2020年湖北省荆州市中考数学试卷(有详细解析)
2020年湖北省荆州市中考数学试卷附详细答案解析
2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数中最大的数是（）A．3 B．0 C． D．﹣42．（3分）中国企业2016年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180 000个就业岗位．将180 000用科学记数法表示应为（）A．18×104B．1.8×105C．1.8×106D．18×1053．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．10°4．（3分）为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：户外活动的时间（小 1 2 3 6时）学生人数（人） 2 2 4 2则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、35．（3分）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C． D．6．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l 交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°7．（3分）为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A．140元B．150元C．160元D．200元8．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6=（10﹣x）2B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）29．（3分）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（）A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 10．（3分）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有（）A．①②B．③④C．②③D．②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）化简（π﹣3.14）0+|1﹣2|﹣+（）﹣1的结果是．12．（3分）若单项式﹣5x4y2m+n与2020x m﹣n y2是同类项，则m﹣7n的算术平方根是．13．（3分）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为．14．（3分）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个点．15．（3分）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为．16．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是．17．（3分）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC 绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（10分）（1）解方程组：（2）先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．20．（8分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．21．（8分）某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为人；（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．22．（8分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB ⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．24．（10分）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．25．（12分）如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•荆州）下列实数中最大的数是（）A．3 B．0 C． D．﹣4【分析】将各数按照从大到小顺序排列，找出最大数即可．【解答】解：各数排列得：3＞＞0＞﹣4，则实数找最大的数是3，故选A【点评】此题考查了实数大小比较，正确排列出大小顺序是解本题的关键．2．（3分）（2020•荆州）中国企业2016年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180 000个就业岗位．将180 000用科学记数法表示应为（）A．18×104B．1.8×105C．1.8×106D．18×105【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：180000=1.8×105．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a ×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．（3分）（2020•荆州）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．10°【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．【解答】解：由图可得，∠CDE=40°，∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°﹣50°=10°，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．4．（3分）（2020•荆州）为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：1 2 3 6户外活动的时间（小时）学生人数（人） 2 2 4 2则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3【分析】根据中位数、平均数和众数的概念求解即可．【解答】解：∵共10人，∴中位数为第5和第6人的平均数，∴中位数=（3+3）÷3=5；平均数=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3；众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为3；故选A．【点评】本题考查平均数、中位数和众数的概念．一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（3分）（2020•荆州）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．6．（3分）（2020•荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB 的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．7．（3分）（2020•荆州）为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A．140元B．150元C．160元D．200元【分析】此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．【解答】解：设小慧同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x=x﹣10解得：x=150即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元．故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．8．（3分）（2020•荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6=（10﹣x）2B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．9．（3分）（2020•荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（）A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5=800π+3000，故选：D．【点评】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键．（3分）（2020•荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 10．（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有（）A．①②B．③④C．②③D．②④【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得（x﹣4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=﹣2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，∴设x2=2x1，∴x1•x2=2x12=2，∴x1=±1，当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，∴x1+x2=﹣a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，∴mn=4，解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2020•荆州）化简（π﹣3.14）0+|1﹣2|﹣+（）﹣1的结果是 2 ．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+2﹣1﹣2+2=2，故答案为：2【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（2020•荆州）若单项式﹣5x4y2m+n与2020x m﹣n y2是同类项，则m﹣7n的算术平方根是 4 ．【分析】根据同类项定义可以得到关于m、n的二元一次方程，即可求得m、n的值即可解题．【解答】解：∵单项式﹣5x4y2m+n与2020x m﹣n y2是同类项，∴4=m﹣n，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，∴m﹣7n=16，∴m﹣7n的算术平方根==4，故答案为 4．【点评】本题考查了同类项的定义，考查了二元一次方程的求解，考查了算术平方根的定义，本题中求得m、n的值是解题的关键．13．（3分）（2020•荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为k＜3且k≠1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，解得：x=，由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，解得：k＜3且k≠1，故答案为：k＜3且k≠1【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3分）（2020•荆州）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有135 个点．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点，第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；…第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；当n=9时，=135个点，故答案为：135．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．15．（3分）（2020•荆州）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为 4 ．【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．【解答】解：将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，得直线y=x+b﹣3．∵点A（﹣1，2）关于y轴的对称点是（1，2），∴把点（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，解得b=4．故答案为4．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练记忆函数平移规律是解题关键．16．（3分）（2020•荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是60°或120°．【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠A D′C=120°，据此可得出结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．故答案为：60°或120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．17．（3分）（2020•荆州）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．【分析】以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于O，连接AE，BF交于O′，过O，O′作直线OO′于是得到结论．【解答】解：如图所示，直线OO′即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．18．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为 3 ．【分析】利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE==，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．【解答】解：∵S矩形OABC=32，∴AB•BC=32，∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB=DE，OD=OA，在Rt△ODE中，tan∠DOE==，即OD=2DE，∴DE•2DE=32，解得DE=4，∴AB=4，OA=8，在Rt△OCM中，∵tan∠COM==，而OC=AB=4，∴MC=2，∴M（﹣2，4），把M（﹣2，4）代入y=得k=﹣2×4=﹣8，∴反比例函数解析式为y=﹣，当x=﹣8时，y=﹣=1，则N（﹣8，1），∴BN=4﹣1=3．故答案为3．【点评】本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（10分）（2020•荆州）（1）解方程组：（2）先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．【分析】（1）根据代入消元法可以解答此方程；（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）将①代入②，得3x+2（2x﹣3）=8，解得，x=2，将x=2代入①，得y=1，故原方程组的解是；（2）﹣÷===，当x=2时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值、解二元一次方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（8分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】此题主要考查了平移的性质、矩形的性质、全等三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（8分）（2020•荆州）某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为56 人；（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．【分析】（1）根据A等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后乘以B等所占的百分比求得B等人数，从而补全条形图；（2）用该年级学生总数乘以足球测试成绩为D等的人数所占百分比即可求解；（3）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）总人数为14÷28%=50人，B等人数为50×40%=20人．条形图补充如下：（2）该年级足球测试成绩为D等的人数为700×=56（人）．故答案为56；（3）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中选取的两个班恰好是甲、乙两个班的情况占2种，所以恰好选到甲、乙两个班的概率是=．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．22．（8分）（2020•荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4•tan37°可得答案．【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i==，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．23．（10分）（2020•荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）由于二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．【解答】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1•x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1•x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．24．（10分）（2020•荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，。
