高三数学第一轮复习4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
-16-
解析: (1)原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos
[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin
[(65°-x)+(x-20°)]=sin 45°=√22.故选 B.
(2)∵sin α+cos α=13,
考点 2 三角函数公式的逆用及变用
例 2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为
()
A.√2
B.√22
C.12
(2)已知 sin α+cos α=13,则 sin2
π 4
-������
=(
D.√23 )
A.118
B.1178
C.89
D.√92
.
思考已知一个角或两个角的三角函数值,求另一角的三角函数关闭
值(1的)C一般(2)思-27路3299 是什么?
答案
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
-23-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)cos
������
+
������ 2
=cos
关于y轴对称.若sin α= 1 ,则cos(α-β)=
.
3
(1)A (2)-7
9
关闭
答案
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
-11-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)cos αsin
������ + π
6
+sin αsin
������-
π 3
=cos αsin
������ + π
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
()
(1)BA.-(√222)B (3)B B.√22
C.12
D.-12
思考三角函数公式除了直接应用外,还能怎样应用?
关闭
答案
第四章
考点1
考点2
考点3
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
αsin β=-
2√2 3
2
+
1 3
2=-79.
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin2α-1=2× 1 2-1=-7.
3
9
第四章
考点1
考点2
考点3
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
两边平方得 9sin2θ=cos2θ,即 9×1-co2s2������ = 1+c2os2������, 解得 cos 2θ=45.
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
-8-
知识梳理 双基自测
12345
4.(2018 全国Ⅲ,理 4)若 sin α=13,则 cos 2α=( )
6
-sin αcos
������-
π 3
+π
2
=sin
������ + π
6
cos α-cos
������ + π
6
sin α
=sin ������ + π -������ =sinπ = 1,
6
62
故选 A.
(2)(方法一)因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,根据三角函数
定义可得 sin β=sin α=13,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin
第四章
考点1
考点2
考点3
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
-19-
对点训练2(1)(2018全国Ⅱ,理15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin
β=0,则sin(α+β)=
.
(2)化简:[2sin 50°+sin 10°(1+√3tan 10°)]·√2sin280°= .
关闭 关闭
解析 答案
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
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核心考点
-6-
知识梳理 双基自测
12345
3.若 tan θ=-13,则 cos 2θ=
A.-45
B.-15
( C.15
) D.45
关闭
D
答案
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
-7-
知识梳理 双基自测
4.5 两角和与差的正弦、余弦
与正切公式
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
-2-
知识梳理 双基自测
12
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β . (2)cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β .
=
7.
5
(方法二)∵tan
������-
π 4
=
tan
������
-tan
π 4
1+tan
������·tan
π 4
=
tan ������-1 1+tan ������
=
16,
∴tan α=75,答案为75.
-14-
第四章
考点1
考点2
考点3
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
-15-
∴A+C=23π
,
������+������ 2
=
π3,tan������+2 ������
=
√3,
∴tan���2���+tan���2��� + √3tan���2���tan���2���
=tan
������ + ������
22
1-tan
������ 2
tan
������ 2
+ √3tan���2���tan���2���
=
√2
co s2������-si n2������ √22sin ������+√22cos ������
=cos
α-sin
α=-7.
5
(2)(方法一)tan α=tan
������-
π 4
+π
4
tan
=
1-tan
������ -π4
+tan
π 4
������ -π4
·tan
π 4
=116-+16×11
∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=19,
∴sin 2α=-89,
∴sin2
π 4
-������
=
1-cos π2-2������ 2
=1-si2n2������ = 1178.
第四章
考点1
考点2
考点3
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核心考点
-17-
(3)由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得1ta-tna���n���+������ttaann������������=-1,即 tan(A+B)=-1,
知识梳理
核心考点
-12-
解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中 要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.
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核心考点
-13-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)已知 sin α=35,α∈
π 2
,π
,则√2scions2���������+��� π4
∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=-12.
(2)原式=
2sin
50°+sin
10°·cos10
°+√3sin10 cos10 °
°
·√2sin 80°
= 2sin 50°+2sin 10°·12cos10c°os+10√23°sin10 °
=
.
(2)若 tan
������-
π 4
= 16,则 tan α=
.
(1)-75 (2)75
关闭
答案
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
核心考点
考点1
考点2
考点3
解析:(1)∵sin α=3,α∈ π ,π ,
5
2
∴cos α=-45.
∴√2scions2���������+��� π4
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。
第24讲+两角和与差的正弦、余弦和正切公式(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲
π
4
， ∈
π
4
=
2cos ，即cos −
π π
,
4 2
，所以 −
π
= = ，则 =
4
π
,
2
π
4
∈ 0,
π
π
4
π
4
= cos
，
π
= 故 − = ．
4
4
π
4
π
4
2 sin sin + cos cos =
2cos ቀ −
8.（2024·江苏南通·高三校考期中）在△ 中，若tan + tan + 2 =
2tantan，则tan2 =_________．
tan（+2）−tan
1+tan（+2）tan
＝
2−（−3）
1+2×（−3）
＝－1，tan α＝tan(α＋β－β)＝
−1−（−3）
1+(−1）×（−3）
1
2
＝ .
