自动控制理论教学课件-第四章 根轨迹法
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幅值条件： G(s)H(s) 1
相角条件： G ( s ) H ( s ) 1 8 0 ( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
凡是满足上述幅值条件和相角条件的 s 值，就是系
统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在 根轨迹上。
二、开环传递函数的两种表达式
m
K * (s z j )
典型的控Biblioteka Baidu系统结构图如右：
R (s)
r
K
* G
(s z j )
G (s)
j 1 q
(s pi)
l
K
* H
(s z j )
H (s)
j 1 h
(s pi)
C (s)
G (s)
H (s)
i1
i1
m
K * (s z j )
开环传递函数为： G (s)H (s)
j 1 n
(s pi )
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
它有两个极点：p10,p2 a，无零点，K * 为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
(s)C(s)
R(s)
s2aKs*K*
闭环特征方程： s2asK*0
闭环特征根(极点) ：
sa s
s1,2
a 2
a2 2
K*
K*：0时的根轨迹(闭环
p2 a a 2
特征根随 K * 变化的轨迹)如右
图所示。显然，a 和 K * 都为正时，系统稳定。
在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主
要用来确定已知根轨迹上某一点的 K * 值。
三、绘制根轨迹的基本规则 ★
[规则1] 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
4
与s1,2实 轴a垂2 直j，K 并*相a2交4于，这( 时a ，， 根j 0 )轨，迹
j
对应于系统欠阻尼的情况。2
sa s
0
规定： —— 表示开环零点；
p1 0
p2 a a 2
—— 表示开环极点；
箭头表示 K * 增大时，闭环极点的变化趋势。
二、根轨迹与系统性能
稳定性
根轨迹与虚轴交点处的 K * 值就是临界根轨迹增益。
① 零极点形式： G (s)H (s)
j 1 n
首1型
(s pi )
i 1
m
K ( j s 1)
② 时间常数形式： G (s)H (s)
j 1 n
尾1型
(Tis 1)
显然有：
i 1
m
K* (zj)
K
j1 n
，zj
(pi)
1j ，pi
1
Ti
i1
根轨迹法中，其开环传递函数多采用零极点形式：
j 1
i 1
模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹 增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。
模值方程是根轨迹的必要条件 —— S 平面上的某一点
s 是根轨迹上的点，则幅值条件成立；S 平面上的任一 s点 满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。
相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。
稳态性能 稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开
环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如何变化， 系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图 上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。
动态性能 动态性能由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以
确定出满足系统性能的参数范围。
三、闭环零极点与开环零极点之间的关系
② 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。
③ 闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。
§4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件
闭环特征方程： 1G(s)H(s)0
即： G ( s ) H ( s ) 1 1 e j( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
(K* KG * K*H)
i 1
r
h
闭环传递函数为：(s) G(s) 1G(s)H(s)
KG * (szj) (spi)
j1
i1
n
m
(spi)K* (szj)
i1
j1
n
m
系统的特征方程：D (s) 1 G (s)H (s) (sp i) K * (s zj) 0
i 1
j 1
m
KG* K*H (zj )
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
s 时，闭环系统特征方程的根在 平面上变化的轨迹。
j
0
p1 0
讨论 a 一定时，根轨迹增益 K * 与特征根之间的关系：
➢ 当 K * 0 时，s10，s2a，即开环极点；
➢当0
K*
a2 4
时，s
1
和
s
2
为互不相等的两个负实根，
对应于系统过阻尼的情况；
➢
对当应K 于* 系a42统时临，界两阻根尼相的等情，况s1 ； s2
a 2
，
➢ 当 a 2 K * 时， 两根为共轭复数根，
m
K * (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
(s pi )
i 1
绘制根轨迹的幅值(模值)条件为：
m
K * s z j
j1 n
1 或
s pi
i1
绘制根轨迹的相角条件为：
n
s pi
K*
i1 m
s zj
j1
m
n
(s zj) (s p i) 1 8 0 (2 q 1 ) (q 0 ,1 ,2 , )
开环增益：K G(0)H(0)
j1
n
( pi)
——影响系统 的稳态误差
r
h i1
K
* G
( zj)
( pi )
闭环增益：KB n j1
i 1 m
—— 影响系统输入
( pi ) K* ( z j )
输出的幅值比
i 1
j 1
根轨迹增益： K* KG * KH *
结论 ① 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。
一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系 统的任意参量。但在实际中，最常用的可变参量是系统
的开环增益 K 。以 K 为可变参量绘制的根轨迹称为
常规根轨迹。
例4-1：标准二阶系统根轨迹图。 R ( s )
