2.1 传输线分布参数、传输线方程及解
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2.1 传输线分布参数、传输线方程及解
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
第二章-传输线理论
第二章 传输线理论
根据传输线上的分布参数是否均匀分布，可将其分为 均匀传输线和不均匀传输线。我们可以把均匀传输线分割
成许多小的微元段dz (dz<<λ)，这样每个微元段可看作集 中参数电路，用一个Γ型网络来等效。于是整个传输线可
等效成无穷多个Γ型网络的级联
第二章 传输线理论
2 - 2 无耗传输线方程及其解 一、传输线方程
即：
( ) I (z) = Ii2e jβ z + Ir2e- jβ z = Ii2 e jβ z + e- jβ z = 2Ii2 cos β z
( ) u(z,t) =
2Ui2
sin
β
z cos ω t
+
φ 2
+π
2
i(z,t) =
2
Ii2
cos β
z cos(ω t
+
φ) 2
第二章 传输线理论
=
-
Ur (z) Ir (z)
=
R0 + jωL1 G0 + jωC1
对于无耗传输线( R0 = 0, G0 = 0 )，则
Z0 =
L1 C1
对于微波传输线 ,也符合。
平行双线 同轴线 特性阻抗
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实数， 它仅决定于分布参数L1和C1，与频率无关。
第二章 传输线理论
l = (2n +1) λ (n = 0,1,2,)
4
1.传输线上距负载为半波长整数倍的各点的输入阻抗等于负载阻抗；
2.距负载为四分之一波长奇数倍的各点的输入阻抗等于特性阻抗的
平方与负载阻抗的比值；
3.当Z0为实数，ZL为复数负载时，四分之一波长的传输线具有变换阻 抗性质的作用。
《微波技术与天线》傅文斌 习题答案第2章
第2章 微波传输线2.1什么是长线？如何区分长线和短线？举例说明。
答 长线是指几何长度大于或接近于相波长的传输线。
工程上常将1.0>l 的传输线视为长线，将1.0<l 的传输线视为短线。
例如，以几何长度为1m 的平行双线为例，当传输50Hz 的交流电时是短线，当传输300MHz 的微波时是长线。
2.2传输线的分布参数有哪些？分布参数分别与哪些因素有关？当无耗传输线的长度或工作频率改变时分布参数是否变化？答 长线的分布参数一般有四个：分布电阻R 1、分布电感L 1、分布电容C 1、分布电导G 1。
分布电容C 1(F/m )决定于导线截面尺寸，线间距及介质的介电常数。
分布电感L 1(H/m )决定于导线截面尺寸，线间距及介质的磁导率。
分布电阻R 1(Ω/m )决定于导线材料及导线的截面尺寸。
分布电导G 1(S/m ) 决定于导线周围介质材料的损耗。
当无耗传输线（R 1= 0，G 1= 0）的长度或工作频率改变时，分布参数不变。
2.3传输线电路如图所示。
问：图（a ）中ab 间的阻抗0=ab Z 对吗？图（b ）中问ab 间的阻抗∞=ab Z 对吗？为什么？答 都不对。
因为由于分布参数效应，传输线上的电压、电流随空间位置变化，使图（a ）中ab 间的电压不一定为零，故ab 间的阻抗ab Z 不一定为零；使图（b ）中a 点、b 点处的电流不一定为零，故ab 间的阻抗ab Z 不一定为无穷大。
2.4平行双线的直径为2mm ，间距为10cm ，周围介质为空气，求它的分布电感和分布电容。
解 由表2-1-1，L 1=1.84×10-6（H/m ），C 1=6.03×10-12（F/m ）2.5写出长线方程的的解的几种基本形式。
长线方程的解的物理意义是什么？ 答（1）复数形式()()()z L L z L L I Z U I Z U z U ββj 0j 0e 21e 21--++= ()()()z L L z L L I Z U Z I Z U Z z I ββj 00j 00e 21e 21---+=（2）三角函数形式()z Z I z U z U L L ββsin j cos 0+=()z I z Z U z I L Lββcos sin j+= （3）瞬时形式()()A z t A t z u ϕβω++=cos , ()B z t B ϕβω+-+cos ()()A z t Z A t z i ϕβω++=cos ,0()B z t Z B ϕβω+--cos 0其中，()L L I Z U A 021+=，()L L I Z U B 021-= 物理意义：传输线上的电压、电流以波动的形式存在，合成波等于入射波与反射波的叠加。
第二章 传输线理论总结
当Z0为实数时，电压入射波与电流入射波的相位 相同；电压反射波与电流反射波相位相反。
三、 传输线的特性参数
1、特性阻抗Z0
将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的 特性阻抗, 用Z0来表示, 其倒数称为特性导纳, 用Y0来表
