAC－CAB”，称为“Back－Cab”法
4 矢量函数的微积分 （一）矢量函数的概念
❖ 常矢：模和方向都保持不变的矢量称为常矢。
❖ 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量称为变矢。
❖ 矢量函数：表示物理量的矢量一般都是一个或几个 （标量）变量的函数，叫矢量函数。例如，静电场 中的电场强度矢量，它的三个坐标分量一般也是 x, y, z 的函数，即
◆ 在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不
是常矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量提到 微分符号之外。
❖ 在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地
偏导数是
e e e e ez ez ez 0 z z z
（1-34a）
由式（1-17）化简后得矢量线微分方程
dx x
dy y
dy
dz
y z
此方程的通解是
y z
C1x C2 y
（C1,C2 为任意常数）
❖ 将此解综合，可以写为 z D1x D2 y ：（ D1, D2为任意常
数）可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点（原
点）向空间发散的径向辐射线。这样一簇矢量线形
Ex,y,z Ex x, y,zex + Ey x, y,zey + Ez x, y,zez
（1-29）
❖ 如果给定矢量场中任一点的坐标，式（1-29）就给 出该点的一个确定的矢量（电场强度）。
（二）矢量函数的导数 ◆ 矢量对空间坐标的导数 ❖ 设是单变量的矢量函数，它
对u 的导数定义是
（1-22）
它不符合交换律。由定义知
并有
A B B A
ex ex ey ey ez ez 0 ex ey ez, ey ez ex, ez ex ey
（1-23） （1-24）
A B (Axex Ayey Azez )(Bxex Byey Bzez ) (AyBz AzBy )ex (AzBx AxBz )ey (AxBy AyBx )ez
根据式（1-6）及矢量的加法规 则，矢量 R表示为
R= r r x xex y yey z zez （1-7）
z P(x, y, z)
x1 O
y
❖ 矢量的模值记为R ，是点 Px, y,z 与点Qx, y,z 之间的距离，由式
x 图1-3 空间矢量表示方法
象地描绘出点电荷电场的分布状况。
3 矢量代数运算
❖ 假设两个矢量，
A Axex Ayey Azez B Bxex Byey Bzez
❖ (1) 矢量的和差
把两个矢量的对应分量相加或相减，就得到它们的 和或差，即
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez
（1-9）得
R x x2 y y2 z z2
（1-10）
❖ 矢量的单位矢量
eR
R R
x x x x2 y y2 z z2 ex
y y
z z
x x2 y y2 z z2 ey x x2 y y2 z z2 ez
（1-25）
各分量的下标次序具有规律性。（1-25）式可以写 成行列式
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
（1-26）
◆ 矢量的三重积：矢量的三连乘也有两种。
❖ 标量三重积为
A (B C) B (C A) C (A B)
（1-27）
因为，的模值就是 A与 B 所形成的平行四边行面积， 因此，C (AB)就是该平行四边行与C所构成的平行六 面体的体积。矢量三重积为
u12 u1u2
一些矢量函数。若至少有连续的二阶偏导数，则有
2F 2F u1u2 u2u1
❖ 在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量，其 导数为零。
❖ 利用式（1-50）有
E
x x
Exex Exey Ezez
Ex
ex x
Ex x
ex
Ey
e y x
Ey x
ey
Ez
ez x
Ez x
ez
Ex x
ex
Ey x
ey
Ez x
ez
❖ 结论：在直角坐标系中，矢量函数对某一坐标变量 的偏导数（或导数）仍然是个矢量，它的各个分量 等于原矢量函数各分量对该坐标变量的偏导数（或 导数）的矢量和。简单地说，只要把坐标单位矢量 提到微分号外就可以了。
du u0
u
u0 u
u0 u u0 u
当u 0 时，上式右端第三项趋向于零。因此
d fF f dF F df
du
du du
（1-31）
❖ f 和F 之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导 数运算法则相同。
❖ 如果 F 是多变量(如)的函数，则对一个变量的偏导数 的定义是
（1-11）
式中三个分量的系数也就是矢量R 的方位余弦。
❖ 如果空间有一长度元矢量，它在直角坐标单位矢 量上的投影值分别是 dx,dy,dz ，则
dl = dxex + dyey + dzez
（1-12）
dl dx2 dy2 dz2
（1-13）
2 矢量场的矢量线
❖ 一个矢量场，可以用一个矢量函数来表示。
e
e
（1-34b）
e
e
（1-34c）
❖ 结论：在柱坐标系下，ez 是常矢，它对任何一个坐标
变量求导都为零，e , e , ez 都不随 , z 变化而变化，也
就是它们对 , z 求导也为零。从单位矢量在空间坐
标系中随位置的变化情况能够体会到这一点。
❖ 在球坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地 偏导数是
在直角坐标系中，某一矢量物理函数可表示为
F Fx, y, z
（1-14）
用分量表示为
F F x, y, z Fx x, y, zex Fy x, y, zey Fz x, y, zez （1-15）
上式中 Fx x, y, z 、Fx x, y, z 、Fx x, y, z 分别是矢量 Fx, y, z在三个 坐标轴上的投影。
电磁场与电磁波
参考教材:《电磁场与电磁波》 孙玉发 郭业才等 编 合肥工业大学出版社
第一章 矢量分析
1.1基本概念
一、标量场与矢量场
如果在空间中一个区域内的每一点都有一物理量的 确定值与之对应，在这个区域中就构成该物理量的 场。
❖ 标量场：如果物理量是一个确定的数值的标量，这 种场就叫标量场（scalar field），如温度场、密度 场、电位场等。
r r x2 y2 z
（1-7）
er
r r
ex
cos
ey
cos
ez
cos
（1-8）
空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等于
点 M 的坐标值。
空间一点对应着一个矢径；反之，与每一矢径对应
着空间确定的一个点，即矢径的终点。所以又叫做 位置矢量。
如果空间任一矢量的起点是 Px, y, z，终点是 ， Qx, y, z
❖ 按矢量与数量乘积的定义，有