存在性问题综合测试(三)(含答案)
中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论存在性问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 ABC 中 90A ∠= 7AB = 24AC = 点D 为边AC 上一点 将ABC 沿BD 折叠后 点A 的对应点A '恰好落在BC 边上 则线段AD 的长为（ ）A ．407B ．214C ．16825D ．3262．如图是一张直角三角形纸片 已知6AC = 10AB = 将纸片沿AD 折叠 使点C 落在AB 边上的点C '处 则折痕AD 长为（ ）．A ．5B ．35C ．3D ．323．已知2OA = 2OB = 将AOB 沿着某直线CD 折叠后如图所示 CD 与x 轴交于点C 与AB 交于点D 则点C 坐标是（ ）A ．()0.4,0B ．()0.5,0C ．()0.6,0D ．()0.7,04．如图 长方形纸片ABCD 中 6AB = 18AD = 将此长方形纸片折叠 使点D 与点B 重合 点C 落在点H 的位置 折痕为EF 则ABE 的面积为（ ）A ．6B ．18C ．24D ．485．如图 在平行四边形ABCD 中 60B ∠=︒ 4AB = 6AD = E 是AB 边的中点 F 是线段BC 上的动点 将EBF 沿EF 所在直线折叠得到EB F ' 连接B D ' 则B D '的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．26．将长方形纸片ABCD 如图折叠 B C 两点恰好重合在AD 边上的同一点P 处折痕分别是MH NG 若90MPN ∠=︒ 3PM = 5MN = 分别记PHM PNG PMN 的面积为1S 2S 3S 则1S 2S 3S 之间的数量关系是 ( )A ．312S S S =+B ．312322S S S =+C ．32155S S S =-D ．2123S S S =-7．如图 直角ABC 中 90C ∠=︒ 3AC = 4BC = 将ABC 沿AB 折叠得ABD △ 点C 的对应点为点D 则点D 到BC 的距离为（ ）A ．125B ．245C ．9625D ．125或245 8．如图 在Rt ABC △纸片中 9043A AB AC ∠=︒==，， 将Rt ABC △纸片按图示方式折叠 使点A 恰好落在斜边BC 上的点E 处 BD 为折痕 则下列四个结论：①BD 平分ABC ∠①AD DE = ①DE EC = ①DEC 的周长为4 其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30B ∠=︒ 4AC = 点P 为AB 上一个动点 以PC 为轴折叠APC △得到QPC 点A 的对应点为点Q 当点Q 落在ABC 内部（不包括边）上时 AP 的取值范围为 .10．如图 在平面直角坐标系中 长方形ABCO 的边OC OA 、分别在x 轴 y 轴上 3AB = 点E 在边BC 上 将长方形ABCO 沿AE 折叠 若点B 的对应点F 恰好是边OC 的三等分点 则点E 的坐标是 ．11．如图 有一个直角三角形纸片 两直角边18cm AC = 24cm BC = 现将直角边AC 沿直线AD 折叠 使它落在斜边AB 上 且与AE 重合 则BD = cm ．12．已知直线l 为长方形ABCD 的对称轴 5AD = 6AB = 点E 为射线DC 上一个动点 把ADE 沿直线AE 折叠 点D 的对应点D 恰好落在对称轴l 上．则点D 到边CD 的距离是 ．13．如图 把长方形ABCD 沿直线BD 向上折叠 使点C 落在C '的位置上 BC '交AD 于E 已知4CD = 8BC = 则EC D '的面积为 ．三 解答题14．如图是一张直角三角形ABC 纸片 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．(1)在图1中 将直角边AC 沿AD 折叠 使点C 落在斜边AB 上的点E 处 求CD 的长(2)在图2中 将BFG 沿FG 折叠 使点B 与点A 重合 求BF 的长．15．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用 如图 将一张长方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中 点A 与原点O 重合 顶点B D 分别在x 轴 y 轴上 P 为边CD 上一动点 连接BP 将BCP 沿BP 折叠 点C 落在点C '处．(1)若4AB = 3AD = 如图1 连接BD 当点C '在线段BD 上时 求点P 的坐标．(2)在（1）的条件下如图2 当点P 与点D 重合时 沿BD 将BCD △折叠得BC D '△ DC '与x 轴交于E 点 求BDE 的面积．(3)若8AB = 4BC = 当ADC '为等腰三角形时 求点P 的坐标．16．如图1 ABC 中 90,BAC AB AC ∠=︒= D E 是直线BC 上两动点 且45DAE =︒∠．探究线段BD DE EC 三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2 将ABD △沿AD 折叠 得ADF △ 连接EF 看能否将三条线段转化到一个三角形中 …请你参照小明的思路 探究并解决下列问题：(1)猜想BD DE EC 三条线段之间的数量关系 并证明(2)如图3 当动点E 在线段BC 上 动点D 运动在线段CB 延长线上时 其它条件不变 （1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．17．已知ABC CDE △≌△ 且90B D ∠=∠=︒ 把ABC 和CDE 拼成如图所示的形状 使点B C D 在同一条直线上 若4AB = 3DE =．(1)求AE 的长(2)将ABC 沿AC 折叠 点B 落在点F 处 延长AF 与CE 相交于点G 求FG 的长．18．如图 在ABC 中 90C ∠=︒ 把ABC 沿直线DE 折叠 使ADE 与BDE 重合．(1)若38A ∠=︒ 则CBD ∠的度数为________(2)若6AC = 4BC = 求AD 的长(3)当(0)AB m m ABC =>，△的面积为24m +时 求BCD △的周长．（用含m 的代数式表示）参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．C9．234AP <<10．25⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭11．1512．1或9/9或113．614．(1)3CD = (2)254BF15．(1)点P 的坐标为5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)7516(3)当ADC '为等腰三角形时 点P 的坐标为()44，或4⎫⎪⎪⎝⎭．16．(1)222DE BD EC =+(2)不变 222DE BD EC =+17．(1)AE =(2)9418．(1)14︒ (2)133AD =(3)BCD △的周长为4m +．。
二次函数,矩形的存在性问题,含答案(最新整理)
1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴223y x x =-++交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E .（1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.xxx26图图图图226图图图图126图图1（0，4）、3. (2016 山东省东营市) 】．】．C的坐标分别是（﹣1，0），将在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若C为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A (0，－3)，B ），对称轴为直线12x =-，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取1111,,,.3333PC MP MD OM OE ON NF NP ====（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．参考答案1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1.分析：（1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．解答：解：（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，把E点坐标代入可求得m=，∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，解得x=，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S△OFH=××=；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD ∽△DOM ，∴=，即=，解得OM=6，∴M （0，﹣6），且F （0，），∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=，∴G （0，﹣），设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）；③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3，∵四边形MFND 为矩形，∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）；综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴223y x x =-++交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E .（1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.xxx26图图图图226图图图图126图图1答案解：⑴AD ：1y x=+⑵过点F 作x 轴的垂线，交直线AD 于点M ，易证△FGH ≌△FGM 故FGH FGM C C =△△设2(,23)F m m m -++则FM =2223(1)2m m m m m -++-+=-++则 C=212(1(1)2FM FM m +==-+-⑶①若AP 为对角线如图，由△PMS ∽△MAR 可得由点的平移可知故Q 点关于直线AM 的对称点T 为9(0,)2P 1(2)2Q -，1(0,)2-②若AQ 为对角线如图，同理可知P 由点的平移可知Q 故Q 点关于直线AM 的对称点T 为1(0,)2-7(2,)29(0,)23. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′．（1）若抛物线经过点C 、A 、A ′，求此抛物线的解析式；（2）点M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，△AMA ′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；（3）若P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为（1，0），当P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．