高等代数中一道习题的不同解法

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数学通关攻略高中数学题目解析与解答技巧

数学通关攻略高中数学题目解析与解答技巧数学通关攻略：高中数学题目解析与解答技巧数学是一门需要理解和运用的学科，对于大部分高中学生来说，数学可能是他们学习过程中最具挑战性的科目之一。

面对大量的数学题目，如何高效地解析和解答成了很多学生面临的难题。

本文将为大家介绍一些高中数学题目解析与解答的技巧，以帮助大家顺利掌握数学知识。

一、代数题目的解析与解答技巧1. 理解题目：首先，我们需要仔细阅读题目并理解它所要求的具体内容。

在阅读过程中，可以划分关键词，例如“平方根”、“方程”、“因式分解”等，帮助我们快速找到问题的关键点。

2. 建立方程：对于代数题目，建立方程是解答的关键步骤。

我们可以根据题目的条件和要求，运用代数知识建立方程式。

在建立方程时要注意变量的选取和方程的推导，确保方程的准确性。

3. 运用代数操作技巧：在解答代数题目时，可以灵活运用代数操作的技巧，如分式的化简、同类项的合并、因式分解等。

这些技巧可以帮助我们简化计算步骤，提高解题效率。

4. 检查答案：完成计算后，务必进行答案的检查。

通过将计算结果代入原方程中，验证方程是否成立。

这一步骤能够避免因计算错误而得出错误答案。

二、几何题目的解析与解答技巧1. 理解图形：几何题目通常涉及到图形的性质和关系，因此我们需要仔细观察图形并理解它们所给出的信息。

考虑到图形的对称性、边长比例、角度关系等因素，有助于我们解决几何题目。

2. 运用几何定理：几何定理是解答几何问题的基础。

我们需要熟练掌握各种几何定理，并在实际解题中恰当地运用它们。

例如，利用三角形内角和定理和外角定理可以推导得到一些性质。

3. 构造图形：在解答几何题目时，有时可以通过构造辅助图形来简化计算和证明过程。

通过合理地使用辅助线，我们可以发现一些隐藏的性质和关系，从而更好地解答问题。

4. 证明题目：在解答几何问题中，有时需要进行证明。

在证明过程中，需要严谨地运用已知条件和几何定理来推理和演绎，确保证明的推理过程正确且合乎逻辑。

解答代数题的常用方法

解答代数题的常用代换法江苏省盐都县教育局谷汉民江苏省盐都县楼王中学翟文刚代换法是解答代数题的常用方法，在求值、化简、解方程、证明不等式中的应用极为广泛．本文试对代数中的常用代换法作些归纳，供大家参考．1 比例代换+cz＝（a+b+c）（x＋y＋z）．b＝k（y2-zx），c=k（z2－xy）．∴ ax＋by＋cz＝k（x3＋y3＋z3－3xyz）＝k（x＋y＋z）（x2＋y2＋z2－xy－yz－zx）．又a＋b＋c＝k（x2＋y2＋z2－xy－yz－zx），∴ ax＋by＋cz＝（a＋b＋c）（x＋y＋z）．2 整体代换∴x3-6x-40＝0，∴（x-4）（x2＋4x＋10）＝0．∵方程x2＋4x＋10＝0无实根，由x－4=0得x＝4．3 局部代换则a＋b＝5，a2＋b2＝13．∴a，b是方程x2－5x＋6＝0的两根．∴a＝2，b＝3或a＝3，b＝2．由此解得x＝2或x＝7，经检验都是原方程的根．4 均值代换例5已知a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求a5＋b5＋c5的值．（1）若c=0，则a=-b．这时a5＋b5＋c5＝0．a5＋b5＋c5＝0．解设x＝1＋a，y＝1＋b，z＝1＋c，代入x＋y＋z＝3得a＋b＋c ＝0，则又a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）［a2＋b2＋c2－ab－bc－ca］＝0，∴ a3＋b3＋c3＝3abc，∴p=1．5 共轭代换例7解方程解设化简得t＝－3．从而得方程组6 常值代换x3+2ax2+a2x+a-1=0，即xa2＋（2x2＋1）a＋x3－1＝0．显然x＝0不是原方程的根，解此关于a的方程得由此解得7 分式代换。

