传输线方程
传输线方程
传输线方程是一种非常重要的物理学公式，用于描述电路中传输线的特性。
它可以用来计算某一电路中传输线的电压、电流、功率和电阻等参数。
传输线方程是电路中传输线特性的重要公式。
它可以用来计算某一电路中传输线的参数，包括电压、电流、功率和电阻等。
传输线方程的定义如下：
传输线方程由两部分组成，即传输线的电压和电流。
传输线的电压是指传输线上的电压，它由两个部分组成，一部分是电压的幅度，另一部分是电压的相位。
电流是指传输线上的电流，它也由两个部分组成，一部分是电流的幅度，另一部分是电流的相位。
通过传输线方程，可以计算出传输线的功率和电阻等参数。
电功率是指传输线上传输电能的能量，它取决于传输线的电阻和电流。
电阻是指传输线上电能损失的程度，它决定了传输线上电流的大小。
传输线方程是电路中传输线特性的重要公式，它可以用来计算某一电路中传输线的电压、电流、功率和电阻等参数，从而帮助我们更好地了解传输线的特性，提高电路的可靠性。
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
传输线方程及其解
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
传输线方程解析解求解方法的探讨
均匀传输线方程还存在一些难以解决的问题，因此对传输线方程通过拉氏变换在复频域内求解成为了一个研究方向。
为了便于计算，假设线上电压、电流都为零初始条件，则对方程（１）、（２）两端分别取拉氏变换可得如下的形式一一ｄＵ＿（ｘ，ｓ）：（风＋ｓＬｏ）Ｉ（ｘ，ｓ）（６）ａ，ｘ—ａ—Ｉ（＿ｘ，ｓ）：（Ｇ。
＋ｓＣｏ）Ｕ（ｘ，ｓ）（７）ａｘ其中Ｕ（ｘ，Ｊ）和舡声）分别为ｕ（ｘ，０和如，ｆ）的象函数。
联立方程（６）、（７）可解得线上电压电流的复频域通解为ｕ（ｘ，Ｊ）＝Ｆｓ（ｓ）ｅ一７‘’ｎ＋Ｅ０）Ｐ＋７‘。
ｎ（８）ｍ，班赤ｋ∽州小一哪矿巾¨】（９）上两式中ｒ（ｓ）为均匀传输线的传播常数，其定义为ｙ（ｓ）＝．，／—（Ｒｏ＋ＳＬ—ｏ）（Ｇｏ＋—ｓＣ—ｏ）（１０）ｚ。
（ｓ）为均匀传输线的特性阻抗，其定义为Ｚｃ（ｓ）＝Ｆ１０）、Ｆ２（ｓ）均为。
的定。
在式（８）、（９）中，分别令ｘ－－－－Ｏ并分别代２，至ｔＪ式（１２）、（ｔ３）ｔ扣，可得关于Ｆｌ（ｓ）、，２０）的方程组Ｅ（Ｊ）＋Ｒ（ｓ）＝ｕ，（ｓ）一丽１ｍ）一删ｍ）（１４’Ｆｌ（ｓ）ｅ‘７‘５’。
＋Ｅ（Ｊ）ｅ７‘’’‘。
去ｋ∽ｅ州叫一哪矽∽７ｍ）（１５）联立方程０４）、（１５）将求解所得的Ｆｌ（ｓ）、Ｆ２（ｓ）分别代入式（８）、（９）可得均匀传输线在给定边界条件下吣，）和Ｊ０，ｓ）的解为Ｕ（ｘ∽＝筹箫琊ｍ），ｓ）２≥而≤老嚣Ｆ七（ｓ）（，ｓ（５）（１６）怖）＝蒂鞴ｋ（Ｓ）Ｕｓ∽如印２亩‘蒜黹而。
’（１７）其中ｎ。
（Ｊ）、ｎ２０）分别为传输线始端和终端的反ｏＦ＝＝ｉ＝；ｒ。
图１长度为ｌ传输线的复频域模型图１所示为一段均匀传输线的复频域模型，该传输线的长度为，，假设其始端接有内阻为ｚｏ（ｓ）的电压源己‘Ｏ），终端接入一任意负载Ｚ施），则始端和终端边界条件的复频域形式分别为ｕ（ｏ，ｓ）＝Ｕｓ（ｓ）一Ｉ（ｏ，ｓ）ｚｏ（ｓ）（１２）ｕ（１，５）＝，（，，ｓ）ＺＬ（ｓ）（１３）０８）州加揣∽，㈣＝丽ｚ丽Ａｓ）而（２０）如果给出激励源“Ｏ）的具体形式．那么对式（ｔ４）、（１５）分别求取拉氏反变换则可获得线上电压、电流在给定边界条件下的解析解，但是从现有的文献州中还找不到可以描述线上行波多次反射过程的拉氏变换对，因此只能求取某些特定情形下的解析解。
传输线分布参数、传输线方程及解 ppt课件
u i
u((z2,-t1) ) i( z , t )
二、传输线方程
i(z) u(z)
z
i(z+ z)
u(z+ z)
z+ z
Lz
Rz
Cz
Gz
图 2-5 长线效应
二、传输线方程
利用基尔霍夫定律，有
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
当典型Δz→0时，有
u(zz,t)u(z,t)Ri(z,t)Li(zt,t)z i(zz,t)i(z,t)Gu(z,t)Cu(zt,t)z
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理由 很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要深 入研究这个问题。
1、低频传输线 在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知，Poynting矢量集中在导体内部传播，外 部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
le j2l
E gZ0 Z0 Zg
0
E q Z0le j2l Z0 Zg
g
Z0 Z0
Zg Zg
,称l 为Z Z反00 射Z Zll 系数。
四、无耗传输线的边界条件
可得
A1
D1 D
(Z0
Zg
EgZ0 )(1 glej2l
)
A2
D2 D
(Z0
EgZ0lej2l Zg )(1 glej2l
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
(2-2) (2-3)
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
传输线公式整理
