第10讲_传输线方程及其解
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传输线方程
传输线方程是一种非常重要的物理学公式，用于描述电路中传输线的特性。
它可以用来计算某一电路中传输线的电压、电流、功率和电阻等参数。
传输线方程是电路中传输线特性的重要公式。
它可以用来计算某一电路中传输线的参数，包括电压、电流、功率和电阻等。
传输线方程的定义如下：
传输线方程由两部分组成，即传输线的电压和电流。
传输线的电压是指传输线上的电压，它由两个部分组成，一部分是电压的幅度，另一部分是电压的相位。
电流是指传输线上的电流，它也由两个部分组成，一部分是电流的幅度，另一部分是电流的相位。
通过传输线方程，可以计算出传输线的功率和电阻等参数。
电功率是指传输线上传输电能的能量，它取决于传输线的电阻和电流。
电阻是指传输线上电能损失的程度，它决定了传输线上电流的大小。
传输线方程是电路中传输线特性的重要公式，它可以用来计算某一电路中传输线的电压、电流、功率和电阻等参数，从而帮助我们更好地了解传输线的特性，提高电路的可靠性。
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
总复习传输线方程及其解
无耗线工作状态分析
传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、 传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻 波比和行波系数三个参量来描述。 波比和行波系数三个参量来描述。 反射系数模的变化范围为 0 ≤ Γ ≤1 驻波比的变化范围为 行波系数的变化范围为
1≤ ρ ≤ ∞
0 ≤ K ≤1
传输线的工作状态一般分为三种： 传输线的工作状态一般分为三种： (1)行波状态 (1)行波状态 Γ = 0, ρ = 1, K = 1
2、传播常数 无耗线
γ = ( R1 + jω L1 )(G1 + jωC1 ) = α + j β β = ω L1C1
α =0
分布参数阻抗
EG
ZG
I0 V0
z =0
α , β , Z0
I
IL
V
VL
ZL
l
d =0
传输线终端接负载阻抗Z 距离终端d 传输线终端接负载阻抗 L时，距离终端 处向负载方向 看去的输入阻抗定义为该处的电压U 与电流I 之比， 看去的输入阻抗定义为该处的电压 (z)与电流 (z)之比， 与电流 之比 即
传输线的输入阻抗 （从d点向负载看的输入 阻抗，或视在阻抗） 阻抗，或视在阻抗）
Z L + jZ 0 tg β d Z in (d ) = Z 0 Z 0 + jZ L tg β d
对给定的传输线和负载阻抗， 对给定的传输线和负载阻抗，线上各点的输入 的不同而作周期变化， 阻抗随至终端的距离d 的不同而作周期变化，是一 分布参数阻抗。它不能直接测量。 种分布参数阻抗。它不能直接测量。
选取驻波最小点为测量 Z ( d ) = Z / VSWR = Z / ρ in min 0 0 ——距离负载的第一 点——距离负载的第一 个电压驻波最小点位置 ；终端短路，确定电压波节点 终端短路，
传输线理论基础知识