分析（1）由平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′，且点A 的坐标是（0，4），可求得点A ′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C 、A 、A ′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA ′，设直线AA ′的解析式为：y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线AA ′的解析式，再设点M 的坐标为：（x ，﹣x 2+3x+4），继而可得△AMA ′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ 为边与BQ 为对角线去分析求解即可求得答案．解答解：（1）∵平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′，且点A 的坐标是（0，4），∴点A ′的坐标为：（4，0），∵点A 、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C 、A 、A ′，设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x 2+3x+4；（2）连接AA ′，设直线AA ′的解析式为：y=kx+b ，∴，解得：，∴直线AA ′的解析式为：y=﹣x+4，设点M 的坐标为：（x ，﹣x 2+3x+4），则S △AMA ′=×4×[﹣x 2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x 2+8x=﹣2（x ﹣2）2+8，∴当x=2时，△AMA ′的面积最大，最大值S △AMA ′=8，∴M 的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4，当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3=，x2=，∴P3（，﹣4），P4（，﹣4）；②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若C为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．解：（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，∴A点在直线上，∴8=2a+4，解得a=2，∴A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上，∴8=22+2b，解得b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x；（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，，∴B 点坐标为（﹣2，0），如图，过A 作AQ ⊥x 轴，交x 轴于点Q ，则AQ=8，OQ=OB=2，即O 为BQ 的中点，当C 为AB 中点时，则OC 为△ABQ 的中位线，即C 点在y 轴上，∴OC=AQ=4，∴C 点坐标为（0，4），又PC ∥x 轴，∴P 点纵坐标为4，∵P 点在抛物线线上，∴4=x 2+2x ，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，∵P 点在A 、B 之间的抛物线上，∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，∴P 点坐标为（﹣1，4），∴PC=﹣1﹣0=﹣1；（3）∵D （m ，n ），且四边形PCDE 为矩形，∴C 点横坐标为m ，E 点纵坐标为n ，∵C 、E 都在直线y=2x+4上，∴C （m ，2m+4），E （，n ），∵PC ∥x 轴，∴P 点纵坐标为2m+4，∵P 点在抛物线上，∴2m+4=x 2+2x ，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），∴P 点坐标为（﹣1，2m+4），∴DE=﹣m ，CP=﹣1﹣m ，∵四边形PCDE 为矩形，∴DE=CP ，即﹣m=﹣1﹣m ，整理可得n 2﹣4n ﹣8m ﹣16=0，即m 、n 之间的关系式为n 2﹣4n ﹣8m ﹣16=0．5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A (0，－3)，B ），对称轴为直线12x =-，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取1111,,,.3333PC MP MD OM OE ON NF NP ====（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设二次函数的解析式为2y ax bx c =++,将点A （0，-3）、B）、对称轴方程分别代入可得：3,31.22c a c b a ⎧-=⎪=+⎪-=-⎩，解得1,1,3.a ab =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴此二次函数的解析式为23y x x =+-.（2）证明：如图连接CD ，DE ，EF ，FC.∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形OMPN 是矩形.∴MP =ON ，OM =PN.又1111,,,,3333PC MP MD OM OE ON NF NP ====∴,DM FN MC NE ==∴△CMD ≅△ENF,同理△ODE ≅△FPC(SAS),∴CF =ED ，CD =EF.,∴四边形CDEF 是平行四边形.（3）如图，作CQ ⊥y 轴于点Q ，设P 点坐标为()2,3x x x +-，则1.3QN PC OE MP ===∴()2133EQ x x =-+-.∴在Rt △ECQ 中，()22222213.9CE EQ CQ x x x =+=+-+当CD ⊥DE 时， ()()()()()()22222222222222222222222222221333413,99143,994114339999553.99DE OD OE x x x x x x CD DM CM x x x CE DE CD x x x x x x x x x =+⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++-=+=++-∴=+=++-+++-=++- ()()()222222222215533,999443,993.x x x x x x x x x x x x ∴+-+=++-=+-+-=±(()()21212212123331,3 1.3311.x x x x y x x x x x y y P +-=====+-=-=-===-∴当时,此时，当时,，此时，，综上可知符合条件的点有四个，分别是，-，-，，，-本题用相似更简单！6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．。
二次函数中的存在性问题(含答案及解析)
2018年8月4日初中数学试卷一、综合题（共9题；共135分）1.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2.（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 √2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．4.（2017•广元）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．5.（2017•巴中）如图，已知两直线l1， l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，√3）时，恰好有l1⊥l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x 轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标；（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8.（2017•临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，又∵函数图象经过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a= 14，∴此函数的解析式为y= 14（x+2）2﹣4，即y= 14x2+x﹣3；（2）解：∵点C是函数y= 14x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），又当y=0时，有y= 14x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），则S△ABC= 12 |AB|•|OC|= 12×8×3=12；（3）解：假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．设E（x，0），则P（x，14x2+x﹣3），设直线AC的解析式为y=kx+b，∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），∴ {−6k+k=0−3=k，解得{k=−12k=−3，∴直线AC的解析式为y=﹣12x﹣3，∴点F的坐标为F（x，﹣12x﹣3），则|PF|=﹣12 x﹣3﹣（14x2+x﹣3）=﹣14x2﹣32x，∴S△APC=S△APF+S△CPF= 12 |PF|•|AE|+ 12|PF|•|OE|= 12 |PF|•|OA|= 12（﹣14x2﹣32x）×6=﹣34x2﹣92x=﹣34（x+3）2+ 274，∴当x=﹣3时，S△APC有最大值274，此时点P的坐标是P（﹣3，﹣154）．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．2.【答案】（1）解：∵点B（4，m）在直线y=x+1上，∴m=4+1=5，∴B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得{k−k+k=016k+4k+k=525k+5k+k=0，解得{k=−1k=4k=5，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5（2）解：①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，∵PE=2ED，∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（2，9）；当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（6，﹣7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），∴BE= √(k−4)2+(k+1−5)2 = √2 |x﹣4|，CE= √(k−5)2+(k+1)2 = √2k2−8k+26，BC= √(4−5)2+(5−0)2 = √26，当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则√2 |x﹣4|= √2k2−8k+26，解得x= 34，此时P点坐标为（34，11916）；当BE=BC时，则√2 |x﹣4|= √26，解得x=4+ √13或x=4﹣√13，此时P点坐标为（4+ √13，﹣4 √13﹣8）或（4﹣√13，4 √13﹣8）；当CE=BC时，则√2k2−8k+26 = √26，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P 点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（34，11916）或（4+ √13，﹣4 √13﹣8）或（4﹣√13，4 √13﹣8）或（0，5）【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．