2020年湖北省荆州市中考数学试卷【含答案;word版本试题;可编辑】
2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1. 有理数−2的相反数是（）A.2B.12C.−2 D.−122. 下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A. B. C. D.3. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A. B.C. D.4. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30∘，则∠ACB的度数是（）A.45∘B.55∘C.65∘D.75∘5. 八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则可列方程为（）A.102x−10x=20 B.10x−102x=20 C.10x−102x=13D.102x−10x=136. 若x为实数，在“(√3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A.√3+1B.√3−1C.2√3D.1−√37. 如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≅△CDF的是（）A.①B.②C.③D.④8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30∘．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A.(√3, √3)B.(√3, 1)C.(2, 1)D.(2, √3)9. 定义新运算“a∗b”：对于任意实数a，b，都有a∗b＝(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3＝(4+3)(4−3)−1＝7−1＝6．若x∗k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根10. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A.√55B.2√55C.12D.√32二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 若a＝(π−2020)0，b＝−(12)−1，c＝|−3|，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”号连接）12. 若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为________．13. 已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：________．（只需写一条）14. 若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是________．15. “健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90∘，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC=34，∠DEB＝45∘，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了24 km．16. 我们约定：(a, b, c)为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为(m, −m−2, 2)的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为________．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17. 先化简，再求值：(1−1a)÷a2−1a+2a+1，其中a是不等式组{a−2≥2−a2a−1<a+3的最小整数解．。
2020年湖北省荆州市中考数学试卷
2020年湖北省荆州市中考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.有理数-2的相反数是（）A. 2B.C. -2D. -2.下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象是（）A. B.C. D.4.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB=30°，则∠ACB的度数是（）A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°5.八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A. -=20B. -=20C. -=D. -=6.若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A. +1B. -1C. 2D. 1-7.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为（）A. （，）B. （，1）C. （2，1）D. （2，）9.定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3=（4+3）（4-3）-1=7-1=6．若x*k=x （k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根10.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若a=（π-2020）0，b=-（）-1，c=|-3|，则a，b，c的大小关系为______．（用“＜”号连接）12.若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为______．13.已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：______．（只需写一条）14.若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是______．15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB 与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC=，∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了______km．16.我们约定：（a，b，c）为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，-m-2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.先化简，再求值：（1-）÷，其中a是不等式组的最小整数解．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4-5=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2原方程可化为：t2+4t-5=0【续解】19.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20.6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______；x…-3-2-1-123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（，），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①______；②______；（3）①观察发现：如图2．若直线y=2交函数y=的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC=______；②探究思考：将①中“直线y=2”改为“直线y=a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC=______；③类比猜想：若直线y=a（a＞0）交函数y=（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC=______．22.如图，在矩形ABCD中，AB=20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH=2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23.为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费/目的地A B生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y 与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24.如图1，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（3，-1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ=S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：有理数-2的相反数是：2．故选：A．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】C【解析】解：一次函数y=x+1中，令x=0，则y=1；令y=0，则x=-1，∴一次函数y=x+1的图象经过点（0，1）和（-1，0），∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限，故选：C．依据一次函数y=x+1的图象经过点（0，1）和（-1，0），即可得到一次函数y=x+1的图象经过一二三象限．本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4.【答案】D【解析】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥FA，∠EBC=∠CBA，∴∠EBC=∠ACB，∠CAB=∠DBA=30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°，∴∠ACB+∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=75°，故选：D．根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：-=．故选：C．设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间=路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：A．（+1）-（+1）=0，故本选项不合题意；B．（+1）=2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1-）=-2，故本选项不合题意．故选：C．根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a-b）=a2-b2．7.【答案】C【解析】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC=CD，AB∥CD，∴∠B=∠DCF，①∵添加BE=CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB=∠F=90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE=DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE=∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD=30°，∴AD=OA，∵C为OA的中点，∴AD=AC=OC=BC=1，∴OA=2，∴OD=，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9.【答案】C【解析】解：∵x*k=x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x-k）-1=x，整理得x2-x-k2-1=0，∵△=（-1）2-4（-k2-1）=4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．利用新定义得到（x+k）（x-k）-1=x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10.【答案】B【解析】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD==2，在Rt△BDC中，cos∠BDC===，由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，∴cos∠BAC=cos∠BDC=，故选：B．作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．11.【答案】b＜a＜c【解析】解：∵a=（π-2020）0=1，b=-（）-1=-2，c=|-3|=3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．12.【答案】2【解析】解：根据题意得：m=1，m+n=3，解得n=2，所以2m+n=2+2=4，==2．故答案是：2．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13.【答案】线段的垂直平分线的性质【解析】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC=OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14.【答案】【解析】解：画树状图如图：共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．15.【答案】24【解析】解：过D点作DF⊥BC，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=xkm，在Rt△BFD中，BD==xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB=2BD=xkm，∵tan∠ABC=，∴cos∠ABC=，∴=，解得x=3，则BC=8km，AC=6km，AB=10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6=24（km）．故答案为：24．过D点作DF⊥BC，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC=8km，AC=6km，AB=10km，从而求解．此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16.【答案】（1，0）、（2，0）或（0，2）【解析】解：根据题意，令y=0，将关联数（m，-m-2，2）代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+（-m-2）x+2=0，△=（-m-2）2-4×2m=（m-2）2＞0，∴mx2+（-m-2）x+2=0有两个根，由求根公式可得x=x=x1==1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2==，当m=1或2时符合题意；x2=2或1；x3==，当m=1或2时符合题意；x3=2或1；x4==1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．根据题意令y=0，将关联数（m，-m-2，2）代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+（-m-2）x+2=0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．17.【答案】解：原式=•=．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式==．【解析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18.