示。
由定义得 Z 0
R1 jL1 G1 jC1
可见特性阻抗Z0通常是个复数, 且与工作频率有关。 它由传输 线自身分布参数决定而与负载及信源无关, 故称为特性阻抗。
或者
二、传输线方程
2. 时谐均匀传输线方程
a. 时谐传输线方程
对于时谐电压和电流, 可用复振幅表示为 v(z, t)=Re［V(z)e jωt］ i(z, t)=Re［I(z)e jωt］ 将上式代入（2.1-1）式, 即得时谐传输线方程：
dV ( z ) ( R1 jL1 ) I ( z ) Z1 I ( z ) dz （2.1-3） dI ( z ) (G1 jC1 )V ( z ) Y1V ( z ) dz Z1 R1 jL1 传输线单位长度的串联阻抗 式中 传输线单位长度的并联导纳 Y1 G1 jC1
（2.1-11）
二、传输线方程
2. 时谐均匀传输线方程
c. 电压、电流的定解
V (d ) VL chd I L Z 0 shd VL I (d ) shd I L chd Z0
写成矩阵形式：
（2.1-12）
chd V (d ) I (d ) shd Z0
无耗线 j L1C1
低耗线
0, L1C1
（2.1-22）
R1 G1Z 0 c d 2Z 0 2
（2.1-23）
(优选)第二讲传输线方程及解
（优选）第二讲传输线方程 及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
第二章 传输线理论2.1 2.2(2011完成)1
处处相同的，所以它的V（I）仅仅是时间t的函数，而与空间位置z 处处相同的，所以它的V 仅仅是时间t的函数，而与空间位置z 无关，可以认为，短线与工作波长相比较可以认为是一点。 无关，可以认为，短线与工作波长相比较可以认为是一点。 这样 , 波在传输过程中的相位滞后效应可以忽略 , 而且 , 一般地 电压和电流也都有确定的定义。 也不计趋肤效应和辐射效应的影响 ; 电压和电流也都有确定的定义。 因 此 , 在稳态下 , 系统内各处的电压或电流可近似地认为是同时地 只随时间变化的量 , 而与空 间位置无关 ; 总之，一段线，低频时可以不考虑它的长度（或位置） 、 总之，一段线，低频时可以不考虑它的长度（或位置）对I、V 的影响，微波时要考虑它的长度，因为线上每点有很多效应， 的影响，微波时要考虑它的长度，因为线上每点有很多效应，如有 电感、电容、损耗、辐射效应、趋肤效应等， 电感、电容、损耗、辐射效应、趋肤效应等，这些都会引起信号的 变化。 变化。 3、分布参数效应（以平行双线为例） 分布参数效应（以平行双线为例） 低频时，分布参数效应：（前面的课程曾经给出） ：（前面的课程曾经给出 （1）低频时，分布参数效应：（前面的课程曾经给出） 平行双线单位长度的分布电感（ 平行双线单位长度的分布电感（无论低频高频都存在）为 L = 2 µH / m 无论低频高频都存在） 平行双线单位长度的分布电容（无论低频高频都存在）为 C = 5 pF / m 工作频率f=500Hz, f=500Hz,则它所产生的串联阻抗 工作频率f=500Hz,则它所产生的串联阻抗 X L = ωL = 6.28 × 10 −3 Ω / M 很小， 很小，并联阻抗 X C =
2.2 传输线波动方程和它的解
2.2.1 传输线波动方程
以平行双线为例讨论传输线方程及其解，如图示传输线系统。 以平行双线为例讨论传输线方程及其解，如图示传输线系统。
传输线方程
egz
V + = A1e-
gz
表示向+z方向传播的波，即自源到 1 + I = A e 1 负载方向的入射波，用V+或I +表示. Z0
V - = A2 e g z
gz
表示向-z方向传播的波，即自负载 到源方向的反射波，用V-或I -表示。 I - = - 1 A e g z 2 Z0 电压电流解为
j wt j y v ( z ) j wt 轾 v( z , t ) = V0 cos(wt + y v ( z )) = Re 轾 V e e = Re V ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌 j wt j y I ( z ) j wt 轾 i ( z , t ) = I 0 cos(wt + y I ( z )) = Re 轾 I e e = Re I ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌
③TEM波传输线的长度为10cm，当信号频率为 10GHz （ λ
=3cm)时。
l /λ ①短线(0.00167)；②长线(3.33)；③长线(3.33)。
2. 传输线的分布参数 (Distributed parameter)