3.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3（2）解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣32）2+ 94，∴当m= 32时，PM有最大值94（3）解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2 √2时，即QH=HG=2 √2，∴QG= √2×2 √2 =4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D 点坐标，利用待定系数法可求得直线BD 解析式；（2）设出P 点坐标，从而可表示出PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q 作QG∥y 轴，交BD 于点G ，过Q 和QH⊥BD 于H ，可设出Q 点坐标，表示出QG 的长度，由条件可证得△DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于Q 点坐标的方程，可求得Q 点坐标． 4.【答案】（1）解：将A ，B ，C 点的坐标代入解析式，得 {9k −3k +k =04k −2k +k =3k =3 ，解得 {k =−1k =−2k =3，抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：配方，得y=﹣（x+1）2+4，顶点D 的坐标为（﹣1，4） 作B 点关于直线x=1的对称点B′，如图1，则B′（4，3），由（1）得D （﹣1，4）， 可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣ 15 x+ 195 ， 当M （1，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小， 则m=﹣ 15 ×1+ 195 = 185 ．（3）解：作PE⊥x 轴交AC 于E 点，如图2，AC 的解析式为y=x+3，设P （m ，﹣m 2﹣2m+3），E （m ，m+3）， PE=﹣m 2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m 2﹣3mS △APC = 12 PE •|x A |= 12 （﹣m 2﹣3m ）×3=﹣ 32 （m+ 32 ）2+ 278 ，当m=﹣32时，△APC的面积的最大值是278（4）解：由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+3），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），则点E的坐标为：（﹣2，1）．②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x= −3+√172或x= −3−√172，即点E的坐标为：（−3+√172，3+√172）或（−3−√172，3−√172）综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：（−3+√172，3+√172）或（−3−√172，3−√172）【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案.（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B′D，B′D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值.（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.（4）设出点E的坐标，分情况讨论；①当点E再线段AC上时，点F在点E上方；②当点E再线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标.5.【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，√3）在抛物线上，∴ {k+k+k=09k−3k+k=0k=√3，解得{k=−√33k=−2√33k=√3，∴抛物线的函数解析式为y=﹣√33 x2﹣2√33x+ √3（2）解：DG=DE．理由如下：设直线l 1的解析式为y=k 1x+b 1 ， 将A （1，0），C （0， √3 ）代入，解得y=﹣ √3 x+ √3 ； 设直线l 2的解析式为y=k 2x+b 2 ， 将B （﹣3，0），C （0， √3 ）代入，解得y= √33x+ √3 ； ∵抛物线与x 轴的交点为A （1，0），B （﹣3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1， 又∵点G 、D 、E 均在对称轴上， ∴G（﹣1，2 √3 ），D （﹣1，4√33 ），E （﹣1， 2√33）， ∴DG=2 √3 ﹣ 4√33= 2√33，DE= 4√33﹣ 2√33= 2√33，∴DG=DE；（3）解：若直线l 2绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当△MCG 为等腰三角形时，分三种情况： ①以G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 1、C ，点M 1与C 关于抛物线的对称轴对称，则M 1的坐标为（﹣2， √3 ）； ②以C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 2、M 3 ， 点M 2与点A 重合，点A 、C 、G 在一条直线上，不能构成三角形，M 3与M 1重合；③作线段GC 的垂直平分线，交抛物线于点M 4、M 5 ， 点M 4与点D 重合，点D 的坐标为（﹣1， 4√33），M 5与M 1重合；综上所述，满足条件的点M 只有两个，其坐标分别为（﹣2， √3 ），（﹣1， 4√33）．【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y=ax 2+bx+c ．分别将A （1，0），B （﹣3，0），C （0， √3 ）三点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式.（2）DG=DE ．分别求出过A （1，0），C （0， 3 ）两点的直线l 1的解析式为y=﹣ √3 x+ √3 ；过B （﹣3，0），C （0， 3 ）两点的直线l 2的解析式为y= √33x+ √3 ；由二次函数的性质和已知条件求出DG 和DE 的长度即可. （3）若直线l 2绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当△MCG 为等腰三角形时，分三种情况：①以G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 1（﹣2， √3 ）；②以C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 2、M 3 ， ；③作线段GC 的垂直平分线，交抛物线于点M 4、M 5.6.【答案】（1）解：依题意得： {−k2k =−1k +k +k =0k =3，解之得： {k =−1k =−2k =3∴抛物线解析式为y=-x 2-2x+3∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A （1，0）， ∴把B （-3，0）、C （0，3）分别代入直线y=mx+n ， 得 {−3k +k =0k =3， 解之得： {k =1k =3，∴直线y=mx+n 的解析式为y=x+3（2）解：设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（-1，2），即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（-1，2）（3）解：如图：设P （-1，t ），又∵B（-3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2 ，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2-6t+10解之得：t=-2；②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2-6t+10=4+t 2解之得：t=4，③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2-6t+10=18解之得：t 1= 3+√172 ，t 2= 3−√172； 综上所述P 的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1， 3+√172 ） 或（-1， 3−√172）． 【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题【解析】【分析】先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2 ， PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．7.【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），把C （0，3）代入得a •1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x ﹣3），即y=﹣x 2+2x+3（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+m ，把B （3，0），C （0，3）代入得 {3k +k =0k =3 ，解得 {k =−1k =3，所以直线BC的解析式为y=﹣x+3，作PM∥y轴交BC于M，如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3），∴PM=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，∴S△PCB= 12•3•PM=﹣32x2+ 92=﹣32（x﹣32）2+ 278，当x= 32时，△BCP的面积最大，此时P点坐标为（32，154）（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a﹣3），把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，∴Q（4，﹣5）；当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（﹣2，3+a），把Q（﹣2，3+a）代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，∴Q（﹣2，﹣5）；当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3﹣a），把Q（2，3﹣a）代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，∴Q（2，3），综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）设交点式y=a （x+1）（x ﹣3），然后把C 点坐标代入求出a 的值即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=﹣x+3，作PM∥y 轴交BC 于M ，如图1，设P （x ，﹣x 2+2x+3），（0＜x ＜3），则M （x ，﹣x+3），利用三角形面积公式得到∴S △PCB = 12 •3•PM=﹣ 32 x 2+ 92 ，然后根据二次函数的性质求解；（3）如图2，分类讨论：当四边形BCDQ 为平行四边形，设D （1，a ），利用点平移的坐标规律得到Q （4，a ﹣3），然后把Q （4，a ﹣3）代入y=﹣x 2+2x+3中求出a 即可得到Q 点坐标；当四边形BCQD 为平行四边形或四边形BQCD 为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q 点坐标．