传输线方程及解
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第五章 传输线理论
I
2r
由上式可以看出，在内外导体之间的媒质中，
有电磁功率从电源流向负载。
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19
穿过横截面功率为：P
b a Sav dS
b a ez
UI
4r 2 ln
b
er
2rdr
1 UI 2
a
根据同轴线内外导体间的电磁场计算出来的能 量流动功率与电路理论中计算的结果一致。
z 0
z
则： z U ( z) U 2 I 2 Z 0 ez U 2 I 2 Z 0 ez
2
2
o
（365.9）27
I ( z) U 2 I 2 Z 0 ez U 2 I 2 Z 0 ez
2Z0
2Z0
33 26
（5.10） 也可改写为：U (z) U 2 coshz I2Z0 sinh z
1、均匀传输线：
Zg
Zl
Eg ～
指传输线的几何尺寸、相对位置、导体材料 及周围媒质特性沿电磁波传输方向均不改变。
2019/9/4
4
2、单位长度的分布参数：
单位长度的分布电阻： R
m
欧每米
单位长度的分布电感： L
H
亨每米
m
单位长度的分布电导： G
S m
单位长度的分布电容：C
F m
西每米 法每米
3、双线传输线的等效电路：I Ldz Rdz
l 2 r
18
E
er
U r ln( b a)
ar b
H
e
I
2r
安培环路定律
z 在截面上任一点 P(r,, z) 处,因
2.1 传输线分布参数、传输线方程及解
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
电磁场与微波技术第4章1-2传输线理论
Dz传输线上的等效电路
§1.1 传输线方程
应用基尔霍夫定律：
v( z, t ) Dz z i( z, t ) i( z Dz, t ) i( z, t ) Dz z v( z Dz, t ) v( z, t )
上式两端除以Dz，并令Dz→0，可得一般传输线方程 （电报方程）：
如传输线上无损耗，则为无耗传输线。即R=0, G=0。
有耗线
无耗线
§1.1 传输线方程
对于铜材料的同轴线（0.8cm—2cm），其所填充介质为
r 2.5,
则其各分布参数为：
108 S / m
当f =2GHz时
可忽略R和G的影响。——低耗线
§1.1 传输线方程
P17表2.1-1给出了双导线、同轴线和平行板传输线的 分布参数与材料及尺寸的关系。
l
而传输线的长度一般都在几米甚至是几十米之长。 因此在传输线上的等效电压和等效电流是沿线变化的。
——→与低频状态完全不同。
§1.1 传输线方程
传输线理论 长线理论
传输线是以TEM导模方式传 输电磁波能量。 其截面尺寸远小于线的长度， 而其轴向尺寸远比工作波长大 时，此时线上电压只沿传输线 方向变化。
§1.1 传输线方程
均匀传输线
沿线的分布参数 Rl， Gl ， Ll ， Cl与距 离无关的传输线
不均匀传输线
沿线的分布参数 Rl， Gl ， Ll ， Cl与距 离有关的传输线
§1.1 传输线方程
3) 均匀传输线的电路模型
均匀传输线
单位长度上的分布电阻为Rl、分布电导为Gl、分布电容 为Cl、分布电感为Ll, 其值与传输线的形状、尺寸、导 线的材料、及所填充的介质的参数有关。
第2章传输线理论
j z
1 2Z0
(U1
I1Z0 )e
j z
(2―2―14)
同样可以写成三角函数表达式
U (z)
U1 cos z
jZ0
sin z
I
(
z)
j
U1 Z0
sin
z
I1
cos
z
(2―2―15)
第2章 传输线理论
三、入射波和反射波的叠加 由式(2―2―5)和式(2―2―6)两式可以看出,传输线 上任意位置的复数电压和电流均有两部分组成,即有
U (z)
A1e j z
A2e j z
Ui(z) Ur(z)
I
(z)ຫໍສະໝຸດ 1 Z0A1e j z
1 Z0
A2e j z
Ii(z)
Ir(z)
(2―2―16)
第2章 传输线理论
根据复数值与瞬时值的关系,并假设A1、A2为实数, 则沿线电压的瞬时值为
u(z,t) Re[U (Z )e ji ] A1 cos(t z) A2 cos(t z)
式中v0为光速。由此可见,双线和同轴线上行波电
压和行波电流的相速度等于传输线周围介质中的光速,
它和频率无关,只决定周围介质特性参量ε,这种波称为
无色散波。
第2章 传输线理论
(三) 相波长λp
相波长λp是指同一个时刻传输线上电磁波的相位相 差2π的距离,即有
p
2
vp f
vpT
0 r
(2―3―5)
第2章 传输线理论
这种路的分析方法,又称为长线理论。事实上,“场” 的理论和“路”的理论既是紧密相关的,又是相互补充 的。有些传输线宜用“场”的理论去处理,而有些传输 线在满足一定条件下可以归结为“路”的问题来处理, 这样就可借用熟知的电路理论和现成方法,使问题的处 理大为简化。