【答案】解：（t+5）（t-1）=0，t+5=0或t-1=0，∴t1=-5，t2=1，当t=-5时，=-5，此方程无解；当t=1时，=1，则x2+2x=1，配方得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-；经检验，原方程的解为x1=-1+，x2=-1-．【解析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再分别解方程=-5和方程=1，然后进行检验确定原方程的解．本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．19.【答案】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE=60°，∴AB=DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠CBE=∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=+=．【解析】（1）只要证明∠CBE=∠DAB=60°即可，（2）由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，利用弧长公式计算即可．本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a=2；七年级的中位数为，故b=90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90，故c=90；八年级中90分的最多，故d=90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×=390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．【解析】（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21.【答案】1 函数的图象关于y轴对称当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 4 4 2k【解析】解：（1）当x＜0时，xy=-2，而当x＞0时，xy=2，∴m=1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC=4S△OAM=4×|k|=2|k|=4，②同①可知：S四边形OABC=2|k|=4，③S四边形OABC=2|k|=2k，故答案为：4，4，2k．（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy=-2，而当x＞0时，xy=2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，由折叠对称知：∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，∴∠GHF=∠C=90°，∠EGC+∠HGF=90°，∠GFH+∠HGF=90°，∴∠EGC=∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH=2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH=2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG=AB=GH+AH=20，∴GH=8，AH=12，∴AD=AH=12．（3）解：在Rt△ADG中，DG===16，由折叠的对称性可设DF=FH=x，则GF=16-x，∵GH2+HF2=GF2，∴82+x2=（16-x）2，解得：x=6，∴HF=6，在Rt△GFH中，tan∠GFH=．【解析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程82+x2=（16-x）2，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23.【答案】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y=20（240-x）+25[260-（300-x）]+15x+24（300-x）=-4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵-4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y=-4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y=-4x+11000-500m，当x=240时，y最小=-4×240+11000-500m=10040-500m，∴10040-500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．【解析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．24.【答案】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，∵A（-2，-1），B（3，-1），∴AB∥x轴，且AM=2，OM=1，AB=5，∴OA=OC=，∵DE∥BC，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AE=AB，BC=2OE，∴E（，-1），∴EM=，∴OE===，∴BC=2OE=，在△ABC中，∵=25，AB2=52=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵AC为半圆O的直径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC=OD=OA=，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD=OA=，E是AB的中点，且E（，-1），OE=，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴，即，∴ON=2，DN=1，∴N（-1，2），设此抛物线的解析式为：y=a（x-）2-1，把N（-1，2）代入得：2=a（-1-）2-1，解得：a=，∴此抛物线的解析式为：y=（x-）2-1，即y=；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG=1+=，EG=2+1=3，∴DE===，tan∠DEG==，∵tan∠OAM=，且∠DEG和∠OAM都是锐角，∴∠DEG=∠OAM，如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，∴EP=，∵S△AOB==，∵S△EPQ=S△OAB，∴=，即，解得：x=或-；如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，∴EP=，同理得：，解得：x=或-；综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或-或或-．【解析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC=2OE，E（，-1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形OBCD是平行四边形；（3）①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D的坐标，利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y=a（x-）2-1，把点D的坐标代入可得结论；②以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，存在两种情况，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，根据S△EPQ=S△OAB，列方程可得x的值．本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质、锐角三角函数，3勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2020年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析)印刷版
2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣2的相反数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣2．（3分）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．4．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．（3分）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝6．（3分）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1B．﹣1C．2D．1﹣7．（3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）9．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）12．（3分）若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．13．（3分）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．（3分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．15．（3分）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB 与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC ＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．16．（3分）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y ＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE 折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地A B生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB 和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．2020年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣2的相反数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A．2．（3分）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．【解答】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），即可得到一次函数y ＝x+1的图象经过一二三象限．【解答】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，故选：C．4．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．【解答】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥F A，∠EBC＝∠CBA，∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，∴∠ACB＝75°，故选：D．5．（3分）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．6．（3分）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1B．﹣1C．2D．1﹣【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【解答】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）＝2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．7．（3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【解答】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD＝OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD＝，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．9．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．10．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．（用“＜”号连接）【分析】利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．12．（3分）若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为2．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，＝＝2．故答案是：2．13．（3分）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的性质．（只需写一条）【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OC＝OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．【解答】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．14．（3分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解答】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．15．（3分）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB 与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC ＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了24km．【分析】过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，从而求解．【解答】解：过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝xkm，∵tan∠ABC＝，∴cos∠ABC＝，∴＝，解得x＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．16．（3分）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）或（0，2）．【分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．【解答】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，x＝由求根公式可得x＝，x1＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2＝＝，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3＝＝，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．【分析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．【解答】解：原式＝•＝．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式＝＝．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】【分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程＝﹣5和方程＝1，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C 两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【分析】（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；七年级的中位数为，故b＝90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；八年级中90分的最多，故d＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×＝390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①函数的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝4；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝2k．