8.【答案】（1）解：由y=ax 2+bx ﹣3得C （0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0），把A （2，﹣3），B （﹣1，0）代入y=ax 2+bx ﹣3得 {4k +2k −3=−3k −k −3=0 ， ∴ {k =1k =−2， ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3（2）解：设连接AC ，作BF⊥AC 交AC 的延长线于F ，∵A（2，﹣3），C （0，﹣3），∴AF∥x 轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D （0，m ），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D 1（0，1），D 2（0，﹣1）（3）解：设M （a ，a 2﹣2a ﹣3），N （1，n ），①以AB 为边，则AB∥MN，AB=MN ，如图2，过M 作ME⊥对称轴y 于E ，AF⊥x 轴于F ，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用【解析】【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．。
与圆有关的存在性问题训练(含答案)
与圆有关的存在性问题训练例1：已知圆C :()2222=+-y x ，直线l ：2+=kx y .若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线21,l l ，使得21l l ⊥，则实数k 的取值范围是（）A.[)()+∞-⋃-,3232,0B.[]3,232+-C.()0,∞-D.[)∞+，0答案：D例2：已知两点()0,a A ，()0,a B -()0>a ，若圆()()11322=-+-y x 上存在点P ，使得︒=∠90APB ，则正实数a 的取值范围为（）A.(]3,0 B.[]3,1 C.[]32， D.[]21，答案：B例3：在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点()10，，()30，，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线()0>=kkxy关于y轴对称，则k的最小值为（）A.332 B.3 C.32 D.34答案：D例4：已知圆()()1041:22=-+-y x C 和点()t M ,5，若圆C 上存在两点B A ,使得MB MA ⊥，则实数t 的取值范围是（）A.[]6,2- B.[]5,3- C.[]62， D.[]53，答案：C例5：已知点A 在圆2:22=+y x O 上，Q P ,是直线t x y +=上的两个不同的点，若存在Q P A ,,使得线段AQ AP ,的中点都在圆O 上，则t 的取值范围是________.答案：()6,6-∈t例6：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,m A ，()0,4+m B ，若圆()83:22=-+m y x C 上存在点P ，使得︒=∠45APB ，则实数m 的取值范围是________.例7：已知A是圆C内异于圆心的一定点，动点P满足：在圆C上存在唯一点Q，使得0=QA，则动点P的轨迹为（）∙QPA.直线B.圆C.椭圆D.双曲线答案：C例8：在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆1:22=+y x O 的直径，若直线013:=+--k y kx l 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足OQ BP //，则实数k 的取值范围是________.例9：在平面直角坐标系xOy 中，点Q P ,分别为直线032:=-+y x l 与圆()()02:222>=+-r r y x M 上的动点，若存在点Q P ,，使得OPQ ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则r 的取值范围为_________.例10：已知圆()43:221=++y x C ，圆()45:222=-+y x C ，若平面内存在点P 满足：过点P 有无数多对相互垂直的直线21,l l ，它们分别与圆1C ，圆2C 相交，且被圆1C ，圆2C 截得的弦长相等，求点P 的坐标.答案：()()1,1,4,421=-=P P例11：若圆()()22253r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A.(]64， B.[)6,4 C.()64， D.[]64，答案：C例12：已知圆1:22=+y x O ，圆()()13:22=+-+-a y a x M .若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为B A ,，使得︒=∠60APB ，则实数a 的取值范围是_______.答案：[]3,0∈a思考题：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()03:222>=-+a a y x M ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a A ，()0,1B ，()2,3C ，若圆M 上存在点P ，使得︒=∠90BPC ，︒=∠45PAB ，则a 的值为________.。
人教版高一必修5第三章不等式专题含参数不等式恒成立与存在性问题教案含答案
专题-含参数不等式恒成立与存在性问题由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。
通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。
下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。
一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式.类型1：对于一次函数，则有：],[,)(n m x b kx x f ∈+=（1）如果；()0()0()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩恒成立（2）如果.()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立例1、若不等式对满足的所有都成立，求的范围.)1(122->-x m x 22≤≤-m m x 解：我们可以用改变主元的办法，将视为主元，原不等式化为：，m 0)12()1(2<---x x m 令，则时，恒成立，所以只需)12()1()(2---=x x m m f 22≤≤-m 0)(<m f ⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即，所以的范围是.⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x x )231,271(++-∈x 说明：在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变x 量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范a 围的变量看作参数，则可简化解题过程。
类型2：设，)0()(2≠++=a c bx ax x f R x ∈（1）上恒成立；R x x f ∈>在0)(00<∆>⇔且a （2）上恒成立.R x x f ∈<在0)(00<∆<⇔且a 例2、已知关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.x 2210mx mx ++>x R ∈m 解：当时，原不等式化为显然成立；0m =10>当时，则需要满足条件：；0m ≠201440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩综上，实数的取值范围是.m [0,1)类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x （1）当时，如果上恒成立；0>a ],[0)(βα∈>x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或当时，如果上恒成立.0>a ],[0)(βα∈<x x f 在⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当时，如果上恒成立；0<a ],[0)(βα∈>x x f 在⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f 当时，如果上恒成立.0<a ],[0)(βα∈<x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
学生综合素质评价存在的问题
学生综合素质评价的问题及思考付俊祥甘肃省武山县第一高级中学(741300)摘要:综合素质评价是新课程实验和高考改革的重要组成部分，但是学生综合素质评价目标取向偏移,标准缺乏统一,方案操作性不强, 权力分配不公平,导致学生综合素质评价实践中出现了形式主义倾向。
关键词:综合素质评价问题思考综合素质评价是新课程实验和高考改革方案的重要组成部分，是学生能否毕业和高校招生录取的重要依据。
用高考“指挥棒”促进学生、学校、家庭、社会重视道德品质、公民素养、身心发展等方面的状况，推动素质教育进一步深入开展，促进高中学生全面协调健康发展，是高考改革的一大进步，是推进素质教育的一大举措。
综合素质评价改革已经取得一定进展，各地的评价方案和评价指标体系具有一定的操作性，相关保障制度建设取得了一定的进展。
但是,学生综合素质评价的实践效果并不理想,遇到了一些困难和挑战，导致学生综合素质评价实践中出现了形式主义倾向,影响学生综合素质评价的质量与效果，影响新课程改革向纵深发展的进程。
一、评价目标取向偏移学生综合素质评价的目标是提高学生的综合素质、促进学生的全面发展，但在实施中评价目标却发生了偏移，放大了作为评价和考试制度所具有的筛选的工具性作用，造成了价值取向上的偏移。
家长、学生，甚至一部分教师将综合素质评价看做升学考试的一部分。
走访了学校领导、教师、学生和部分学生家长，普遍关注的是评价结果作为高考录取的依据。
