声子晶体研究的若干进展

声子晶体研究的若干进展倪青, 程建春（近代声学教育部重点实验室，南京大学声学研究所，南京 210093）1 引言20世纪初半导体材料的出现引发了一场轰轰烈烈的电子工业革命，使我们进入了信息时代。

半导体的原子呈周期性排列，电子在半导体中运动时，电子与原子周期势场相互作用使得半导体具有电子禁带，能够操控电子的流动。

以硅晶体为代表的半导体带来了一次科学技术革命。

随着晶体管、集成电路、大规模集成电路甚至超大规模集成电路的开发运用，半导体技术对人类文明的进步产生了深远的影响。

我们知道，半导体的理论依据是固体电子的能带理论，即电子在周期性势场的作用下会形成价带和导带，带与带之间有能隙。

量子阱、半导体超晶格等模拟实际晶体设计的相关材料与器件的成功应用，使电子能带理论突破了原有天然材料的限制，进入了一个新的阶段。

约二十年前，人们开始触及对结构功能材料光学特性的研究。

理论和实验证明，如果结构功能材料中的介电常数在光波长尺度上周期性变化，光子与周期结构相互作用，会使得该材料具有类似半导体中电子禁带的能带结构，称之为光子禁带。

具有光子禁带的周期性电介质结构功能材料称为光子晶体。

光子能量落在光子禁带中的光波不能在光子晶体中传播，当光子晶体中存在(或引入)点缺陷或线缺陷时，则禁带内的光波将被局域在点缺陷内或只能沿线缺陷传播。

通过对光子晶体周期结构及其缺陷的设计，可以人为地调控光子的流动。

1987年，Yablonovithch和John两人分别独立地提出了光子晶体的概念[1, 2]，Yablonovitch还通过实验验证了微波波段光子禁带的存在[3]。

光子晶体迅速成为光电子以及信息技术领域研究的热点。

随后，人们发现当弹性波在周期性弹性复合介质中传播时，也会产生类似的弹性波禁带，于是提出了声子晶体的概念。

声子晶体具有丰富的物理内涵及潜在的广阔应用前景。

声子晶体的研究引起了各国研究机构的高度关注。

2 声子晶体研究概况2.1 声子晶体概念及基本特征声子晶体是具有不同弹性性质的材料周期复合而成的介质。

在声子晶体内部材料组分(或称为组元)的弹性常数、质量密度等参数周期性变化。

随着材料组分搭配的不同，以及周期结构形式的不同，声子晶体的弹性波禁带特性也就不同。

声子晶体同光子晶体有着相似的基本特征：当弹性波频率落在禁带范围内时，弹性波被禁止传播；当存在点缺陷或线缺陷时，弹性波会被局域在点缺陷处，或只能沿线缺陷传播。

同样，通过对声子晶体周期结构及其缺陷的设计，可以人为地调控弹性波的传播。

弹性波是由纵波和横波耦合的张量波，在每个组元中具有3个独立的弹性参数，即质量密度ρ、纵波波速c l和横波波速c t(在流体介质中c t=0)；光波是矢量波（只有横波），在每个组元中只有一个独立的参数即介电常数（忽略材料的磁性）。

因此，声子晶体的研究比光子晶体更困难，且具有更丰富的物理内涵。

比较(电子)晶体、光子晶体及声子晶体的有关特性，发现三者具有惊人的相似之处[4]，因此，(电子)晶体、光子晶体的一些研究方法对声子晶体的研究有一定的指导作用。

根据声子晶体结构在迪卡尔坐标系中三个正交方向上的周期性，可以将声子晶体分为一维、二维、三维声子晶体。

学者们已经对一些特定结构的声子晶体进行了研究：一维声子晶体，一般针对两种或多种材料组成的周期性层状结构；二维声子晶体，一般针对柱体材料中心轴线均平行于空间某一方向、并将其嵌入另一基体材料中所形成的周期性点阵结构，柱体材料可以是中空的或实心的，柱体的横截面通常是圆形，也可以是正方形，柱体的排列形式可以是正方形、三角形、六边形排列等；三维声子晶体一般针对球形散射体嵌入某一基体材料中所形成的周期性点阵结构，周期性点阵结构形式可以是体心立方、面心立方、六角密排结构等。