【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy ＝2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE 折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B ＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH＝8，AH＝12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG ＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH ＝．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地A B生产厂甲2025乙1524（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB 和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC＝2OE，E（，﹣1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形OBCD是平行四边形；（3）①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D的坐标，利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把点D的坐标代入可得结论；②以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，存在两种情况，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，根据S△EPQ＝S△OAB，列方程可得x的值．【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，∴OA＝OC ＝，∵DE∥BC，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AE＝AB，BC＝2OE，∴E（，﹣1），∴EM＝，∴OE＝＝＝，∴BC＝2OE＝，在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵AC为半圆O的直径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE＝，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴，即，∴ON＝2，DN＝1，∴D（﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把D（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，解得：a＝，∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，∴DE＝＝＝，tan∠DEG ＝＝，∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，∴∠DEG＝∠OAM，如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，∴EP＝，∵S△AOB＝＝，∵S△EPQ＝S△OAB，∴＝，即，解得：x＝或﹣；如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，∴EP＝，同理得：，解得：x＝或﹣；综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣．。
2020年湖北省荆州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
荆州市2020年初中学业水平考试数学试题（满分为120分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数﹣2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝6．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1 B．﹣1 C．2D．1﹣7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）12．若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．13．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．16．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数/人数/年级80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1八年级 1 2 4 a 1 分析数据：平均数中位数众数方差七年级89 b 90 39八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B 作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地/生产厂 A B甲20 25乙15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数﹣2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解题过程】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2．下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．【解题过程】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．【总结归纳】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．【知识考点】一次函数的图象．【思路分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），即可得到一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限．【解题过程】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．【解题过程】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，∴∠ACB＝75°，故选：D．【总结归纳】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．5．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．【思路分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解题过程】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1 B．﹣1 C．2D．1﹣【知识考点】分母有理化．【思路分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【解题过程】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）＝2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【知识考点】全等三角形的判定；菱形的性质．【思路分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．【解题过程】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．【总结归纳】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C 为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）【知识考点】坐标与图形性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【解题过程】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD＝OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD＝，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．【总结归纳】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【知识考点】实数的运算；根的判别式．【思路分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解题过程】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【总结归纳】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．【思路分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解题过程】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．【总结归纳】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）【知识考点】绝对值；实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．【思路分析】利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【总结归纳】此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．12．若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．【知识考点】算术平方根；同类项．【思路分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m 的值，再代入代数式计算即可．【解题过程】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，＝＝2．故答案是：2．【总结归纳】本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）【知识考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图．【思路分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OC＝OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．【解题过程】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．【总结归纳】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14．若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解题过程】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC＝8km，AC＝6km，AB ＝10km，从而求解．【解题过程】解：过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝xkm，∵tan∠ABC＝，∴cos∠ABC＝，∴＝，解得x＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．【总结归纳】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．【知识考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．【解题过程】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，由求根公式可得x＝x＝x1＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2＝＝，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3＝＝，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．【总结归纳】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．【知识考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【思路分析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．【解题过程】解：原式＝•＝．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式＝＝．【总结归纳】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】【知识考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程；无理方程．【思路分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程＝﹣5和方程＝1，然后进行检验确定原方程的解．【解题过程】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【总结归纳】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【知识考点】平行线的判定与性质；轨迹；旋转的性质．【思路分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．【解题过程】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．【总结归纳】本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数/人数/年级80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1八年级 1 2 4 a 1 分析数据：平均数中位数众数方差七年级89 b 90 39八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【知识考点】用样本估计总体；中位数；众数；方差．【思路分析】（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．【解题过程】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；七年级的中位数为，故b＝90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；八年级中90分的最多，故d＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×＝390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．【总结归纳】本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B 作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．【解题过程】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，OABC②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．【总结归纳】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH ＝8，AH＝12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．【总结归纳】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地/生产厂 A B甲20 25乙15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．【解题过程】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．【总结归纳】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC＝2OE，E（，﹣1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形。
湖北省荆州市2020年中考数学试题及答案解析