入射电压与入射电流之比或反射电压与反射电流之比为特性阻抗（即波阻抗）。它的表示 式为（2-８），即：
一般情况下，Z0 为复数，其摸和幅角分别为：
特性阻抗与频率的定性关系如下图2-5：
2.6 均匀传输线传播常数 传播常数γ表示行波经过单位长度后振幅和相位的变化。其表示式如下式所示：
一般情况下，传播常数γ复数，其实部α称为衰减常数, 单位为dB/m（有时也用Np/m,1Np/m=8.86 dB/m）；β为相移常数, 单位为rad/m。
1.2 传输线分布参数及其等效电路 长线的含义
长线是指传输线的几何长度和线上传输电磁波的波长的比值（即电长度）大于或接近于1；反之，则 称为短线。可见二者是相对概念，取决于传输线的电长度而不是几何长度。
长线和短线的区别还在于：前者为分布参数电路，而后者是集中参数电路。在低频电路中 常常忽略元件连接线的分布参数效应，认为电场能量全部集中在电容器中，而磁场能量全部集 中在电感器中，电阻元件是消耗电磁能量的。由这些集中参数元件组成的电路称为集中参数电 路。随着频率的提高，电路元件的辐射损耗，导体损耗和介质损耗增加，电路元件的参数也随 之变化。当频率提高到其波长和电路的几何尺寸可相比拟时，电场能量和磁场能量的分布空间 很难分开，而且连接元件的导线的分布参数已不可忽略，这种电路称为分布参数电路。
由此可见，微波传输线中的分布参数不可忽略，必须加以考虑。由于传输线的分布参数效应，使传 输线上的电压电流不仅是空间位置的函数。
均匀传输线的分布参数及其等效电路
根据传输线上分布参数均匀与否，可将传输线分为均匀和不均匀两种，下面讨论均匀传输线。 均匀传输线：所谓均匀传输线是指传输线的几何尺寸、相对位置、导体材料以及周围媒质特性沿电 磁波传输方向不改变的传输线，即沿线的参数是均匀分布的 在均匀传输线上，分布参数R、L、C、G是沿线均匀分布的，即任一点分布参数都是相同的，用R1、 L1、C1、G1分别表示传输线单位长度的电阻、电感 、电容、电导。
一般情况下，Z0 为复数，其摸和幅角分别为：
特性阻抗与频率的定性关系如下图2-5：
2.6 均匀传输线传播常数 传播常数γ表示行波经过单位长度后振幅和相位的变化。其表示式如下式所示：
一般情况下，传播常数γ复数，其实部α称为衰减常数, 单位为dB/m（有时也用Np/m,1Np/m=8.86 dB/m）；β为相移常数, 单位为rad/m。
1.2 传输线分布参数及其等效电路 长线的含义
长线是指传输线的几何长度和线上传输电磁波的波长的比值（即电长度）大于或接近于1；反之，则 称为短线。可见二者是相对概念，取决于传输线的电长度而不是几何长度。
长线和短线的区别还在于：前者为分布参数电路，而后者是集中参数电路。在低频电路中 常常忽略元件连接线的分布参数效应，认为电场能量全部集中在电容器中，而磁场能量全部集 中在电感器中，电阻元件是消耗电磁能量的。由这些集中参数元件组成的电路称为集中参数电 路。随着频率的提高，电路元件的辐射损耗，导体损耗和介质损耗增加，电路元件的参数也随 之变化。当频率提高到其波长和电路的几何尺寸可相比拟时，电场能量和磁场能量的分布空间 很难分开，而且连接元件的导线的分布参数已不可忽略，这种电路称为分布参数电路。
