2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准2018本一试题解答与评分标准一．填空题（ 每小题4分，共20分）(1) 设()()()()12ln arctan ,,,1u xf u x y f x u xϕϕ-+===+则1d d x yx==.(2) ()22sin cos2d x x x π+=⎰ .(3) ()2201d 1x x +∞=+⎰ .(4) 已知函数(),,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w F '=函数(),z f x y =由()22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足()1,20,f =则()1,2x f '=.(5) 设Γ是区域(){}22,4,0x y x y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取()()()()()331e d e d yyx y y x x y xy y Γ-+-+++=⎰解 (1) 记 ()()2222221321,242nn an ⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅因为()()()2212112k k k -⋅+<()*,k ∈N （1分）所以()()()()()222222232113355721210,2462222n n n n n a n n n -⋅-⋅⋅⋅--<=⋅⋅⋅⋅⋅<-（2分）因为 ()221lim 0,2n n n→∞-=应用夹逼准则得 lim 0.nn a →∞= （2分）(2) 应用不等式的性质得()222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分） ()()2222444422222110sin 2x y x xy y x yx y x yy x+++≤⋅+≤=++，（1分）因为2211lim 0,x y yx →∞→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭应用夹逼准则得 ()224444lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞→∞++⋅+=+（2分）三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{},nnx y 满足:(),,n x a a δ∈-(),n y a a δ∈+()0,δ>且lim ,n n x a →∞=lim ,nn y a →∞= 试求 ()()lim .nnnnn nn x f y y f x y x→∞-- 解 由()f x 在x a=处可导得()()()lim ,x af x f a f a x a→-'=- ( 2分)()()()()lim ,n n n f x f a f a f a x a-→∞-''==-()()()()lim ,n n n f y f a f a f a y a+→∞-''==- ( 2分)应用极限的性质得()()()()()(),0,n n n n n f x f a f a x a x a n αα'=+-+⋅-→→∞( 1分) ()()()()()(),0,n n n n n f y f a f a y a y a n ββ'=+-+⋅-→→∞( 1分)代入原式得()()()()()()lim lim n n n n n n n n n n n nn nn n x f y y f x x y a y a x f a a f a y x y x βα→∞→∞--+⋅-'=-++--( 2分)()()lim lim n n n nnnn n n nn n y a a x f a a f a x y y x y x βα→∞→∞--'=-+++--lim lim 0,01,01n n n nn nn n n n n n y a a x x y y x y x βα→∞→∞⎛⎫--==<<<< ⎪--⎝⎭因为()()()()00.f a a f a f a a f a ''=-+++=-+ ( 2分)四. (10分) 已知()()()111sin cos 1001;200x x x f x x xx ⎧--≤<<≤⎪=⎨⎪=⎩或，试判别:(1) ()f x 在区间[]1,1-上是否连续? 若有间断点,判断其类型;(2) ()f x 在区间[]1,1-上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3)()f x 在区间[]1,1-上是否可积? 若可积,求出()11d ;f x x -⎰若不可积, 写出理由.解 (1) ()f x 在区间[]1,1-上不连续. (1分)由于01lim sin 0,x x x →=011lim cos 2x x→不存在,所以()0lim x f x →不存在, ()f x 在0x =处不连续,0x =是第二类振荡型间断点.(2分)(2) ()f x 在区间[]1,1-上存在原函数. (1分)()f x 在区间[]1,1-上的一个原函数为()()()211sin1001;200.x x x F x xx ⎧-≤<<≤⎪=⎨⎪=⎩或(上式2分,下式1分)(3) 由于0x =是()f x 在[]1,1-上的唯一间断点，()f x 在[]1,1-上有界, 所以()f x 在区间[]1,1-上可积. (1分) 下面用2种方法计算定积分:方法1 ()()()1111d d d f x x f x x f x x --=+⎰⎰⎰()102210111111sin sin sin 1sin1sin12222x x xx-+-=+=--+=(2分)方法2()()()111111d sin1sin 1sin122f x x F x --==--=⎰ (2分)五.(14分) 已知曲面222248xy z ++=与平面220x y z ++=的交线Γ是椭圆,Γ在xOy 平面上的投影1Γ也是椭圆, (1) 试求椭圆1Γ的四个顶点1234,,,A A A A 的坐标(iA 位于第i 象限,1,2,3,4i =);(2)判断椭圆Γ的四个顶点在xOy 平面上的投影是否是1234,,,A A A A ,写出理由.