【期中试卷】吉林省梅河口市2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
梅河五中2016—2017学年度上学期期中试题高二数学 （文）本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上，第Ⅰ卷一、选择题 （本大题共12小题。
每小题4分，每个小题只有一个正确选项）1．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使 x 2＋2x ＋m >0C ．对于任意的x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m >0 3. 在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 4． “m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( ) A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝0 6. 设点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )． A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4 7．P 是椭圆2212516x y +=上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积等于A. )32(16+B.)32(4-C.3316 D. 168．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是 ( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心9．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足21MF MF ∙＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22)D ．[22，1)10，已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ． 2B ．3 C.115D.371611．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为 ( )．A ．ρ＝22cos θB ．ρ＝－22cos θC ．ρ＝22sin θD ．ρ＝－22sin θ12已知直线y ＝k (x —2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝A.1B. C.3D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分）13. 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么，|AB |等于14. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 15.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|=16．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是 三、解答题17、（10分）已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．18、（10分）若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，求该弦所在直线的方程。
19、（12分）已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π3. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相交于点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．20（12分）在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值. 21、（12分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →. (1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．文科答案1---12 BDBCAB CDCABB13，8 14，22132x y += 15，12 16， |k 17, 解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，∴函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0.∴－2＜a ＜2，∴命题p ：－2＜a ＜2.∵函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数，则有5－2a ＞1，即a ＜2，∴命题q ：a ＜2.又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}．18，x ＋2y －4＝019，解(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝1＋t sin π3，即⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝1＋32t.(2)圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ 的普通方程为x 2＋y 2＝4.把直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝1＋32t代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＝4， t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2.则点P 到A 、B 两点的距离之积为2. 2021，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.梅河五中2016—2017学年度上学期期中试题高二数学 （文）本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上， 第Ⅰ卷一、选择题 （本大题共12小题。
每小题4分，每个小题只有一个正确选项） 1．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B2．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使 x 2＋2x ＋m >0C ．对于任意的x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m >0 [答案] D3. 在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxy ′＝uy 代入方程y ′＝sin x ′得uy ＝sin λx ，即y ＝1usin λx ，比较系数可得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝13λ＝2.答案 B4． “m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆⇔1n >1m >0⇔m >n >0.故选C.5．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( ) A ．3x －y －20＝0 B ．3x －y －10＝0 C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝0[答案] A[解析] 设AC 、BD 交于点O ∵A 、C 分别为(3，－1)(2，－3) ∴O 为(52，－2)，设B 为(x ，y )∴D 为(5－x ，－4－y )∵D 在3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0 即3x －y －20＝0，选A.6. 设点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案 B7．P 是椭圆2212516x y +=上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积等于A. )32(16+B.)32(4-C.3316 D. 16 8．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)的位置关系是 ( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析 把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为 (0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线 和圆的位置关系． 答案 D9．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足21MF MF ∙＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22)D ．[22，1) [答案] C[，c <b ，即c 2<b 2，∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C.10，已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716[答案] A [解析] 如图|PA |＋|PB |＝|PF |＋|PB |∴所求最小值为点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4×1－0＋6|5＝2，故选A.11．．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( B )．A ．ρ＝22cos θB ．ρ＝－22cos θC ．ρ＝22sin θD ．ρ＝－22sin θ12．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝ BA.1B.C.3D.第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分）13. 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么，|AB |等于 8[解析] 由题意，|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝(x 1＋x 2)＋2＝6＋2＝8，选A.14. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 22132x y += 15.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于16．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是 |k 三、解答题17、（10分）已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数 f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，∴函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0. ∴－2＜a ＜2，∴命题p ：－2＜a ＜2.∵函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数，则有5－2a ＞1，即a ＜2，∴命题q ：a ＜2.又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}．18、（10分）若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，求该弦所在直线的方程。
吉林省梅河口市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试题Word版无答案