由此可见，微波传输线中的分布参数不可忽略，必须加以考虑。由于传输线的分布参数效应，使传 输线上的电压电流不仅是空间位置的函数。
均匀传输线的分布参数及其等效电路
根据传输线上分布参数均匀与否，可将传输线分为均匀和不均匀两种，下面讨论均匀传输线。 均匀传输线：所谓均匀传输线是指传输线的几何尺寸、相对位置、导体材料以及周围媒质特性沿电 磁波传输方向不改变的传输线，即沿线的参数是均匀分布的 在均匀传输线上，分布参数R、L、C、G是沿线均匀分布的，即任一点分布参数都是相同的，用R1、 L1、C1、G1分别表示传输线单位长度的电阻、电感 、电容、电导。
传输线方程及其解
它通常是个复数，且与工作频率 有关。特性阻抗由传输线自身分 布参数决定，而与负载及信号源 无关，故称为“特性阻抗”。
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
传输线方程解析解求解方法的探讨
均匀传输线方程还存在一些难以解决的问题，因此对传输线方程通过拉氏变换在复频域内求解成为了一个研究方向。
为了便于计算，假设线上电压、电流都为零初始条件，则对方程（１）、（２）两端分别取拉氏变换可得如下的形式一一ｄＵ＿（ｘ，ｓ）：（风＋ｓＬｏ）Ｉ（ｘ，ｓ）（６）ａ，ｘ—ａ—Ｉ（＿ｘ，ｓ）：（Ｇ。
＋ｓＣｏ）Ｕ（ｘ，ｓ）（７）ａｘ其中Ｕ（ｘ，Ｊ）和舡声）分别为ｕ（ｘ，０和如，ｆ）的象函数。
联立方程（６）、（７）可解得线上电压电流的复频域通解为ｕ（ｘ，Ｊ）＝Ｆｓ（ｓ）ｅ一７‘’ｎ＋Ｅ０）Ｐ＋７‘。
ｎ（８）ｍ，班赤ｋ∽州小一哪矿巾¨】（９）上两式中ｒ（ｓ）为均匀传输线的传播常数，其定义为ｙ（ｓ）＝．，／—（Ｒｏ＋ＳＬ—ｏ）（Ｇｏ＋—ｓＣ—ｏ）（１０）ｚ。
（ｓ）为均匀传输线的特性阻抗，其定义为Ｚｃ（ｓ）＝Ｆ１０）、Ｆ２（ｓ）均为。
的定。
在式（８）、（９）中，分别令ｘ－－－－Ｏ并分别代２，至ｔＪ式（１２）、（ｔ３）ｔ扣，可得关于Ｆｌ（ｓ）、，２０）的方程组Ｅ（Ｊ）＋Ｒ（ｓ）＝ｕ，（ｓ）一丽１ｍ）一删ｍ）（１４’Ｆｌ（ｓ）ｅ‘７‘５’。
＋Ｅ（Ｊ）ｅ７‘’’‘。
去ｋ∽ｅ州叫一哪矽∽７ｍ）（１５）联立方程０４）、（１５）将求解所得的Ｆｌ（ｓ）、Ｆ２（ｓ）分别代入式（８）、（９）可得均匀传输线在给定边界条件下吣，）和Ｊ０，ｓ）的解为Ｕ（ｘ∽＝筹箫琊ｍ），ｓ）２≥而≤老嚣Ｆ七（ｓ）（，ｓ（５）（１６）怖）＝蒂鞴ｋ（Ｓ）Ｕｓ∽如印２亩‘蒜黹而。
’（１７）其中ｎ。
（Ｊ）、ｎ２０）分别为传输线始端和终端的反ｏＦ＝＝ｉ＝；ｒ。
图１长度为ｌ传输线的复频域模型图１所示为一段均匀传输线的复频域模型，该传输线的长度为，，假设其始端接有内阻为ｚｏ（ｓ）的电压源己‘Ｏ），终端接入一任意负载Ｚ施），则始端和终端边界条件的复频域形式分别为ｕ（ｏ，ｓ）＝Ｕｓ（ｓ）一Ｉ（ｏ，ｓ）ｚｏ（ｓ）（１２）ｕ（１，５）＝，（，，ｓ）ＺＬ（ｓ）（１３）０８）州加揣∽，㈣＝丽ｚ丽Ａｓ）而（２０）如果给出激励源“Ｏ）的具体形式．那么对式（ｔ４）、（１５）分别求取拉氏反变换则可获得线上电压、电流在给定边界条件下的解析解，但是从现有的文献州中还找不到可以描述线上行波多次反射过程的拉氏变换对，因此只能求取某些特定情形下的解析解。
传输线理论基础知识..