高数题目解答技巧汇总

高数题目解答技巧汇总高等数学题目解答技巧汇总高等数学，仿佛是一个神秘的领域，充满了各种复杂的概念和技巧。

面对这些难题，掌握一些实用的解答技巧，就像拥有了一把开启数学大门的钥匙。

在解答高数题目时，以下几个技巧可以帮助你更高效地找到解决方案。

首先，理解题目要求是解决高数问题的第一步。

题目中的每一个细节都可能影响解题的路径。

因此，在动笔之前，仔细阅读题目，明确题目的已知条件和需要求解的目标，是至关重要的。

这不仅可以避免因理解错误而走入误区，还能帮助你确定解题的思路。

接下来，分解问题是应对复杂题目的有效方法。

许多高数题目表面看起来难度很大，但如果把问题分解成若干个小问题，解决每一个小问题，然后将结果合并，通常可以简化解题过程。

例如，在处理多变量函数的极值问题时，可以先固定一个变量，研究在该变量固定值下的函数行为，再逐步扩展到其他变量，这样会更容易找到问题的解决方法。

图形化也是解答高数题目的一个重要技巧。

很多时候，复杂的数学问题可以通过图形化的方式得到更直观的理解。

比如在研究函数的性质时，画出函数的图像，可以帮助你更清晰地看到函数的变化趋势，识别关键点和区域。

即使题目没有直接给出图形，适当的手动绘制也能提供有用的信息。

当面对证明题时，构造反例和使用对称性是很有帮助的技巧。

构造反例可以帮助你验证一个数学命题是否成立，而对称性则可以简化复杂问题的证明过程。

例如，在证明一个关于对称函数的定理时，可以利用函数的对称性来减少计算量，从而更轻松地完成证明。

另外，公式和定理的灵活应用也是高数解题中的关键。

熟练掌握各种公式和定理，并能够在不同问题中灵活应用，是解答高数题目的核心能力之一。

在解题时，可以先回顾相关的公式和定理，看看它们是否适用于当前问题，有时一个合适的公式能迅速带你到达解答的终点。

在解答积分和微分题目时，变换和代入法常常是解决问题的有效手段。

例如，对于复杂的积分问题，尝试用变量代换简化积分表达式，或者使用分部积分法，有时能够将难题转化为简单的形式。

一道高等代数试题的六种解法

一道高等代数试题的六种解法摘要本文主要给出了2022年同济大学研究生入学考试高等代数第十题的六种解法.关键词高等代数、一题多解、对称矩阵、奇异值分解、大学数学原题如下,我们重点讨论第二问:(10)已知实矩阵,证明: 当且仅当,并且若,则.先给出根据题目中第一问的提示得到了解法I.解法I(迹的正定性) 设,则,故意味着实矩阵的所有元素均为,即,即.令,则而,即,故,即,即.类似于解法I,我们也可以利用对称阵以及反对称阵的性质直接给出解法II.解法II(对称阵的性质) 由于,故,记,类似解法I有注意到上式左边是对称阵,右边是反对称阵,故,故,即我们也可以利用齐次线性方程组同解的判定定理来说明是正规阵,进而进行解法I中的计算,利用反对称阵的平方是零矩阵,则反对称阵也是零矩阵.解法III(线性方程组理论) 由题意可知和与同解.由于,即的列向量都是的解,故也是的解,即,计算可知.注意到是反对称阵,且类似解法I可知,即若不利用题目中的第一问的铺垫,我们也可以直接进行计算.解法IV(直接计算) 设,则由题意可知.故由于均为实数, 因此对所有, 都有故注意到解法III中是反对称阵,利用其正交相似标准型给出了解法V.解法V(正交相似标准型) 注意到是反对称阵,故存在正交阵,使得其中为形如的二阶实矩阵,记,设其中是阶方阵,利用,可知计算可知.故即,故,即又注意到的奇异值是的特征值,我们利用奇异值分解证明如下:解法VI(奇异值分解) 由题意可知存在正交阵,使得其中,利用可知设计算可知,由于仍是正交阵,故,且也是正交阵,进而,故这是一个对称阵,即有参考文献[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿,《高等代数学 (第三版)》,复旦大学出版社, 2014年[2]姚慕生、谢启鸿,《高等代数学习指导书(第三版)》,复旦大学出版社, 2015年[3]樊启斌, 《高等代数典型问题与方法》,高等教育出版社, 2021年。

高等代数中一道习题的错解启发的新结论

保证取到ｗ中的每一个向量，因而不符合不变子
空间的定义。
修正针对上述两种方法只需补充说明是ｗ的满射。证明当Ｗ — Ｖ或Ｗ＝｛），ｏ时结论显然
成立．ｄｍＶ一，ｉ设ｉｄｍＷ：ｒ且０＜ｒｎ取，＜．ａ ”，，ｗ的一个基，Ｗ是的一个不变子口是而空间，以（。，（ｚ，，口）也是中的向所口）ｏａ） … （ｒ
＋ｏｒ；ｒ／（）
（）证明：任意的 ∈ Ｗ，（） ∈ Ｗ，则２ｒｏＣ
ｒ（（）ｏ）一，以－所之下不变。
（）对于任意ａ∈ Ｆ，Ｖ，（２ ∈ ｒｏ西）＝ａ（）ｒｏ．定义２Ｖ的一个子空间Ｗ说是在线性变换
２５
第２３卷第１期
２１００年２月
高等函授学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｇｅｒｅｐｎｅｃｕａｉｎＮａｕａｃｅｃｓｏｒａｆＨｉｈｒＣｏｒｓｏｄｎｅＥｄｃｔｏ（ｔｒｌＳｉｎｅ）
Ｖｏ．３Ｎｏ１１２．
故ｏｗ的满射。ｒ是
分析学生无意中用到Ｏｗ的满射，以ｒ是所
收稿日期：０９０３２０ —１～２．作者简介：张伟（９２）女，龙江省龙江人，教，究方向：１８一，黑助研数学教育．
Ｉ预备知识
不能保证任意的 ∈ Ｗ，ｗ中都有原像，而在从（）能取到Ｗ中的每一个向量，符合不变子叩不不

高等代数习题精选精讲

高等代数习题精选精讲高等代数是数学中非常重要的一个研究方向，它不仅深刻地影响了很多数学分支的发展，也对其他学科产生了广泛的影响。

作为数学领域中的一个重要学科，高等代数的习题也是非常重要的一部分。

本文将精选几道高等代数习题，帮助读者更好地掌握和应用高等代数的相关知识。

1. 对于一个域F上的矩阵A，如果它满足A²=I，其中I表示单位矩阵。

请问，A的行列式是多少？解: 首先，根据特征值的性质，A的特征值必须是1或-1，因为从A²=I可以推出A的特征值一定是这两个值之一。

又因为A的两个特征值都不为0，所以A可逆，因此有det(A)≠0。

考虑如果A 的特征值都是1，则A=I；如果特征值都是-1，则A=-I。

因此，要么det(A)=1，要么det(A)=-1，这取决于矩阵A的实际情况。

2. 设有一个域F上的线性空间V和它的两个子空间U和W，如果V=U⊕W，则有什么性质？解: 首先，由V=U⊕W可知，任何向量v∈V都可以唯一地表示为v=u+w，其中u∈U，w∈W。