对参加家长会的高一30名、高二30名、高三40名共100名家长，在随机选取高一30名、高二30名、高三40名共100名学生，抽取高一15名、高二15名、高三20名共50名教师，28名学校领导进行问卷调查，对综合素质评价关注点首选“高考录取取依据”，其次是“评价高中学业水平”，而“促进素质提高”最低。
学校领导、教师认为综合素质评价能“促进素质提高”达10%，是因为在评价过程中体现了“促进学生综合素质提高”的作用，强化了“不合格D等级”的管理。
存在 自身存在问题原因分析及解决问题措施(最新)
存在自身存在问题、原因分析及解决问题措施(最新)通过学习文件和领导讲话精神，结合工作实际对照自查，我对个人进行了认真剖析，深刻感受到自己在学习、工作、生活中还存在很多问题与不足，现对自己在思想、政治、工作等方面存在的缺点和不足提出如下整改措施。
一、个人存在问题和不足1、对党的理论知识学习不够，不深。
在理论学习上存在浮燥情绪，在学习内容上，认为没有业务知识更实用。
在学习的方式上，理论联系实际还不够，不能融会贯通到真正的在干中学和学中干。
2、在思想上还缺乏开拓创新意识。
在思维方式上，有时习惯于凭经往常经验考虑问题，大胆探索的方式方法比较少。
3、工作作风有时不够扎实、不够深入、处理问题有时有时还存在不妥之处，工作中还缺乏足够的积极性、主动性、创造性。
自我思想有时还存在。
二、根据以上的不足之处，提出下一步的整改措施：1、努力强化学习，不断提高思想境界，全面提升自身素质。
自己越来越注意到在当今这个与时俱进、知识与信息不断更新的社会里，学习是提高自身素质的第一要务，充分认识到，在当前形式和环境中，只有不断的学习，才能不被这个社会所淘汰，这不但要学习应具备的相关业务知识和政治理论知识，还要学习更多的知识，目的就是为了今后游刃有余的工作打好一个坚实的基础。
在学习的过程中更重要的是要不断的提高自身的修养问题，还要强服务意识和责任意识，努力做一个有德有才的大家认可的机关人员，做一个高素质的人。
2、不断提高和改变工作思路，增强创新意识，提高工作水平。
我现在从事的工作，会面临许多新问题，新矛盾和新内容，这就要求我们要不断地更新知识，丰富自己的工作技能和实践本领的同时要善于在工作中开拓创新，提出新的思路和新见解，这样才能把良好的愿望和实际工作效果结合起来。
只有这样才能在工作中争创一流。
3、要在工作中埋头苦干，求真务实，提高效率。
在工作中脚踏实地地做好本职工作，模范地履行一个机关干部的职责。
树立高度的责任感和敬业精神，尽心尽力把工作做好。
【跨越一本线】高三数学 问题：2.2函数中存在性与恒成立问题(含答案)
高三数学跨越一本线精品问题二函数中存在性与恒成立问题函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下：(1)恒成立问题①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)ma x<A；③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) ma x <0；⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)ma x；⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立,则f(x) ma x < g(x) min.(2)存在性问题①. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A；②. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min <A；③. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) ma x >0；④. ∃x0∈D,使得f(x0) <g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g (x),∴ F(x) min <0；⑤. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min；⑥. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) <g(x2)成立,则f(x) min < g(x) ma x.(3)相等问题若f(x)的值域分别为A,B,则⊆；①. ∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则A B②∃x 1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则A B≠∅.(4)恒成立与存在性的综合性问题①∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in> g(x)m in；②∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) <g(x2)成立,则f(x)max < g(x)max.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等. 一、函数性质法【例1】已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10,若在区间1,2]内至少存在一个实数x ,使得f (x )<0成立,求实数a 的取值范围． 【分析】本题实质是存在性问题【解析】解法一：f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a (1≤x ≤2),当23a ≤1,即a ≤32时,f ′(x )≥0,f (x )在1,2]上为增函数, 故f (x )m in ＝f (1)＝11－a ,所以11－a <0,a >11,这与a ≤32矛盾．当1<23a <2,即32<a <3时,当1≤x <23a ,f ′(x )<0；当23a <x ≤2,f ′(x )>0,所以x ＝23a 时,f (x )取最小值,因此有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a <0,即827a 3－49a 3＋10＝－427a 3＋10<0,解得a >3352,这与32<a <3矛盾；当23a ≥2,即a ≥3时,f ′(x )≤0,f (x )在1,2]上为减函数,所以f (x )m in ＝f (2)＝18－4a ,所以18－4a <0,解得a >92,这符合a ≥3.综上所述,a 的取值范围为a >92.解法二：由已知得：a >x 3＋10x 2＝x ＋10x2,设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2),g ′(x )＝1－20x3,∵1≤x ≤2,∴g ′(x )<0,所以g (x )在1,2]上是减函数．g (x )m in ＝g (2),所以a >92.【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax 2>x 3＋10中x 2∈1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．【牛刀小试】【20xx 山西大学附中第二次模拟】设函数()()21xf x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数,使得()0f t <,则的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D二、分离参数法【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．(1)求实数的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =处的切线的斜率为,可知'(e)3f =,可建立关于的方程：lne 13a ++=,从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立,只需max 2()[]f x k x≥即可,而由（1）可知()ln f x x x x =+,∴问题即等价于求函数1ln ()xg x x+=的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x xx g x x x⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求. 【解析】(1)∵()ln f x ax x x =+,∴'()ln 1f x a x =++, 又∵()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为,∴'(e)3f =, 即lne 13a ++=,∴1a =； (2)由（1）知,()ln f x x x x =+, ∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()xg x x +=,则问题转化为求()g x 的最大值, 221(1ln )ln '()x x xx g x x x ⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数； 当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（,x D λ∈为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； (2)求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；(3)解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. 【牛刀小试】【20xx 湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈．(1)若4t =,且1[,2]4x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数的值； (2)若01a <<,且1[,2]4x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)15；(2)[2,)+∞. 【解析】(1)∵4t =,∴24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x +=-=+-=1log 4(2)a x x=++ 易证1()4(2)h x x x =++在1[,1]4上单调递减,在[1,2]上单调递增,且1()(2)4h h >,∴min ()(1)16h x h ==,max 1()()254h x h ==,∴当1a >时,min ()log 16a F x =,由log 162a =-,解得14a =（舍去）当01a <<时,min ()log 25a F x =,由log 252a =-,解得15a =.综上知实数的值是15.三、主参换位法【例3】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x xλ=+是区间[]1,1-上的减函数,(1)求的值；(2)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立,求的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.