低频传输线在低频电路中只起连接线的作用，因频率低， 其本身分布参数所引起的效应可以忽略不计，所以在低频电路 中只考虑时间因子而忽略空间效应，因而把传输线当作集总参 数电路来处理是允许的。 而对于微波传输线，因为频率很高，此时分布参数效应不 能再忽视了，传输线不能仅当作连接线，它将形成分布参数电 路，参与整个电路的工作。因而传输线在电路中所引起的效应 必须用传输线理论来研究。 亦即，在微波传输线上处处存在分布电阻、分布电感，线 间处处存在分布电容和漏电电导。用R1、L1、G1、C1分别表 示传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，它们的数值 与传输线截面尺寸、导体材料、填充介质以及工作频率有关。
V + = A1e-
gz
表示向+z方向传播的波，即自源到 1 + I = A e 1 负载方向的入射波，用V+或I +表示. Z0
V - = A2 e g z
gz
表示向-z方向传播的波，即自负载 到源方向的反射波，用V-或I -表示。 I - = - 1 A e g z 2 Z0 电压电流解为
j wt j y v ( z ) j wt 轾 v( z , t ) = V0 cos(wt + y v ( z )) = Re 轾 V e e = Re V ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌 j wt j y I ( z ) j wt 轾 i ( z , t ) = I 0 cos(wt + y I ( z )) = Re 轾 I e e = Re I ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌
③TEM波传输线的长度为10cm，当信号频率为 10GHz （ λ
=3cm)时。
l /λ ①短线(0.00167)；②长线(3.33)；③长线(3.33)。
2. 传输线的分布参数 (Distributed parameter)
低频传输线在低频电路中只起连接线的作用，因频率低， 其本身分布参数所引起的效应可以忽略不计，所以在低频电路 中只考虑时间因子而忽略空间效应，因而把传输线当作集总参 数电路来处理是允许的。 而对于微波传输线，因为频率很高，此时分布参数效应不 能再忽视了，传输线不能仅当作连接线，它将形成分布参数电 路，参与整个电路的工作。因而传输线在电路中所引起的效应 必须用传输线理论来研究。 亦即，在微波传输线上处处存在分布电阻、分布电感，线 间处处存在分布电容和漏电电导。用R1、L1、G1、C1分别表 示传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，它们的数值 与传输线截面尺寸、导体材料、填充介质以及工作频率有关。
2_传输线理论(2)
V ( z + Δz ) − V ( z ) ⎧ = −( R + jω L) I ( z ) ⎪lim Δz ⎪ Δz →0 ⎨ I ( z + Δz ) − I ( z ) ⎪ = −(G + jωC )V ( z ) lim z Δ ⎪ Δz →0 ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
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3
383 . 10
2.07 / m
从直流到1010Hz，损耗要增加1500倍。
r0 R 1515 . 103 R0 2
一、低频传输线和微波传输线
r0
r0
图2-2 直线电流均匀分布
图2-3
微波集效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将 r0 r ，使损耗 与直流保持相同，易算出
U l Z 0 I l j l A2 e 2
得到
1 1 j ( l z ) j ( l z ) U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e l 0 l l 0 l 2 2 1 1 j ( l z ) I( z ) (U l Z0 Il )e (U l Z0 Il )e j ( l z ) 2Z0 2Z0
最后得到
U ( z ) U (0)cos z jZ0 I (0)sin z U ( 0) I( z ) j sin z I (0)cos z Z0
(2-12)
四、无耗传输线的边界条件
3. 电源阻抗条件(已知 已知
Eq , Zq 和Zl
)
I ( 0) I 0
U ( 0 ) E q I 0 Zq I (l ) Il U ( l ) I l Zl
先考虑源条件
U ( 0) A1 A2 Eq I 0 Z g Z0 I ( 0) A1 A2 I 0 Z0 A A2 A1 A2 Wq 1 Zq Z0
四、无耗传输线的边界条件
即
A1e jl A2 e jl Zl ( A1e jl A2 e jl ) Z0
U l A1e jl A2 e jl 1 jl jl I ( A e A e ) 1 2 l Z 0
四、无耗传输线的边界条件
图 2-6
边界条件坐标系( ( z z ' 1) )
四、无耗传输线的边界条件
代入通解，为
A1 U l Z 0 I l j l e 2
