鲁教版初一(上)数学：平行线的性质

平行线的性质1．平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB 平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：______________。

注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

2.平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3.平行线的性质（1）两直线平行，_________相等。

（2）两直线平行，_________相等。

（3）两直线平行，__________互补。

1.平行线的性质【例1】（2015•辽宁阜新）（第8题，3分）如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为．【解析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．解：∵直线a∥b，被直线c所截，∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°．【答案】110°．【例2】如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°【解析】对折前后图形对应角相等，再利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补即可求出∠AEF.解：∵∠1=50°∴∠BFE=21(180°-∠1)=65° ∵AD ∥BC∴∠AEF+∠BFE=180°∴∠AEF=115°【答案】B【例3】如图，AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，EP ⊥EF ，与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．A ． 70B ． 65C ． 60D ． 55【解析】 先由垂直的定义，求出∠PEF=90°，然后由∠BEP=50°，进而可求∠BEF=140°，然后根据两直线平行同旁内角互补，求出∠EFD 的度数，然后根据角平分线的定义可求∠EFP 的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出∠EPF 的度数．解：如图所示，∵EP ⊥EF ，∴∠PEF=90°，∵∠BEP=50°，∴∠BEF=∠BEP+∠PEF=140°，∵AB ∥CD ，∴∠BEF+∠EFD=180°，∴∠EFD=40°，∵FP 平分∠EFD ，∴=20°，∵∠PEF+∠EFP+∠EPF=180°，∴∠EPF=70°．【答案】A．练习1.（2015•宁德）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B． 50°C． 90°D． 130°练习2.（2015湖南邵阳第5题）将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．65°练习3.（2015湖北荆州第2题3分）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．80°C．110°D．120°练习4.（2015广东佛山）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（）A．80°B．75°C．70°D．65°练习5.（2015•四川凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°练习6.如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是A．40° BDB ．60°C ．70°D ．80°练习7. 如图，l ∥m ，∠1＝115º，∠2＝ 95º，则∠3＝（ ）A ．120ºB ．130ºC ．140ºD ．150º练习8.如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E 等于（A ）30° （B ）40°（C ）60° （D ）70°练习9.如图，已知//AB ED ，65ECF ∠=，则BAC ∠的度数为（ ）（A ）115 （B ）65 （C ）60 （D ）25练习10.如图，已知∠1=070，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为 （ ）A ．070B ．0100C ．0110D ． 0120练习11.如图，在△ABC 中，∠B=40°，过点C 作CD ∥AB ，∠ACD=65°，则∠ACB 的度数为（）ACB D E第2题图A ．60°B ．65°C ．70°D ． 75° 2.平行线的应用【例4】已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。

【解析】可以考虑把∠BED 变成两个角的和。

如图5，过E 点引一条直线EF ∥AB ，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到。

【答案】证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB ∥CD （已知），又∵EF ∥AB （已作），∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D （等量代换）。

练习12.已知：如图6，AB ∥CD ，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D ）。

练习13.已知：如图7，AB ∥CD ，求证：∠BED=∠D-∠B 。

1．（2015•四川凉山州第4题）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）A ．52°B ． 38°C ． 42°D ． 60°A B E D F2.（2015•青海西宁）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）A．74°12′B．74°36′C．75°12′D．75°36′3.（2015•毕节市）（第11题）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．55°4.（2015•甘肃天水，第7题）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（）A．65° B．55° C．50° D．25°5.（2015·湖北省咸宁市，第4题）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A.50°B.40°C.30°D.25°6.（2015·湖北省随州市，第2 题）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（）A.50°B.120°C.130°D.150°7.如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°8.如图，已知AB ∥CD ，，则o ．9.（2015•江苏盐城，第6题）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A ． 85°B ． 75°C ． 60°D ． 45°10.（2015•江苏泰州，第10题）如图，直线l 1∥l 2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．11.（2015•湖南湘西州，第2题）如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a ∥b ，∠1=40°，则∠2= 度．12.（2015•甘肃庆阳，第19题）已知三条不同的直线a 、b 、c 在同一平面内，下列四条命题： ①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ； ②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c ．其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）_________________________________________________________________________________o 180∠==∠22 1 B ACDEF32题图_________________________________________________________________________________1.如图，直线a ∥b ，三角板的直角顶点A 落在直线a 上，两条直线分别交直线b 于B 、C 两点．若∠1=42°，则∠2的度数是．2.（2015•云南,第11题）如图，直线l 1∥l 2，并且被直线l 3，l 4所截，则∠α= ．3.（2015广西崇左第15题）若直线a ∥b ，a ⊥c ，则直线b c ．4.（2015•永州，第12题）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 度．5.（2015•衡阳, 第14题）如图，已知直线a ∥b ，∠1=120°，则∠2的度数是 ．6.将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠AFC 的度数为A ．45°B ．50°C ．60°D ．75°7.如图，已知∠1＝70°如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120° A BDEF8.如图1，已知直线AB//CD ，BE 平分∠ABC ，交CD 于D ，∠CDE =150°，则∠C 的度数为（ ）A ．150°B ．130°C ．120°D ．100° CD E图1．9.如图，已知∠1 ＝ 70º，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A ．70ºB ．100ºC ．110ºD ．120º10.如图，，于交 于，已知，则（ ）A ．30°B ．20°C ．25°D ．35°11.如图1，直线a ∥b ，C 与a 、b 均相交，则β＝ （ ）A ．60︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒12. 如图，直线PQ ∥MN ，C 是MN 上一点，CE 交PQ 于A ，CF 交PQ 于B ，且∠ECF ＝90°，如果∠FBQ ＝50°，则∠ECM 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30° AB CD ∥EF AB ⊥E EF ，CD F 160∠=°2∠=AB CD E 第3题图BC ED A1C D B AE F 1 213．如图，BC ⊥AE ，垂足为C ，过C 作CD ∥AB ．若∠ECD =48°则∠B =．EDC B A14.如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a 、b 上，已知∠1=55°，则∠2的度数为（ ）A. 45°B. 35°C. 55°D.125°15．如右图4，a ∥b ，如果∠1=50°，则∠2的度数是A ．130°B ．50°C ．100°D ．120°16.如图，直线c b a 直线,//分别与a 、b 相交于点A 、B ，已知 2,351∠=∠则 的度数为 （ ）A ．165°B ．155°C ．145°D ．135°17.如图2，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于点E ，EF 交CD 于F ，已知∠2=30°，则∠1是（ ）A ．20° 60° C ．30° D ．45°A B CEF PQ M N 5题图 1 F 2 D C B A 图41b a218.如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80 ，则∠2的度数是A ．80°B ．100°C ．110°D ．120 °19.三条直线a 、b 、c ，若a ∥c ，b ∥c ，则a 与b 的位置关系是A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ⊥b 或a ∥bD ．无法确定20.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a ∥b 的是( )A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°21.如图1，AB ∥CD ，∠A =50°，∠C =∠E ，则∠C 等于（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°22.如图，已知a ∥b ，l 分别与a 、b 相交，下列结论中错误．．的是（ ） A ．∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠1=∠4 D. ∠2=∠523.如图，C 岛在A 岛的北偏东50o 方向，C 岛在B 岛的北偏西40o 方向，则从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 等于 ． 第8题54321lba b EDBAC24．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____________。