又因为U和W是子空间，所以它们都有零向量0，即u+w=0当且仅当u=0且w=0。

由于向量v可以被唯一地表示为u和w的和，如果v=0，则必有u=0且w=0，即U∩W={0}。

因此，V的维数等于U的维数加上W的维数。

此外，任何向量v∈V都可以表示为U和W中向量的线性组合，证明了V=U+W。

3. 将一个4行3列的矩阵A按列分成两个2行3列的矩阵B和C，设D=B-C的转置，求D的秩。

解: 首先，由于A是一个4行3列的矩阵，所以B和C都是2行3列的矩阵，因此D是一个3行2列的矩阵。

又因为D=B-C的转置，所以D的转置为D的相反数，即D+(-D^T)=0。

因此，D和它的转置具有相同的秩，即rank(D)=rank(D^T)。

又因为D和C的列空间相同，所以rank(D)=rank(C)。

综上所述，只需求出C的秩即可。

C是一个2行3列矩阵，其列向量线性无关的充要条件是它的行列式不为0，而C的行列式是0。

高等代数中典型证明题的一题多解问题

高等代数中典型证明题的一题多解问题作者：蔡畔来源：《中国科技纵横》2013年第19期【摘要】高等代数课程中，“一题多解”的题目是非常多的。

“一题多解”问题不仅能拓展学生的思维空间，还能有效提升学习数学的兴趣。

本文以高等代数中行列式和矩阵这两部分内容中的典型证明问题为例，来探讨一下高等代数中的“一题多解”问题。

【关键词】高等代数行列式矩阵一题多解1 行列式的证明行列式的证明方法很多，从中选出最简单，最适宜的解决办法，很容易就能证得。

下面这道例题，我们可以用五种方法解题，着重讲一下矩阵与行列式的关系用于解决行列式的证明问题。

例：证明=分析1：由行列式的特点可以看出，只要把行列式第一行展开即可。

分析2：若将第i行乘以加到第1行，即可将第1行的前n个元素变为0，再按第一行展开即得要证结论。

分析3：用数学归纳法证明。

分析4：因为行列式的前n列中每列只有两个元素不为0，所以也可将行列式按某一列展开来证。

分析5：这个行列式的特点是去掉它的第1行和第列后，剩下的元素构成一个n阶单位矩阵，它的构造当然最简单，这点启发我们利用分块矩阵来求证。

下面我们写一下第五种分析方法的证明证法5：令，=，表示n阶单位矩阵。

则原行列式为，因为两边取行列式，得这道题前四种方法都是无可置疑的。

第五种方法另辟途径，颇具新意。

它利用分块矩阵，利用了单位矩阵的运算性质及矩阵乘积与行列式之间的关系，虽然不易想到，但一旦掌握便很容易得到结果。

2 矩阵的证明矩阵这部分内容知识点多，解题方法也多。

我们仅通过一道例题探讨矩阵可逆的证法。

例：设A，B为n阶矩阵。

证明：若可逆，则也可逆，其中I为单位矩阵。

分析1：要证可逆，只要证存在一个n阶矩阵Q，使。

今已知可逆，所以存在C，使由此即可找到Q。

证法1：因可逆，故存在n阶矩阵C使得。

于是利用这个结果就可证明是可逆的，它的逆矩阵就是：只要在展开式中将代替和就行了。

分析2：由可逆，要证也可逆，只要能证明就行了。

高等代数课本笔记及其例题详解

高等代数课本笔记及其例题详解第一章多项式1.1 数域定义1.1（数域）：设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.即：设{}C x x P ∈=，P b a ∈∀,，其中0≠a 且P ∈0,1都有P abab b a b a ∈-+,,,，称P为一个数域. （注：Z 表示全体整数；R 表示全体实数；C 表示全体复数；Q 表示全体有理数；N 表示全体自然数；）例题1. 设(){}Q b a b a Q ∈+=,22证明：()2Q 是一个数域. 证明：1）()22000,2011Q ∈+=+=（其中：Q ∈1,0）2）Q d c b a ∈∀,,,有()()()2222Q d b c a d c b a ∈+++=+++（其中： Q d b c a ∈++,）；()()()2222Q d b c a d c b a ∈-+-=+-+（其中：Q d b c a ∈--,）； ()()()()()22222Q bc ad bd ac d c b a ∈+++=++（其中：Q bc ad bd ac ∈++,2）；若02≠+b a ，有()22222222222Q b a bcad b a bd ac b a d c ∈--+--=++（其中：Q b a bc ad b a bd ac ∈----22222,22，且0222≠-b a ）. 2Q ∴是一个数域.例题2. 证明：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∈∈++++++=+m j n i Z b a N n m b b b a a a P j i mm n n ,,0;,,0,,,1010 πππππ是一个数域.证明：1) ()πππππP m n ∈++++++=0010011 , ()πππππP mn∈++++++=0000000 2) 显然该集合的和、差、积封闭；若商不封闭，得()πππππππππP d d d c c c b b b a a a tt ss m m n n ∈++++++≠+++++ 101101010,0,得 ()πππππππππππππππππP a a a b b b d d d c c c b b b a a a d d d c c c n n mm t t s s m n n t t s s ∉++++++⋅++++++=++++++++++++ 1010101010101010,这与该集合的积封闭的结论矛盾，故()πP是一个数域.注：最小的数域为有理数域，任何数域都包含有理数域.1.2 一元多项式定义 1.2.1（一元多项式）设n 是一非负整数. 形式表达式011a x a x a n n n n +++-- ,其中∈n a a a ,,,10 数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式. （注：i i x a 称为i 次项; i a 称为i 次项的系数. ）定义1.2.2 （多项式相等）如果在多项式()x f 与()x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么()x f 与()x g 就称为相等，记为()()x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. （注：若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的首项；n a 称为首项系数; n 称为多项式的次数，记为()()x f ∂; 零多项式是唯一不定义次数的多项式. ）性质1.2.1 ()()()()()()()()x g x f x g x f ∂∂≤±∂,max .性质1.2.2 ()()()()()()()x g x f x g x f ∂+∂=⋅∂（其中()0≠x f 且()0≠x g ）. 运算规律：1. 加法交换律：()()()()x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f ++=++.3. 乘法交换律：()()()()x f x g x g x f =.4. 乘法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f =.5. 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()x h x f x g x f x h x g x f +=+.6. 乘法消去律：如果()()()()x h x f x g x f =且()0≠x f ，那么()()x h x g =.定义1.2.3 （一元多项式环）所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为[]x P ，P 称为[]x P 的系数域.1.3 整除的概念性质1.3.1 （带余除法）对于[]x P 中任意两个多项式()x f 与()x g ，其中()0≠x g ，一定有[]x P 中的多项式()()x r x q ,存在，使()()()()x r x g x q x f +=成立，其中()()()()x g x r ∂<∂或者()0=x r ，并且这样的()()x r x q ,是唯一决定的. （注：()x q 通常称为()x g 除()x f 的商；()x r 称为()x g 除()x f 的余式）定义1.3.1（整除）数域P 上的多项式()x g 称为整除()x f ，如果有数域P 上的多项式()x h 使等式()()()x h x g x f =成立. 我们用“()()x f x g ”表示()x g 整除()x f ，用“()x g ()x f ”表示()x g 不能整除()x f .（注：当()()x f x g 时，()x g 就称为()x f 的因式；()x f 称为()x g 的倍式.）定理1.3.1 对于数域P 上的任意两个多项式()()x g x f ,，其中()0≠x g ，()()x f x g 的充分必要条件是()x g 除()x f 的余式为零. 整除性的常用的性质：1. 如果()()x g x f ，()()x f x g ，那么()()x cg x f =，其中0≠c .2. 如果()()x g x f ，()()x h x g ，那么()()x h x f （整除的传递性）.3. 如果()()x g x f i ，r i ,,2,1 =，那么()()()()()()()x g x u x g x u x g x u x f r r +++ 2211其中()x u i 是数域P 上的任意的多项式.（注：()()()()()()x g x u x g x u x g x u r r +++ 2211称为多项式()()()x g x g x g r ,,,21 的一个组合.）注：两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.1.4 最大公因式定义 1.4.1（最大公因式）设()()x g x f ,是[]x P 中两个多项式. []x P 中多项式()x d 称为()()x g x f ,的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1）()x d 是()()x g x f ,的公因式；2）()()x g x f ,的公因式全是()x d 的因式.（注：两个零多项式的最大公因式就是0）引理1.4.1 如果有等式()()()()x r x g x q x f +=成立，那么()()x g x f ,和()()x r x g ,有相同的公因式.定理 1.4.1 对于[]x P 中任意两个多项式()()x g x f ,，在[]x P 中存在一个最大公因式()x d ，且()x d 可以表成()()x g x f ,的一个组合，即有[]x P 中多项式()()x v x u ,使()()()()()x g x v x f x u x d +=.（注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的；()()()x g x f ,表示首项系数为1的公因式.）辗转相除法：例题3. 设()343234---+=x x x x x f ，()3210323-++=x x x x g 求()()()x g x f ,，并求()()x v x u ,使()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,. 解：即：()()()()()()131092595913112x r x q x g x x x x g x f +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=310925952---x x即：()()()()()()22793109259595272212x r x q x r x x x x x g +=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. ()()()327981108153109259521 +⎪⎭⎫⎝⎛--=---=x x x x x r()()()3,+=∴x x g x f .将（1）代入（2）式可得：()()35251532+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-x x g x x x f x ()()525,1532x x x v x x u +-=-=∴就有()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.定义1.4.2（互素）[]x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素（也称互质）的，如果()()()1,=x g x f .定理 1.4.2 []x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素的充要条件是有[]x P 中的多项式()()x v x u ,使()()()()1=+x g x v x f x u .定理1.4.3 如果()()()1,=x g x f ，且()()()x h x g x f ，那么()()x h x f .推论1.4.3.1 如果()()x g x f 1，()()x g x f 2，且()()()1,21=x f x f ，那么()()()x g x f x f 21.推广：定义1.4.3 ()x d 称为()()()()2,,,21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果()x d 具有下面的性质：2) ()()s i x f x d i ,,2,1, =；3) 如果()()s i x f x i ,,2,1, =ϕ，那么()()x d x ϕ.（注：符号()()()()x f x f x f s ,,,21 表示首项系数为1的最大公因式.）