由上面式子可知，传输线上任意位置的复数电压和电流均有两部 分组成，即有
根据复数值与瞬时值的关系并假设A1、A2为实数，则沿线电压的瞬时 值为
现在研究行波状态下电压和电流的沿线变化情况。为讨论方便，距离 变量仍然从始端算起，由于U2 − Z0 I0 ＝0，A2=0，U r(z) =0。考虑到γ =α + jβ ，因此公式（2-14）和（2-15）简化为：
（ 2）工作频带要宽，以增加传输信息容量和保证信号的无 畸变传输； （3）在大功率系统中，要求传输功率容量要大； （4）尺寸要小，重量要轻，以及能便于生产和安装。 (为了满足上述要求，在不同的工作条件下，需采用不同型式 的传输线。在低频时,普通的双根导线就可以完成传输作用,但是, 随着工作频率的升高 , 由于导线的趋肤效应和辐射效应的增大使 它的正常工作被破坏 .因此,在高频和微波波段必须采用与低频时 完全不同的传输线形式)
解得：
将上式代入式（2-6）第一式和式（2-7），注意到l − z = z′ ,并整理求得
2.2.2 已知均匀传输线始端电压U1和始端电流I1
将z=0、U（0）=U1 、I（0）=I1代入式（2-6）第一式和式（2-7）便可 求得
将上式代入式（2-6）和式（2-7），即可得
2.3 均匀传输线入射波和反射波的叠加
几种典型传输线的分布参数计算公式列于表1-1中。 表中μ0、ε分别为对称线周围介质的磁导率和介电常数。
有了分布参数的概念，我们可以将均匀传输线分割成许 多微分段dz（dz＜＜λ），这样每个微分段可看作集中参数电 路。其集中参数分别为R1dz、G1dz、L1dz及C1dz，其等效电 路为一个Γ型网络如图1-1（a）所示。整个传输线的等效电路 是无限多的Γ型网络的级联，如图1-1（b）所示。
根据复数值与瞬时值的关系并假设A1、A2为实数，则沿线电压的瞬时 值为
现在研究行波状态下电压和电流的沿线变化情况。为讨论方便，距离 变量仍然从始端算起，由于U2 − Z0 I0 ＝0，A2=0，U r(z) =0。考虑到γ =α + jβ ，因此公式（2-14）和（2-15）简化为：
（ 2）工作频带要宽，以增加传输信息容量和保证信号的无 畸变传输； （3）在大功率系统中，要求传输功率容量要大； （4）尺寸要小，重量要轻，以及能便于生产和安装。 (为了满足上述要求，在不同的工作条件下，需采用不同型式 的传输线。在低频时,普通的双根导线就可以完成传输作用,但是, 随着工作频率的升高 , 由于导线的趋肤效应和辐射效应的增大使 它的正常工作被破坏 .因此,在高频和微波波段必须采用与低频时 完全不同的传输线形式)
解得：
将上式代入式（2-6）第一式和式（2-7），注意到l − z = z′ ,并整理求得
2.2.2 已知均匀传输线始端电压U1和始端电流I1
将z=0、U（0）=U1 、I（0）=I1代入式（2-6）第一式和式（2-7）便可 求得
将上式代入式（2-6）和式（2-7），即可得
2.3 均匀传输线入射波和反射波的叠加
几种典型传输线的分布参数计算公式列于表1-1中。 表中μ0、ε分别为对称线周围介质的磁导率和介电常数。
有了分布参数的概念，我们可以将均匀传输线分割成许 多微分段dz（dz＜＜λ），这样每个微分段可看作集中参数电 路。其集中参数分别为R1dz、G1dz、L1dz及C1dz，其等效电 路为一个Γ型网络如图1-1（a）所示。整个传输线的等效电路 是无限多的Γ型网络的级联，如图1-1（b）所示。
传输线分布参数、传输线方程及解 ppt课件
u i
u((z2,-t1) ) i( z , t )
二、传输线方程
i(z) u(z)
z
i(z+ z)
u(z+ z)
z+ z
Lz
Rz
Cz
Gz
图 2-5 长线效应
二、传输线方程
利用基尔霍夫定律，有
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
当典型Δz→0时，有
u(zz,t)u(z,t)Ri(z,t)Li(zt,t)z i(zz,t)i(z,t)Gu(z,t)Cu(zt,t)z
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理由 很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要深 入研究这个问题。
1、低频传输线 在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知，Poynting矢量集中在导体内部传播，外 部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
le j2l
E gZ0 Z0 Zg
0
E q Z0le j2l Z0 Zg
g
Z0 Z0
Zg Zg
,称l 为Z Z反00 射Z Zll 系数。
四、无耗传输线的边界条件
可得
A1
D1 D
(Z0
Zg
EgZ0 )(1 glej2l
)
A2
D2 D
(Z0
EgZ0lej2l Zg )(1 glej2l
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
(2-2) (2-3)
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
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们为分布电路参数，在集总参数电路中，磁场集总在电感线圈里，电场集 总在电容器里，能量集总损耗在电阻、电导上。
9
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
平行双导线、同轴线的等效电路参数
参数 R' L' 平行双导线、同轴线的等效电路参数 R'、G'、L'和 C' 同轴线 平行双导线 单位 /m
传输线在电路中相当于一个二端口网络
传输线在电路中相当于一个二端口网络，一个端口连接信号源，通常称为 输入端，另一个端口连接负载，称为输出端。