标准二阶系统开环传递函数为：
G(s) K *
s(s a)
K * C (s) s(s a )
相角条件： G ( s ) H ( s ) 1 8 0 ( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
凡是满足上述幅值条件和相角条件的 s 值，就是系
统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在 根轨迹上。
二、开环传递函数的两种表达式
m
K * (s z j )
典型的控Biblioteka Baidu系统结构图如右：
R (s)
r
K
* G
(s z j )
G (s)
j 1 q
(s pi)
l
K
* H
(s z j )
H (s)
j 1 h
(s pi)
C (s)
G (s)
H (s)
i1
i1
m
K * (s z j )
开环传递函数为： G (s)H (s)
j 1 n
(s pi )
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
它有两个极点：p10,p2 a，无零点，K * 为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
(s)C(s)
R(s)
s2aKs*K*
闭环特征方程： s2asK*0
闭环特征根(极点) ：
sa s
s1,2
a 2
a2 2
K*
K*：0时的根轨迹(闭环
p2 a a 2
特征根随 K * 变化的轨迹)如右
图所示。显然，a 和 K * 都为正时，系统稳定。
在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主
要用来确定已知根轨迹上某一点的 K * 值。
三、绘制根轨迹的基本规则 ★
[规则1] 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
4
与s1,2实 轴a垂2 直j，K 并*相a2交4于，这( 时a ，， 根j 0 )轨，迹
j
对应于系统欠阻尼的情况。2
sa s
0
规定： —— 表示开环零点；
p1 0
p2 a a 2
—— 表示开环极点；
箭头表示 K * 增大时，闭环极点的变化趋势。
二、根轨迹与系统性能
稳定性
根轨迹与虚轴交点处的 K * 值就是临界根轨迹增益。
① 零极点形式： G (s)H (s)
j 1 n
首1型
(s pi )
i 1
m
K ( j s 1)
② 时间常数形式： G (s)H (s)
j 1 n
尾1型
(Tis 1)
显然有：
i 1
m
K* (zj)
K
j1 n
，zj
(pi)
1j ，pi
1
Ti
i1
根轨迹法中，其开环传递函数多采用零极点形式：
j 1
i 1
模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹 增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。
模值方程是根轨迹的必要条件 —— S 平面上的某一点
s 是根轨迹上的点，则幅值条件成立；S 平面上的任一 s点 满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。
相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。
稳态性能 稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开
环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如何变化， 系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图 上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。
动态性能 动态性能由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以
确定出满足系统性能的参数范围。
三、闭环零极点与开环零极点之间的关系
② 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。
③ 闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。
§4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件
闭环特征方程： 1G(s)H(s)0
即： G ( s ) H ( s ) 1 1 e j( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
(K* KG * K*H)
i 1
r
h
闭环传递函数为：(s) G(s) 1G(s)H(s)
KG * (szj) (spi)
j1
i1
n
m
(spi)K* (szj)
i1
j1
n
m
系统的特征方程：D (s) 1 G (s)H (s) (sp i) K * (s zj) 0
i 1
j 1
m
KG* K*H (zj )
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
s 时，闭环系统特征方程的根在 平面上变化的轨迹。
j
0
p1 0
讨论 a 一定时，根轨迹增益 K * 与特征根之间的关系：
➢ 当 K * 0 时，s10，s2a，即开环极点；
➢当0
K*
a2 4
时，s
1
和
s
2
为互不相等的两个负实根，
对应于系统过阻尼的情况；
➢
对当应K 于* 系a42统时临，界两阻根尼相的等情，况s1 ； s2
a 2
，
➢ 当 a 2 K * 时， 两根为共轭复数根，
m
K * (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
(s pi )
i 1
绘制根轨迹的幅值(模值)条件为：
m
K * s z j
j1 n
1 或
s pi
i1
绘制根轨迹的相角条件为：
n
s pi
K*
i1 m
s zj
j1
m
n
(s zj) (s p i) 1 8 0 (2 q 1 ) (q 0 ,1 ,2 , )
开环增益：K G(0)H(0)
j1
n
( pi)
——影响系统 的稳态误差
r
h i1
K
* G
( zj)
( pi )
闭环增益：KB n j1
i 1 m
—— 影响系统输入
( pi ) K* ( z j )
输出的幅值比
i 1
j 1
根轨迹增益： K* KG * KH *
结论 ① 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。
一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系 统的任意参量。但在实际中，最常用的可变参量是系统
的开环增益 K 。以 K 为可变参量绘制的根轨迹称为
常规根轨迹。
例4-1：标准二阶系统根轨迹图。 R ( s )
标准二阶系统开环传递函数为：
G(s) K *
s(s a)
K * C (s) s(s a )