梅河口市第五中学2016---2017学年 (高二)年级上学期期末考试数学 (理)试卷本试卷分为第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分， 共150分，考试时间120分钟，考生作答时，将答案写在答题卡上一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分） 1．命题2",0"x R x ∀∈≥都有的否定是 ( )A ．2",0"x R x ∀∈<都有B ．2",0"x R x ∈<不存在使得C ．200",0"x R x ∃∈≥使得D ．200",0"x R x ∃∈<使得2. 在复平面内，复数1iz i=-，则z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3.用反证法证明：“a＞b”，应假设为（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．a ≤b 4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -= B.2214x y -= C.2214y x -= D.2214x y -= 5.若命题2:53,:56p x q x x -≤≤<-，则“p ”是“q ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 函数()sin cos f x x x =+ 在点(0,(0))f 处的切线方程为 （ ）A. 10x y --=B. 10x y -+=C. 10x y +-=D. 10x y ++= 7. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 8.函数24()()1xf x x R x =∈+（ ）A.既有最大值2，又有最小值-2B. 无最大值，但有最小值-2C.有最大值2，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值9.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，B 1C 的中点，则EF 和平面ABCD 所成角的正切值为( )A. 2B.22 C. 12D. 2 10.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，已知)(x f y '=的图像，则)(x f y =的图像可能是 ( )A ．B ．C ．D ．11.已知椭圆)0(1:112122121>>=+b a b y a x C 与双曲线)0,0(1:222222222>>=-b a b y a x C 有相同的焦点21,F F ,点P 是两曲线的一个公共点,且,21PF PF ⊥21,e e 分别是两曲线21,C C 的离心率,当22214e e +取得最小值时，1C 的离心率1e 等于( )A ．21 B ．32 C ．23 D ．3112.已知函数2342017()12342017x x x x f x x =+-+-++，2342017()12342017x x x x g x x =-+-+--,设()(4)(4)F x f x g x =+•-，且函数()F x 的零点在区间[][]1,-1,(,,)a a b b a b a b Z -<∈或内，则a b +的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2 二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分） 13.由直线21=x ，2x =，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是 14. 已知抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M ，作l 的垂线，垂足为E ，若EF MF =,点M 的横坐标是3，则p = 15. 观察下列不等式2131,22+<221151,233++< 22211171,2344+++< …照此规律，第n 个不等式为 16.已知3()3,f x x x =-则下列说法正确的是 ①1,()c f x c =-=当时方程有3个实根； ②c ,(())3R f f x c ∀∈=方程至少有个实根； ③c (2,2)(())9f f x c ∈-=当时，方程有个实根；④()5c f f x c =当=2时，方程（）有个实根. 三、解答题（共计70分，要求书写解答过程） 17(10分).已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程()12.2t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换3x xy y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设C '上任一点为(,),M x y x +求的最小值.18(10分).已知数列31,32,33，…，3,n …，计算1234,,,S S S ,S 根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.19(11分)．如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，AC BC ⊥，且=2AC BC =．(1) 求证：AM ⊥平面EBC ； (2)求二面角A EB C --的大小．BMEDC A20(12分). 已知函数()2xf x e ax b =--，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数。
2016-2017年吉林省吉林五十五中高二(上)期中数学试卷及参考答案
2016-2017学年吉林省吉林五十五中高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99 B．100 C．96 D．1012．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．3．（5分）已知数列，3，，…，，那么9是数列的（）A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项4．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1015．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°8．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0 9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．810．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解11．（5分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．12．（5分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．83二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．14．（5分）已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为．15．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=．16．（5分）若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值是．三、解答题17．（12分）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．18．（12分）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．19．（12分）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0为．20．（12分）画出下列不等式（组）表示的平面区域：（1）3x+2y+6＞0（2）．21．（15分）在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．22．（15分）某生产甲，乙两种产品，生产这两种产品每吨需要的煤，电以及每吨产品的产值如表所示．若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使该厂日产值最大？用煤/吨用电/千瓦产值/万元甲种产品728乙种产品35112016-2017学年吉林省吉林五十五中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99 B．100 C．96 D．101【解答】解：由题意，a n=3n﹣2，故有3n﹣2=298，∴n=100，故选：B．2．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．===．【解答】解：S△ABC故选：B．3．（5分）已知数列，3，，…，，那么9是数列的（）A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项【解答】解：由=9．解之得n=14由此可知9是此数列的第14项．故选：C．4．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．101【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是首项为a1=1，公差为a n+1﹣a n=2的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a51=2×51﹣1=101．故选：D．5．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：C．6．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵{a n}是等比数列∴=a1q n﹣1=×==解得：n=5故选：C．7．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选：D．8．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，∴a＜0，且△=b2﹣4ac＜0，综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．故选：A．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．8【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选：C．10．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选：B．11．（5分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，=故选：D．12．（5分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．83【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S=，△ABC∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：14．（5分）已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为a n=2n﹣3．【解答】解：由题意可得，2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），解得：a=0．∴等差数列{a n}的前三项为﹣1，1，3．则a1=﹣1，d=2．∴a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．故答案为：a n=2n﹣3．15．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=﹣14．【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0，由韦达定理可得，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14．故答案为：﹣14．16．（5分）若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值是9．【解答】解：∵∴=当且仅当时，取等号．故答案为：9．三、解答题17．（12分）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．【解答】解：设公比为q，…（1分）由已知得…（3分）②即…（5分）②÷①得，…（7分）将代入①得a1=8，…（8分）∴，…（10分）…（12分）18．（12分）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由已知条件，，解出a1=3，d=﹣2，所以a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．（Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2．所以n=2时，S n取到最大值4．19．（12分）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0为{x|x＞5或x＜﹣1} ．【解答】解：由﹣x2+4x+5＜0化为x2﹣4x﹣5＞0，即（x﹣5）（x+1）＞0，解得x ＞5或x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣1}．故答案为{x|x＞5或x＜﹣1}．20．（12分）画出下列不等式（组）表示的平面区域：（1）3x+2y+6＞0（2）．【解答】解：（1）画出满足条件的平面区域，如图示：；（2）画出满足条件的平面区域，如图示：．21．（15分）在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．【解答】解：（1）∴C=120°（2）由题设：∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°=∴22．（15分）某生产甲，乙两种产品，生产这两种产品每吨需要的煤，电以及每吨产品的产值如表所示．若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使该厂日产值最大？用煤/吨用电/千瓦产值/万元甲种产品728乙种产品3511【解答】解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨．依题意可得线性约束条件…（5分）目标函数为z=8x+11y，…（7分）作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示…（10分）将z=8x+11y变形为y=﹣x+当直线y=﹣x+在纵轴上的截距达到最大值时，即直线y=﹣x+经过点M时，z也达到最大值．由得M点的坐标为（5，7）…（12分）所以当x=5，y=7时，z max=5×8+7×11=117 …（13分）因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是117万元．…（14分）。