ug 是信号源，信号可以是数字脉冲串，但本节主要针对随时间作简谐变
化的连续波信号。
Rg 是信号源的内阻。
RL 是负载。
3
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
dU z R ' j L ' I z dz R 0 当 dI z G 0 G ' j C 'U z dz
13
dU j L ' I dz 时 dI j C 'U dz
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
这就是传输线上电压、电流满足的微分方程，称为传输线方程。
12
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
复数形式的传输线方程
引入简谐变量u(z, t)、i(z, t)的复数表示
j t u z, t Re U z e
j t i z, t Re I z e
传输线上电压、电流是纵向位置z的函数
传输线即使无损耗，由于 其纵向线度至少可与波长
比拟，即 l 或 l >> ，
纵方向电压 U、电流 I 不 再处处相等，而是纵向位 置 z 的函数。即 U = U(z)
U UA U Us
Rs A
B
R
I = I(z)
-UA
U
4
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
dU z R ' j L ' I z dz
dI z G ' j C 'U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取
长度内，基尔霍夫定律可以适用。
6
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
dz长度一段传输线的等效电路
平行双导线 R'、G'、L'、C'分别为传输线单位长度的等效电阻、等效电导、等效 电感、等效电容，R'dz、G'dz、L'dz、C'dz分别为dz长度内的等效电阻、 等效电导、等效电感、等效电容。
F/m
说明： 对于同轴线：2b—外导体内直径，2a—内导体外径 对于平行双导线 2a—导线直径，d—两导线中心间距 、、属于填充介质的量， Rs πf c / c ，c、c 属于导体的量 10
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
传输线方程
利用基尔霍夫电压、电流定律，可得
入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波与电流反射波相位相
差180°。
i z, t u z, t R ' zi z, t L ' z u z z, t 0 t
u z z , t i z , t G ' zu z z , t C ' z i z z , t 0 t
第一项表示入射波。第二项表示反射波。 k称为传播常数。 入射波与反射波的相速
波长
2π / k
dz v dt k
i p
v
r p
k
对于无损耗线， k
，故波的传播速度 vp 1/ LC LC
Zc为入射波电压与入射波电流之比，具有阻抗量纲，称为特征阻抗。 其倒数Yc=1/Zc称为特征导纳。 反射波电压与反射波电流相位上刚好相差180
16
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
有耗传输线方程的解
对于有损耗的情况，如果传播常数k与特征阻抗Zc（或导纳Yc）定义为
jk ( R ' j L ')(G ' jC ')
那么传输线方程
1 R ' j L ' Zc Yc G ' j C '
但记住此时k、Zc均为复数。
17
U U i e jkz U r e jkz
1 I Ue jkz U r e jkz Zc
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
有耗传输线方程的解
如将k记为 则式
k kr jki
i jkz r jkz U U e U e 1 i jkz r jkz I U e U e Zc
H
E
平行双导线、同轴线、微带线是常用的传输线。其横向尺寸比波长小得多，纵向尺
寸比波长大得多，至少与波长可比。
就场分布而言，它们的共同点是电磁场都在横截面内，称为横电磁模（TEM模）。 电话网用平行双导线，有线电视网都用同轴线，平行平板波导应用不多，其变形微
带线则广泛用于集成电路。
2
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
18
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
第10讲复习
复习要点
– 将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔霍夫定律仍适用。
– 传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与特征阻抗Zc（或特
征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部 kr 表示波的传播，虚部ki表示波的衰减。 – 传输线上电压、电流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压
Rs 1 1 2π a b
2π ln b / a
ln d / 2a
Rs πa
d / 2a 2 1
H/m
G'
2π ln b / a 2π ln b / a
π
S/m
C'
2 ln d / 2a d / 2a 1 π 2 ln d / 2a d / 2a 1
无耗传输线方程的解
dU j L ' I 2 dz d U 2 L ' C 'U 2 dI dz j C 'U
dz
定义 k L' C '
d2 2 上式成为 2 k U 0 dz
其解为
U U i e jkz U r e jkz
传输线上衰减波
可改写为
U U e
i ki z jkr z