【最新模拟练】
1. [2024河北石家庄模拟]已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程 x 2＋4 x －3＝0的
sin2
余弦
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α－β)
正切
tan α－tan β
tan(α－β)＝
1＋tan αtan β
T(α－β)
2.二倍角的三角函数
三角
函数
正弦
二倍角
简写形式
2sin αcos α
sin 2α＝____________
S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
— 9—
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4-5 三角恒等变换【含答案】
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4.5 三角恒等变换【考情分析】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。
【重点知识梳理】知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β C (α＋β) cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β S (α－β) sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β S (α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)知识点二 二倍角公式S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；变形：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α【典型题分析】高频考点一 公式的直接应用【例1】 (2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55C.33D.255【答案】B【解析】由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos 2α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin α＝cos α，∴tan α＝12，∴sin α＝55，故选B 。
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(
)
A．M<N<P B．N<M<P
C．P<M<N D．P<N<M
答案：C
(2)[2023·河北石家庄模拟]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin
7
sin (α＋β)＝________．
18
4
解析：由于sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝ ，
3
16
故(sin α＋cos β)2＝1，(cos α＋sin β)2＝ ，
5
6
6
100
11
D．－
100
答案：B
π
π
π
π
π
π
解析：因为cos ( ＋α)cos ( －α)＝(cos cos α－sin ·sin α)·(cos cos α＋sin sin
6
6
6
6
6
6
3
1
3
1
3
1
3
1
＝( cos α－ sin α)·( cos α＋ sin α)＝ cos2α－ sin2α＝ cos2α－ (1－cos2α)
sin αcos β±cos αsin β
(1)sin (α±β)＝________________．
(2)cos (α±β)＝________________．
cos αcos β∓sinαsinβ
tan ±tan
1∓tantan (α±β)＝ Nhomakorabea_________．
(3)tan
2 + 2 sin（x＋φ）
23
解析：(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°tan 44°＝1＋tan 1°tan
高考一轮复习课件：和角,差角,倍半角公式
例4、活页例2、
（二）知值求角
例5、活页例3、
小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题． 小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题．着眼于
和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、 和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、 升降幂、转换为特殊角等技巧． 、升降幂、转换为特殊角等技巧．
2、辅助角公式 、
( a > 0, b > 0 )
2 2
a sin α ± b cos α = a + b sin (α ± ϕ )
b 其中tanϕ = a
3.倍角公式 倍角公式
cos 2α = cos α − sin α = 2 cos α − 1 2 = 1 − 2sin α
π
思维点拨:注意观察角与角之间的关系,
三.公式应用: 公式应用 求值： 和角.差角公式的应用 （一）求值： 1. 和角 差角公式的应用 例1 已知 cos π − α = 3 , sin 3π + β = 5 . 其中 π < α < 3π , 0 < β < π ,
求 sin (α + β )的值.
4 5
4
13
4
4
4
小结：本题是给值求值问题， 小结：本题是给值求值问题，解这类题时应认真
分析已知式子中的角与未知式子中的角的关系 .函数名称和式子结构的 函数名称和式子结构的 再决定如何利用以知条件,采用哪些公式 考虑角的整体运用 再决定如何利用以知条件 采用哪些公式,考虑角的整体运用．常用角的 采用哪些公式 考虑角的整体运用． 变换， 变换，如：
sin 2 α − cos2 α = − cos 2α + sin α cos α
超实用高考数学专题复习教学课件：4.5第1课时两角和与差的正弦余弦与正切公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的.( × )
(2)公式 asin x+bcos x=√2 + 2 sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的值无关. ( × )
2
2
(3)cos θ=2cos 2 -1=1-2sin 2 .
3
θ= sin
2
√3
θ+ cos
2
π
θ=1,即√3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π √3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
∴
4-2
=
cos54°
2sin18° 4-4sin2 18°
=
sin36°
π
cos(α-6)+sin
3
即 sin
2
√3
α+ cos
2
4√3
√3
α= 5 ,可得 2 cos
1
α+2sin
α+sin
4√3
π 4√3
α= ,∴√3sin(α+ )= ,即
5
6
5
4√3
α= 5 ,
π 4
sin(α+ )= .
6 5
考点3
角的变换与名的变换
(多考向探究)
考向1 三角公式中角的变换
【例 3】 (1)(2020 河北石家庄二模,文 7)在平面直角坐标系中,角
高考数学一轮复习第四章三角函数5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版2
sin110°sin20°
的值为( B )
cos2 155°-sin2 155°
1
1
√3
A.-2
B.2
C. 2
π
√14
2cos2 -1
(2)已知 θ∈ 0, ,且 sin θ-cos θ=- ,则 π =(
4
4
cos 4+
2
4
3
A.
B.
C.
3
3
4
例 2(1)
√3
D.- 2
D )
3
D.
2
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
) D
1
D.2
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
3.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( D )
A.cos 2α>0
B.cos 2α<0
C.sin 2α>0
D.sin 2α<0
解析:∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D.
-6知识梳理
1
定义可得 sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+ sin
αsin β=-
2√2
3
2
+
1 2 7
=-9.
3
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos
2024年高考数学一轮复习第4章第3讲：两角和与差的正弦余弦和正切公式(附答案解析)
第1页共24页2024年高考数学一轮复习第4章第3讲：两角和与差的正弦余弦和正切公式学生版考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(√)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)。
【步步高】高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形两角和与差的正弦、余弦和正切公式文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式文1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ .答案2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 90°－50°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ .答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tanα＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝12－131＋12×13＝17.4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin α＋π4＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 ． 答案 (1)－75 (2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ .(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ．答案 (1)35(2)－1解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ .答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)] ＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cosB ·cosC ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ．答案 (1)π4(2)3解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin (π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝ .答案539解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角． 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin2A ＋B ＝－53， ∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin 30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12 解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴c os α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3 ＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23 ＝3－223－123－123＋1 ＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。