【中小学资料】吉林省梅河口市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年吉林省通化市梅河口高二（下）期中数学试卷（文科）一、第Ⅰ卷选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i是虚数单位，b∈R，2+（b﹣1）i是实数，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|y=lg（1﹣x）}，B={a|关于x的方程x2﹣2x+a=0有实解}，则A∩B=（）A．∅B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]3．α，β，γ为平面，l是直线，已知α∩β=l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件4．已知x=30.5，y=log2，z=log2，则（）A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣3 C．D．﹣6．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=07．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0’’C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞08．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（）A．πB．4πC． D．9．已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=e x﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点11．抛掷一颗骰子得到的点数记为m，对于函数f（x）=sinπx，则“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率是（）A．B．C．D．12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则+的最小值是（）A．3+2B．4 C．2 D．3二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案写在答题卷上．）13．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．14．函数f（x）的定义域为R，周期为4，若f（x﹣1）为奇函数，且f（1）=1，则f（7）+f（9）= ．15．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则a= ．16．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为．三、解答题（本题5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把解题过程和步骤写在答题卷上.）17．甲乙两人进行射击比赛，各射击5次，成绩（环数）如下表：（1）分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差，并由此分析两人的射击水平；（2）若分别对甲、乙两人各取一次成绩，求两人成绩之差不超过2环的概率．18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n 个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．已知函数f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、第Ⅰ卷选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i是虚数单位，b∈R，2+（b﹣1）i是实数，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据2+（b﹣1）i是实数先求出b=1，然后进行化简即可．【解答】解：∵2+（b﹣1）i是实数，∴b﹣1=0，即b=1，则z====i，对应的点的坐标为（，），对应的点位于第三象限，故选：C2．集合A={x|y=lg（1﹣x）}，B={a|关于x的方程x2﹣2x+a=0有实解}，则A∩B=（）A．∅B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中a的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴A=（﹣∞，1）；由B中方程x2﹣2x+a=0有实解，得到△=4﹣4a≥0，即a≤1，∴B=（﹣∞，1]，则A∩B=（﹣∞，1），故选：B．3．α，β，γ为平面，l是直线，已知α∩β=l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直，面面垂直的关系进行判断即可．【解答】解：由α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β=l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．4．已知x=30.5，y=log2，z=log2，则（）A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵x=30.5＞1，0=log21=＜log2＜log22=1，z=log2＜0∴z＜y＜x．故选：B．5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣3 C．D．﹣【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，观察可得S值的变化规律为﹣3，﹣，，2，﹣3，…，S的取值周期为4，从而可求第2010项为﹣．【解答】解：模拟执行程序框图，由题意知，S值的变化规律为﹣3，﹣，，2，﹣3，…，可得S的取值周期为4，则第2010项为﹣，故选：D．6．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．【解答】解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．7．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0’’C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据向量共线定理判断A，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，可判断C；命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，可判断D．【解答】解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确；已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，可知C正确；若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正确．故选：C．8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（）A．πB．4πC． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是三棱锥，结合棱锥的几何特征，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球体积V==，故选：D9．已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：设z=，则z==||•cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M最小，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：A．10．设函数f（x）=e x﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导函数为0，判断函数单调性，然后求解函数的极值，得到选项．【解答】解：由函数f（x）=e x﹣2x，得f′（x）=e x﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2时，f′（x）＜0，x＞ln2时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2时取得极小值．故选：C．11．抛掷一颗骰子得到的点数记为m，对于函数f（x）=sinπx，则“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”等价于[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，问题得以解决．【解答】解：由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”，∴[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，故概率为“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率为=，故选：B．12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则+的最小值是（）A．3+2B．4 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算；7F：基本不等式．【分析】由满足的关系式得，，可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立【解答】解：∵ =（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，点P（x，y）∴即∵0≤μ≤λ≤1．∴可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立，二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案写在答题卷上．）13．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5} ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2﹣3x﹣10＜0化为（x﹣5）（x+2）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．14．函数f（x）的定义域为R，周期为4，若f（x﹣1）为奇函数，且f（1）=1，则f（7）+f（9）= 1 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3Q：函数的周期性．【分析】由已知中f（x﹣1）为奇函数，可得f（﹣1）=0，结合函数f（x）的定义域为R，周期为4，且f（1）=1，则f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1），进而得到答案．【解答】解：由f（x﹣1）为奇函数，知f（﹣1）=0，又∵函数f（x）的定义域为R，周期为4，f（1）=1，∴f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1）=1，故答案为：115．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则a= 2 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】通过配方可知f（x）的最小值为2a﹣1，进而可知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，通过计算g（1）=2a﹣1、g（﹣a）=2a﹣1即得结论．【解答】解：∵f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a﹣1，∴f（x）的最小值为2a﹣1，由题意知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，将x=1或x=﹣a代入g（x），解得：a=2，故答案为：2．16．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为 3 个．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】①F（x）=f（|x|），从而判断；②易知函数F（x）是偶函数；③由对数函数的单调性及绝对值可判断F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n ﹣log2m）＜0；④由函数的零点与方程的根的关系可得|x|=或|x|=；从而判断出函数y=F（x）﹣2有4个零点．【解答】解：①F（x）=f（|x|），故F（x）=|f（x）|不正确；②∵F（x）=f（|x|），∴F（﹣x）=F（x）；∴函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n﹣log2m）＜0；④当a＞0时，F（x）=2可化为f（|x|）=2，即a|log2|x||+1=2，即|log2|x||=；故|x|=或|x|=；故函数y=F（x）﹣2有4个零点；②③④正确；故答案为：3 个．三、解答题（本题5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把解题过程和步骤写在答题卷上.）17．甲乙两人进行射击比赛，各射击5次，成绩（环数）如下表：（1）分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差，并由此分析两人的射击水平；（2）若分别对甲、乙两人各取一次成绩，求两人成绩之差不超过2环的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）根据已知中的数据，代入公式分别可得其均值和方差由其意义可得结论；（2）由列举法可得总的基本事件，设A表示“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，找出A 包含的基本事件，代入古典概型的概率公式可得【解答】解：（1）依题中的数据可得：=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=7…= [（4﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=5.2= [（5﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]=2…∵=，＞∴两人的总体水平相同，甲的稳定性比乙差…（2）设事件A表示：两人成绩之差不超过2环，对甲、乙两人各取一次成绩包含的基本事件为（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9）（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9）（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种事件A包含的基本事件为：（4，5）（4，6），（5，5），（5，6），（5，7）（7，5）（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，7），（9，8），（9，9），（10，8），（10，9）共15种∴P（A）==…18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n 个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…从而得出f（5）；（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得【解答】解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．