性质1.4.1()()()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f s s s ,,,,,,,21121 =-性质1.4.2 ()()()()()()()()()()x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s ,,,212211 =+++，其中 ()()()[]x P x u x u x u s ∈,,,21 .性质1.4.3 ()()()()()()()[],,,,1,,,2121x P x u x u x u x f x f x f s s ∈∃⇔=()()()()()()1:2211=+++x f x u x f x u x f x u st s s .1.5 因式分解定理定义1.5.1（不可约多项式）数域P 上次数的多项式()x p 称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上的两个次数比()x p 的次数低的多项式的乘积（注：一个多项式是否是不可约是依赖于系数域的）.性质1.5.1 ()x p 在数域[]x P 是不可约多项式，()[]x P x f ∈∀，()()x p x f 当且仅当()0≠=c x f 或()()x cp x f =.即：对于()[]x P x f ∈∀，有()()x f x p 或者()()()1,=x f x p . 定理1.5.1 如果()x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式()()x g x f ,，由()()()x g x f x p 一定推出()()x f x p 或者()()x g x p .定理1.5.2（定理1.5.1的推广）如果()x p 是不可约多项式，若()()()(),21x f x f x f x p s 则()()()(){}x f x f x f x f s i ,,,21 ∈∃使得()()x f x p i .定理1.5.3（因式分解及唯一性定理）数域P 上每一个次数1≥的多项式()x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式()()()()()()()x q x q x q x p x p x p x f s s 2121==，那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有()()s i x q c x p i i i ,,2,1, ==，其中()s i c i ,,2,1 =是一些非零常数.（注：()()()()x p x p x cp x f s r s r r 2121=的分解称为标准分解式；已知两个多项式()()x g x f ,的标准分解式，那么()x f 与()x g 的最大公因式()x d 就是那些同时在与的标准式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在()x f 与()x g 中所带的方幂中的较小的一个.）1.6 重因式定义1.6.1（k 重因式）不可约多项式()x p 称为多项式()x f 的k 重因式，如果()()x f x p k ，而()x p k 1+ ()x f .（注：0=k 时，()x p 不是()x f 的因式；1=k 时，()x p 是()x f 的单因式；1≥k 时，()x p 是()x f 的重因式.）定义1.6.2（微商）设有多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- .我们规定它的微商（也称导数）是()()1211'1a x n a nx a x f n n n n ++-+=--- . 性质1.6.1 ：1）()()()()()x g x f x g x f '''+=+2）()()()x cf x cf ''=，3）()()()()()()()x g x f x g x f x g x f '''+=，4）()()()()()x f x f m x f m m '1'-=.定义1.6.3（高阶微商）微商()x f '称为()x f 的一阶微商；()x f '的微商()x f ''称为的二阶()x f 微商；等等.()x f 的k 阶微商记为()()x f k .（注：()()n x f =∂ο，则()()c x f n =，()()01=+x f n .）定理1.6.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么它是微商()x f '的1-k 重因式.推论1.6.1.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么()x p 是()()()()x f x f x f k 1''',,,- 的因式，但不是()()x f k 的因式.推论1.6.1.2 不可约多项式()x p 是()x f 的重因式的充分必要条件为()x p 是()x f 与()x f ' 的公因式.推论 1.6.1.3 多项式()x f 没有重因式的充分必要条件是()x f 与()x f '互素.（注：辗转相除法可用于求解重因式；()()()()x f x f x f ',是一个没有重因式的多项式与()x f 有完全相同的不可约因式.）1.7 多项式函数定义1.7.1（多项式函数）设()()10111 a x a x a x a x f n n n n ++++=--是[]x P 中的多项式，α是P 中的数，在()1中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα 称为()x f 当α=x 时的值，记为()αf .这样一来，多项式就定义了一个数域上的函数.定理1.7.1（余数定理）用一次多项式α-x 去除多项式()x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()αf .（注：其中()0=αf 时，α=x 是()x f 的一个根或者零点.）推论1.7.1.1 α是()x f 的根的充分必要条件是()()x f x α-.定义1.7.2（重根）α称为()x f 的重根，如果()α-x 是()x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理1.7.2 []x P 中n 次多项式()0≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理1.7.3 如果多项式()()x g x f ,的次数都不超过n ，而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值，即()()1,,2,1,+==n i g f i i αα，那么()()x g x f =.1.8 复系数与实系数多项式的因式分解定理1.8.1（代数基本定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根（即：复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.）.定理1.8.2（复系数多项式的分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.（复系数多项式的标准分解式：()()()()s ls lln x x x a x f ααα---= 2121，其中C s ∈≠≠≠ααα 21，+∈Z l l l s ,,,21 ）定理1.8.3 如果α是实系数多项式()x f 的复根，那么α的共轭数α也是()x f 的根. 定理1.8.4（实系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积（即是说：实数域上只含有一次不可约多项式和含二次共轭复根不可约多项式）.1.9 有理系数多项式定理 1.9.1 每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积.定义1.9.1（本原多项式）如果一个非零的整系数多项式()011b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式.（任意一个非零的有理系数多项式()x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式()x g 的乘积：()()x rg x f =）定理1.9.2（高斯（Gauss ）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理1.9.3 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.9.3.1 设()()x g x f ,是整系数多项式，且()x g 是本原的. 如果()()()x h x g x f =，其中()x h 是有理系数多项式，那么()x h 一定是整系数的.定理1.9.4 设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式，而sr 是它的一个有理根，其中s r ,互素，那么必有n a s ，0a r .特别地，如果()x f 的首项系数1=n a ，那么()x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. 例题4. 求方程032234=-+-x x x 的有理根. 解：令()32234-+-=x x x x f 得：24=a 的因子为：2,1±±30=a 的因子为：1±，3± ()x f ∴的有理根可能为：21±，23±，1±，2±.判别根的方法一：0321≠-=⎪⎭⎫⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）；0221≠-=⎪⎭⎫⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）； ()021≠-=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()01=f （为()x f 的根）； 021523≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）； 042723≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）；()0332≠=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()0252≠=f （不为()x f 的根，舍弃）； 1∴为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法二：即2-=x 不是方程032234=-+-x x x 的根.…………经带余除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法三：21 22002-即21=x 不是方程032234=-+-x x x 的根. …………经综合除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.定理1.9.5（艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式.如果有一个素数p ，使得1. p n a ；2. 021,,,a a a p n n --；3. 2p 0a .那么()x f 在有理数域上不可约的.例题5.证明()153+-=x x x f 在有理数域上不可约. 证明：依题意可得()x f 的有理根可能为：1±.又()31-=f ,()51-=-f 都不为零1±=∴x 都不是()x f 的有理根，即()x f 在有理数域上不可约的.1.10 多元多项式定义1.10.1（n 元多项式）设P 是一个数域，n x x x ,,,21 是n 个文字. 形式为n k nk k x x ax 2121的式子，其中P a ∈，n k k k ,,,21 是非负整数，称为一个单项式. 由以上一些单项式的和∑nnn k k k k nk k k k k x x x a,,,21212121 就称为n 元多项式，或者简称多项式.（注：若两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项.）定义1.10.2（元多项式环）所有系数在数域P 中的n 元多项式的全体，称为数域P 上的n元多项式环，记为[]n x x x P ,,21.（注：n k k k +++ 21称为单项式n k nk k x x ax 2121的次数；系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.多元多项式的排列顺序方法：字典排列法；）定理1.10.1 当()0,,,21≠n x x x f ，()0,,,21≠n x x x g 时，乘积()()n n x x x g x x x f ,,,,,,2121 的首项等于()n x x x f ,,,21 的首项与()n x x x g ,,,21 的首项的乘积.推论1.10.1.1 如果,,,2,1,0m i f i =≠那么m f f f 21的首项等于每个i f 的首项的乘积. 推论1.10.1.2 如果()()0,,,,0,,,2121≠≠n n x x x g x x x f ，那么()()0,,,,,,2121≠n n x x x g x x x f .（两个齐次多项式的乘积是齐次多项式，乘积的次数等于因子的次数的和.）1.11 对称多项式定理1.11.1（一元多项式根与系数的关系）设()n n n a x a x x f +++=- 11是[]x P 中的一个多项式.如果()x f 在数域P 中有个根n ααα,,,21 ，那么就可以分解成()()()()n x x x x f ααα---= 21.将其展开即得根与系数的关系如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+++=+++=-∑-n n n k k k k i in n n a i a a a j i αααααααααααααααα 211312122111121，的乘积之和个不同的所有可能的. 