2.2 声子晶体禁带机理大量的理论和实验研究都证明了声子晶体中弹性波禁带的存在，图1给出了一个典型的二维声子晶体色散关系(Dispersion Relation)图，图1中左图的阴影部分即为弹性波禁带，右图为正方排列声子晶体的第一Brillouin 区。

0.00.20.40.60.81.01.2约 化 波矢约 化 频 率x图1 某种二维声子晶体的色散关系图，右图为第一Brillouin 区关于弹性波禁带形成的机理比较成熟的有两种： 布拉格散射机理[4]和局域共振机理[5]。

布拉格散射是由固体物理学的能带理论引出的，其造成禁带的原因主要是：周期变化的材料特性与弹性波相互作用，使得某些频率的波在周期结构中没有对应的振动模式，也即不能传播，因而产生禁带。

大量研究弹性波禁带形成的文献着重讨论了布拉格散射机理，研究表明：弹性波禁带的产生与复合介质中组分的弹性常数、密度、声速、组分的填充率等有关；与晶格结构形式及尺寸有关。

此外，布拉格散射形成的弹性波禁带对应的弹性波波长一般与周期结构尺寸参数(即晶格尺寸或晶格常数)相当，这与光子晶体周期结构产生禁带的机理在概念上是一致的，因此布拉格散射机理对声子晶体在低频(尤其是在1kHz 以下)禁带方面的应用造成了一定的困难。

我国学者刘正猷等[5, 7]在研究用粘弹性软材料包覆后的铅球组成简单立方晶格结构嵌入环氧树脂中形成的三维声子晶体时发现，该声子晶体禁带所对应的波长远远大于晶格的尺寸，突破了布拉格散射机理的限制，而且在散射体并非严格周期分布、甚至随机分布时，复合结构同样具有禁带，由此提出了弹性波禁带的局域共振机理。

局域共振机理认为，在特定频率的弹性波激励下，单个散射体产生共振，并与入射波相互作用，使其不能继续传播。

禁带的产生主要取决于各个单散射体本身的结构与弹性波的相互作用。

因此，对于符合局域共振机理的声子晶体，禁带与单个散射体固有的振动特性密切相关，与散射体的周期性及晶格常数关系不大，这对于声子晶体在低频波段的应用开辟了广阔的道路。

中国国防科技大学Wang等[6]最近提出了不含包覆层的局域共振型声子晶体，他们的理论证明，利用非常软材料嵌入到某种硬基体中也存在很低共振频率的特点。

总之，布拉格散射机理强调周期结构对波的影响，如何设计其周期结构的晶格常数与材料组分的搭配是设计禁带的关键因素之一；局域共振机理则强调单个散射体的特殊结构对波的作用，如何设计单个散射体的共振结构与散射体在基体内的散布特性是问题的关键。

2.3 声子晶体缺陷态符合布拉格散射机理的声子晶体具有理想的周期性结构，对这种理想周期性结构的破坏一般称为缺陷。

缺陷按其维数可以分为点缺陷[8]、线缺陷[9]和面缺陷[10]。

当声子晶体中存在某种缺陷时，会在其禁带范围内产生所谓的缺陷态，缺陷态的存在会对声子晶体的禁带特性产生重大的影响。

因此，对声子晶体缺陷态特性的研究有着重要的意义。

Sigalas等[8]研究了二维铅/环氧树脂声子晶体中存在点缺陷时弹性波传播情况，该点缺陷通过改变某个铅柱的直径来获得，计算表明点缺陷对弹性波具有局域作用。

Kafesáki等[9]采用有限时域差分法研究了弹性波在二维铅/环氧树脂声子晶体中存在线缺陷时的传播情况，该线缺陷是通过移去声子晶体中的一行或一列铅棒获得的。

研究表明弹性波只能沿线缺陷传播。

在实验方面，Torres等[11]研究了二维水银/铝声子晶体中的表面态情况，指出声波在声子晶体界面上具有声波局域现象。

同时还实验研究了通过移去部分水银柱形成的L形线缺陷情况下声波的传播情况。

实验表明，声波只能沿线缺陷传播或被局域在点缺陷处，实验结果很好地验证了理论计算结果。

关于三维声子晶体中的缺陷研究，Psarobas等[10]研究了三维铅球嵌入环氧树脂基体中以面心立方晶格排列时，面缺陷的存在可以使得声子晶体的禁带中出现横波和纵波的局域现象。