绝密★启用前湖北省荆州市2020年中考数学试题试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列实数中最大的是（ ） A ．32B ．πC D ．4-【答案】D 【解析】 【分析】先对四个选项进行比较，再找出最大值. 【详解】 解：3442π<<<-=， ∴所给的几个数中，最大的数是4-．故选：D ． 【点睛】本题考查的是实数的大小，熟练掌握实数是解题的关键. 2．下列运算正确的是（ ） A ．1233x x -= B ．()326a a a⋅-=-C ．1)4=D ．()422a a -=【答案】C 【解析】 【分析】试题第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………根据合并同类项，单项式相乘，平方差公式和幂的乘方法进行判断. 【详解】 解：A 、1233x x x -=，故本选项错误； B 、()325a a a ⋅-=-，故本选项错误；C 、(51)(51)514-+=-=，故本选项正确；D 、()422aa -=-，故本选项错误；故选：C ． 【点睛】本题考查的是实数的计算，熟练掌握合并同类项，单项式相乘，平方差公式和幂的乘方法是解题的关键.3．已知直线//m n ，将一块含30角的直角三角板ABC 按如图方式放置（30ABC ∠=︒），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论. 【详解】 解：直线//m n ，21180ABC BAC ∴∠+∠∠+∠=+︒， 30ABC =︒∠，90BAC ∠=︒，140∠=︒， 218030904020∴∠=---︒︒=︒︒︒，故选：B ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 4．某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．该几何体是长方体B ．该几何体的高是3C ．底面有一边的长是1D ．该几何体的表面积为18平方单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据数据进行表面积计算即可. 【详解】解：A 、该几何体是长方体，正确；B 、该几何体的高为3，正确；C 、底面有一边的长是1，正确；D 、该几何体的表面积为：()212231322⨯⨯+⨯+⨯=平方单位，故错误，故选：D ． 【点睛】本题考查的是几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.5．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 分别落在MON ∠的边OM ，ON 上，若OA OC =，要求只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线．小明的作法如下：连接AC ，BD 交于点E ，作射线OE ，则射线OE 平分MON ∠．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C试题第4页，总23页○…【解析】 【分析】利用矩形的性质得出AE=CE ，则OE 为等腰三角形底边上的中线，再利用等腰三角形的三线合一求解即可. 【详解】 解：四边形ABCD 为矩形，AE CE ∴=，而OA OC =，OE ∴为AOC ∠的平分线．故选：C ． 【点睛】本题考查的是画角平分线，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.6．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b ≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解. 【详解】 解：一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.7．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，以原点为中心，将点A 顺时针旋转30得到点A '，则点A '的坐标为（ ）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．()3,1B ．()3,1-C ．()2,1D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】作AE x ⊥轴于E ，'A F x ⊥轴于F ，再证明AOE A OF ∆∆'≌即可求解. 【详解】解：如图，作AE x ⊥轴于E ，'A F x ⊥轴于F ．在Rt △AOE 中，点A 的坐标为(3， ∴3∵tan ∠AOE=3AE OE =， ∴∠AOE=30°， 又∵∠AOA’=30°，∴∠A’OF=90°－30°－30°=30°. 90AEO OFA '︒∠=∠=，30AOE AOA AOF ''∠=∠=∠=︒OA OA '=，()AOE A OF AAS '∴∆∆≌，3OF OE ∴==1A F AE '==，()3,1A '∴．故选：A ． 【点睛】本题考查的是正切的应用，熟练掌握旋转和全等三角形的性质是解题的关键.8．在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位试题第6页，总23页同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ） A ．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高 B ．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高 C ．丁同学的身高为1.71米 D ．四位同学身高的众数一定是1.65 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的定义求解即可. 【详解】解：A 、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；B 、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；C 、丁同学的身高为1.654 1.633 1.71⨯-⨯=米，正确；D ．四位同学身高的众数一定是1.65，错误．故选：C ． 【点睛】本题考查的是平均数，中位数和众数，熟练掌握平均数，中位数和众数是解题的关键. 9．已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠【答案】B 【解析】 【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】解：211x kx x -=--， 21x k x +∴=-， 2x k ∴=+，该分式方程有解，21k ∴+≠， 1k ∴≠-， 0x，……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………20k ∴+>， 2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-，故选：B ． 【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.10．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在AB 上的点D 处，且:1:3BD AD ''=（BD '表示BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1:3B ．1:πC ．1:4D ．2:9【答案】D 【解析】 【分析】连接OD ，求出∠AOB ，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可. 【详解】解：连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒， 30OAM ∴∠=︒， 60AOM ∴∠=︒，且:1:3BD AD ''=，80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，试题第8页，总23页802180lr ππ=， :2:9r l ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题11．二次函数2245y x x =--+的最大值是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解. 【详解】解：()22245217y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键. 12．如图①，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4cm ，E ，F ，G 分别是AB ，1AA ，AD 的中点，截面EFG 将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为__________2cm ．【答案】3 【解析】 【分析】根据已知条件，求出22GF GE EF ===G 作GH EF ⊥于H ，求出GH,再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】试题第10页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………解：已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4cm ，E ，F ，G 分别是AB ，1AA ，AD 的中点，222222GF GE EF ∴===+=，过G 作GH EF ⊥于H ，362GH GF ∴==， ∴图②中阴影部分的面积21226232cm =⨯⨯=． 故答案为：23．【点睛】本题考查的是勾股定理和等边三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 13．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()x ，即当n 为非负整数时，若0.50.5n x n -≤<+，则()x n =．如()1.341=，()4.865=．若()0.516x -=，则实数x 的取值范围是__________． 【答案】1315x ≤<． 【解析】 【分析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可. 【详解】解：依题意得：60.50.5160.5x -≤-<+ 解得1315x ≤<． 故答案是：1315x ≤<． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.14．如图，灯塔A 在测绘船的正北方向，灯塔B 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B 的正南方向，此时测得灯塔A 在测绘船北偏西63.5︒的方向上，则灯塔A ，B 间的距离为__________海里（结果保留整数）．（参考数据试题第11页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………sin26.50.45︒≈，cos26.50.90︒≈，tan26.50.50︒≈，5 2.24≈）．【答案】22.4 【解析】 【分析】根据题意求出20BN MN ==，过A 作AE BN ⊥于E ，得出四边形AMNE 是矩形，求出AE,BE 然后利用勾股定理求解即可. 【详解】解：由题意得，20MN =，63.5ANB ∠=︒，45BMN ∠=︒，90AMN BNM ∠=∠=︒， 20BN MN ∴==，∠ANM=26.5° 如图，过A 作AE BN ⊥于E ， 则四边形AMNE 是矩形，20AE MN ∴==，EN AM =，•tan26.5200.5010AM MN =︒=⨯=， 201010BE ∴=-=，22201010522.4AB ∴=+=≈海里．故答案为：22.4．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握直角三角形是解题的关键. 15．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，E 为弦AC 的中点，10AD =，6BD =，若点P 为直径AB 上的一个动点，连接EP ，当AEP ∆是直角三角形时，AP 的长为__________．试题第12页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】4或2.56． 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB ，由△BCD∽△ABD 得到比例式求出CD 的长，当AEP ∆是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP 长有2种情况. 【详解】 解：连接BC过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，AB BD ∴⊥，22221068AB AD BD ∴--＝＝＝，当90AEP ∠︒＝时，AE EC ＝，EP ∴经过圆心O ，4AP AO ∴＝＝；当90APE ∠︒＝时，则//EP BD ，AP AEAB AD∴＝， ∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°. ∴∠BCD ＝90°.∵∠BCD ＝∠ABD ，∠D 是公共角， ∴△BCD ∽△AB D . ∴BD CDAD BD=试题第13页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2DB CD AD ⋅＝，2363.610BD CD AD ∴＝＝＝，10 3.6 6.4AC ∴-＝＝， 3.2AE ∴＝，3.2810AP ∴＝， 2.56AP ∴＝．综上AP 的长为4或2.56． 故答案为4或2.56． 【点睛】本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.16．边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线1y k x =平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A ，B 两点，过B 点的双曲线2k y x=的一支交其中两个正方形的边于C ，D 两点，连接OC ，OD ，CD ，则OCD S ∆=__________．【答案】11948． 【解析】 【分析】设()4,A t ，利用面积法得到14412t ⨯⨯=+，求出A 点，再求出直线解析式，求出B 点，再求出双曲线的解析式，求出D,C 的两点，然后用矩形面积减去三个三角形面积即可. 【详解】 解：设()4,A t ，直线1y k x =平分这8个正方形所组成的图形的面积，试题第14页，总23页14412t ∴⨯⨯=+，解得52t =， 54,2A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，把54,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入直线1y k x =得1542k =，解得158k =， ∴直线解析式为58y x =， 当2x =时，5584y x ==，则52,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 双曲线2k y x =经过点B ， 255242k ∴=⨯=，∴双曲线的解析式为5522y x x==，当2y =时，522x =，解得54x =，则5,24C ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当3x =时，5526y x ==，则53,6D ⎛⎫⎪⎝⎭， 1515155119323223262426448OCD S ∆⎛⎫⎛⎫∴=⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为11948． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系的综合运用，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键. 三、解答题17．已知：)111a =+，112sin 452b -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭，求b a -的算术平方根． 【答案】1 【解析】试题第15页，总23页【分析】分别求出a,b 两数的值，再计算b a -的算术平方根． 【详解】 解：()31113111a =-+=-+=112sin 45222b -⎛⎫=︒+ =⎪=⎭⎝．211b a ∴-=-=．1==．【点睛】本题考查的是代数式的计算，熟练掌握平方差公式，绝对值，二次根式，三角函数和负次幂是解题的关键. 18．先化简2211a a a a⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 【答案】-1 【解析】 【分析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围. 【详解】 解：2211a a a a ⎛⎫-÷⎪--⎝⎭(1)(1)12a a a a a ---=•-1(1)12a a a a a -+-=•-2a =， 当2a =-时，原式212-==-． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.19．如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心，点C ，D 分别在OE 和OF 上，现将OEF ∆绕点O 逆时针旋转α角()090α︒<<︒，连接AF ，试题第16页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………DE （如图②）． （1）在图②中，AOF ∠= ；（用含α的式子表示） （2）在图②中猜想AF 与DE 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）90α︒-；（2）AF DE =．