19．已知函数f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，求出函数g（x）的导数，得到g （x）的最小值，从而求出a的范围；（2）先求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）f（x）≤1即：a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，则g′（x）=2x﹣=，令g′（x）=0，得，x=，g（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）为增函数，所以g（x）最小值为g（）=﹣ln，所以a≤﹣ln；（2）f′（x）=﹣，令f′（x）=0，得x=，所以f（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）为减函数，若a≤，则≥1，f（x）在（0，1]上为增函数，所以f（x）max=f（1）=a，若a＞，则＜1，f（x）在（0，）上为增函数，在（，1]为减函数，所以f（x）max=f（=）．20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k2=3＞2.706，即可得出结论；（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人），在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在20～30岁之间的概率．【解答】解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，…根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人）…在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人．…年龄在20～30（岁）记为（A，B）；年龄在30～40（岁）记为（a，b，c，d），则从6名选手中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20种情况，…其中至少有一人年龄在20～30岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P（A）==…∴至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为．…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）把k=e代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值；（Ⅱ）求出函数h（x）的导函数，当k≤0时，由函数的单调性结合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，当k＞0时，由函数的单调性求出函数h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），h（x）=lnx﹣，当k=e时，，若0＜x＜e，则h′（x）＜0；若x＞e，则h′（x）＞0．∴h（x）是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，故h（x）min=h（e）=2﹣e，故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2﹣e，无极大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），，当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过弦切角定理以及角的平分线，直接证明三角形是等腰三角形，即可证明CE=DE；（Ⅱ）利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证： =即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C1：，得，利用cos2α+sin2α=1即可得出曲线C1的普通方程，由曲线C2：，利用和差公式展开再利用即可得出直角坐标方程．（2）设椭圆上的点，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得 a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．。
吉林省吉林市2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版
吉林省吉林市2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题时间： 120分钟 试卷分值：150分一、选择题（共12题，各5分，共60分）1. ．若,a b 是任意的实数,且a b >,则( )A ．22b a >B ． 1<a bC ． lg()0a b ->D ．ba )21()21(<2. 若,a b R +∈，且,a b M≠=N =，则M 与N 的大小关系是（）A ．M N >B ．M N <C ．M N ≥D ．M N ≤3. 若 x <0， 则2 + 3x + 4x 的最大值是 （ ）A ．2 + 4 3B ．2±4 3C ．2－4 3D ．以上都不对[www.4. 直线12+=x y 的参数方程是（ ）。
A.⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数）5. 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22yx （θ为参数） 化为普通方程是 （ ）A ． 042=+-y xB ． 042=-+y xC ．042=+-y x ]3,2[∈xD ． 042=-+y x ]3,2[∈x6. 若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为 （ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-7.已知过曲线{()3cos 3sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为2π，则P 点坐标是 （ ）A . （0，3）B . 1212(,)55-- C. (-3，0) D . 1212(,)558. 设0ab <，则下列不等式中正确的一个是 ( ) A . a b a b +>- B . a b a b +<- C . a b a b -<- D . a b a b -<+9. 若直线（为参数）与直线垂直，则常数（ ）A.7B.5C.4D.610．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是 （ ）A. 线段B. 双曲线的一支C. 圆D. 射线11．直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A ． 相切B ． 相交但直线不过圆心C ． 相离D ． 直线过圆心12.直线112()x tt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为A ． (3,3)-B ．( C ．3)- D ．(3, （ ） 二、填空题（共4题，各5分，共20分）13. 直线(t 为参数)上到点A (1,2)的距离为4的点的坐标为___14. 函数y =的最大值为 .15. 不等式| x -4|≤3 的整数解的个数是___________．16. 已知a,b,c 是正实数,且a+b+c=1,则cb a 111++的最小值为__________． 三、解答题（共6题，70分）17.（本小题10分）已知12 < a < 60,15 < b < 36，求a －b ，a b的取值范围．18、（本小题12分）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： ⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=ty t x 431（t 为参数）19.（本小题12分）直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为且点在直线上.（1）求的值及直线的直角坐标方程；（2）设曲线的参数方程为（为参数），求曲线上的点到直线的最大值。
2016-2017年吉林省通化市梅河口五中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．2．（5分）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dxC．1dx D．dx3．（5分）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12B．13C．14D．154．（5分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．62.8，3.6B．62.8，14.4C．65.6，3.6D．65.6，14.4 6．（5分）已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）7．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6B．6C．﹣4D．49．（5分）两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx，x∈R，则及的大小关系是（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）12．（5分）已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（t+2）•f′（）的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负D．必为非正二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是．14．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P（B|A）=．15．（5分）若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，则a的取值范围是．16．（5分）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）三、解答题（共计70分，要求书写解答过程）17．（12分）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．18．（12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．19．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．20．（12分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞对于∀x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：由z（1+i）=4﹣2i，得，∴．故选：D．2．（5分）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dxC．1dx D．dx【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选：C．3．（5分）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：根据题意，C n+17﹣C n7=C n8，变形可得，C n+17=C n8+C n7，由组合数的性质，可得C n8+C n7=C n+18，即C n+17=C n+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选：C．4．（5分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C320.62×0.4+C330.63==故选：A．5．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．62.8，3.6B．62.8，14.4C．65.6，3.6D．65.6，14.4【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，x n，则=（x1+x2+…+x n），方差为s2=[（x1﹣2.8）2+…+（x n﹣2.8）2]=3.6，每一组数据都乘以2后再加上60，′=（2x1+2x2+…+2x n+60n）=2+60=2.8×2+60=65.6，方差s′2═[（2x1+60﹣65.6）2+…+（2x n+60﹣65.6）2]=4[[（x1﹣2.8）2+…+（x n﹣2.8）2]]=4s2=4×3.6=14.4．故选：D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数则x＜0时，函数为增函数若f（lg（x））＞f（1），则﹣1＜lg（x）＜1则＜x＜10故选：C．7．