自动控制理论教学课件-第四章 根轨迹法
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自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章根轨迹课件
幅值条件
s z
i 1
Hale Waihona Puke mi s p
j 1
n
j
1 Kg
Kg=0
(s p ) 0
j 1 j
n
根轨迹起始于开环极点
Kg=∞
(s z ) 0
i 1 i
m
根轨迹终止于开环零点
根轨迹分支数 • n阶系统的根轨迹有n条分支
s z
i 1
m
i
s p
j 1
jω
-p3
ⅹ
j4
K1 G( s) H ( s) s( s 4)( s 2 4s 20)
规则1、2、3、4 根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起 始于极点0,－4和－2±j4，终止 于无限远零点。 实轴上0~－4区段为根轨迹. 相角条件 -p3、-p4的连接线为 根轨迹
-p2
s1 z1 ( z1 p1 )(z1 p2 )
s2 z1 ( z1 p1 )( z1 p2 )
7.根轨迹的出射角和入射角(1)
出射角：根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴 正方向的夹角 入射角：而进入开环复数零点处的切线方向与实轴 正方向的夹角
7.根轨迹的出射角和入射角(2)
i 1 i 1
每对共轭复数极点所提供的相角 之和为360°； s1右边所有位于实轴上的每一个极 点或零点所提供的相角为180°；
ⅹ ⅹ
-p3 s2
-p4
jω
-θ -z1
○
ⅹ
-p2 s1
ⅹ
-p1
σ
s1左边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的相角为0°。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第四章--根轨迹法
G(s)H(s) 1
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
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定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
s 时，闭环系统特征方程的根在 平面上变化的轨迹。
4
与s1,2实 轴a垂2 直j，K 并*相a2交4于，这( 时a ，， 根j 0 )轨，迹
j
对应于系统欠阻尼的情况。2
sa s
0
规定： —— 表示开环零点；
p1 0
p2 a a 2
—— 表示开环极点；
箭头表示 K * 增大时，闭环极点的变化趋势。
二、根轨迹与系统性能
稳定性
根轨迹与虚轴交点处的 K * 值就是临界根轨迹增益。
它有两个极点：p10,p2 a，无零点，K * 为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
(s)C(s)
R(s)
s2aKs*K*
闭环特征方程： s2asK*0
闭环特征根(极点) ：
sa s
s1,2
a 2
a2 2
K*
K*：0时的根轨迹(闭环
p2 a a 2
特征根随 K * 变化的轨迹)如右
图所示。显然，a 和 K * 都为正时，系统稳定。
(K* KG * K*H)
i 1
r
h
闭环传递函数为：(s) G(s) 1G(s)H(s)
KG * (szj) (spi)
j1
i1
n
m
(spi)K* (szj)
i1
j1
n
m
系统的特征方程：D (s) 1 G (s)H (s) (sp i) K * (s zj) 0
i 1
j 1
m
KG* K*H (zj )
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
① 零极点形式： G (s)H (s)
j 1 n
首1型
(s pi )
i 1
m
K ( j s 1)
② 时间常数形式： G (s)H (s)
j 1 n
尾1型
(Tis 1)
显然有：
i 1
m
K* (zj)
K
j1 n
，zj
(pi)
1j ，pi
1
Ti
i1
根轨迹法中，其开环传递函数多采用零极点形式：
在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主
要用来确定已知根轨迹上某一点的 K * 值。
三、绘制根轨迹的基本规则 ★
[规则1] 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
Байду номын сангаас
m
K * (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
(s pi )
i 1
绘制根轨迹的幅值(模值)条件为：
m
K * s z j
j1 n
1 或
s pi
i1
绘制根轨迹的相角条件为：
n
s pi
K*
i1 m
s zj
j1
m
n
(s zj) (s p i) 1 8 0 (2 q 1 ) (q 0 ,1 ,2 , )
开环增益：K G(0)H(0)
j1
n
( pi)
——影响系统 的稳态误差
r
h i1
K
* G
( zj)
( pi )
闭环增益：KB n j1
i 1 m
—— 影响系统输入
( pi ) K* ( z j )
输出的幅值比
i 1
j 1
根轨迹增益： K* KG * KH *
结论 ① 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。
② 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。
③ 闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。
§4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件
闭环特征方程： 1G(s)H(s)0
即： G ( s ) H ( s ) 1 1 e j( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
j
0
p1 0
讨论 a 一定时，根轨迹增益 K * 与特征根之间的关系：
➢ 当 K * 0 时，s10，s2a，即开环极点；
➢当0
K*
a2 4
时，s
1
和
s
2
为互不相等的两个负实根，
对应于系统过阻尼的情况；
➢
对当应K 于* 系a42统时临，界两阻根尼相的等情，况s1 ； s2
a 2
，
➢ 当 a 2 K * 时， 两根为共轭复数根，
典型的控制系统结构图如右：
R (s)
r
K
* G
(s z j )
G (s)
j 1 q
(s pi)
l
K
* H
(s z j )
H (s)
j 1 h
(s pi)
C (s)
G (s)
H (s)
i1
i1
m
K * (s z j )
开环传递函数为： G (s)H (s)
j 1 n
(s pi )
j 1
i 1
模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹 增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。
模值方程是根轨迹的必要条件 —— S 平面上的某一点
s 是根轨迹上的点，则幅值条件成立；S 平面上的任一 s点 满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。
相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。
幅值条件： G(s)H(s) 1
相角条件： G ( s ) H ( s ) 1 8 0 ( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
凡是满足上述幅值条件和相角条件的 s 值，就是系
统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在 根轨迹上。
二、开环传递函数的两种表达式
m
K * (s z j )