对声子晶体中缺陷态的研究，大部分还只是理论计算工作，声子晶体虽然只有点缺陷、线缺陷、面缺陷三种缺陷形式，但每种缺陷形式又可以有多种多样的结构形式。

对声子晶体缺陷态特性的研究将对声子晶体的工程应用提供广泛的理论指导。

2.4 声子晶体研究方法比较成熟的声子晶体禁带计算方法主要有平面波展开(PWE)方法[4]、有限时域差分法(FDTD)[9]和多重散射法(MST)[5]。

PWE法直接利用了结构的周期性，将波动方程从实空间变换到离散Fourier空间，将能带计算简化成代数特征值问题的求解，其应用最为广泛，易于理解，且计算相对简单。

但由于其依赖于对弹性参数的傅里叶级数展开，因此该方法在计算含大弹性常数差界面的声子晶体的禁带特性时，需要使用大量的傅里叶级数项。

MST法可以解决这些问题，但其理论推导十分复杂，目前限于处理球形或柱形单元结构的声子晶体，MST法的原理是基于电子能带结构计算的著名方法，即Korringa-Kohn-Rostoker(KKR)理论[12]，它的基本思想是将入射到某一球体(散射体)上的入射波分成两部分：从其它散射体散射过来的散射波，介质接收到的外部场的入射波。

FDTD法适用于计算有限周期声子晶体结构的传输、反射特性，但对于大弹性常数差声子晶体结构，也需要大幅度减小离散时间步长，以满足计算稳定性的要求，这使得计算时间大大增加。

其基本思想是：定义初始时间的一组场分布，然后根据周期性边界条件，利用波动方程可以求得场强随时间的变化，最终求得声子晶体的能带结构。

2.5 声子晶体应用领域声子晶体的应用在很大程度上还处于探索阶段，但声子晶体具有的禁带特性、缺陷态特性使得它在减振、降噪、声学器件等方面有着潜在的广阔应用前景。

在减振方面，利用声子晶体的禁带特性，可以为高精密机械加工系统提供一定频率范围内的无振动加工环境，从而保证加工精度水平；也可以为某些精密仪器设备提供一定频率范围内的无振动工作环境，进而提高工作参数精度，提高可靠性，延长使用寿命。

在降噪方面，利用声子晶体的禁带特性，有可能设计和制造出一种全新的降噪材料，这种材料既可以在噪声的传播途中隔离噪声，又可以在噪声源处控制噪声。

根据局域共振机理，如果突破了声子晶体低频禁带的设计方法，声子晶体将在潜艇的消声瓦、声纳等方面有着广阔的应用前景。

根据声子晶体中存在缺陷时声波的局域特性，可以设计出新型的高效率、低能耗的声学滤波器，也可以设计出具有高聚焦特性、低能耗的声学透镜等。

关于声子晶体应用研究的文献较少。

Diez等[13]通过在光纤中刻蚀声学光栅构成一维声子晶体实现了光纤的声光调制；Cervera等[14]采用弹性材料排列在空气中构成二维声子晶体实现了声学透镜的功能。

美国国防部高级研究计划局(DARPA)在1999年对声子晶体的应用研究方面进行了大力资助，主要是针对声滤波器、振动和噪声隔离等领域。

随着声子晶体理论研究的日趋成熟，声子晶体的应用研究也将引起越来越多的关注。

声子晶体的应用研究必将涉及声子晶体的制备理论与技术、声子晶体的测试表征，它们也是声子晶体研究内容的一部分。