du ( R jL) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
(2-5)
三、无耗传输线方程
无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一，可表 示为：R=0，G=0这时方程写出
dU jLI dz dI jCU dz
dE jH dz dH jE dz
A1、A2 的确定还需要边界条件。
四、无耗传输线的边界条件
把通解转化为具体解，必须应用边界条件。所讨论的 边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件。 所建立的也是两套坐标，z从源出发，z'从负载出发。 1. 终端边界条件(已知 U l , I l ) 代入解内，有
U (l ) U l I (l ) Il
(2-2)
当典型Δz→0时，有
i( z , t ) u ( z z , t ) u ( z , t ) Ri ( z , t ) L z t i( z z , t ) i( z , t ) Gu( z , t ) C u( z , t ) z t
四、无耗传输线的边界条件
1 1 jz jz U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 I( z ) (U 0 Z0 I0 )e jz (U 0 Z0 I 0 )e jz 2Z0 2Z0
(2-10)
四、无耗传输线的边界条件
2. 源端边界条件(已知
U 0 , I0
)
U ( 0) U 0 I ( 0) I 0
在求解时，用 l 0 代入，形式与终端边界条件相同
1 A1 (U 0 Z0 I0 ) 2 1 A2 (U 0 Z0 I0 ) 2
(2-11)
一、低频传输线和微波传输线
Ohm定律解决即可，无须用电磁理论。不论导线怎样 弯曲，能流都在导体内部和表面附近。 (这是因为场 的平方反比定律)。 J ,
＋ £
E2= J Et E1 H S V
－
图 2-1
低频传输线
一、低频传输线和微波传输线
［例1］计算半径r0=2mm=2×10-3m的铜导线单位长度 的直流线耗R0 计及 J E
第2章
2.1 传输线方程
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念，并且指出了工程中 所关心的微波传输问题。微波传输的最明显特征是 别树一帜的微波传输线，例如，双导线、同轴线、 带线和微带等等。我们很容易提出一个问题：微波 传输线为什么不采用50Hz电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线
1 r 303 . m 2R0
一、低频传输线和微波传输线
也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波 传输线，而应称之为微波传输“柱”比较合适，其 粗度超过人民大会堂的主柱。2米高的实心微波传输 铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，按我国古典名 著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙 王水晶宫的定海神针，重10万8千斤，即54吨。而这 里的微波柱是514吨，约9根金箍棒的重量，估计孙 悟空是无法拿动的! 集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几 乎无物，并无能量传输。
U ( z ) A1e jz A2 e jz I( z ) 1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
E ( z ) A1e jz A2 e jz 1 H ( z ) ( A1e jz A2 e jz )
(2-8)
作为注记
dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) dz dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) jLI ( z ) dz
一、低频传输线和微波传输线
看来，微波传输线必须走自己的路。每一种事物都 有自己独特的本质，硬把不适合的情况强加给它， 必然会出现荒唐的结论。刚才讨论的例子正是因为 我们硬设想把微波“关在”铜导线内传播，事实上 也不可能。“满圆春色关不住，一枝红杏出墙来” 微波功率应该 ( 绝大部分 ) 在导线之外的空间传输， 这便是结论。 最简单而实用的微波传输线是双导线，它们与 低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之 间的空间传输的。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
I JS Er02 V Edl
同时考虑Ohm定律