1.传输线方程传输线方程 波动方程 通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)()()()(11z U C j dz z dI z I L j dz z dU ωω → ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0)()(0)()(222222z I dzz I d z U dz z U d ββ → ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--)(1)()(21021zj z j z j z j e A e A Z z I e A e A z U ββββ终端边界条件()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-lj lj e I Z U A e I Z U A ββ202220212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)'()'(22)'()'()'(22)'('0202'0202'202'202z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+=+='cos 'sin )'('sin 'cos )'(202202z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββ 始端边界条件 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=101210112121I Z U A I Z U A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)()(22)()()(22)('0101'0101'101'101z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββcos sin )(sin cos )(1011012.特性参数相位常数 相速度 相波长11C L ωβ= 111C L dtdz v p ===βω rp p T v ελβπλ02===特性阻抗 驻波系数 行波系数 110)()()()(C L z I z U z I z U Z r r i i =-==Γ-Γ+===11m i nm a x m i nm a x II UU ρ ρ1=K输入阻抗'cos 'sin 'sin 'cos )'()'((202202z I z Z U j z I jZ z U z I z U Z in ββββ++==输入阻抗与负载阻抗的关系'')'(000z tg jZ Z z tg jZ Z Z z Z L L in ββ++= 周期性：)'()2/'(z Z m z Z in g in =+λ反射系数（反射系数与该参考面的输入阻抗有一一对应的关系）电压、电流反射系数：)'()'()'(z U z U z i r V =Γ ； )'()'()'(z I z I z i r I =Γ → )'()'(z z I V Γ-=Γ)]'(1)['()'()]'(1)['()'(z z I z I z z U z U Γ-=Γ+=++终端、任意点反射系数：'2)'(z j L e z β-Γ=Γ； 20ϕj L L L L e Z Z Z Z Γ=+-=Γ → )'2(2)'(z j L ez βϕ-Γ=Γ周期性： )'()2'(z mz g Γ=+Γλ反射系数与驻波系数关系：ρρ+-=Γ11反射系数与阻抗关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=000)'()'()'()'(1)'(1)'(Z z Z Z z Z z z z Z z Z → z ’=0时，负载情况 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=00011Z Z Z Z Z Z L LLL L L传输功率())()()(12)()(22z P z P z Z z U z P rii -=Γ-=电压波腹点 K Z U IUz P 02maxminmax2121)(==传输线功率容量 K Z U P br br 0221=3.传输线工作状态（见附件PPT ）4.阻抗圆图θπφλθ∆=∆=∆4l5.阻抗匹配4/λ匹配 L Z Z Z 001=。
传输线方程
V + = A1e-
gz
表示向+z方向传播的波，即自源到 1 + I = A e 1 负载方向的入射波，用V+或I +表示. Z0
V - = A2 e g z
gz
表示向-z方向传播的波，即自负载 到源方向的反射波，用V-或I -表示。 I - = - 1 A e g z 2 Z0 电压电流解为
j wt j y v ( z ) j wt 轾 v( z , t ) = V0 cos(wt + y v ( z )) = Re 轾 V e e = Re V ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌 j wt j y I ( z ) j wt 轾 i ( z , t ) = I 0 cos(wt + y I ( z )) = Re 轾 I e e = Re I ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌
③TEM波传输线的长度为10cm，当信号频率为 10GHz （ λ
=3cm)时。
l /λ ①短线(0.00167)；②长线(3.33)；③长线(3.33)。
2. 传输线的分布参数 (Distributed parameter)
低频传输线在低频电路中只起连接线的作用，因频率低， 其本身分布参数所引起的效应可以忽略不计，所以在低频电路 中只考虑时间因子而忽略空间效应，因而把传输线当作集总参 数电路来处理是允许的。 而对于微波传输线，因为频率很高，此时分布参数效应不 能再忽视了，传输线不能仅当作连接线，它将形成分布参数电 路，参与整个电路的工作。因而传输线在电路中所引起的效应 必须用传输线理论来研究。 亦即，在微波传输线上处处存在分布电阻、分布电感，线 间处处存在分布电容和漏电电导。用R1、L1、G1、C1分别表 示传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，它们的数值 与传输线截面尺寸、导体材料、填充介质以及工作频率有关。
均匀传输线方程及其解
均匀传输线方程及其解
哎哟，说到这个均匀传输线方程嘛，可是咱们工程界里头的一个大头哦。
先给大家说说这方程是个啥玩意儿，然后再慢慢儿地给大家展开讲讲咋解。
咱们先从陕西话儿说起，这均匀传输线方程啊，就像是咱老陕地里的那条直溜溜儿的渠，水流稳稳当当地过去，不歪不斜。
这方程嘛，就是描述那条“水流”——也就是信号——在传输线上是怎么跑的。
再换到咱们四川话儿，这方程就像咱们四川的麻辣烫，各种调料都得恰到好处，多了少了都不行。
信号在传输线上跑，也得有个“度”，快了慢了都会影响效果。
那咋解这方程呢？这可得好好儿说说。
解这方程啊，就像咱们做川菜一样，得一步一步来，不能急。
首先得把方程里的各个量都弄清楚，哪些是已知的，哪些是未知的，这就好比咱们做菜前要准备好的各种食材。
然后就开始动手解啦。
这解的过程啊，有时候得用点儿小技巧，就像咱们川菜厨师炒菜时用的那些独门绝技。
有时候得加点儿这个，减点儿那个，才能让味道刚刚好。
解完之后呢，还得检查一下解得对不对。
这就像咱们做完菜后要尝尝味道一样，看看符不符合要求。
所以说啊，这均匀传输线方程及其解，虽然听起来挺复杂的，但只要咱们用心去做，就一定能把它搞明白。
就像咱们做菜一样，只要用心去做，就一定能做出美味佳肴来。
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x
h
d,
d
R
lc= 0 0
1 l= 2 cv 1 c= 2 lv
v=
1
单位长度电感计算
l 1
L
H dl I
H
I
L
dl
I 2 r
L
I
B dS
s
B dS 0 H dS
S S
B H
R2
r R1
0 H dr
传输线的不匹配将导致信号的完 整性遭到破坏。
传输线端部发生反射
无损传输线方程
根据KVL
传输线电尺寸参数
传输线第一方程
无损传输线方程
根据KCL
单位长度传输线模型
传输线第二方程
传输线方程
传输线方程
I ( z , t ) V ( z , t ) l z t I ( z , t ) c V ( z, t ) t z (2.1) (2.2)
l Td v
传输线的物理长度
传输信号的传播速度
2. PCB （FR-4）的Td 传播速度： v0 v0 v 1.38 108 m / s r r r r 4.7 Td per meter: 7.2ns / m
3. 微带中的Td 传播速度： v0 v0 v 1.78 108 m / s
l : 单位长度电感(H/m)
问题：？
lc = ?
lc=
介电系数(F/m)
磁导率(H/m)
考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。
已知 d a, h a,
如图示：
C10 C20
2π 0 2h 4h2 d 2 ln ad
4h 2 d 2 2π 0 ln d C12 C21 2h 2 4h 2 d 2 2 (ln ) (ln ) a d
0t
2l v
从源端看
整个传输线
从源端看
0t
2l v
图解法
一个长度为0.2 m的传输带，如图所示，电源是一个持续时间 1ns的单 个脉冲. 传输带的特征阻抗是 100Ω ，传播信号的传播速度为 2×108 m/s. 源阻抗是 300Ω，负载端是开路，画出输入端与负载端的电压
单程时延:
初始输入电压
源端反射系数 Rs -ZC Reflection Coefficient of source terminal: s =
Rs ZC
什么时间发生反射系数？
负载端
z=l
时延：
l Td v
Reflection of load terminal appears
l t v
源端
z=0
时延：
2l Td v
0 I R2 ln( ) ( R2 R1 ) 2 R1
如果表面S是倾斜的，如何处理？
磁场的高斯定律
S
B dS 0
单位长度电感计算
0 I R2 ln( ) ( R2 R1 ) 2 R1
单位长度电感计算
近似解
lc=
(s rw , rw1 rw2 rw )
1. 自由空间的Td 自由空间波的传播速度
v0 1
0 0
3 108 m / s
Td per meter: 3.3ns / m
r r
r
r (1 4.7) / 2 2.85
Td per meter: 5.6ns / m
传输线效应：反射
什么条件下发生反射?