定义1.11.1（对称多项式）n 元多项式()n x x x f ,,,21 ，如果对于任意的n j i j i ≤≤≤1,,，都有()()n i j n j i x x x x f x x x x f ,,,,,,,,,,,,11 =，那么这个多项式称为对称多项式. 定理1.11.2 对于任意一个n 元对称多项式都有一个n 元多项式()n y y y ,,,21 ϕ，使得()()n n x x x f σσσϕ,,,,,,2121 =.（其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=----n n nn n n n n n n x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 21322211211131212211σσσσ称为n 元初等对称多项式.）例题6. 把三元对称多项式333231x x x ++表为321,,σσσ的多项式. 解：令()333231321,,x x x x x x f ++=得首项为：31x 对应的有序数对()0,0,3，()()332133323131333231321,,x x x x x x x x x x x x f ++-++=-++=∴σ()132123223132222132122163g x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-=得首项：2213x x 对应的有序数对()0,1,2.()()32123223132222132122132123223132222132122121133633x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g +++++++-+++++-=+σσ23213g x x x =-=对应数对()1,1,1又0332=+σg ()3213132133,,σσσσ+-=∴x x x f .课后习题1. 用()x g 除()x f ，求商()x q 与余式()x r ：1）()1323---=x x x x f ，()1232+-=x x x g ；解：()9113-=∴x x q ，()99+-=x r . 2）()524+-=x x x f ，()22+-=x x x g解：()12-+=∴x x x q ，()75+-=x x r . 3）()1434--=x x x f ，()132--=x x x g 解：()1032++=∴x x x q ，()929+=x x r . 4）()13235-+-=x x x x f ，()233+-=x x x g . 解：()x g233+-x x22+x()22+=∴x x q ，()562-+=x x x r . 5）()x x x x f 85235--=，()3+=x x g 解：带余除法：()109391362234+-+-=∴x x x x x q ，()()3327-=-=f x r . 6）()x x x x f --=23，()i x x g 21+-=. 解：综合除法：i 21-1 i 2- i 25-- i 89+-()i x r 89+-=∴，()i ix x x q 2522---=. 2. m ，p ，q 适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+321 解：方法一：带余除法：12-+mx xm x -即：()()m q x p m x r ++++=12，又q px x mx x ++-+321()0=∴x r 可得⎩⎨⎧-==++q m p m 012. 2）q px x mx x ++++2421. 解：方法二：待定系数法：设商为：()c bx x x q ++=2，又由q px x mx x ++++2421可得：()()q px x x q mx x ++=++2421即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+q c b m c p m b c b m 010.()⎩⎨⎧=-=+-∴0112q m p m q . 3. 把()x f 表成0x x -的方幂和，即表成()() +-+-+22010x x c x x c c 的形式：1）()5x x f =，10=x ；解：辗转相除法：即：()()()111234+++++-=x x x x x x f .即：()()()()[]()()()1154321154321123223+-++++-=+++++--=x x x x x x x x x x x f()()()()[]()()()()()11511063111510631122322+-+-+++-=+-++++--=∴x x x x x x x x x x x f()()()()[])()()()()115110110411151101041123423+-+-+-++-=+-+-+++--=x x x x x x x x x x x f ()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=x x x x x ()()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=∴x x x x x x f .2）()3224+-=x x x f ，20-=x 解：综合除法：2-2-2- 2-14a = 38a =-()()()()()11124122181234+---+---=∴x x x x x f . 3）()()i xx i ix x x f ++-+-+=7312234，i x -=0. 解：综合除法：i - i - i - i -即：()()()()()()i i x i x i i x i i x x f 57512234+++-++-+-+=. 4. 求()x f 与()x g 的最大公因式：1）()143234---+=x x x x x f ，()123--+=x x x x g 解：带余除法：即：1322即：()()()1434121322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=x x x x x g又：()()1121322++-=---x x x x()()()1,+=∴x x g xf .2）()1434+-=x x x f ，()1323+-=x x x g . 解：带余除法：即：()()()2312+--=x x x g x f .即：()()13213232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=xx x x g .即：41942729132232-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x .()()()1,=∴x g x f .3）()11024+-=x x x f ，()124624234+++-=x x x x x g . 解：即：()()x x f x g 242423-=即：()()12232124241624223++-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-=x x x x x x x f .即：()93292889323241223241624223++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++-x x x x x x x .即：12192426328827932928812232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-x x x x . ()()()1,=∴x g x f .5. 求()x u ，()x v 使()()()()()()():,x g x f x g x v x f x u =+1）()242234---+=x x x x x f ，()22234---+=x x x x x g . 解：()13即：()()()221223 -++-=x x x x x g()()32223 x x x x -=- ()()()2,2-=∴x x g x f将（1）代入（2）得：()()()()2212-=+++-x x g x x f x即：取()1--=x x u ，()2+=x x v 可得：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.2）()951624234++--=x x x x x f ,()45223+--=x x x x g 解：即：()()622--=x x x g x f 即：()()()213139362 +-⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=x x x x x g()()()39619362 ++-=+--x x x x()()()1,-=∴x x g x f ，将（1）式代（2）式得：()()()()1322311312-=--+--x x g x x x f x .即：取()()131--=x x u ，()()322312--=x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 3）()144234++--=x x x x x f ，()12--=x x x g 解：即：1232 -+-=x x x g x f()()()()2312 ++-=x x x g()()()1,=∴x g x f将（1）式代入（2）式得：()()13233123=--+++-x g x x x x f x 即取()()131+-=x x u ，()()233123--+=x x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 6. 设()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式，t ，u 的值. 解：又()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式()()u tx x u x t x t +++-++∴3221.即()()()()[]()c x u x t x t u tx x t ++-++=+++21123即：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+=++-u t cu t t t c u t c t 112012解得：⎩⎨⎧=-=04u t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=+=02321u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=-=0231u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=i u i t 11721121，或⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=i u i t 1172111. 7. 证明：如果()()x f x d ，()()x g x d ，且()x d 为()x f 与()x g 的一个组合，那么()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式.证明：()x d 为()x f 与()x g 的一个组合即：()()()()()x d x g x v x f x u =+.又()()x f x d ，()()x g x d ，即()x d 是()x f 与()x g 的一个公因式.()()x f x h ∀，且()()x g x h 则()()x d x h ()x d ∴是()x f 与()x g 的一个最大公因式.8. 证明：()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=，（()x h 的首项系数为1）. 证明：()()()()x f x g x f , ，()()()()x g x g x f ,()()()()()()x h x f x h x g x f ,∴，()()()()()()x h x g x h x g x f ,. 即：()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个公因式. 又()()()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st x v x u ,:,=+∃. 则()()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x v x h x f x u ,=+()()()x h x f x c ∀，()()()x h x g x c 有()()()()()x h x g x f x c ,. 即()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个最大公因式. 又()x h 的首项系数为1.()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=∴.9. 如果()x f ，()x g 不全为零，证明：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f x g x g x f x f .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.()()()0,≠∴x g x f ，又()x u ∃，()x v ()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st ,:=+()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u .即：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x g x f x g x g x f x f 成立. 10.