【解析】(1)1a =(2)由(1)知：()f x x =,()sin g x x x λ∴=+,()g x 在[]11-，上单调递减, ()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立,1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--, 只需2sin11t t λλ--≤++,2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立,由上述②结论：可令()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2t 101sin110t t +≤⎧⎨--+++≥⎩,21sin10t t t ≤-⎧∴⎨-+≥⎩,而2sin10t t -+≥恒成立,1t ∴≤-.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数x 的取值范围.12x <<【解析】()2211x m x ->-可转化为()21210m x x --+<,设()()21210f m m x x =--+<,则()f m 是关于m 的一次型函数,要使()0f m <恒成立,只需()()221201220f x x f x x ⎧=-<⎪⎨-=--+<⎪⎩,解12x <<. 四、数形结合法 【例4】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k≥,求实数的取值范围.【分析】为了使题中的条件()f x k≥在[)1,x ∈-+∞恒成立,应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k=-,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决.【解析】令()()222F x f x k x kx k=-=-+-,则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立,而()F x 是开口向上的抛物线.当图象与x 轴无交点满足0∆<,即()24220k k ∆=--<,解得21k -<<.当图象与x 轴有交点,且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩解得32k -≤≤-, 故由①②知31k -≤<.【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立,则有00a >⎧⎨∆<⎩,同理,若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立,则有00a <⎧⎨∆<⎩.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】【20xx 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A．(,-∞ B．()C. ()),0-∞⋃+∞ D．(),-∞⋃+∞【答案】A五、存在性之常用模型及方法 【例5】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为. （1）求的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞,使得()1af x a <-,求的取值范围. 【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为,可以将其转化为关于,的方程,进而求得的值：()()1af x a x b x'=+--,()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式()1a f x a <-成立,只需min()1af x a >-即可,因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于的不等式即可,而由（1）可知()21ln 2a f x a x x x -=+-,则()()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=,因此需对的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性,从而可以解得的取值范围是()()11,+∞.①当12a ≤时,11aa≤-, 在[)1,+∞上,()0f x '≥,()f x 为增函数,()()()min111122a a f x f ---==-=,令121a aa --<-,即2210a a +-<,解得11a <<. ②当11a <<时,1a >,()()()2minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭, 不合题意,无解,10分③当1a >时,显然有()0f x <,01a a >-,∴不等式()1af x a <-恒成立,符合题意,综上,的取值范围是()()11,+∞.【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, (1)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数的取值范围； (2)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数的取值范围.【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.(1) 若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,则min max )()(x g x f >,即4a -,所以4->a . (2)若存在21,x x 使得)()(21x g x f =,则A B ≠∅,∴4a -≤且ln30a -≥,∴实数的取值围是[]4,ln3-.【迁移运用】1.【20xx 宁夏育才中学上学期第二次月考】设函数3()f x x x =+,x R ∈. 若当02πθ<<时,不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A. 1(,1]2 B.1(,1)2C. [1,)+∞D.(,1]-∞ 【答案】D【解析】易得()f x 是奇函数,2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数,又11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--,故选D.2.【20xx 河北省武邑中学2高三上学期第三次调研】 若对[),0,x y ∀∈+∞,不等式2242x y x y ax e e +---≤++,恒成立,则实数的最大值是（ ）A ．14B ． C. D ．12【答案】D3.【20xx 山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知函数2ln ()()()x x b f x b R x +-=∈,若存在1[,2]2x ∈,使得()'()f x x f x >-⋅,则实数的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．3(,)2-∞ C. 9(,)4-∞ D ．(,3)-∞ 【答案】C【解析】由题意,得2212()ln ()()x x b x x b f x x +----'=,则()()f x xf x +'＝2ln ()x x b x +-－212()ln ()x x b x x b x +----＝12()x x b x +-．若存在1[,2]2x ∈,使得()'()f x x f x >-⋅,则12()0x x b +->,所以12b x x <+．设1()2g x x x =+,则222121()122x g x x x -'=-=,当122x ≤≤时,()0g x '<；当22x ≤≤时,()0g x '>,所以()g x 在1[,22上单调递减,在2]上单调递增,所以当2x =,函数()g x 取最大值,最大值为19(2)244g =+=,所以max 9()4b g x <=,故选C ． 4.已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,求实数的取值范围是 .【答案】[)ln3,+∞【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,则2max min )()(x g x f >,即a ->3ln 0,所以3ln >a . 5. 已知函数2(),([2,2])f x x x ∈-=,2()sin(2)3,[0,]62g x a x a x ππ=++∈, 1[2,2]x ∀∈-,001[0,],()()2x g x f x π∃∈=总使得成立,则实数的取值范围是 ．【答案】(,4][6,)-∞-+∞6.【20xx 江西省新余市高三第二次模拟考试】设函数x x e x f 1)(22+=,x ex e x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,则正数的取值范围为 . 【答案】[)1,+∞【解析】对于函数()f x ,当0x >时, 22211()2e x f x e x e x x +==+≥=,所以当2(0,)x ∈+∞,函数()f x 有最小值2e ；对于函数2()x e x g x e =,2(1)'()xe x g x e-=,当01,'()0x g x <<>；当1,'()0x g x ><,所以当1x =时,函数()g x 有最大值(1)g e =.又不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,0k >,所以21e e k k ≤+,所以1k ≥. 7.设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y ＝f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】]1,1[-【解析】因为),4cos(2sin cos )(π++=-+='x a x x a x f则存在实数2,1x x ,使得1))4cos(2))(4cos(2(21-=++++ππx a x a 成立.不妨设11)(0,4k a x a π=+∈则22)[4k a x a π=+∈因此222120()2,12,1,1 1.k k a a a a <-≤-≤-≤-≤≤ 8.已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=,其中m ,a 均为实数． (1)求()g x 的极值；(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立,求的最小值；(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围．【答案】(1)极大值为1,无极小值；(2) 3 -22e 3；(3)3[,)e 1+∞-．【解析】（1）e(1)()e xx g x -'=,令()0g x '=,得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--,(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x-'=>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e xh x g x x ==,∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立, ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >,则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-, 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅,则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3,4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x---+≥恒成立． 