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），，∴1﹣p0•（1﹣p）2=，∴P=，∴η～B（4，），∴P（η≥2）=+=，故选：B．8．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6B．6C．﹣4D．4【解答】解：求导可得y′=3x2+b，由题意可得，解得，则bc=﹣6．故选：A．9．（5分）两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A．B．C．D．【解答】解：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，共有32=9种情况．则投入A邮箱的信件数ξ的概率P（ξ=2）==，P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=．∴其分布列为：∴Eξ=0+1×+=．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx，x∈R，则及的大小关系是（）A．B．C．D．【解答】解：因为y=xsinx，是偶函数，所以f（）=f（），又x∈[0，]时，得y′=sinx+xcosx＞0，所以此时函数是增函数，所以＜f（1）＜故选：C．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．12．（5分）已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（t+2）•f′（）的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负D．必为非正【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣2x+a．∵存在实数t，使f'（t）＜0，a＞0，∴t2﹣2t+a＜0的解集不是空集，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1，因此0＜a＜1．令t2﹣2t+a=0，解得，∴t2﹣2t+a＜0的解集是{x|0＜＜2}．∵f′（t+2）=（t+2）2﹣2（t+2）+a=t（t+2）+a，∴f′（t+2）＞0；∵==，∵==≥0，∴，∴＜0，故选：B．二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是31．【解答】解：∵（1﹣）6 =•+•+…+•，∴（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是2×+1=31，故答案为：31．14．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P（B|A）=．【解答】解：由题意，P（AB）==，P（A）=1﹣=∴P（B|A）===故答案为：15．（5分）若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，则a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：f（x）=lnx+x+﹣a=0得a=lnx+x+，设g（x）=lnx+x+，则函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数g′（x）=，由g′（x）==0，得﹣﹣1=0，即（﹣1）（+1）=0∵x＞0，∴＞0，∴﹣1=0，即=1，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，即当x=1时，函数g（x）取得极小值，g（1）=ln1+1+2=3，即g（x）≥3，若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，即方程g（x）=lnx+x+=a有解，即a≥3，故a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）16．（5分）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）【解答】解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．三、解答题（共计70分，要求书写解答过程）17．（12分）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；…（2分）取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n；…（4分）（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2猜想：当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，…（6分）下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，…（7分）假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（（k+1）﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，…（11分）∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．…（12分）18．（12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．【解答】解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知，事件A，B相互独立，且P（A）=0.6，P（（B）=0.75．（1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1== =0.4×0.25=0.1．所以该人参加过培训的概率是P2=1﹣P1=1﹣0.1=0.9．（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．即X的概率分布列如下表：∴E（X）=3×0.9=2.7．19．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，=，∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）max=f（e）=e+1；（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）max≤0，显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；当a＜0时，f′（x）=a+=，令f′（x）=0，，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，①当时，即a≤﹣1时，f（x）在[1，e]上为减函数，∴f（x）max=f（1）=a＜0，∴a≤﹣1；②当时，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，∴，∴；③当时，即时，f（x）在上单增，f（x）在上单减，∴，∵，∴，∴成立；由①②③可得．20．（12分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【解答】解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：EX=2×+3×+4×+5×=．21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞对于∀x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=（x＞0），∴f′（x）=﹣[+ln（x+1）]…（2分）∵x＞0，∴x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（4分）（Ⅱ）解：f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．…（6分）而h′（x）=，令g（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0），则g′（x）=＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）=a+1∈（3，4）故正整数k的最大值是3 …（10分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知＞（x＞0）∴ln（x+1）＞•x﹣1=2﹣＞2﹣…（12分）令x=n（n+1）（n∈N*），则ln[1+n（n+1）]＞2﹣，∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2﹣）+（2﹣）+…+[2﹣]=2n﹣3[++…+]=2n﹣3（1﹣）=2n﹣3+＞2n﹣3∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…（16分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．。
吉林省梅河口市高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版无答案
梅河口市第五中学2016---2017学年 (高二)年级上学期期末考试数学 (理)试卷本试卷分为第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分， 共150分，考试时间120分钟，考生作答时，将答案写在答题卡上一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分） 1．命题2",0"x R x ∀∈≥都有的否定是 ( )A ．2",0"x R x ∀∈<都有B ．2",0"x R x ∈<不存在使得C ．200",0"x R x ∃∈≥使得D ．200",0"x R x ∃∈<使得2. 在复平面内，复数1iz i=-，则z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3.用反证法证明：“a＞b”，应假设为（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．a ≤b 4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -= B.2214x y -= C.2214y x -= D.2214x y -= 5.若命题2:53,:56p x q x x -≤≤<-，则“p ”是“q ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 函数()sin cos f x x x =+ 在点(0,(0))f 处的切线方程为 （ ）A. 10x y --=B. 10x y -+=C. 10x y +-=D. 10x y ++= 7. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 8.函数24()()1xf x x R x =∈+（ ）A.既有最大值2，又有最小值-2B. 无最大值，但有最小值-2C.有最大值2，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值9.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，B 1C 的中点，则EF 和平面ABCD 所成角的正切值为( )A. 2B.22 C. 12D. 2 10.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，已知)(x f y '=的图像，则)(x f y =的图像可能是 ( )A ．B ．C ．D ．11.已知椭圆)0(1:112122121>>=+b a b y a x C 与双曲线)0,0(1:222222222>>=-b a b y a x C 有相同的焦点21,F F ,点P 是两曲线的一个公共点,且,21PF PF ⊥21,e e 分别是两曲线21,C C 的离心率,当22214e e +取得最小值时，1C 的离心率1e 等于( )A ．21 B ．32 C ．23 D ．3112.已知函数2342017()12342017x x x x f x x =+-+-++，2342017()12342017x x x x g x x =-+-+--,设()(4)(4)F x f x g x =+∙-，且函数()F x 的零点在区间[][]1,-1,(,,)a a b b a b a b Z -<∈或内，则a b +的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2 二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分） 13.由直线21=x ，2x =，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是 14. 已知抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M ，作l 的垂线，垂足为E ，若EF MF =,点M 的横坐标是3，则p = 15. 观察下列不等式2131,22+<221151,233++< 22211171,2344+++< …照此规律，第n 个不等式为 16.已知3()3,f x x x =-则下列说法正确的是 ①1,()c f x c =-=当时方程有3个实根； ②c ,(())3R f f x c ∀∈=方程至少有个实根； ③c (2,2)(())9f f x c ∈-=当时，方程有个实根；④()5c f f x c =当=2时，方程（）有个实根. 三、解答题（共计70分，要求书写解答过程） 17(10分).已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程()12.2t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换3x xy y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设C '上任一点为(,),M x y x +求的最小值.18(10分).已知数列31,32,33，…，3,n …，计算1234,,,S S S ,S 根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.19(11分)．如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，AC BC ⊥，且=2AC BC =．(1) 求证：AM ⊥平面EBC ； (2)求二面角A EB C --的大小．MEDCA20(12分). 已知函数()2xf x e ax b =--，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数。