证明：如果()x f ，()x g 不全为零，且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+，那么()()()1,=x v x u .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+()()()0,≠∴x g x f ()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u ()()()1,=x v x u .11.证明：如果()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ，那么()()()()1,=x h x g x f . 证明：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f .()x u 1∃∴，()x v 1，()x u 2，()x v 2使得：()()()()()1111 =+x g x v x f x u ()()()()()2122 =+x h x v x f x u . 由（1）式与（2）式相乘可得：()()()()()()()()()()()()()()()121212121=+++x h x g x v x v x f x g x u x v x h x v x u x f x u x u即()()()()1,=x h x g x f .12. 设()x f 1，，()x f m ，()x g 1，，()x g n 都是多项式，而且()()()1,=x g x f ji()n j m i ,,1;,,1 ==.求证：()()()()()1,11=x g x g x f x f nm.证明：由11题可得：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ()()()()1,=⇒x h x g x f 又()()()1,=x g x f j i （其中m i ,,1 =；n j ,,1 =）可得，对于i 取m ,,2,1 中的任何一个固定值有：()()()()1,1=x g x g x f n i . 再将()()x g x g n 1看作一个整体可得：()()()()()1,11=x g x g x f x f n m . 13. 证明：如果()()()1,=x g x f ，那么()()()()()1,=+x g x f x g x f . 证明：()()()1,=x g x f 故有：()()()()1=+x g x v x f x u .即：()()()()()()()()()()()()()()()()1=++-=+-+x g x f x v x f x v x u x g x v x f x v x f x v x f x u()()()()1,=+∴x f x g x f ；同理可得：()()()()1,=+x g x f x g()()()()()1,=+∴x g x f x g x f .14. 求下列多项式的公共根：()12223+++=x x x x f ，()12234++++=x x x x x g . 解：()()()212+-=∴x x x f x g 即：()()()112+++=x x x x f()()()1,2++=∴x x x g x f 令：012=++x x 解得：2311i x +-=；2312ix --=. 即：()x f 与()x g 的公共根为：2311i x +-=和2312ix --=.（提示：公共根出现在多项式的公因式中.）15. 判别下列多项式有无重因式： 1）()842752345-+-+-=x x x x x x f解：()()()x x x x x x x x f 1524421205'2234+-=+-+-=又()()()1284275232345++-=-+-+-=x x x x x x x x x f即：()()()()22',-=x x f x f ()x f ∴有三重因式：2-x2）()34424--+=x x x x f解：()124484'33-+=x x x f即：()()()1',=x f x f ()x f ∴没有重因式. 16.求t 值使()1323-+-=tx x x x f 有重根.解：依题意可得：待定系数法：当有()x f 重根时，可得重根为有理根时，此时只能取重根为：1±=α.当重根为：1=α 1可得：3=t .当3=t 时，()()3231133-=-+-=x x x x x f 此时1=x 是()x f 的三重根；当重根为：1-=α1-解得：5-=t ，当5-=t 时，()()()141153223--+=---=x x x x x x x f 与1-=x 为重根矛盾，舍去.设重根为二重时得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=323163'22t x x t x x x f()()()()()()()()()12,''131,'',+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f x f x x f x f x f x f 即得：021'=⎪⎭⎫⎝⎛-f .解得：415-=t . 17.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：()()()()()()()()132,'3','3,',23≠⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=q px x f x f x f x f p x q px x x f x f 得： ()x f q px'32+即得：027423=+q p . 18.如果()11242++-Bx Ax x ，求A ，B .解：依题意可由综合除法可得：1 1A A 2B A +3 B A 24+由()11242++-Bx Ax x 可得：⎩⎨⎧=+=++02401B A B A 解得：⎩⎨⎧-==21B A .19.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令()!!212n x x x x f n ++++= 得：()()!1!21'12-++++=-n x x x x f n反证法：设()x f 的重根为α得：()()⎩⎨⎧==0'0ααf f 即：()()0'=-ααf f 0!=∴n nα得：0=α 又()010≠=f 矛盾.∴!!212n x x x n++++ 不能有重根.20.如果a 是()x f '''的一个k 重根，证明a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根.证明：依题意可得：()()()[]()()0''2=+-+-=a f a f a f a f aa a g ()()()[]()()0'''22'''=--++=a f a f aa a f a f a g()()()()()a f a f aa a f a f a g '''''22''2''''--++=又()0'''=a f ()0''=∴a g()()()()02'''21'''4=-+-=a f a a a f a g又a 是()x f '''的一个k 重根a ∴是()x g '''的一个k 重根. 又()()()()0''''''====a g a g a g a g∴a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根. 21.证明：0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k证明： 0x 是()x f 的k 重根()()x f x x k0-∴即()x g ∃，使得：()()()x g x x x f k0-=，其中0x x -不整除()x g()()()()()x g x x x g x x k x f kk ''010-+-=∴-可得：()()x f x x k '10--()0'0=∴x f同理由此类推可得到：()()()()0'0100====-x f x f x f k 若()()00=x f k 得：()()()x f x x k 0-()()x f x x s k s10+--⇒其中k s ≤，即()()x f x x k 10+-这与0x 是()x f 的k 重根矛盾.()()00≠∴x f k反之显然成立.∴0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k .22.举例说明断语“如果a 是()x f '的m 重根，那么a 是()x f 的1+m 重根”是不对的. 解：例如：()()111111+-=+m a x x f 则()()()ma x m x f -+=1'a 是()x f '的m 重根，但a 不是()x f 的1+m 重根.23. 证明：如果()()n x f x 1-，那么()()n n x f x 1-. 证明：令：n x y =得：()()y f x 1-即()()011==f f n ∴()()y f y 1-即()()n n x f x 1-.24. 证明：如果()()()323121x xf x f x x +++，那么()()x f x 11-，()()x f x 21-证明：.令：012=++x x 解得：2311i x +-=，2312ix --= 又()()()323121x xf x f x x +++即：()()()32311x f x f x x +-，()()()32312x f x f x x +-()()()()⎩⎨⎧=+=+∴0032223213121311x f x x f x f x x f 即：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+0123110123112121f i f f i f 又0323112311≠-=--+-i i i即该方程程组只有唯一零解：()()⎩⎨⎧==010121f f∴()()x f x 11-，()()x f x 21-.25. 求多项式1-n x 在复数域范围内和在实数范围内的因式分解. 解：在复数域上分解：()()()111----=-n n x x x x εε 其中ni n ππε2sin 2cos +=. 在实数范围内因式分解：当n 为奇数：()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--=-+---111112222222212x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 其中：n i i n i πεε2cos2=+-为一个实数，21,,2,1-=n i . 当n 为偶数时：()()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--+=-+---1111112222222212x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 26. 求下列多项式的有理根： 1）1415623-+-x x x解：令()1415623-+-=x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，2±，7±，14±.由综合除法计算得：1即：()41-=f同理：()361-=-f ，()762-=-f ，()02=f ，()7567-=-f ，()1407=f ，()414414-=-f()176414=f∴1415623-+-x x x 多项式的有理根为：2.2）157424---x x x解：令()157424---=x x x x f 则的有理根可能为：41±，21±，1± 将根挨个代入原式得：641114154174144124-=--⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f同理：6417141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，521-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，()11=-f ，()91-=f∴157424---x x x 多项式的有理根为：21-.3）3111462345----+x x x x x解：令()3111462345----+=x x x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，3±由带余除法计算得：即：()01=-f 同理：()321-=f ，()963-=-f ，()03=f .∴3111462345----+x x x x x 多项式的有理根为：1-，3. 27. 下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）12+x解：不可约；理由如下：依题意可得令()12+=x x f 则()x f 的有理根可能为：1± 又()()0211≠=-=f f 即1±不为()x f 的有理根∴多项式12+x 在有理数域上是不可约的.（二次有理多项式在有理数域上可约的话必有有理根）2）2128234++-x x x解：不可约；理由如下：取素数2=p 得：（1）p 41a =.（2）38a p =-，212a p =，10a p =，02a p = （3）42=p 02a =由艾森斯坦判别法可得：多项式2128234++-x x x 是不可约的. 3）136++x x解：不可约；理由如下：令()136++=x x x f ，1+=y x 得：原多项式39182115623456++++++=y y y y y y 这时只要取3=p 可由艾森斯坦判别法得出：39182115623456++++++y y y y y y 不可约；∴136++x x 不可约.4）1++px x p ，p 为奇素数；解：令1+=y x 作转化，再由艾森斯坦判别法判别不可约； 5）144++kx x ，k 为整数. 解：同4），不可约：。