设11e ()ex x v x x x --=-+,∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+,x ∈3,4],∴1221133e [()]e 1244x x --+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．∴()v x 在3,4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3,∴的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--,(0,)x ∈+∞,当0m =时,()2ln f x x =-在(0,e]为减函数,不合题意． ………………… 11分当0m ≠时,2()()m x m f x x-'=,由题意知()f x 在(0,e]不单调,所以20e m <<,即2em >．① …………………12分 此时()f x 在2(0,)m 上递减,在2(,e)m上递增, ∴(e)1f ≥,即(e)e 21f m m =--≥,解得3e 1m -≥．② 由①②,得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈,∴2()(1)0f f m =≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m∈,使得()f t ≥1．取e m t -=,先证e 2m m-<,即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-,则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥,∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥,∴3e 1m -≥时,命题成立． 综上所述,m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分 9.【20xx 山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数2()ln f x ax a x =--,1()xe g x x e =-,其中a R ∈,e 2.718=为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当1x >时,()0g x >；（3）确定的所有可能取值,使得()()f x g x >在(1,)+∞区间内恒成立.【答案】（1）当x∈（时()f x 单调递减；当x∈+)∞时,()f x 单调递增；（2）详见解析；（3）a ∈1+)2∞[，．【解析】（1）由2()ln f x ax a x =--,得2121'()2(0)ax f x ax x x x-=-=>. 当0a ≤时,'()0f x <在(0,)+∞成立,则()f x 为(0,)+∞上的减函数；当0a >时,由'()0f x =,得2x a==±,∴当x ∈时,'()0f x <,当)x ∈+∞时,'()0f x >.则()f x 在(0,2a 上为减函数,在)2a+∞上为增函数. 综上,当0a ≤时,()f x 为(0,)+∞上的减函数；当0a >时,()f x 在(0,)2a上为减函数,在)+∞上为增函数. （2）证明：要证()0(1)g x x >>,即10x e x e ->,即证1x ex e >,也就是证x e e x >. 令()xe h x x=,则2(1)'()x e x h x x -=,∴()h x 在(1,)+∞上单调递增,则min ()(1)h x h e ==, 即当1x >时,()h x e >,∴当1x >时,()0g x >；综上所述,1x >,'()0x Φ>,()x Φ在区间(1,)+∞单调递增, ∴'()'(1)0t x t >≥,即()t x 在区间(1,)+∞单调递增,∴12a ≥.10.【20xx 四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数()()ln bf x a x b x x =++(其中a b ∈R ，).(Ⅰ) 当4b =-时,若()f x 在其定义域内为单调函数,求的取值范围；(Ⅱ) 当1a =-时,是否存在实数,使得当2[e e ]x ∈，时,不等式()0f x >恒成立,如果存在,求的取值范围,如果不存在,说明理由（其中是自然对数的底数,＝2.71828…）.【答案】(Ⅰ) (,0][1,)-∞+∞；(Ⅱ) 2e (,)e 1b ∈+∞-．【解析】(Ⅰ) 由题0x >,4()()4ln f x a x x x =--,2224444()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=.①当0a ≤时,知()0f x '<,则()f x 是单调递减函数；②当0a >时,只有对于0x >,不等式2440ax x a -+≥恒成立,才能使()f x 为单调函数,只需22(4)160a ∆=--≤,解之得11a a -或≤≥,此时1a ≥．综上所述,的取值范围是(,0][1,)-∞+∞． (Ⅱ) ()ln bf x b x x x=--,其中0x >,222()1b b x bx bf x x x x -++'=-+=． (ⅰ) 当0b ≤时,()0f x '<,于是()f x 在(0)+∞，上为减函数,则在2[e e ]，上也为减函数, 知max 1()(e)e (1)e 0e eb f x f b b ==--=--<恒成立,不合题意,舍去． (ⅱ) 当0b >时,由()0f x '=得x =．列表得知max1()(e)e (1)e e e b f x f b b ==--=--,而211e 2e(1)e (1)e 0e e e 1e 1b -----=<++≤,于是max()0f x <恒成立,不合题意,e >,即2e e 1b >+,则()f x 在上为增函数,在,+∞)上为减函数,要使在2[e e ]，恒有()0f x >恒成立,则必有2(e)0(e )0f f >⎧⎨>⎩，，则22e 0e 2e 0e b b b b ⎧-->⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，，所以243242e e e 1e e e .2e 1b b ⎧>=⎪⎪--⎨⎪>⎪-⎩，由于32232e e (2e 1)e 3e 10---=-+<,则244322e e e e 1e e 2e 1=>---,所以2e e 1b >-． 11. 【20xx 湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数21()(1)2x f x x e ax =--()a R ∈()I 当1a ≤时,求()f x 的单调区间；()II 当(0,+)x ∈∞时,()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时,单调增区间是(0,)+∞,单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时,单调增区间是(,ln )a -∞,(0,)+∞,单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时,单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间；（Ⅱ）1(,]2-∞．【解析】()I ()()xxf x xe ax x e a '=-=-当0a ≤时,0x e a ->,∴(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,()f x 单调递减(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增当01a <≤时,令()0f x '=得0ln x x a ==或． (i) 当01a <<时,ln 0a <,故：(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '>,()f x 单调递增, (ln ,0)x a ∈ 时,()0f x '<,()f x 单调递减,(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；(ii) 当1a =时,ln 0a =, ()(1)x xf x xe ax x e '=-=-0≥恒成立,()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,无减区间；综上,当0a ≤时,()f x 的单调增区间是(0,)+∞,单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时,()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和,单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时,()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间.()II 由()I 知()x f x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时,()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方,即32(1)x xe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立即 210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立记 2()1x g x e ax x =--- (0)x >,∴()()21xg x e ax h x '=--=()'2x h x e a ∴=-(i) 当12a ≤时,()'20xh x e a =->恒成立,()g x '在(0,)+∞上单调递增, ∴()'(0)0g x g '>=, ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴()(0)0g x g >=,符合题意；(ii) 当12a >时,令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时,()'0h x <,∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<= ∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减, ∴ (0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=,不符合题意综上可得的取值范围是1(,]2-∞.12. 