Edl V l 1 R0 I Er02 r02 58 . 10 7 (2 10 3 )2 137 . 10 3 / m
代入铜材料 5.8 10 7
一、低频传输线和微波传输线
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
0
2
——称之为集肤深度。
一、低频传输线和微波传输线
I Jds J 0 e a ( r0 r ) ds E0 e a ( r0 r ) rdrd 1 r0 I 2E0 e re dr 2E0 e rde ar 0 a 0 r0 1 ar 1 1 1 ar0 2E0 e re e ar dr 2E0 r0 2 2 e ar0 0 a a a a
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理 由很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要 深入研究这个问题。
1、低频传输线
在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知， Poynting 矢量集中在导体内部传播， 外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
三、无耗传输线方程
很易得到
I( z )
C ( A1e jz A2 e jz ) ( A1e jz A2 e jz ) L L
1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
383 . 10
2.07 / m
从直流到1010Hz，损耗要增加1500倍。
r0 R 1515 . 103 R0 2
一、低频传输线和微波传输线
r0
r0
图2-2 直线电流均匀分布
图2-3
微波集效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将 r0 r ，使损耗 与直流保持相同，易算出
U l Z 0 I l j l A2 e 2
得到
1 1 j ( l z ) j ( l z ) U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e l 0 l l 0 l 2 2 1 1 j ( l z ) I( z ) (U l Z0 Il )e (U l Z0 Il )e j ( l z ) 2Z0 2Z0
最后得到
U ( z ) U (0)cos z jZ0 I (0)sin z U ( 0) I( z ) j sin z I (0)cos z Z0
(2-12)
四、无耗传输线的边界条件
3. 电源阻抗条件(已知 已知
Eq , Zq 和Zl
)
I ( 0) I 0
U ( 0 ) E q I 0 Zq I (l ) Il U ( l ) I l Zl
先考虑源条件
U ( 0) A1 A2 Eq I 0 Z g Z0 I ( 0) A1 A2 I 0 Z0 A A2 A1 A2 Wq 1 Zq Z0
四、无耗传输线的边界条件
即
A1e jl A2 e jl Zl ( A1e jl A2 e jl ) Z0
U l A1e jl A2 e jl 1 jl jl I ( A e A e ) 1 2 l Z 0
四、无耗传输线的边界条件
图 2-6
边界条件坐标系( ( z z ' 1) )
四、无耗传输线的边界条件
代入通解，为
A1 U l Z 0 I l j l e 2
du ( R jL) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
(2-5)
三、无耗传输线方程
无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一，可表 示为：R=0，G=0这时方程写出
dU jLI dz dI jCU dz
dE jH dz dH jE dz
A1、A2 的确定还需要边界条件。
四、无耗传输线的边界条件
把通解转化为具体解，必须应用边界条件。所讨论的 边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件。 所建立的也是两套坐标，z从源出发，z'从负载出发。 1. 终端边界条件(已知 U l , I l ) 代入解内，有
U (l ) U l I (l ) Il
(2-2)
当典型Δz→0时，有
i( z , t ) u ( z z , t ) u ( z , t ) Ri ( z , t ) L z t i( z z , t ) i( z , t ) Gu( z , t ) C u( z , t ) z t
四、无耗传输线的边界条件
1 1 jz jz U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 I( z ) (U 0 Z0 I0 )e jz (U 0 Z0 I 0 )e jz 2Z0 2Z0
(2-10)
四、无耗传输线的边界条件