【精品试卷】吉林省梅河口市高二数学上学期期中试题 文
梅河口市第五中学2017～2018学年度第一学期期中高二年级数学（文数）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[3040]，之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（ ）.A ．5，15，10B ．5，10，15C ．10，10，10D ．5，5，20 2.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（ ）.A ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与303.已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或24.．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）.A ．40.6，1.1B ．48.8，4.4 C.81.2，44.4 D ．78.8，75.6 5.设tan 3α=，则sin()cos()sin()cos()22αππαππαα-+-=-++（ ）.A ．3B ．2 C.1 D ．1-6.．已知两圆的圆心距3d =，两圆的半径分别为方程2530x x -+=的两根，则两圆的位置关系是（ ）.A ．相交B ．相离 C.相切 D ．内含 7.图中给出的是计算111124620++++的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）.A ．21i ≤B ．11i ≤ C.21i ≥ D ．11i ≥ 8.对于直线m ，n 和平面α，以下结论正确的是（ ）. A ．如果m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n α∥ B ．如果m α⊂，n 与α相交，那么m ，n 是异面直线C ．如果m α⊂，n α∥，m ，n 共面，那么m n ∥D ．如果m α∥，n α∥，m ，n 共面，那么m n ∥ 9.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos x f x x=的图象向左平移n （0n >）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ）. A ．6π B ．56π C.3π D ．23π10.曲线1y =与直线(2)4y k x =-+有两个交点,则实数k 的取值范围（ ）.A ．5(0)12，B ．5()12+∞， C.13(]34， D ．53(]124，11.某一简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是（ ）.A ．13πB ．16π C.25π D ．27π12.已知AB AC ⊥，1||AB t =，||AC t =，若P 点是ABC △所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AB =+，则PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13 B ．15 C.19 D ．21二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省梅河口市第五中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案
梅河五中2016-2017学年度上学期期中试题高二数学（理）本试卷分为第I卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上,第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题。
每小题4分，每个小题只有一个正确选项）1．已知命题:“若x≥0,y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0"的否定是（)A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m〉0C．对于任意的x∈Z都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z都有x2＋2x＋m>03．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m）,若l1⊥l2，则实数m的值为( ）A．3 B．2 C．1 D.错误! 4．“m〉n〉0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为（3,－1），(2，－3),顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动,则顶点B 的轨迹方程为（ )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝06。
已知O 为空间中的任意一点，α是任意角，下列不等式一定可以判定A,B ，C 三点共线的是A.sin cos OC OA OB αα=+B.22sin cos OC OA OB αα=+ C. sin cos OC OA OB αα=- D 。
22sin cos OC OA OB αα=-7．P 是椭圆2212516x y +=上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积等A 。
吉林省梅河口市高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年吉林省通化市梅河口高二（下）期中数学试卷（文科）一、第Ⅰ卷选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i是虚数单位，b∈R，2+（b﹣1）i是实数，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|y=lg（1﹣x）}，B={a|关于x的方程x2﹣2x+a=0有实解}，则A∩B=（）A．∅B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]3．α，β，γ为平面，l是直线，已知α∩β=l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件4．已知x=30.5，y=log2，z=log2，则（）A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣3 C．D．﹣6．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=07．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0’’C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞08．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（）A．πB．4πC． D．9．已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D 上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=e x﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点11．抛掷一颗骰子得到的点数记为m，对于函数f（x）=sinπx，则“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率是（）A．B．C．D．12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则+的最小值是（）A．3+2B．4 C．2 D．3二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案写在答题卷上．）13．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．14．函数f（x）的定义域为R，周期为4，若f（x﹣1）为奇函数，且f（1）=1，则f（7）+f（9）= ．15．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则a= ．16．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为．三、解答题（本题5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把解题过程和步骤写在答题卷上.）17．甲乙两人进行射击比赛，各射击5次，成绩（环数）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次环数甲 4 5 7 9 10乙 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差，并由此分析两人的射击水平；（2）若分别对甲、乙两人各取一次成绩，求两人成绩之差不超过2环的概率．18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n 个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．已知函数f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、第Ⅰ卷选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．请把正确答案填在答题卷的答题栏内.）1．i是虚数单位，b∈R，2+（b﹣1）i是实数，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据2+（b﹣1）i是实数先求出b=1，然后进行化简即可．【解答】解：∵2+（b﹣1）i是实数，∴b﹣1=0，即b=1，则z====i，对应的点的坐标为（，），对应的点位于第三象限，故选：C2．集合A={x|y=lg（1﹣x）}，B={a|关于x的方程x2﹣2x+a=0有实解}，则A∩B=（）A．∅B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中a的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴A=（﹣∞，1）；由B中方程x2﹣2x+a=0有实解，得到△=4﹣4a≥0，即a≤1，∴B=（﹣∞，1]，则A∩B=（﹣∞，1），故选：B．3．α，β，γ为平面，l是直线，已知α∩β=l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直，面面垂直的关系进行判断即可．【解答】解：由α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β=l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．4．已知x=30.5，y=log2，z=log2，则（）A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵x=30.5＞1，0=log21=＜log2＜log22=1，z=log2＜0∴z＜y＜x．故选：B．5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣3 C．D．﹣【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，观察可得S值的变化规律为﹣3，﹣，，2，﹣3，…，S的取值周期为4，从而可求第2010项为﹣．【解答】解：模拟执行程序框图，由题意知，S值的变化规律为﹣3，﹣，，2，﹣3，…，可得S的取值周期为4，则第2010项为﹣，故选：D．6．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．【解答】解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．7．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0’’C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据向量共线定理判断A，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，可判断C；命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，可判断D．【解答】解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确；已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，可知C正确；若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正确．故选：C．8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（）A．πB．4πC． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是三棱锥，结合棱锥的几何特征，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球体积V==，故选：D9．已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D 上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：设z=，则z==||•cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M最小，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：A．