第三章传输线理论
第三章传输线理论本章的目的是概述由集总电路向分布电路表示法过度的物理前提。
在此过程中，推导出一个最有用的公式：一般的射频传输线结构的空间相关阻抗表示公式。
正如我们知道的，频率的提高意味着波长的减小，该结论用于射频电路，就是当波长可与分立的电路元件的几何尺寸相比拟时，电压和电流不再保持空间不变，必须把它们看做是传输的波。
因为基尔霍夫电压和电流定律都没有考虑到这些空间的变化，我们必须对普通的集总电路分析进行重大的修改。
本章重点介绍传输线理论，首先介绍传输线理论的实质，再介绍常用的几种传输线，其中重点介绍微带传输线，以及一般的传输线方程及阻抗的一般定义公式。
3.1传输线的基本知识传输微波能量和信号的线路称为微波传输线。
本节主要介绍传输线理论的实质以及理论基础3.1.1传输线理论的实质传输线理论是分布参数电路理论，它在场分析和基本电路理论之间架起了桥梁。
随着工作频率的升高，波长不断减小，当波长可以与电路的几何尺寸相比拟时，传输线上的电压和电流将随着空间位置而变化，使电压和电流呈现波动性，这一点与低频电路完全不同。
传输线理论用来分析传输线上电压和电流的分布，以及传输线上阻抗的变化规律。
在射频阶段，基尔霍夫定律不再成立，因而必须使用传输线理论取代低频电路理论。
现在举例说明：分析一个简单的电路，该电路由内阻为R1的正弦电压源V1通过1.6cm的铜导线与负载电阻R2组成。
电路图如下：图3.1 简单电路并且我们假设导线的方向与z轴方向一致，且它们的电阻可以忽略。
我们假设振荡器的频率是1MHz，由公式(3.1)10m/s, rε=10, rμ=1 因此可以得到波长其中是相速度，=9.49×7λ=94.86m.连接源和负载的1.6cm长的导线，在如此小的尺度内感受的电压空间变化是不明显的。
但是当频率提高到10GHz时情况就明显的不同了，此时波长降低到λ=p v/1010=0.949cm，近似为导线长度的2/3，如果沿着1.6cm的导线测量电压，确定信号的相位参考点所在的位置是十分重要的。
总复习传输线方程及其解
无耗线工作状态分析
传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、 传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻 波比和行波系数三个参量来描述。 波比和行波系数三个参量来描述。 反射系数模的变化范围为 0 ≤ Γ ≤1 驻波比的变化范围为 行波系数的变化范围为
1≤ ρ ≤ ∞
0 ≤ K ≤1
传输线的工作状态一般分为三种： 传输线的工作状态一般分为三种： (1)行波状态 (1)行波状态 Γ = 0, ρ = 1, K = 1
2、传播常数 无耗线
γ = ( R1 + jω L1 )(G1 + jωC1 ) = α + j β β = ω L1C1
α =0
分布参数阻抗
EG
ZG
I0 V0
z =0
α , β , Z0
I
IL
V
VL
ZL
l
d =0
传输线终端接负载阻抗Z 距离终端d 传输线终端接负载阻抗 L时，距离终端 处向负载方向 看去的输入阻抗定义为该处的电压U 与电流I 之比， 看去的输入阻抗定义为该处的电压 (z)与电流 (z)之比， 与电流 之比 即
传输线的输入阻抗 （从d点向负载看的输入 阻抗，或视在阻抗） 阻抗，或视在阻抗）
Z L + jZ 0 tg β d Z in (d ) = Z 0 Z 0 + jZ L tg β d
对给定的传输线和负载阻抗， 对给定的传输线和负载阻抗，线上各点的输入 的不同而作周期变化， 阻抗随至终端的距离d 的不同而作周期变化，是一 分布参数阻抗。它不能直接测量。 种分布参数阻抗。它不能直接测量。
选取驻波最小点为测量 Z ( d ) = Z / VSWR = Z / ρ in min 0 0 ——距离负载的第一 点——距离负载的第一 个电压驻波最小点位置 ；终端短路，确定电压波节点 终端短路，
传输线方程及其解
它通常是个复数，且与工作频率 有关。特性阻抗由传输线自身分 布参数决定，而与负载及信号源 无关，故称为“特性阻抗”。
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
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第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
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第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
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第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
传输线理论基础知识..