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）如图②，利用旋转得DOF COE α∠=∠=，再利用四边形ABCD 为正方形，求出∠AOD，从而求出∠AOF;（2）如图②，利用四边形ABCD 为正方形，得到90AOD COD ∠=∠=︒，OA OD =，又因为OEF ∆为等腰三角形，所以OF=OE,再证明AOF DOE ∆∆≌即可. 【详解】解：（1）如图②，OEF ∆绕点O 逆时针旋转α角， DOF COE α∴∠=∠=，四边形ABCD 为正方形，90AOD ∴∠=︒， 90AOF α∴∠=︒-；故答案为90α︒-； （2）AF DE =． 理由如下： 如图②，四边形ABCD 为正方形，90AOD COD ∴∠=∠=︒，OA OD =， DOF COE α∠=∠=， AOF DOE ∴∠=∠， OEF ∆为等腰直角三角形， OF OE ∴=，在AOF ∆和DOE ∆中试题第17页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………AO DO AOF DOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOF DOE SAS ∴∆∆≌，AF DE ∴=．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.20．体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表： 组别 个数段频数 频率 1 010x ≤<5 0.1 2 1020x ≤< 210.42 3 2030x ≤<a4 3040x ≤<b（1）表中的数a = ，b = ；（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．【答案】（1）20，0.08；（2）45人；（3）35【解析】 【分析】（1）先算出抽查的总人数，再利用扇形统计图求出a,即可求出b.试题第18页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×0.1=45人； （3）列表列出所有可能结果，再求概率即可； 【详解】解（1）抽查了九年级学生数：50.150÷=（人），2030x ≤<的人数：1445020360⨯=（人），即20a =， 3040x ≤<的人数：50521204---=（人）， 40.0850b ==， 故答案为20，0.08；（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×0.1=45（人）， 答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为45人； （3）列表如下()2123205P ∴==选出的人为一个男生一个女生的概率． 【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握表格和扇形统计图获取信息和列表法求概率是解题的关键.21．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点在一次函数(0)y kx t k =+≠的图象上，则称2(0)y ax bx c a =++≠为(0)y kx t k =+≠的伴随函数，如：21y x =+是1y x =+的伴随函数．（1）若24y x =-是y x p =-+的伴随函数，求直线y x p =-+与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数()30y mx m =-≠的伴随函数22y x x n =++与x 轴两个交点间的距离为4，求m ，n 的值．【答案】（1）8；（2）3n =-，1m =. 【解析】 【分析】试题第19页，总23页（1）先求出二次函数的顶点，再把顶点代入一次函数求出p,再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解；（2）先根据函数22y x x n =++与x 轴两个交点间的距离为4，求出n,再求出二次函数的顶点，将顶点代入一次函数即可求解. 【详解】 解：（1）24y x =-，∴其顶点坐标为()04-，，24y x =-是y x p =-+的伴随函数，()04∴-，在一次函数y x p =-+的图象上，40p ∴-=+．4p ∴=-，∴一次函数为：4y x =--，∴一次函数与坐标轴的交点分别为()0,4-，()4,0-，∴直线y x p =-+与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为44-=，∴直线y x p =-+与两坐标轴围成的三角形的面积为：144=82⨯⨯．（2）设函数22y x x n =++与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，则122x x +=-，12x x n =，12x x ∴-==∵函数22y x x n =++与x 轴两个交点间的距离为4，4=，解得，3n =-，∴函数22y x x n =++为：()222314y x x x =+-=+-， ∴其顶点坐标为()1,4--，22y x x n =++是()30y mx m =-≠的伴随函数，43m ∴-=--，试题第20页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1m ∴=．【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数的综合运用，熟练掌握两者是解题的关键. 22．如图，AB 是O 的直径，点C 为O 上一点，点P 是半径OB 上一动点（不与O ，B 重合），过点P 作射线l AB ⊥，分别交弦BC ，BC 于D ，E 两点，在射线l 上取点F ，使FC FD =．（1）求证：FC 是O 的切线；（2）当点E 是BC 的中点时，①若60BAC ∠=︒，判断以O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若3tan 4ABC ∠=，且20AB =，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①四边形BOCE 是菱形，理由见解析；②5. 【解析】 【分析】（1）连接OC ，利用OBC OCB ∠=∠和FCD FDC ∠=∠再进行等量代换证明OC ⊥FC 即可；（2）①先证明BOE ∆，OCE ∆均为等边三角形，求得OB BE CE OC ===，即可求解；②利用三角函数3tan 4ABC ∠=，和勾股定理求出AC,BC,再利用垂径定理求出HB ，利用三角形面积公式求出PE,再求出OP,BP,DP 即可. 【详解】解：（1）证明：如图1，连接OC ，OB OC =， OBC OCB ∴∠=∠，PF AB ⊥，试题第21页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………90BPD ∴∠=︒，90OBC BDP ∴∠+∠=︒， FC FD = FCD FDC ∴∠=∠ FDC BDP ∠=∠ 90OCB FCD ∴∠+∠=︒ OC FC ∴⊥PF ∴是O 的切线．（2）如图2，连接,,,OC OE BE CE ，OE 交CB 于点H. ①以,,,O B E C 为顶点的四边形是菱形．理由如下：AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，60BAC ∴∠=︒，120BOC ∴∠=︒，点E 是BC 的中点，60BOE COE ∴∠=∠=︒， OB OE OC ==BOE ∴∆，OCE ∆均为等边三角形， OB BE CE OC ∴===∴四边形BOCE 是菱形；②3tan 4AC ABC BC =∠=，设3AC k =，()40BC k k =>， 由勾股定理得222AC BC AB +=，即()()2223420k k +=，解得4k =，12AC ∴=，16BC =，∵AB=20， ∴OE=OB=10， 点E 是BC 的中点，试题第22页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………OE BC ∴⊥，8BH CH ==，OE BH OB PE ∴⨯=⨯，即10810PE ⨯=，解得：8PE =，由勾股定理得22221086OP OE PE =-=-=，1064BP OB OP ∴=-=-=，3tan 4DP ABC BP =∠=，即334344DP BP ==⨯= 835DE PE DP ∴=-=-=．【点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握圆的性质是解题的关键.23．为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400320学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）8；（3）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元． 【解析】试题第23页，总23页【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，根据题意列出方程组即可求解； （2）利用租车总辆数=总人数÷35，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解； （3）设租35座客车m 辆，则需租30座的客车()8m -辆，根据题意列出不等式组即可求解. 【详解】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，依题意，得：1410156x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：16234x y =⎧⎨=⎩．答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）(23416)357+÷=（辆）5……（人），1628÷=（辆），∴租车总辆数为8辆．故答案为：8．（3）设租35座客车m 辆，则需租30座的客车()8m -辆，依题意，得：3530(8)23416400320(8)3000m m m m +-≥+⎧⎨+-≤⎩，解得：1252m ≤≤． m 为正整数，2,3,4,5m ∴=， ∴共有4种租车方案．设租车总费用为w 元，则400320(8)802560w m m m =+-=+，800>，w ∴的值随m 值的增大而增大，∴当2m =时，w 取得最小值，最小值为2720． ∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．【点睛】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，熟练掌握两者是解题的关键.。
2020年湖北省荆州市中考数学试题及答案
2020年湖北省荆州市中考数学试题及答案荆州市2020年初中学业⽔平考试数学试题⼀、选择题1.有理数2-的相反数是（） A. 2B.12C. 2-D. 12-2.下列四个⼏何体中，俯视图与其他三个不同的是（）A. B. C. D.3.在平⾯直⾓坐标系中，⼀次函数1y x =+的图象是（）A. B. C. D.4.将⼀张矩形纸⽚折叠成如图所⽰的图形，若30CAB ?∠=，则ACB ∠的度数是（）A. 45?B. 55?C. 65?D. 75?5.⼋年级学⽣去距学校10千⽶的博物馆参观，⼀部分学⽣骑⾃⾏车先⾛，过了20分钟后，其余学⽣乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学⽣速度的2倍．设骑车学⽣的速度为x 千⽶/⼩时，则所列⽅程正确的是（） A.10x -102x=20 B.102x -10x=20 C.10x -102x =13D.102x -10x =136.若x 为实数，在)”中添上⼀种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x 不可能的是（）A.1B.1C.D. 17.如图，点E 在菱形ABCD AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE ，DF ，对于下列条件：①BE CF =；①,CE AB DF BC ⊥⊥；①CE DF =；①BCE CDF ∠=∠，只选其中⼀个添加，不能确定BCE CDF 的是（）A. ①B. ①C. ①D. ①8.如图，在平⾯直⾓坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第⼀象限，并与x 轴的正半轴夹⾓为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（）A.B.)C. ()2,1D. (9.定义新运算a b *，对于任意实数a ，b 满⾜()()1a b a b a b *=+--，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+--=-=，若x k x *=（k 为实数）是关于x 的⽅程，则它的根的情况是（） A. 有⼀个实根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根10.如图，在66? 正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的边长都是1，点A ，B ，C 均在⽹格交点上，⊙O 是ABC 的外接圆，则cos BAC ∠的值是（）C.12⼆、填空题11.若()112020,,32a b c π-??=-=-=-，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是_______．（⽤<号连接） 12.若单项式32m x y 与3m n xy +值是_______________．13.已知：ABC ，求作ABC 的外接圆，作法：①分别作线段BC ，AC 的垂直平分线EF 和MN ，它们交于点O ；②以点O 为圆⼼，OB 的长为半径画弧，如图⊙O 即为所求，以上作图⽤到的数学依据是___________________．14.若标有A ，B ，C 的三只灯笼按图⽰悬挂，每次摘取⼀只（摘B 先摘C ），直到摘完，则最后⼀只摘到B 的概率是___________．的15.“健康荆州，你我同⾏”，市民⼩张积极响应“全民健⾝动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所⽰的Rt ABC ?，其中90?∠=C ，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 的正中位置，E 地与C 地相距1km ，若3tan ,454ABC DEB ?∠=∠=，⼩张某天沿A C E B D A →→→→→路线跑⼀圈，则他跑了_______km ．16.我们约定：(),,a b c 为函数2y ax bx c =++的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为(),2,2m m --的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．三、解答题17.先化简，再求值2211121a a a a -??-÷ ?++??：其中a 是不等式组22213a a a a -≥-??-<+?①②最⼩整数解；18.阅读下列问题与提⽰后，将解⽅程的过程补充完整，求出x 的值．问题：解⽅程2250x x ++=（提⽰：可以⽤换元法解⽅程），()0t t =≥，则有222x x t +=，原⽅程可化为：2450t t +-=，续解：19.如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ?，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：//BC AD ；（2）若AB=4，BC=1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．的20.6⽉26⽇是“国际禁毒⽇”某中学组织七、⼋年级全体学⽣开展了“禁毒知识”⽹上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学⽣的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，85，90，85，90，85，100；⼋年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90；整理数据：分析数据：根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a b c d ,,,的值（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩⽐较好？说明理由；（3）该校七⼋年级共600⼈，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学⽣达到“优秀”？21.九年级某数学兴趣⼩组在学习了反⽐例函数的图像和性质后，进⼀步研究了函数2y x的图像与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图像，如图1①列表；下表是x 与y 的⼏组对应值，其中______m =；②描点：根据表中各组对应值(x ，y)在平⾯直⾓坐标系中描出了各点；③连线：⽤平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________；（3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数2y x=的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于点C ，则________OABC S =；①探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则________OABC S =；①类⽐猜想：若直线y=a(a>0)交函数(0)ky k x=>图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x轴于C ，则________OABC S =；的22.