10．设函数f（x）=e x﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导函数为0，判断函数单调性，然后求解函数的极值，得到选项．【解答】解：由函数f（x）=e x﹣2x，得f′（x）=e x﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2时，f′（x）＜0，x＞ln2时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2时取得极小值．故选：C．11．抛掷一颗骰子得到的点数记为m，对于函数f（x）=sinπx，则“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”等价于[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，问题得以解决．【解答】解：由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”，∴[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，故概率为“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率为=，故选：B．12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则+的最小值是（）A．3+2B．4 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算；7F：基本不等式．【分析】由满足的关系式得，，可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立【解答】解：∵ =（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，点P（x，y）∴即∵0≤μ≤λ≤1．∴可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立，二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案写在答题卷上．）13．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5} ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2﹣3x﹣10＜0化为（x﹣5）（x+2）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．14．函数f（x）的定义域为R，周期为4，若f（x﹣1）为奇函数，且f（1）=1，则f（7）+f（9）= 1 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3Q：函数的周期性．【分析】由已知中f（x﹣1）为奇函数，可得f（﹣1）=0，结合函数f（x）的定义域为R，周期为4，且f（1）=1，则f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1），进而得到答案．【解答】解：由f（x﹣1）为奇函数，知f（﹣1）=0，又∵函数f（x）的定义域为R，周期为4，f（1）=1，∴f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1）=1，故答案为：115．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则a= 2 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】通过配方可知f（x）的最小值为2a﹣1，进而可知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，通过计算g（1）=2a﹣1、g（﹣a）=2a﹣1即得结论．【解答】解：∵f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a﹣1，∴f（x）的最小值为2a﹣1，由题意知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，将x=1或x=﹣a代入g（x），解得：a=2，故答案为：2．16．数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为 3 个．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】①F（x）=f（|x|），从而判断；②易知函数F（x）是偶函数；③由对数函数的单调性及绝对值可判断F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n ﹣log2m）＜0；④由函数的零点与方程的根的关系可得|x|=或|x|=；从而判断出函数y=F（x）﹣2有4个零点．【解答】解：①F（x）=f（|x|），故F（x）=|f（x）|不正确；②∵F（x）=f（|x|），∴F（﹣x）=F（x）；∴函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n﹣log2m）＜0；④当a＞0时，F（x）=2可化为f（|x|）=2，即a|log2|x||+1=2，即|log2|x||=；故|x|=或|x|=；故函数y=F（x）﹣2有4个零点；②③④正确；故答案为：3 个．三、解答题（本题5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把解题过程和步骤写在答题卷上.）17．甲乙两人进行射击比赛，各射击5次，成绩（环数）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次环数甲 4 5 7 9 10乙 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差，并由此分析两人的射击水平；（2）若分别对甲、乙两人各取一次成绩，求两人成绩之差不超过2环的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）根据已知中的数据，代入公式分别可得其均值和方差由其意义可得结论；（2）由列举法可得总的基本事件，设A表示“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，找出A 包含的基本事件，代入古典概型的概率公式可得【解答】解：（1）依题中的数据可得：=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=7…= [（4﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=5.2= [（5﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]=2…∵=，＞∴两人的总体水平相同，甲的稳定性比乙差…（2）设事件A表示：两人成绩之差不超过2环，对甲、乙两人各取一次成绩包含的基本事件为（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9）（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9）（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种事件A包含的基本事件为：（4，5）（4，6），（5，5），（5，6），（5，7）（7，5）（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，7），（9，8），（9，9），（10，8），（10，9）共15种∴P（A）==…18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n 个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…从而得出f（5）；（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得【解答】解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．19．已知函数f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，求出函数g（x）的导数，得到g （x）的最小值，从而求出a的范围；（2）先求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）f（x）≤1即：a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，则g′（x）=2x﹣=，令g′（x）=0，得，x=，g（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）为增函数，所以g（x）最小值为g（）=﹣ln，所以a≤﹣ln；（2）f′（x）=﹣，令f′（x）=0，得x=，所以f（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）为减函数，若a≤，则≥1，f（x）在（0，1]上为增函数，所以f（x）max=f（1）=a，若a＞，则＜1，f（x）在（0，）上为增函数，在（，1]为减函数，所以f（x）max=f（=）．20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k2=3＞2.706，即可得出结论；（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人），在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在20～30岁之间的概率．【解答】解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计20～30（岁）10 30 4030～40（岁）10 70 80 合计20 100 120…根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人）…在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人．…年龄在20～30（岁）记为（A，B）；年龄在30～40（岁）记为（a，b，c，d），则从6名选手中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20种情况，…其中至少有一人年龄在20～30岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P（A）==…∴至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为．…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）把k=e代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值；（Ⅱ）求出函数h（x）的导函数，当k≤0时，由函数的单调性结合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，当k＞0时，由函数的单调性求出函数h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），h（x）=lnx﹣，当k=e时，，若0＜x＜e，则h′（x）＜0；若x＞e，则h′（x）＞0．∴h（x）是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，故h（x）min=h（e）=2﹣e，故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2﹣e，无极大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），，当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过弦切角定理以及角的平分线，直接证明三角形是等腰三角形，即可证明CE=DE；（Ⅱ）利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证： =即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C1：，得，利用cos2α+sin2α=1即可得出曲线C1的普通方程，由曲线C2：，利用和差公式展开再利用即可得出直角坐标方程．（2）设椭圆上的点，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得 a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．。