解 (1) 椭圆Γ在xOy平面上的投影为221324,:0.x y xy z ⎧++=Γ⎨=⎩(2分)因为1Γ关于原点中心对称,所以椭圆1Γ的中心是()0,0,为了求椭圆1Γ的四个顶点的坐标,只要求椭圆1Γ上到坐标原点的最大距离与最小距离的点.取拉格朗日函数 ()2222324,F xy x y xy λ=++++- (1分) 由()()22220,2230,324x y F x x y F y y x x y xy λλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪++=⎩的1,2式消去λ得2220,xy xy -+=与第3式联立解得1.y =±(2分)当1y =时解得可疑的条件极值点()()1212,1,12,1,A A -- 当1y =-时解得可疑的条件极值点()312,1,A -()412,1,A -由于椭圆1Γ的四个顶点存在,则上述1234,,,A A A A 的坐标即为所求四个顶点的坐标.(2分)(2) 解法1 椭圆Γ的四个顶点在xOy 平面上的投影不是1234,,,A A A A (1分)(反证)假设椭圆Γ的四个顶点1234,,,B B B B 在xOy 平面上的投影是1234,,,A A A A ,则1234,,,B B B B 的坐标为11212,1,,B ⎛--- ⎝⎭21212,1,,B ⎛-+- ⎝⎭31212,,B ⎛+- ⎝⎭41212,,B ⎛-- ⎝⎭(2分)由于椭圆Γ的中心是()0,0,0,所以椭圆Γ的短半轴1311972,2OB OB =-长半轴2OB 4OB =11972,2=+由此得椭圆Γ所围图形的面积为21171972,44S ππ'=-=(2分) 这是不对的.因为1234422,422,OA OA OA OA =-==+所以椭圆1Γ的长半轴422,a =+短半轴422,b -于是椭圆1Γ所围图形的面积为122.S ab ππ==(1分)由于平面220x y z ++=的法向量的方向余弦中2cos .3γ=所以椭圆Γ所围图形的面积应为 132cos SS πγ==，导出矛盾. (1分)解法 2 椭圆Γ的四个顶点在xOy 平面上的投影不是1234,,,A A A A (1分)(反证)假设椭圆Γ的四个顶点1234,,,B B B B 在xOy 平面上的投影是1234,,,A A A A ,则其中1B 的坐标为11212,1,,B ⎛---+ ⎝⎭(1分)因为Γ关于原点中心对称,所以椭圆Γ的中心是()0,00,，为了求椭圆Γ的四个顶点满足的方程,只要求椭圆Γ上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令()()22222224822,F x y z x y z x y z λμ=+++++-+++()222220,2420,2820,248,220,x y y F x x F y y F z z x y z x y z λμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'*=++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩(2分)由方程组()*中（1），（2），（3）式联立消去λ，μ得30xz yz xy --=， (2分)将1B 的坐标12,1,x y =-=12z --=代入得)()))31132121212120222xz yz xy --=-+-=≠，即1B 的坐标不满足方程组()*，所以1B 不是椭圆Γ的顶点。

导出矛盾。

(1分)解法 3 应用拉格朗日乘数法求椭圆Γ上四个顶点的坐标 (题目没有这个要求，如果有学生用此方法求解,时间上可能得不赏失,而且往往解不到底，难得全分). 因为Γ关于原点中心对称,所以椭圆Γ的中心是()0,00,，为了求椭圆Γ的四个顶点的坐标,只要求椭圆Γ上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令()()22222224822,F x y z x y z x y z λμ=+++++-+++()222220,2420,2820,248,220,x y y F x x F y y F z z x y z x y z λμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'*=++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩(2分)由方程组()*中（1），（2），（3）式联立消去λ，μ得30xz yz xy --=，(2分)将此式与（4），（5）式联立并消去z 得22223270,32 4.x y xy x y xy ⎧-+=⎨++=⎩令y x λ=代入此式得()2222730,3214x λλλλ⎧--=⎪⎨++=⎪⎩解得773λ±=(1分)当773λ+=时，可解得422192573x =+，由此可得两个可疑的条件极值点177********,219257321925732192573B +-++++37732973242,219257321925732192573B ⎫-++-+++(1分)当773λ-=时，可解得422192573x =-由此可得两个可疑的条件极值点27732973242,219257321925732192573B ⎛⎫---- 47732973242,219257321925732192573B ⎛----由于椭圆Γ的四个顶点存在,则上述1234,,,,B B B B 的坐标即为所求四个顶点的坐标.1234,,,,B B B B 在xOy 平面上的投影显然不是1234,,,A A A A (1分)注 上述解法3中若将y x λ=改为,x y λ=则得下列等价结论：()2223720,234y λλλλ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得773λ-±= 当773λ-+=时，可解得627373y =-，由此可得两个可疑的条件极值点17372573262,7373737327373B ⎛-+--- 373725732627373737327373B ⎛----当7736λ-=时，可解得627373y =+由此可得两个可疑的条件极值点 27372735262,7373737327373B ⎛-+++ 473727352627373737327373B ⎛--+++。