(完整版)全等三角形经典模型总结
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全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
(一)角平分线的性质模型
辅助线:过点G作GE⊥射线AC
A、例题
1、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB 的距离是cm.
2、如图,已知,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC.
B、模型巩固
1、如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°.
(二)角平分线+垂线,等腰三角形必呈现
A、例题
辅助线:延长ED交射线OB于F 辅助线:过点E作EF∥射线OB 例1、如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于F .
求证:
1
()
2
BE AC AB
=-.
例2、如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM⊥AD交
AD的延长线于M. 求证:
1
()
2
AM AB AC
=+.
(三)角分线,分两边,对称全等要记全
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使OB=OA,从而使△OAC≌△OBC .
A、例题
1、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC 交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ .
2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
B、模型巩固
1、在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,P是线段AD上任意一点(不与A重合).求证:AB-AC>PB-PC .
2、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∠B的平分线交AC于D,
求证:AD+BD=BC .
3、如图,△ABC中,BC=AC,∠C=90°,∠A的平分线交BC于D,
求证:AC+CD=AB .
二、等腰直角三角形模型
(一)旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程:
(1)将△ABD逆时针旋转90°,得△ACM ≌△ABD,从而推出△ADM为等腰直角三角形.(2)辅助线作法:过点C作MC⊥BC,使CM=BD,连结AM.
(二)旋转中心为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等:
操作过程:连结AD.
(1)使BF=AE(或AF=CE),导出△BDF ≌△ADE.
(2)使∠EDF+∠BAC=180°,导出△BDF ≌△ADE.
A、例题
1、如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点M、N在斜边BC上滑动,且∠MAN=45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC.
试判断△EMC的形状,并证明你的结论.
B、模型巩固
1、已知,如图所示,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM.
(1)试判断△OMN的形状,并证明你的结论.
(2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化?
2、在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求∠BAE+∠DCF为多少度.
(三)构造等腰直角三角形
(1)利用以上(一)和(二)都可以构造等腰直角三角形(略);
(2)利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.
(四)将等腰直角三角形补全为正方形,如下图:
A、例题应用
1、如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC,求证:∠BCP=15°.
三、三垂直模型(弦图模型)
A、例题
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC中点,AF⊥BD于点E,交BC于F,连接DF .
求证:∠ADB=∠CDF .
变式1、已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,连接NF .
求证:(1)∠AMB=∠CNF;(2)BM=AF+FN .
变式2、在变式1的基础上,其他条件不变,只是将
BM和FN分别延长交于点P,
求证:(1)PM=PN;(2)PB=PF+AF .
四、手拉手模型
1、△ABE和△ACF均为等边三角形
结论:(1)△ABF≌△AEC .
(2)∠BOE=∠BAE=60°.
(3)OA平分∠EOF .(四点共圆证)
拓展:△ABC和△CDE均为等边三角形
结论:(1)AD=BE;
(2)∠ACB=∠AOB;
(3)△PCQ为等边三角形;
(4)PQ∥AE;
(5)AP=BQ;
(6)CO平分∠AOE;(四点共圆证)
(7)OA=OB+OC;
(8)OE=OC+OD .
((7),(8)需构造等边三角形证明)
例、如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点.若点M为△ABC的费尔马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:如图②,分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M 即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.
2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形
结论:(1)BE =CD ;(2)BE ⊥CD .
3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形
结论:(1)BD =CF ;(2)BD ⊥CF .
变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形,AS ⊥BC 交FD 于T ,
求证:(1)T 为FD 中点;(2)ABC ADF S S V V .
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,T为FD中点,TA交BC于S,求证:AS⊥BC .
4、如图,以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时,总有:
360 12180
n
?∠=∠=?-
五、半角模型 条件:1,+=1802
αββθβ=?且,两边相等 . 思路:1、旋转
辅助线:①延长CD 到E ,使ED=BM ,连AE 或延长CB 到F ,使FB=DN ,连AF
②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ,注意:旋转需证F 、B 、M 三点共线
结论:(1)MN =BM +DN ;
(2)=2CMN C AB V ;
(3)AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .
2、翻折(对称)
辅助线:①作AP ⊥MN 交MN 于点P
②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折,但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .
A 、例题
例1、在正方形ABCD 中,若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动,且满足MN =BM +DN , 求证:(1)∠MAN =45°;
(2)=2CMN C AB V ;
(3)AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .
变式:在正方形ABCD 中,已知∠MAN =45°,若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动, AH ⊥MN ,垂足为H ,
(1)试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系;
(2)求证:AB =AH
例2、在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上的点,
且满足EF=BE+DF,求证:
1
2
EAF BAD ∠=∠.
变式:在四边形ABCD中,∠B=90°,∠D=90°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上
的点,且
1
2
EAF BAD
∠=∠,求证:EF=BE+DF .