e
U e e
r ki z jkr z
1 i ki z jkr z r ki z jkr z I U e e U e e Zc
所以如果传播常数的虚部 ki>0，损耗将使正方向传播的入射波振幅随 z 衰减， 所以 ki 称为波的衰减因子或衰减常数， kr 称为相位常数，表示波的传播。 传输线上电压、电流的传播可用两个特征参数，即传播常数 k 与特征阻抗Zc （或特征导纳Yc）唯一地确定。
传输线纵向 U(z)、I(z) 分布与终端负载阻抗 ZL 有关
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电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
如何用基尔霍夫定律分析传输线
我们在电路原理中已学过基尔霍夫定律 U=0，I=0
基尔霍夫定律适用范围： 0 t
或所研究对象线度比波长小得多 如果把长度为 l 的传输线分成N段，只要每段长度 l<<，那么在 l
当 z 0 ，取极限，得到
u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t
i z, t u z, t G ' u z , t C ' z t
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
11120010 电磁场与电磁波
传输线方程及其解
章献民
zhangxm@ 2012年3月15日星期四
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电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
常用传输线及其场结构
内导体，直径为2a 2 b h E w 外导体，内直径为2b H
将上式代入传输线方程
i z, t u z, t G ' u z , t C ' z t
u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t
就得到复数形式的传输线方程（注意：U(z)、I(z)不是时间t的函数）。
除以z，并重新排列得到
u z z, t u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t i z z, t i z, t u z z, t G ' u z z, t C ' z t
i z, t
14
1 i jt kz r j t kz U e U e Zc
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电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
平行双导线、同轴线的等效电路参数
参数 R' L' 平行双导线、同轴线的等效电路参数 R'、G'、L'和 C' 同轴线 平行双导线 单位 /m
传输线在电路中相当于一个二端口网络
传输线在电路中相当于一个二端口网络，一个端口连接信号源，通常称为 输入端，另一个端口连接负载，称为输出端。
ug 是信号源，信号可以是数字脉冲串，但本节主要针对随时间作简谐变
化的连续波信号。
Rg 是信号源的内阻。
RL 是负载。
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dU z R ' j L ' I z dz R 0 当 dI z G 0 G ' j C 'U z dz
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dU j L ' I dz 时 dI j C 'U dz
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
这就是传输线上电压、电流满足的微分方程，称为传输线方程。
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电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
复数形式的传输线方程
引入简谐变量u(z, t)、i(z, t)的复数表示
j t u z, t Re U z e
j t i z, t Re I z e
传输线上电压、电流是纵向位置z的函数
传输线即使无损耗，由于 其纵向线度至少可与波长
比拟，即 l 或 l >> ，
纵方向电压 U、电流 I 不 再处处相等，而是纵向位 置 z 的函数。即 U = U(z)
U UA U Us
Rs A
B
R
I = I(z)
-UA
U
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dU z R ' j L ' I z dz
dI z G ' j C 'U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取
长度内，基尔霍夫定律可以适用。
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电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
dz长度一段传输线的等效电路
平行双导线 R'、G'、L'、C'分别为传输线单位长度的等效电阻、等效电导、等效 电感、等效电容，R'dz、G'dz、L'dz、C'dz分别为dz长度内的等效电阻、 等效电导、等效电感、等效电容。
F/m
说明： 对于同轴线：2b—外导体内直径，2a—内导体外径 对于平行双导线 2a—导线直径，d—两导线中心间距 、、属于填充介质的量， Rs πf c / c ，c、c 属于导体的量 10
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
传输线方程
利用基尔霍夫电压、电流定律，可得
