江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛

本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2

x π

≤

）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n

x 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m n

n

d x p x dx

-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5.

22

2

[cos()]sin x x xdx π

π

-

+=⎰

_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--x

t dt e t 102

所确定的隐函数，则==0

22t dt x

d 。

7.已知微分方程()y y

y x x

ϕ'=

+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。 8.直线21

x z

y =⎧⎨

=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v

为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹

角为____________。

10. =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

+∞→n

n n n n n 122

22

2

2

1211

1lim Λ 。 二、（7分）

设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞

→lim 。

三、（7分）求c 的值，使

⎰

=++b a

c x c x 0)cos()(，其中a b >。

四、（12分）求由曲面2

2

2

2

2

2

,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）

。 五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动aq m （其中01q <<），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q 倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？

六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明20

1

()3

f x dx M ≤⎰

，

其中 [0,2]

()max

x M f x ∈''=.

江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛

本科一级竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分） 1.

11141

4242lim n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L ________________. 2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+⎧⎨

=⎩

确定的隐函数，则z

x ∂=∂____________________。

3.设2

2

()(32)cos

16

n

x f x x x π=-+，则()

(2)n f

=________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos 2x

y xe x =，则通解为_______________。

5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22

221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。

6.已知,a b r r 是非零常向量2b =r

，(,)3

a b π∧

=r r ，则0lim

x a xb a

x

→+-=r r r

___________________。

7.

2

3

1

1(cot )dx x π

=+⎰

_______________________。

8.椭球面222

241x y z ++=

与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。

二、（8分）试比较e π与e π

的大小。

三、（10分）已知,a b 满足

12

b a

x dx =

⎰

，（0a b ≤≤），求曲线2

y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D ：)0(,2

2

2

>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。求证：

)0,0(),(1

lim

2

f dxdy y x f t D

t =

⎰⎰→。

五、（10分）求不定积分dx xe x x

x x ⎰++)1(cos 1sin 。

六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程046

22222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u

y x u x u 化简成02=∂∂∂η

ξu

，求b a ,的值。 七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0,()0f f f x ==≠, 证明：10

[0,1]

()4()max x f x dx f x ∈''≥⎰

。