传输线的阻抗不匹配, i.e., RL ≠Zc
2. 传输线方程与信号完整性
杨帆 yangfancqu@
2. 传输线方程与信号完整性
2.1 传输性方程
2.2 单位电尺寸参数
2.3 时域解
2.4 信号完整性
2.5 正弦激励与相量解
2.1 传输线方程
传输线方程：传输线是用来引导能量与信号的传输的 媒质与结构。
(a) 双导线
(a) 内部传输线
镜像法
2.3 传输线方程的时域解
通解
V 电压的正向行波 V 电压的反向行波
传输线的特性阻抗
Zc
Zc
负载端反射系数
l
c
只是用于电压 对于电流
反射系数
RL 0, L 1 RL , L 1
RL -ZC 负载端反射系数 = Reflection Coefficient of load terminal: L R Z L C
a d
d
b
0
S
0 E dS q
Vc E dl
d
b
R1
r R2
E dl
q E 2 r 0
R1
r R2
Eer dl (er )
( R2 R1 )
R2 q Vc ln( ) 2 r 0 R1
单位长度电容计算
单位长度电容计算 --单根导体
Ceq C12 C10C20 π 0 d C10 C20 ln ( 2h ) 2 2 a 4h d
l
0 s ln( ) rw
精确解
单位长度电容
q c V
V E dl
L
单位长度电容计算
Vc Vab E dl
a
b
E dl E dl
负载端电压
图解法——反射图
电源端电压 负载与阻抗与线阻抗匹配: RL=ZC
RL -ZC L = ห้องสมุดไป่ตู้ RL ZC
电源端电压
V (0, t ) K [VS (t ) (1 S ) LVS (t 2TD ) (1 S )( S L ) LVS (t 4TD ) (1 S )( S L )2 LVS (t 6TD ) ]
2 I ( z, t ) 2V ( z, t ) c zt t 2
(2.4)
？
2.2 单位电尺寸参数
2V ( z, t ) 2V ( z, t ) lc 2 z t 2 2 I ( z, t ) 2 I ( z, t ) lc 2 z t 2
c: 单位长度电容(F/m)
二线间的等效电容：
Ceq C12
C10C20 π 0 d C10 C20 ln ( 2h ) 2 2 a 4h d
设传输线的长度为l ,导线半径为R, 试求图示两 线传输线的自感。 0 0 l d R
L0 I π ln R
y
C10C20 π 0 Ceq C12 d C10 C20 ln ( 2h ) 2 2 a 4h d
负载端电压
V (l , t ) K [(1 L )VS (t TD ) (1 L )( S L )VS (t 3TD ) (1 L )( S L ) 2 VS (t 5TD ) ]
Reflection of source terminal appears
2l t v
对于源端
0t 2l v
0t
2l v
V (0, t ) ?I (0, t ) ?
无反射
0 V I (0, t ) I (t ) ZC v
0 V (0, t ) V (t ) v
负载端电压
V (l , t ) K [(1 L )VS (t TD ) (1 L )( S L )VS (t 3TD ) (1 L )( S L ) 2 VS (t 5TD ) ]
(b) 单导线
(b) 微带
(c) 同轴电缆
(c) PCB
典型电力传输线
典型PCB线
传输线效应
输出线是用来传输信号的，因此关键点是传输的信号不受损。 1. 时延效应 传输线的三个效应 2. 反射 3. 损耗
为了使信号波形的输入与输出两端信号的一致性需要进行 信号完整性分析。
不同材料中的时延效应
时延效应：信号传播过程中的时间消耗。
0 t 1ns
图解法例题1
mirror
图解法——反射图
源端电压
V (0, t ) K [VS (t ) (1 S ) LVS (t 2TD ) (1 S )( S L ) LVS (t 4TD ) (1 S )( S L )2 LVS (t 6TD ) ]
耦合!
2V ( z, t ) 2 I ( z, t ) l 2 z t z
(2.3)
2V ( z, t ) 2V ( z, t ) lc 2 z t 2 2 I ( z, t ) 2 I ( z, t ) lc 2 z t 2
(2.5) (2.6)