由上面式子可知，传输线上任意位置的复数电压和电流均有两部 分组成，即有
根据复数值与瞬时值的关系并假设A1、A2为实数，则沿线电压的瞬时 值为
现在研究行波状态下电压和电流的沿线变化情况。为讨论方便，距离 变量仍然从始端算起，由于U2 − Z0 I0 ＝0，A2=0，U r(z) =0。考虑到γ =α + jβ ，因此公式（2-14）和（2-15）简化为：
（ 2）工作频带要宽，以增加传输信息容量和保证信号的无 畸变传输； （3）在大功率系统中，要求传输功率容量要大； （4）尺寸要小，重量要轻，以及能便于生产和安装。 (为了满足上述要求，在不同的工作条件下，需采用不同型式 的传输线。在低频时,普通的双根导线就可以完成传输作用,但是, 随着工作频率的升高 , 由于导线的趋肤效应和辐射效应的增大使 它的正常工作被破坏 .因此,在高频和微波波段必须采用与低频时 完全不同的传输线形式)
解得：
将上式代入式（2-6）第一式和式（2-7），注意到l − z = z′ ,并整理求得
2.2.2 已知均匀传输线始端电压U1和始端电流I1
将z=0、U（0）=U1 、I（0）=I1代入式（2-6）第一式和式（2-7）便可 求得
将上式代入式（2-6）和式（2-7），即可得
2.3 均匀传输线入射波和反射波的叠加
几种典型传输线的分布参数计算公式列于表1-1中。 表中μ0、ε分别为对称线周围介质的磁导率和介电常数。
有了分布参数的概念，我们可以将均匀传输线分割成许 多微分段dz（dz＜＜λ），这样每个微分段可看作集中参数电 路。其集中参数分别为R1dz、G1dz、L1dz及C1dz，其等效电 路为一个Γ型网络如图1-1（a）所示。整个传输线的等效电路 是无限多的Γ型网络的级联，如图1-1（b）所示。
根据复数值与瞬时值的关系并假设A1、A2为实数，则沿线电压的瞬时 值为
现在研究行波状态下电压和电流的沿线变化情况。为讨论方便，距离 变量仍然从始端算起，由于U2 − Z0 I0 ＝0，A2=0，U r(z) =0。考虑到γ =α + jβ ，因此公式（2-14）和（2-15）简化为：
（ 2）工作频带要宽，以增加传输信息容量和保证信号的无 畸变传输； （3）在大功率系统中，要求传输功率容量要大； （4）尺寸要小，重量要轻，以及能便于生产和安装。 (为了满足上述要求，在不同的工作条件下，需采用不同型式 的传输线。在低频时,普通的双根导线就可以完成传输作用,但是, 随着工作频率的升高 , 由于导线的趋肤效应和辐射效应的增大使 它的正常工作被破坏 .因此,在高频和微波波段必须采用与低频时 完全不同的传输线形式)
解得：
将上式代入式（2-6）第一式和式（2-7），注意到l − z = z′ ,并整理求得
2.2.2 已知均匀传输线始端电压U1和始端电流I1
将z=0、U（0）=U1 、I（0）=I1代入式（2-6）第一式和式（2-7）便可 求得
将上式代入式（2-6）和式（2-7），即可得
2.3 均匀传输线入射波和反射波的叠加
几种典型传输线的分布参数计算公式列于表1-1中。 表中μ0、ε分别为对称线周围介质的磁导率和介电常数。
有了分布参数的概念，我们可以将均匀传输线分割成许 多微分段dz（dz＜＜λ），这样每个微分段可看作集中参数电 路。其集中参数分别为R1dz、G1dz、L1dz及C1dz，其等效电 路为一个Γ型网络如图1-1（a）所示。整个传输线的等效电路 是无限多的Γ型网络的级联，如图1-1（b）所示。
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k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
无耗解的初步解释
讨论电压波情况：
传播常数
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
பைடு நூலகம்
复习要点
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。