(精品)2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．2．（5分）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx3．（5分）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A． B． C． D．5．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．62.8，3.6 B．62.8，14.4 C．65.6，3.6 D．65.6，14.46．（5分）已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）7．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．49．（5分）两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx，x∈R，则及的大小关系是（）A． B． C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）12．（5分）已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（t+2）•f′（）的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负D．必为非正二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是．14．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P （B|A）=．15．（5分）若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，则a的取值范围是．16．（5分）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）三、解答题（共计70分，要求书写解答过程）17．（12分）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．18．（12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．19．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．20．（12分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞对于∀x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2015•河南二模）若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：由z（1+i）=4﹣2i，得，∴．故选：D．2．（5分）（2013•宣武区校级模拟）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．3．（5分）（2011•祁阳县校级模拟）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：根据题意，C n+17﹣C n7=C n8，变形可得，C n+17=C n8+C n7，由组合数的性质，可得C n8+C n7=C n+18，即C n+17=Cn+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C．4．（5分）（2005•天津）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知，本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C320.62×0.4+C330.63==故选A．5．（5分）（2017春•梅河口市校级期中）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．62.8，3.6 B．62.8，14.4 C．65.6，3.6 D．65.6，14.4【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，x n，则=（x1+x2+…+x n），方差为s2=[（x1﹣2.8）2+…+（x n﹣2.8）2]=3.6，每一组数据都乘以2后再加上60，′=（2x1+2x2+…+2x n+60n）=2+60=2.8×2+60=65.6，方差s′2═[（2x1+60﹣65.6）2+…+（2x n+60﹣65.6）2]=4[[（x1﹣2.8）2+…+（x n﹣2.8）2]]=4s2=4×3.6=14.4．故选D6．（5分）（2014春•保定期末）已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f （lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数则x＜0时，函数为增函数若f（lg（x））＞f（1），则﹣1＜lg（x）＜1则＜x＜10故选C．7．（5分）（2012•铁东区校级模拟）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），，∴1﹣p0•（1﹣p）2=，∴P=，∴η～B（4，），∴P（η≥2）=+=，故选B．8．（5分）（2015秋•焦作期中）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4【解答】解：求导可得y′=3x2+b，由题意可得，解得，则bc=﹣6．故选A．9．（5分）（2017春•梅河口市校级期中）两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A．B．C．D．【解答】解：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，共有32=9种情况．则投入A邮箱的信件数ξ的概率P（ξ=2）==，P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=2）﹣P （ξ=1）=．∴其分布列为：∴Eξ=0+1×+=．故选B．10．（5分）（2005•海淀区二模）已知函数f（x）=x•sinx，x∈R，则及的大小关系是（）A． B． C．D．【解答】解：因为y=xsinx，是偶函数，所以f（）=f（），又x∈[0，]时，得y′=sinx+xcosx＞0，所以此时函数是增函数，所以＜f（1）＜故选C．11．（5分）（2017•乐山二模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．12．（5分）（2014•道里区校级三模）已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（t+2）•f′（）的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负D．必为非正【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣2x+a．∵存在实数t，使f'（t）＜0，a＞0，∴t2﹣2t+a＜0的解集不是空集，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1，因此0＜a＜1．令t2﹣2t+a=0，解得，∴t2﹣2t+a＜0的解集是{x|0＜＜2}．∵f′（t+2）=（t+2）2﹣2（t+2）+a=t（t+2）+a，∴f′（t+2）＞0；∵==，∵==≥0，∴，∴＜0，故选B．二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•河南模拟）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是31．【解答】解：∵（1﹣）6 =•+•+…+•，∴（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是2×+1=31，故答案为：31．14．（5分）（2014•锦州二模）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P（B|A）=．【解答】解：由题意，P（AB）==，P（A）=1﹣=∴P（B|A）===故答案为：15．（5分）（2017春•梅河口市校级期中）若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，则a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：f（x）=lnx+x+﹣a=0得a=lnx+x+，设g（x）=lnx+x+，则函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数g′（x）=，由g′（x）==0，得﹣﹣1=0，即（﹣1）（+1）=0∵x＞0，∴＞0，∴﹣1=0，即=1，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，即当x=1时，函数g（x）取得极小值，g（1）=ln1+1+2=3，即g（x）≥3，若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，即方程g（x）=lnx+x+=a有解，即a≥3，故a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）16．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）【解答】解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．三、解答题（共计70分，要求书写解答过程）17．（12分）（2014秋•衡水校级期末）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；…（2分）取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n；…（4分）（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2猜想：当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，…（6分）下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，…（7分）假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（（k+1）﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，…（11分）∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．…（12分）18．（12分）（2016春•文昌校级期末）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．【解答】解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知，事件A，B相互独立，且P（A）=0.6，P（（B）=0.75．（1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1===0.4×0.25=0.1．所以该人参加过培训的概率是P2=1﹣P1=1﹣0.1=0.9．（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．即X的概率分布列如下表：∴E（X）=3×0.9=2.7．19．（12分）（2013•威海二模）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，=，∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）max=f（e）=e+1；（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）max≤0，显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；当a＜0时，f′（x）=a+=，令f′（x）=0，，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，①当时，即a≤﹣1时，f（x）在[1，e]上为减函数，∴f（x）max=f（1）=a＜0，∴a≤﹣1；②当时，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，∴，∴；③当时，即时，f（x）在上单增，f（x）在上单减，∴，∵，∴，∴成立；由①②③可得．20．（12分）（2014•江西校级模拟）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【解答】解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：EX=2×+3×+4×+5×=．21．（12分）（2015春•亳州校级期末）已知函数f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞对于∀x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=（x＞0），∴f′（x）=﹣[+ln（x+1）]…（2分）∵x＞0，∴x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（4分）（Ⅱ）解：f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．…（6分）而h′（x）=，令g（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0），则g′（x）=＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）=a+1∈（3，4）故正整数k的最大值是3 …（10分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知＞（x＞0）∴ln（x+1）＞•x﹣1=2﹣＞2﹣…（12分）令x=n（n+1）（n∈N*），则ln[1+n（n+1）]＞2﹣，∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2﹣）+（2﹣）+…+[2﹣]=2n﹣3[++…+]=2n﹣3（1﹣）=2n﹣3+＞2n﹣3∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…（16分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015•江西校级一模）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE 的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．（2017春•梅河口市校级期中）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•衡阳三模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．:sxs123；minqi5；danbo7801；涨停；maths；豫汝王世崇；双曲线；沂蒙松；qiss；whgcn；caoqz；刘长柏；xintrl；wyz123；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月13日。