【20xx 广东省惠州市第二次调研】已知函数()ln f x x =,()()h x a x a R =∈. （Ⅰ）函数()f x 的图象与()h x 的图象无公共点,求实数的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数m ,使得对任意的1(,)2x ∈+∞,都有函数()my f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在,请求出整数m 的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据：ln 20.6931=,ln3 1.0986= 1.3956==）. 【答案】（Ⅰ）1(,)e+∞,（Ⅱ）1（Ⅱ）假设存在实数m 满足题意,则不等式ln x m e x x x +<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln x m e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln xr x e x x =-,则'()ln 1xr x e x =--,令()ln 1xx e x ϕ=--,则1'()x x e x ϕ=-,∵'()x ϕ在1(,)2+∞上单调递增,121'()202e ϕ=-<,'(1)10e ϕ=->,且'()x ϕ的图象在1(,1)2上连续,∴存在01(,1)2x ∈,使得0'()0x ϕ=,即0010xe x -=,则00ln x x =-,∴ 当01(,)2x x ∈时,()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时,()x ϕ单调递增, 则()x ϕ取到最小值000001()ln 11xx e x x x ϕ=--=+-110≥=>, ∴ '()0r x >,即()r x 在区间1(,)2+∞内单调递增.11221111()ln ln 2 1.995252222m r e e ≤=-=+=,∴存在实数m 满足题意,且最大整数m 的值为.13.【20xx 河南省天一大联考】已知函数()ln f x b x =．（1）当1b =时,求函数2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值；（2）若在[]1,e 上存在0x ,使得0001()bx f x x +-<-成立,求的取值范围． 【答案】（1）21e e --,；（2）21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-. 【解析】（1）当1b =时,2()()G x x xf x =--2ln (0)x x x x =-->,(21)(1)'()x x G x x+-=,令'()0G x =,得1x =,当变化时,()G x ,'()G x 的变化情况如下表：因为111()ln ln 212424G =--=-+<,(1)0G =, 2()1(1)11G e e e e e =--=-->,所以2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值分别为：2max ()()1G x G e e e ==--,min ()(1)0G x G ==．（2）设1()ln bh x x b x x+=-+．若在[]1,e 上存在0x ,使得0001()b x f x x +-<-,即0001ln 0b x b x x +-+<成立,则只需要函数1()ln bh x x b x x+=-+在[]1,e 上的最小值小于零． 又2221(1)'()1b b x bx b h x x x x +--+=--=[]2(1)(1)x x b x +-+=, 令'()0h x =,得1x =-（舍去）或1x b =+．①当1b e +≥,即1b e ≥-时,()h x 在[]1,e 上单调递减,故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ,由1()0bh e e b e +=+-<,可得211e b e +>-． 因为2111e e e +>--,所以211e b e +>-． ②当11b +≤,即0b ≤时,()h x 在[]1,e 上单调递增, 故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ,由(1)110h b =++<, 可得2b <-（满足0b ≤）．③当11b e <+<,即01b e <<-时,()h x 在(1,1)b +上单调递减,在(1,)b e +上单调递增,故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+．因为0ln(1)1b <+<,所以0ln(1)b b b <+<,所以2ln(1)2b b b +-+>,即(1)2h b +>,不满足题意,舍去．综上可得2b <-或211e b e +>-,所以实数的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-． 14. 【20xx 江西省新余市模拟】已知函数a x x a xf xln )(2-+=（0>a ,且1≠a ）. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若存在]1,1[,21-∈x x ,使得1|)()(|21-≥-e x f x f （是自然对数的底数）,求实数的取值范围.【答案】（1）函数)(x f 的单调增区间为),0(+∞,单调减区间为)0,(-∞；（2）),[]1,0(+∞∈e ea ．【解析】（1）a a x a x a a x f xxln )1(2ln 2ln )('-+=-+= ∵当1>a 时,0ln >a ,a a x ln )1(-在R 上是增函数, 当10<<a 时,0ln <a ,a a x ln )1(-在R 上也是增函数, ∴当1>a 或10<<a 时,总有)('x f 在R 上是增函数,又0)0('=f ,∴0)('>x f 的解集为),0(+∞,0)('<x f 的解集为)0,(-∞, 故函数)(x f 的单调增区间为),0(+∞,单调减区间为)0,(-∞. （2）∵存在]1,1[,21-∈x x ,使得1|)()(|21-≥-e x f x f 成立, 而当]1,1[-∈x 时,min max 21)()(|)()(|x f x f x f x f -≤-, ∴只要1)()(min max -≥-e x f x f 即可. 又∵,)('x f ,)(x f 的变化情况如下表所示：∴函数)(x f 在]0,1[-上是减函数,在]1,0[上是增函数, ∴当]1,1[-∈x 时,)(x f 的最小值1)0()(min ==f x f ,)(x f 的最大值max )(x f 为)1(-f 和)1(f 中的最大者.∵a a a a a a a f f ln 21)ln 11()ln 1()1()1(--=++--+=--, 令a aa a g ln 21)(--=)0(>a , ∵0)11(211)('22>-=-+=a a a a g ,∴a aa a g ln 21)(--=在),0(+∞∈a 上是增函数. 而0)1(=g ,故当1>a 时,0)(>a g ,即)1()1(->f f ；当10<<a 时,0)(<a g ,即)1()1(-<f f .∴当1>a 时,1)0()1(-≥-e f f ,即1ln -≥-e a a ,函数a a y ln -=在),1(+∞∈a 上是增函数,解得e a ≥；当10<<a 时,1)0()1(-≥--e f f ,即1ln 1-≥+e a a, 函数a a y ln 1+=在)1,0(∈a 上是减函数,解得ea 10≤<. 综上所述,所求的取值范围为),[]1,0(+∞∈e e a . 15.【20xx 浙江省绍兴市柯桥区二模】设函数()2k k f x a xb =-+,其中{}0,1,2a k >∈.（1）若()2f x 在(],1a a +上有最小值, 求实数的取值范围；（2）当2a ≥,92b =-时, 记()()1g x f x =,若对任意[]12,,1x x a a ∈+,总存在[]0,1x a a ∈+,使得()()()1202g x g x g x +≤,求0x 的取值范围.【答案】(1)()0,2；(2)[)[)2,34,+∞.()()(){}22max 9999max ,1max 2,1max 2,2222g x g a g a a a a a a a a a ⎧⎫⎧⎫=+=----=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭()()22223299223932322a a a a a a a a a a -----=-++=--+；∴当3a ≥时,222299222a a a a --≤--, 即2299222a a a a --≤--,即()()1g a g a ≤+, 故()()max 1g x g a =+,从而[)014,x a =+∈+∞；当23a ≤<时,222299222a a a a -->--, 即2299222a a a a -->--,即()()1g a g a >+,故()()max g x g a =,从而[)02,3x a =∈；综上所述,0x 的取值范围为[)[)2,34,+∞。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：直角三角形存在性问题的处理思路是什么？
问题2：等腰直角三角形存在性（两定一动）的处理思路是什么？
问题3：等腰直角三角形存在性（一定两动）的处理思路是什么？
问题4：正方形的存在性问题通常转化为什么问题来处理？利用的是正方形的哪个判定？
存在性问题综合测试（三）
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图,已知二次函数的图象经过点(2,4),与直线交于A,B两点,且点A在y轴上.P是y轴上的一动点,当△ABP是直角三角形时,点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题
2.如图,直线与x轴、y轴分别交于点A,B,直线与x轴交于点A,M
是线段AB上的一动点(不与点A,B重合),过点M且与y轴平行的直线,交直线于点N,点P在y轴上.若△PMN是等腰直角三角形,则符合条件的点P的坐标是( )
A.或
B.,或
C.,或
D.,或
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的存在性
3.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若P是y轴右侧的抛物线上一动点,Q是直线AC上一动点,使得以C,P,Q为顶点的三角形是等腰直角三角形,则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性
4.如图,抛物线交x轴于A,C两点(点A在点C的右侧),交y轴于点B.点D的坐标为(-1,0),若点P是直线AB上的动点,点Q是坐标平面内一点,则当以A,D,P,Q为顶点的四边形是正方形时,点Q的坐标为( )
A.(-1,4)或(1,2)
B.(-1,4),(1,2)或(5,-2)
C.(3,4)或(1,-2)
D.(2,2)或(-1,-2)
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方形的存在性
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：直角三角形存在性问题的处理思路是什么？
问题2：等腰直角三角形存在性（两定一动）的处理思路是什么？
问题3：等腰直角三角形存在性（一定两动）的处理思路是什么？
问题4：正方形的存在性问题通常转化为什么问题来处理？利用的是正方形的哪个判定？问题5：结合第2题与第3题思考等腰直角三角形存在性（两定一动）与等腰直角三角形存在性（一定两动）问题处理套路的异同有哪些．
问题6：结合第3题思考等腰直角三角形存在性（一定两动）问题的处理思路是什么？。