如图矩形ABCD 中，AB=20，点E 是BC 上⼀点，将ABE △沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上的点G 处，点F 在DG 上，将ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，此时:2:3GFHAFH S S =△．（1）求证：EGC GFH △△（2）求AD 的长；（3）求tan GFH∠值．23.为了抗击新冠疫情，我市甲⼄两⼚积极⽣产了某种防疫物资共500吨，⼄⼚的⽣产量是甲⼚的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下：（单位：吨）（1）求甲⼄两⼚各⽣产了这批防疫多少吨？的（2）设这批物资从⼄⼚运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为y 元，求y 与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运⽅案；（3）当每吨运费降低m 元，（0m 15<≤且m 为整数），按（2）中设计的调运⽅案运输，总运费不超过5200元，求m 的最⼩值．24.如图1，在平⾯直⾓坐标系中，()()2,1,3,1A B ---，以O 为圆⼼，OA 的长为半径的半圆O 交AO 的延长线于C ，连接AB，BC ，过O 作ED//BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ．（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D ，且顶点为E ，求此抛物线的解析式；点P 是此抛物线对称轴上的⼀动点，以E ，D ，P 为顶点的三⾓形与OAB ?相似，问抛物线上是否存在点Q ，使得EPQ OAB S S ??=，若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．参考答案⼀、选择题1-5 AADDC 6-10 CCBBB⼆、填空题11.【答案】b a c << 12.【答案】213.线段的垂直平分线的性质． 14.【答案】2315.【答案】2416.【答案】()1,0或()2,0或()0,2三、解答题17.先化简，再求值2211121a a a a -??-÷ ?++??：其中a 是不等式组22213a a a a -≥-??-<+?①②的最⼩整数解；解：原式=21(1)(1)(1)a a a a a -+?+-1a a+=，解不等式组22213a a a a -≥-??-<+?①，解不等式①得：2a ≥，解不等式②得：4a <，∴不等式组的解集为24a ≤<，∴a 的最⼩值为2 ∴原式=21322+=． 18.【详解】续解：()229t +=，23t ∴+=±，解得11t =，25t =-（不合题意，舍去），1t ∴=，221x x +=，2(1)2x ∴+=，1211x x ∴=-=-经检验都是⽅程的解．19.（1）证明：由旋转性质得：,60ABC DBE ABD CBE ∠=∠=,AB BD ABD ∴=∴?是等边三⾓形所以60DAB ?∠=,CBE DAB ∴∠=∠∴//BC AD ；（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A ，C 两点经过的路径长之和为60460151801803πππ??+=． 20.解：（1）1012412a =----=，七年级成绩按从⼩到⼤顺序排列为80，85，85，85，90，90，90，95，95，100，∴中位数9090902b +==， 80185290495210019010c ?+?+?+?+?==，⼋年级成绩90出现次数最多，因此众数90d =，∴2,90,90,90a b c d ====；（2）七⼋年级成绩的众数和中位数相同，但是⼋年级的平均成绩⽐七年级的⾼，且从⽅差看，⼋年级的成绩更稳定，综上⼋年级成绩较好．（3）七年级抽取的10⼈中，不低于90分的有6⼈，⼋年级抽取的10⼈中，不低于90分的有7⼈，60039020+?=（⼈）所以两个年级共390名学⽣达到“优秀”．21.解：（1）当0x <时，2xy =-，⽽当0x >时，2xy =，1m ∴=，故答案：1；补全图象如图所⽰：（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于y 轴对称，①当0x <时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，当0x >时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；（3）如图，①由A ，B 两点关于y 轴对称，由题意可得四边形OABC 是平⾏四边形，且144242OAM OABC S S k k ?==?==四边形，①同①可知：24OABC S k ==四边形，①22OABC S k k ==四边形，故答案为：4，4，2k ．22.（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形所以90B D C ?∠=∠=∠=90GHF C ?∠=∠=，90,AGE B ∠=∠=? 90EGC HGF ?∠+∠= 90GFH HGF ?∠+∠=EGC GFH ∴∠=∠EGCGFH ∴ (2)解：:2:3GFHAFH SS =△:2:3GH AH ∴=20AG GH AH AB =+==8,12GH AH ∴==12AD AH ∴==(3)解：在直⾓三⾓形ADG 中，16DG ===由折叠对称性知DF HF x ==，16GF x =-222GH HF GF += 2228(16)x x ∴+=-解得：x=6，所以：HF=6在直⾓三⾓形GHF 中，84tan 63GH GFH HF ∠===． 23.解：（1）设这批防疫物资甲⼚⽣产了a 吨，⼄⼚⽣产了b 吨；则5002100a b a b +=??-=?解得：200300a b =??=?答：这批防疫物资甲⼚⽣产了200吨，⼄⼚⽣产了300吨；（2）如图，甲、⼄两⼚调往,A B 两地的数量如下：20(240)25(40)1524(300)y x x x x ∴=-+-++-411000x =-+24003000400x x x x ≥??-≥?-≥??-≥? 40240x ∴≤≤当x=240时运费最⼩所以总运费的⽅案是：甲⼚200吨全部运往B 地；⼄⼚运往A 地240吨，运往B 地60吨． (3)由（2）知：411000500y x m =-+-当x=240时， 424011000500=10040-500m y m =-?+-最⼩，100405005200m ∴-≤ 9.68m ∴≥所以m 的最⼩值为10． 24.【详解】（1）如图1，设AB 与y 轴交于点M ，则AM=2，OM=1，AB=5，则OA=OC ==∵OE ∥BC ，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AE=12AB=52，BC=2EO ，∴点E 的坐标为(12，1-)，ME=12，OM=1，∴==，∴∵(2222225AC BC AB +=+==，ABC ?∴是直⾓三⾓形，所以BC 是半圆的O 的切线；（2）四边形OBCD 是平⾏四边形，由图知：∵OD ∥BC ，∴四边形OBCD 是平⾏四边形；（3）①由（2）知：E 为AB 的中点，过点D 作DN y ⊥轴，则DN//ME ，∴Rt △ODN ~Rt △OEM ，∴ON DN ODOM ME OE==，∴112ON DN ==∴2ON =，1DN =，∴点D 的坐标为(1-，2)，∵抛物线经过点D(1-，2)，且顶点为E(12，1-)，∴设此抛物线的解析式为21()12y a x =--，则211122a ---= ??∴43a =，∴此抛物线的解析式为241()132y x =--，即2442333y x x =--，如图，设抛物线对称轴交AC 于F ，由（1）知：∠AOE=∠ACB=90?，∠AEF=90?，∴∠OEF+∠AEO=90?，∠A+∠AEO=90?，∴∠OEF=∠A ，∵以E ，D ，P 为顶点的三⾓形与OAB ?相似，∴分△PED ~△OAB 和△DEP ~△OAB 两种情况讨论，当△PED ~△OAB 时，ED=OE+OD=22=PE EDOA AB=25=，∴32PE =，∵EPQ OAB S S ??=，设点Q 到PE 的距离为h ，∴11h 22PE AB OM ?=?，即3h 512=?，∴10h 3=，∴点Q 的横坐标为10123326+=或11017236-=-；当△DEP ~△OAB 时，ED=OE+OD=22=PE EDAB OA=，即5PE =∴152PE =，∵EPQ OAB S S ??=，设点Q 到PE 的距离为1h ，∴111h 22PE AB OM ?=?，即15h 512=?，∴2h 3=，∴点Q 的横坐标为217326+=或121236-=-；∴符合条件的Q 点的横坐标为236或176-或76或16-．。
2020年湖北省荆州市中考数学试卷-解析版
2020年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.有理数−2的相反数是()A. 2B. 12C. −2 D. −122.下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象是()A. B.C. D.4.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB=30°，则∠ACB的度数是()A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°5.八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则可列方程为()A. 102x −10x=20 B. 10x−102x=20 C. 10x−102x=13D. 102x−10x=136.若x为实数，在“(√3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是()A. √3+1B. √3−1C. 2√3D. 1−√37.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是()A. ①B. ②C. ③D. ④8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为()A. (√3,√3)B. (√3,1)C. (2,1)D. (2,√3)9.定义新运算“a∗b”：对于任意实数a，b，都有a∗b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6.若x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根10.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为()A. √55B. 2√55C. 12D. √32二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）)−1，c=|−3|，则a，b，c的大小关系为______.(用11.若a=(π−2020)0，b=−(12“<”号连接)12.若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为______．13.已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：______.(只需写一条)14.若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是______．15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC=34，∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了______km．16.我们约定：(a,b，c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(m,−m−2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.先化简，再求值：(1−1a )÷a2−1a2+2a+1，其中a是不等式组{a−2≥2−a ①2a−1<a+3 ②的最小整数解．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4√x2+2x−5=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√x2+2x=t(t≥0)，则有x2+2x=t2原方程可化为：t2+4t−5=0【续解】19.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．(1)求证：BC//AD；(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20.6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分)，收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数80859095100人数年级七年级22321八年级124a1平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；(3)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______；x…−3−2−1−1212123…y (2)312442m23…描点：根据表中各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)通过观察图1，写出该函数的两条性质；①______；②______；(3)①观察发现：如图2.若直线y=2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C.则S四边形OABC=______；②探究思考：将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”，其他条件不变，则S四边形OABC=______；③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数y=k|x|(k>0)的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则S四边形OABC=______．22.如图，在矩形ABCD中，AB=20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH=2：3，(1)求证：△EGC∽△GFH；(2)求AD的长；(3)求tan∠GFH的值．23.为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表(单位：元/吨)．目的地A B生产厂甲2025乙1524(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24.如图1，在平面直角坐标系中，A(−2,−1)，B(3,−1)，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O 于E，D，连接OB，CD．(1)求证：BC是半圆O的切线；(2)试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；(3)如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：有理数−2的相反数是：2．故选：A．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】C【解析】解：一次函数y=x+1中，令x=0，则y=1；令y=0，则x=−1，∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限，故选：C．依据一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，即可得到一次函数y=x+1的图象经过一二三象限．本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4.【答案】D【解析】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED//FA，∠EBC=∠CBA，∴∠EBC=∠ACB，∠CAB=∠DBA=30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°，∴∠ACB+∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=75°，故选：D．根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，依题意，得：10x −102x=13．故选：C．设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，根据时间=路程÷速度结合ℎ)，即可得出关于x的分式方程，此题得解．骑车的学生比乘车的学生多用20min(即13本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：A.(√3+1)−(√3+1)=0，故本选项不合题意；B.(√3+1)(√3−1)=2，故本选项不合题意；C.(√3+1)与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D.(√3+1)(1−√3)=−2，故本选项不合题意．