一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系 统的任意参量。但在实际中，最常用的可变参量是系统
的开环增益 K 。以 K 为可变参量绘制的根轨迹称为
常规根轨迹。
例4-1：标准二阶系统根轨迹图。 R ( s )
标准二阶系统开环传递函数为：
G(s) K *
s(s a)
K * C (s) s(s a )
稳态性能 稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开
环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如何变化， 系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图 上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。
动态性能 动态性能由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以
确定出满足系统性能的参数范围。
三、闭环零极点与开环零极点之间的关系
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
s 时，闭环系统特征方程的根在 平面上变化的轨迹。
4
与s1,2实 轴a垂2 直j，K 并*相a2交4于，这( 时a ，， 根j 0 )轨，迹
j
对应于系统欠阻尼的情况。2
sa s
0
规定： —— 表示开环零点；
p1 0
p2 a a 2
—— 表示开环极点；
箭头表示 K * 增大时，闭环极点的变化趋势。
二、根轨迹与系统性能
稳定性
根轨迹与虚轴交点处的 K * 值就是临界根轨迹增益。
它有两个极点：p10,p2 a，无零点，K * 为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
(s)C(s)
R(s)
s2aKs*K*
闭环特征方程： s2asK*0
闭环特征根(极点) ：
sa s
s1,2
a 2
a2 2
K*
K*：0时的根轨迹(闭环
p2 a a 2
特征根随 K * 变化的轨迹)如右
图所示。显然，a 和 K * 都为正时，系统稳定。
(K* KG * K*H)
i 1
r
h
闭环传递函数为：(s) G(s) 1G(s)H(s)
KG * (szj) (spi)
j1
i1
n
m
(spi)K* (szj)
i1
j1
n
m
系统的特征方程：D (s) 1 G (s)H (s) (sp i) K * (s zj) 0
i 1
j 1
m
KG* K*H (zj )
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
① 零极点形式： G (s)H (s)
j 1 n
首1型
(s pi )
i 1
m
K ( j s 1)
② 时间常数形式： G (s)H (s)
j 1 n
尾1型
(Tis 1)
显然有：
i 1
m
K* (zj)
K
j1 n
，zj
(pi)
1j ，pi
1
Ti
i1
根轨迹法中，其开环传递函数多采用零极点形式：
在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主
要用来确定已知根轨迹上某一点的 K * 值。
三、绘制根轨迹的基本规则 ★
[规则1] 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
Байду номын сангаас
m
K * (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
(s pi )
i 1
绘制根轨迹的幅值(模值)条件为：
m
K * s z j
j1 n
1 或
s pi
i1
绘制根轨迹的相角条件为：
n
s pi
K*
i1 m
s zj
j1
m
n
(s zj) (s p i) 1 8 0 (2 q 1 ) (q 0 ,1 ,2 , )
开环增益：K G(0)H(0)
j1
n
( pi)
——影响系统 的稳态误差
r
h i1
K
* G
( zj)
( pi )
闭环增益：KB n j1
i 1 m
—— 影响系统输入
( pi ) K* ( z j )
输出的幅值比
i 1
j 1
根轨迹增益： K* KG * KH *
结论 ① 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。
② 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。
③ 闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。
§4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件
闭环特征方程： 1G(s)H(s)0
即： G ( s ) H ( s ) 1 1 e j( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
j
0
p1 0
讨论 a 一定时，根轨迹增益 K * 与特征根之间的关系：
➢ 当 K * 0 时，s10，s2a，即开环极点；
➢当0
K*
a2 4
时，s
1
和
s
2
为互不相等的两个负实根，
对应于系统过阻尼的情况；
➢
对当应K 于* 系a42统时临，界两阻根尼相的等情，况s1 ； s2
a 2
，
➢ 当 a 2 K * 时， 两根为共轭复数根，
典型的控制系统结构图如右：
R (s)
r
K
* G
(s z j )
G (s)
j 1 q
(s pi)
l
K
* H
(s z j )
H (s)
j 1 h
(s pi)
C (s)
G (s)
H (s)
i1
i1
m
K * (s z j )
开环传递函数为： G (s)H (s)
j 1 n
(s pi )
j 1
i 1
模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹 增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。
模值方程是根轨迹的必要条件 —— S 平面上的某一点
s 是根轨迹上的点，则幅值条件成立；S 平面上的任一 s点 满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。
相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。
幅值条件： G(s)H(s) 1
相角条件： G ( s ) H ( s ) 1 8 0 ( 2 q 1 ) ( q 0 , 1 , 2 ,)
凡是满足上述幅值条件和相角条件的 s 值，就是系
统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在 根轨迹上。
二、开环传递函数的两种表达式
m
K * (s z j )
一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系 统的任意参量。但在实际中，最常用的可变参量是系统
的开环增益 K 。以 K 为可变参量绘制的根轨迹称为
常规根轨迹。
例4-1：标准二阶系统根轨迹图。 R ( s )
标准二阶系统开环传递函数为：
G(s) K *
s(s a)
K * C (s) s(s a )
稳态性能 稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开
环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如何变化， 系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图 上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。
动态性能 动态性能由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以
确定出满足系统性能的参数范围。
三、闭环零极点与开环零极点之间的关系