入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波与电流反射波相位相
差180°。
i z, t u z, t R ' zi z, t L ' z u z z, t 0 t
u z z , t i z , t G ' zu z z , t C ' z i z z , t 0 t
第一项表示入射波。第二项表示反射波。 k称为传播常数。 入射波与反射波的相速
波长
2π / k
dz v dt k
i p
v
r p
k
对于无损耗线， k
，故波的传播速度 vp 1/ LC LC
Zc为入射波电压与入射波电流之比，具有阻抗量纲，称为特征阻抗。 其倒数Yc=1/Zc称为特征导纳。 反射波电压与反射波电流相位上刚好相差180
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电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
有耗传输线方程的解
对于有损耗的情况，如果传播常数k与特征阻抗Zc（或导纳Yc）定义为
jk ( R ' j L ')(G ' jC ')
那么传输线方程
1 R ' j L ' Zc Yc G ' j C '
但记住此时k、Zc均为复数。
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U U i e jkz U r e jkz
1 I Ue jkz U r e jkz Zc
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
有耗传输线方程的解
如将k记为 则式
k kr jki
i jkz r jkz U U e U e 1 i jkz r jkz I U e U e Zc
H
E
平行双导线、同轴线、微带线是常用的传输线。其横向尺寸比波长小得多，纵向尺
寸比波长大得多，至少与波长可比。
就场分布而言，它们的共同点是电磁场都在横截面内，称为横电磁模（TEM模）。 电话网用平行双导线，有线电视网都用同轴线，平行平板波导应用不多，其变形微
带线则广泛用于集成电路。
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电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
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第10讲复习
复习要点
– 将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔霍夫定律仍适用。
– 传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与特征阻抗Zc（或特
征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部 kr 表示波的传播，虚部ki表示波的衰减。 – 传输线上电压、电流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压
Rs 1 1 2π a b
2π ln b / a
ln d / 2a
Rs πa
d / 2a 2 1
H/m
G'
2π ln b / a 2π ln b / a
π
S/m
C'
2 ln d / 2a d / 2a 1 π 2 ln d / 2a d / 2a 1
无耗传输线方程的解
dU j L ' I 2 dz d U 2 L ' C 'U 2 dI dz j C 'U
dz
定义 k L' C '
d2 2 上式成为 2 k U 0 dz
其解为
U U i e jkz U r e jkz
传输线上衰减波
可改写为
U U e
i ki z jkr z
e
U e e
r ki z jkr z
1 i ki z jkr z r ki z jkr z I U e e U e e Zc
所以如果传播常数的虚部 ki>0，损耗将使正方向传播的入射波振幅随 z 衰减， 所以 ki 称为波的衰减因子或衰减常数， kr 称为相位常数，表示波的传播。 传输线上电压、电流的传播可用两个特征参数，即传播常数 k 与特征阻抗Zc （或特征导纳Yc）唯一地确定。
传输线纵向 U(z)、I(z) 分布与终端负载阻抗 ZL 有关
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我们在电路原理中已学过基尔霍夫定律 U=0，I=0
基尔霍夫定律适用范围： 0 t
或所研究对象线度比波长小得多 如果把长度为 l 的传输线分成N段，只要每段长度 l<<，那么在 l
当 z 0 ，取极限，得到
u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t
i z, t u z, t G ' u z , t C ' z t
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常用传输线及其场结构
内导体，直径为2a 2 b h E w 外导体，内直径为2b H
将上式代入传输线方程
i z, t u z, t G ' u z , t C ' z t
u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t
就得到复数形式的传输线方程（注意：U(z)、I(z)不是时间t的函数）。
除以z，并重新排列得到
u z z, t u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t i z z, t i z, t u z z, t G ' u z z, t C ' z t
i z, t
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1 i jt kz r j t kz U e U e Zc