2. 源端边界条件(已知
U 0 , I0
)
U ( 0) U 0 I ( 0) I 0
在求解时，用 l 0 代入，形式与终端边界条件相同
1 A1 (U 0 Z0 I0 ) 2 1 A2 (U 0 Z0 I0 ) 2
(2-11)
一、低频传输线和微波传输线
Ohm定律解决即可，无须用电磁理论。不论导线怎样 弯曲，能流都在导体内部和表面附近。 (这是因为场 的平方反比定律)。 J ,
＋ £
E2= J Et E1 H S V
－
图 2-1
低频传输线
一、低频传输线和微波传输线
［例1］计算半径r0=2mm=2×10-3m的铜导线单位长度 的直流线耗R0 计及 J E
第2章
2.1 传输线方程
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念，并且指出了工程中 所关心的微波传输问题。微波传输的最明显特征是 别树一帜的微波传输线，例如，双导线、同轴线、 带线和微带等等。我们很容易提出一个问题：微波 传输线为什么不采用50Hz电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线
1 r 303 . m 2R0
一、低频传输线和微波传输线
也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波 传输线，而应称之为微波传输“柱”比较合适，其 粗度超过人民大会堂的主柱。2米高的实心微波传输 铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，按我国古典名 著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙 王水晶宫的定海神针，重10万8千斤，即54吨。而这 里的微波柱是514吨，约9根金箍棒的重量，估计孙 悟空是无法拿动的! 集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几 乎无物，并无能量传输。
U ( z ) A1e jz A2 e jz I( z ) 1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
E ( z ) A1e jz A2 e jz 1 H ( z ) ( A1e jz A2 e jz )
(2-8)
作为注记
dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) dz dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) jLI ( z ) dz
一、低频传输线和微波传输线
看来，微波传输线必须走自己的路。每一种事物都 有自己独特的本质，硬把不适合的情况强加给它， 必然会出现荒唐的结论。刚才讨论的例子正是因为 我们硬设想把微波“关在”铜导线内传播，事实上 也不可能。“满圆春色关不住，一枝红杏出墙来” 微波功率应该 ( 绝大部分 ) 在导线之外的空间传输， 这便是结论。 最简单而实用的微波传输线是双导线，它们与 低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之 间的空间传输的。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
I JS Er02 V Edl
同时考虑Ohm定律
Edl V l 1 R0 I Er02 r02 58 . 10 7 (2 10 3 )2 137 . 10 3 / m
代入铜材料 5.8 10 7
一、低频传输线和微波传输线
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
0
2
——称之为集肤深度。
一、低频传输线和微波传输线
I Jds J 0 e a ( r0 r ) ds E0 e a ( r0 r ) rdrd 1 r0 I 2E0 e re dr 2E0 e rde ar 0 a 0 r0 1 ar 1 1 1 ar0 2E0 e re e ar dr 2E0 r0 2 2 e ar0 0 a a a a
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理 由很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要 深入研究这个问题。
1、低频传输线
在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知， Poynting 矢量集中在导体内部传播， 外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
三、无耗传输线方程
很易得到
I( z )
C ( A1e jz A2 e jz ) ( A1e jz A2 e jz ) L L
1 ( A1e jz A2 e jz ) z0