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第38卷第7期湖南农机HUNAN AGRICULTURAL MACHINERY第38卷第7期·学术Vol.38No.72011年7月July.2011高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变。

因此,如何在教学中引导学生在做题的过程中自觉的体会总结，运用本课中常用的方法，并联系所学知识和已证明的习题，就显得尤为重要。

1预备知识定义1：在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

引理1：n维欧氏空间的子空间V1的正交补V1┷由所有与V1正交的向量组成。

引理2：在欧氏空间中必存在标准正交基。

引理3：(线性映射的维数公式)设σ是线性空间V到线性空间V1的线性映射，则σ的像空间的维数+σ的核空间的维数=dimV.即σ的秩+σ的零度=dimV。

2主要结果教材[1]的习题中有如下一道题：设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量,(1)证明：V1={x/（x，α）=0，x缀V}是V的子空间；(2)证明：V1的维数等于n-1。

问题(1)的证明一般情况下就用子空间的定义证明即可，即对数乘和加法运算封闭。

下面主要给出问题(2)的不同证明方法。

证法1:为证明结论首先证明V1是L（α）(表示由向量α生成的子空间)的正交补。

事实上，由引理1可知L（a）┷={x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L （α）}，而容易证明：{x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}=V1。

从而L（α）┷=V1，所以V=V1+L（α）=V1+L（α），因此,由直和的判定定理可知n=dinV=dimV1=dimL（α）=dimV1+1。

这表明dimV1=n-1证法2：由引理2可知任意欧氏空间必存在标准正交基，故不妨设α1，Λ，αn为V的标准正交基。

设α=k1α1+Λ+k nαn，其中k1，Λ，k n∈R则对坌β=x1α1+Λ+x nαn∈V1，其中x1，Λ，x n∈R,由α1，Λ，αn为V的标准正交基可知（α，β）=x1k1+Λ+x n k n=0.因此,线性方程组x1k1+Λ+x n k n=0的解就是V1中的向量在α1，Λ，αn 下的坐标向量，其解空间的维数就是V1的维数。

因为α≠0，故（k1，Λ，k n）≠0，从而x1k1+Λ+x n k n=0的解空间的维数为n-1，即dimV1=n-1。

证法3：考虑实数集R按数的加法和数乘在实数域R上构成的的线性空间，定义映射σ：V→R为σ（x）=（x，α），坌x∈V，则易验证σ是线性映射，σ的核空间就是V1{x/σ（x）=（x，α）=0，x∈R}，σ的像空间为R。