故选：C．根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．(a+b)(a−b)=a2−b2．7.【答案】C【解析】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC=CD，AB//CD，∴∠B=∠DCF，①∵添加BE=CF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB=∠F=90°，∴△BCE≌△CDF(AAS)，③∵添加CE=DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE=∠CDF，∴△BCE≌△CDF(ASA)，故选：C．根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD=30°，∴AD=1OA，2∵C为OA的中点，∴AD=AC=OC=BC=1，∴OA=2，∴OD=√3，则点A的坐标为：(√3,1)．故选：B．根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9.【答案】C【解析】解：∵x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，∴(x+k)(x−k)−1=x，整理得x2−x−k2−1=0，∵△=(−1)2−4(−k2−1)=4k2+5>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．利用新定义得到(x+k)(x−k)−1=x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△>0可判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．10.【答案】B【解析】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD=√22+42=2√5，在Rt△BDC中，cos∠BDC=CDBD =2√5=2√55，由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，∴cos∠BAC=cos∠BDC=2√55，故选：B．作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．11.【答案】b<a<c【解析】解：∵a=(π−2020)0=1，b=−(12)−1=−2，c=|−3|=3，∴b<a<c．故答案为：b<a<c．利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．12.【答案】2【解析】解：根据题意得：m=1，m+n=3，解得n=2，所以2m+n=2+2=4，√2m+n=√4=2．故答案是：2．根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13.【答案】线段的垂直平分线的性质【解析】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC=OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14.【答案】23【解析】解：画树状图如图：共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为2；3．故答案为：23画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．15.【答案】24【解析】解：过D点作DF⊥BC，xkm，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=43xkm，在Rt△BFD中，BD=√BF2+DF2=53∵D地在AB正中位置，xkm，∴AB=2BD=103∵tan∠ABC=3，4∴cos∠ABC =45， ∴x+43x+1103x =45，解得x =3，则BC =8km ，AC =6km ，AB =10km ，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，他跑了8+10+6=24(km)． 故答案为：24．过D 点作DF ⊥BC ，设EF =xkm ，则DF =xkm ，BF =43xkm ，在Rt △BFD 中，根据勾股定理得到BD ，进一步求得AB ，再根据三角函数可求x ，可得BC =8km ，AC =6km ，AB =10km ，从而求解．此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16.【答案】(1,0)、(2,0)或(0,2)【解析】解：根据题意，令y =0，将关联数(m,−m −2,2)代入函数y =ax 2+bx +c ，则有mx 2+(−m −2)x +2=0，△=(−m −2)2−4×2m =(m −2)2>0， ∴mx 2+(−m −2)x +2=0有两个根， 由求根公式可得x =m+2±√(−m−2)2−8m2mx =m +2±|m −2|2mx 1=m+2+(m−2)2m =1，此时m 为不等于0的任意数，不合题意；x 2=m+2+2−m2m =42m ，当m =1或2时符合题意；x 2=2或1； x 3=m+2−m+22m =42m，当m =1或2时符合题意；x 3=2或1；x 4=m+2−2+m2m=1，此时m 为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)；令x =0，可得y =c =2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)． 综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)或(0,2)； 故答案为：(2,0)，(1,0)或(0,2)．根据题意令y =0，将关联数(m,−m −2,2)代入函数y =ax 2+bx +c ，则有mx 2+(−m −2)x +2=0，利用求根公式可得m ，将m 代入可得函数图象与x 轴的交点坐标；令x =0，可得y =c =2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．17.【答案】解：原式=a−1a⋅(a+1)2(a+1)(a−1)=a+1a．解不等式组{a −2≥2−a ①2a −1<a +3 ②中的①，得a ≥2．解不等式②，得a <4．则2≤a<4．所以a的最小整数值是2，所以，原式=2+12=32．【解析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18.【答案】解：(t+5)(t−1)=0，t+5=0或t−1=0，∴t1=−5，t2=1，当t=−5时，√x2+2x=−5，此方程无解；当t=1时，√x2+2x=1，则x2+2x=1，配方得(x+1)2=2，解得x1=−1+√2，x2=−1−√2；经检验，原方程的解为x1=−1+√2，x2=−1−√2．【解析】利用因式分解法解方程t2+4t−5=0得到t1=−5，t2=1，再分别解方程√x2+2x=−5和方程√x2+2x=1，然后进行检验确定原方程的解．本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．19.【答案】(1)证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE=60°，∴AB=DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠CBE=∠DAB，∴BC//AD．(2)解：由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60⋅π⋅4180+60⋅π⋅1180=5π3．【解析】(1)只要证明∠CBE=∠DAB=60°即可，(2)由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，利用弧长公式计算即可．本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：(1)观察八年级95分的有2人，故a=2；七年级的中位数为90+902=90，故b=90；八年级的平均数为：112[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90，故c=90；八年级中90分的最多，故d=90；(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；(3)∵600×1320=390(人)，∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．【解析】(1)根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；(2)利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；(3)用样本的平均数估计总体的平均数即可．本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21.【答案】1 函数的图象关于y轴对称当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小 4 4 2k【解析】解：(1)当x<0时，xy=−2，而当x>0时，xy=2，∴m=1，故答案为：1；补全图象如图所示：(2)故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小；(3)如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC =4S△OAM=4×12|k|=2|k|=4，②同①可知：S四边形OABC=2|k|=4，③S四边形OABC=2|k|=2k，故答案为：4，4，2k．(1)根据表格中的数据的变化规律得出当x<0时，xy=−2，而当x>0时，xy=2，求出m的值；补全图象；(2)根据(1)中的图象，得出两条图象的性质；(3)由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，由折叠对称知：∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，∴∠GHF=∠C=90°，∠EGC+∠HGF=90°，∠GFH+∠HGF=90°，∴∠EGC=∠GFH，∴△EGC∽△GFH．(2)解：∵S△GFH：S△AFH=2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH=2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG =AB =GH +AH =20， ∴GH =8，AH =12， ∴AD =AH =12．(3)解：在Rt △ADG 中，DG =√AG 2−AD 2=√202−122=16， 由折叠的对称性可设DF =FH =x ，则GF =16−x ， ∵GH 2+HF 2=GF 2， ∴82+x 2=(16−x)2， 解得：x =6， ∴HF =6，在Rt △GFH 中，tan∠GFH =GHHF =86=43．【解析】(1)由矩形的性质得出∠B =∠D =∠C =90°，由折叠的性质得出∠AGE =∠B =90°，∠AHF =∠D =90°，证得∠EGC =∠GFH ，则可得出结论；(2)由面积关系可得出GH ：AH =2：3，由折叠的性质得出AG =AB =GH +AH =20，求出GH =8，AH =12，则可得出答案；(3)由勾股定理求出DG =16，设DF =FH =x ，则GF =16−x ，由勾股定理得出方程82+x 2=(16−x)2，解出x =6，由锐角三角函数的定义可得出答案．本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 23.【答案】解：(1)设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，则： {a +b =5002a −b =100，解得{a =200b =300，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；(2)由题意得：y =20(240−x)+25[260−(300−x)]+15x +24(300−x)=−4x +11000， ∵{x ≥0240−x ≥0300−x ≥0x −40≥0，解得：40≤x ≤240， 又∵−4<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x =240时，可以使总运费最少，∴y 与x 之间的函数关系式为y =−4x +11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B 地，乙厂运往A 地240吨，运往B 地60吨；(3)由题意和(2)的解答得：y =−4x +11000−500m ，当x =240时，y 最小=−4×240+11000−500m =10040−500m ， ∴10040−500m ≤5200，解得：m ≥9.68， 而0<m ≤15且m 为整数， ∴m 的最小值为10．【解析】(1)设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，根据题意列方程组解答即可；(2)根据题意得出y 与x 之间的函数关系式以及x 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；(3)根据题意以及(2)的结论可得y =−4x +11000−500m ，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解． 24.【答案】(1)证明：如图1，设AB 与y 轴交于M ，∵A(−2,−1)，B(3,−1)，∴AB//x 轴，且AM =2，OM =1，AB =5， ∴OA =OC =√5，∵DE//BC ，O 是AC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴AE =12AB ，BC =2OE ， ∴E(12,−1)， ∴EM =12，∴OE =√OM 2+ME 2=√12+(12)2=√52， ∴BC =2OE =√5，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=(2√5)2+(√5)2=25，AB 2=52=25， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°， ∴BC ⊥AC ，∵AC 为半圆O 的直径， ∴BC 是半圆O 的切线；(2)解：四边形OBCD 是平行四边形，理由是： 如图1，由(1)得：BC =OD =OA =√5， ∵OD//BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形；(3)解：①如图2，由(1)知：OD =OA =√5，E 是AB 的中点，且E(12,−1)，OE =√52，过D 作DN ⊥y 轴于N ，则DN//EM ，∴△ODN∽△OEM ， ∴ON OM=DN EM=OD OE，即ON 1=DN12=√5√52，∴ON =2，DN =1， ∴N(−1,2)，设此抛物线的解析式为：y =a(x −12)2−1， 把N(−1,2)代入得：2=a(−1−12)2−1， 解得：a =43，∴此抛物线的解析式为：y =43(x −12)2−1，即y =43x 2−43x −23； ②存在，过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，∵DG =1+12=32，EG =2+1=3， ∴DE =√DG 2+EG 2=√(32)2+32=3√52， tan∠DEG =DG EG=323=12， ∵tan∠OAM =OM AM=12，且∠DEG 和∠OAM 都是锐角， ∴∠DEG =∠OAM ，如图3，当△EPD∽△AOB 时，EPAO =DEAB ，即√5=3√525，∴EP =32，∵S △AOB =12AB ⋅OM =12×5×1=52， ∵S △EPQ =S △OAB ， ∴12⋅EP ⋅|x −12|=52， 即12×32×|x −12|=52，解得：x =236或−176； 如图4，当△OAB∽△DEP 时，ABEP =OADE ，即5EP =√53√52，∴EP =152，同理得：12⋅152⋅|x −12|=52，解得：x =76或−16；综上，存在符合条件的点Q ，Q 点的横坐标为236或−176或76或−16．【解析】(1)如图1，设AB 与y 轴交于M ，先证明OE 是△ABC 的中位线，得BC =2OE ，E(12,−1)，利用勾股定理计算OE 的长，可得BC 的长，根据勾股定理的逆定理计算AC 2+BC 2=AB 2，所以△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，可得结论；(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD 与BC 平行且相等，可得四边形OBCD 是平行四边形；(3)①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D 的坐标，利用顶点E 的坐标设抛物线的解析式为：y =a(x −12)2−1，把点D 的坐标代入可得结论；②以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，存在两种情况，过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，根据S △EPQ =S △OAB ，列方程可得x 的值．本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质、锐角三角函数，3勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。