由线性映射的维数公式有：σ的核空间的维数+σ的像空间的维数=dimV=n，而σ的像空间的维数=dimR=1,故的核空间的维数=dimV1=n-1，故结论成立。

3结语以上利用不同的方法给出了一道习题高等代数中一道习题的不同解法高英(重庆师范大学数学学院代数与几何教研室，重庆400047)摘要:高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变。

文章针对一道高等代数习题,给出了不同的证明方法,并以此说明做习题过程中体会总结并与所学知识和已有的结论联系尤为重要。

关键词:欧氏空间,线性映射,基中图分类号:G642文献标识码：A文章编号：1007-8320（2011）07-0167-01 Advanced algebra in a different solution ExerciseGAO Ying(Department of Mathematics,College Algebra and Geometry，Chongqing Normal University,Chongqing400047,China) Abstract:Mathematics Advanced Algebra is an important basis for professional courses,which is characterized by abstract rigorous,problem-solving approach and flexible.Article for an advanced algebra exercises,gives a different method of proof,and as experience shows the process of doing exercises concluded with the knowledge and contacts have been important conclusions.Keywords:euclidean space;linear mapping;base收稿日期：2011-05-03作者简介：高英（1982—），女，内蒙古乌兰浩特人，博士，讲师，研究方向：多目标优化、数学教育。

基金项目：重庆师范大学博士启动基金(No.10XLB015)、重庆市教育委员会科学技术研究项目(No.KJ110624)和重庆市科委重点实验室专项经费资助项目。

（下转第175页）第38卷第7期的证明，并且所用到的知识都是高等代数中一些重要的结论。

通过不同的方法解题可以让学生了解到一道数学题的证明不止一种方法，只要在做题的过程中联系所学的内容,可以得到许多不同的方法，这也将有助于加深对已学内容的理解。

高等代数由于抽象,因此需要学生多做练习,并且要考虑它的不同解法,由此对所学内容加深理解。

在教学实践中,可以发现学生如果能够自觉地上下联系、经常总结,就会对这门课的感兴趣,非常愿意去学习并能学好它。

参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2003.[2]王萼芳，石生明，等.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2006.（上接第167页）最终将班集体建设成为和谐、民主、祥和的大家庭。

4因人制宜，因材施教想要更好的提高班级管理工作质量，就必须深入了解学生内心需要，了解每一位学生的家庭状况以及社会交往情况，针对每位学生的特长、爱好、性格等建立一套完整的个人档案，并随时观察每位学生的学情状态，为他们分别制定合适的教学目标，必要时开展个别教育。

在具体教学中，教师要全方位看待学生，不要仅仅看到学生的优点或缺点，要根据“尺有所短、寸有所长”的原则，看到学生身上的闪光点，比如有的学生比较自信；有的学生集体观念较强；有的学生心态很好；还有的学生具有坚强的意志等。

但是人无完人，每位学生身上不可避免的存在一定缺陷，如心理素质较差、容易自大或自负、自控能力差、组织纪律性不强等。

班主任教师不能只看到优等生的优点，后进生的缺陷，否则，只能使后进生产生逆反心理，加深了他们的自卑心态，很有可能会从此一蹶不振。

因此，班主任教师要因材施教、因人制宜，注重发挥学生的优势，帮助学生改善自身的缺点，促进学生身心的健康发展，提高班级团队的整体素质。

5坚持“以人为本”的科学发展观班主任教师要转变自身的教育理念，尊重学生的主体地位，发挥自身的主导作用，看到存在于学生身上的个体差异，认识到个体差异的不同造就了他们不同的思维方式与接受能力，根据他们喜好、习惯的不同，采取个别交谈的方式对他们进行思想教育。

要知道，学生是一个个鲜活独立的个体，并不是工厂按照统一标准生产出来的产品，因此，班主任教师除了要对学生进行共性教育以外，还应该特别注重学生之间的个体差异性，运用感情疏导、诚恳交谈等方式，站在朋友的立场上为学生排忧解难，尽量遵循“表扬与启发并用”的原则，让学生理解班主任话语的弦外之音，感受到班主任的一番苦心。

这种方式不但有利于化解所有问题与矛盾，还有助于增进学生与教师之间的感情。

总而言之，在当今社会科技发展日新月异的背景下，班主任教师也要不断提高自身道德修多样与专业水平，以适应新社会对教师的更高要求，顺利历史发展潮流。

作为班主任教师，要肩负起社会赋予的重要使命，不断改进教学方法、提高自身综合素质、了解学生心理状况，采取因材施教、因人制宜的管理方式，树立教书与育人共进的教学理念，注重调动学生积极性、主动性与创造性的学习精神，全面提高高职学生的综合能力，为其将来的顺利就业奠定基础。

参考文献[1]邵娴.浅谈高职班主任的工作艺术[J].吉林省教育学院学报(学科版)，2009，(1).[2]边巍.高职班主任工作的几点体会[J].科技信息，2009，(35).[3]臧健.做好高职班主任的几点体会[J].职业技术，2006，(18).心理学认为：人在确立目的和实现目的过程中，都可能遇到各种困难。

战胜困难的过程，就是通过意志努力来实现预定目的的过程。

克服困难是意志行动最重要的特征，克服困难的行为称之为意志行动。

对于高职高专学生来说，引导他们树立自己的奋斗目标并朝这个目标而努力是非常重要的。

只有有了奋斗目标，才会有前进的动力，学习的热情，才会对学习有持久的动力。

对高职高专学生来说，A级证或B级证是他们在英语学习上必须要考得的一张很有份量的证书，相当于本科生的英语六级证或四级证，但相当一部分层次较差的高职高专学生的英语水平相当差，150分的题，很多同学的成绩在50分以下，要过B 级很不容易。

这时就要鼓励学生确立自己的目标并为之努力。

实践表明，有目标并持之以恒的学生成功率更高。

综上所述，非智力因素对智力因素的发展始终起着动力、促进、引导、维持和加强的作用，对学生的学习成绩影响很大，因此，在教学中要充分利用非智力因素对学习的影响，培养学生的非智力因素，促进学生学习成绩的提高。

参考文献[1]Arnold,J.Affect in Language Learning[M].Cambridge:Cambridge University Press,1999[2]张大均.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，1999.[3]在职攻读教育硕士专业学位全国统一（联合）考试大纲及指南[Z].北京：北京师范大学出版社，2001.[4]徐锦芬，占小海.大学英语教学中教师运用情感因素的现状调查与研究[J].疯狂英语教师版，2010，（1）：4-8.[5]李海彦，刘珍龙.英语课堂教学的有效激励策略[J].疯狂英语教师版，2010，（1）：106-108.李惠桂：非智力因素对高职高专英语学习的促进作用（上接第173页）175。